도형의 닮음 - 정답과 풀이

1

P73~75

01

^Action닮음의 성질을 이해한다.

① 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2 cm 인 정사각형

ABCD와 한 변의 길이가 3 cm인 마름

모 EFGH는 대응하는 변의 길이의 비는 2 : 3으로 일정하지만 대응하는 각의 크기는 같지 않으므로 닮 은 도형이 아니다.

02

^Action먼저 닮음비를 이용하여 CD”, A’'D'”의 길이를 각각 구한다.

ABCD와 A'B'C'D'의 닮음비가 2 : 3이므로 CD” : C'D'”=2 : 3에서 CD” : 12=2 : 3

3 CD”=24 ∴ CD”=8(cm)

또, AD” : A'D'”=2 : 3에서 6 : A'D'”=2 : 3 2 A'D'”=18 ∴ A'D'”=9(cm)

이때 ABCD, A'B'C'D'은 모두 평행사변형이므로 AB”=CD”=8(cm), AD”=BC”=6(cm),

A'B'”=C'D'”=12(cm), A'D'”=B'C'”=9(cm) 따라서 구하는 둘레의 길이의 합은

(8+6)_2+(12+9)_2=28+42=70(cm)

03

^Action원뿔 모양의 그릇과 물이 채워진 부분은 서로 닮은 도형이다.

원뿔 모양의 그릇과 물이 채워진 부분은 서로 닮은 도형 이고 닮음비는 4 : 3이다.

수면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 12 : r=4 : 3, 4r=36

∴ r=9

따라서 수면의 반지름의 길이는 9 cm이다.

H C

G 2###cm 3###cm

75˘

105˘

04

^Action먼저 닮음의 성질을 이용하여 AB”, AE”의 길이를 각각 구한다.

ABCDª HIJA이므로

AB” : HIÚ=AD” : HA”에서 AB” : 3=10 : 4 4 AB”=30 ∴ AB”=:¡2∞:

또, ABCDª AEFG이므로

AB” : AE”=AD” : AG”에서 :¡2∞: : AE”=10 : 16 10 AE”=120 ∴ AE”=12

∴ BE”=AE”-AB”=12-:¡2∞:=;2(;

05

^Action두 닮은 직사각형에서 대응하는 변의 길이를 비교한다.

오른쪽 그림에서 안에 알 맞은 것은 각각 A2, A4이 다. …… 20%

A0용지의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라고 하면 A4용지의 가로의 길이는 ;4!;a,

세로의 길이는 ;4!;b이다. ^{…… 40%}

따라서 A0 용지와 A4 용지의 닮음비는

a : ;4!;a=b : ;4!;b=4 : 1 ^{…… 40%}

06

^Action△AFDª△EFB`(AA 닮음)임을 이용한다.

△AFD와 △EFB에서

∠AFD=∠EFB (맞꼭지각)

AD”∥BC”이므로 ∠ADF=∠EBF (엇각)

∴ △AFDª△EFB (AA 닮음) BF”=x cm라고 하면

DF”=(10-x) cm AD” : EB”=DF” : BF”에서 8 : 7=(10-x) : x, 8x=70-7x 15x=70, x=;;¡3¢;;

∴ BF”=;;¡3¢;;(cm)

A1 A3 A4 A5 A2

1 a

2 1

2b 1 4a 1

4b 1

a b

A판(A0)

01① 02^{70 cm} 03^{9 cm} 04;2(;

05A2, A4, 4 : 1 06;;¡3¢;; cm 07;3&; cm 0818 km 09:¡3¢: 10:™5¢: cm 119 cm 12⑴ ;2*5$; cm¤ ⑵ ;2*5$; cm¤ 13:¡8∞: 14^{5 cm} 15^{7 : 2} 16;;∞4¡;; cm

닮음인 두 원기둥 또는 두 원뿔의 닮음비는 다음과 같다.

⑴ 밑면의 반지름의 길이의 비`(또는 밑면의 둘레의 길이의 비)

⑵ 높이의 비

⑶ 모선의 길이의 비

Lecture 닮음인 두 원기둥 또는 두 원뿔의 닮음비

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07

^ActionMN”∥BC”이므로 ∠ANM=∠C임을 이용하여 닮음인 두 삼각형을 찾는다.

MN”∥BC”이므로 ∠ANM=∠C (동위각)

△ADE와 △ANM에서

∠ADE=∠C=∠ANM

∠A는 공통

∴ △ADEª△ANM (AA 닮음)

AD” : AN”=AE” : AM”에서 2 : AN”=3 : 8 3 AN”=16 ∴ AN”=:¡3§:(cm)

∴ EN”=AN”-AE”=:¡3§:-3=;3&;(cm)

08

^Action△ABCª△QBP`(SAS 닮음)임을 이용한다.

AP”=BP”=PQ”=;2!;AB”=;2!;_24=12(km)

△ABC와 △QBP에서 AB” : QB”=24 : 16=3 : 2 BC” : BP”=18 : 12=3 : 2

∠B는 공통

∴ △ABCª△QBP (SAS 닮음) …… 60%

AC” : QP”=3 : 2에서 AC” : 12=3 : 2 2 AC”=36 ∴ AC”=18(km)

따라서 A 도시와 C 도시를 연결하는 도로의 길이는

18 km이다. …… 40%

09

^Action△BDEª△CEF`(AA 닮음)임을 이용한다.

△ABC는 정삼각형이므로

AB”=BC”=AC”=AF”+FC”=EF”+FC”=7+3=10

∴ BE”=BC”-EC”=10-8=2

△BDE와 △CEF에서

∠B=∠C=60˘

∠BDE+∠BED=120˘, ∠BED+∠CEF=120˘

이므로 ∠BDE=∠CEF

∴ △BDEª△CEF (AA 닮음)

DE” : EF”=BE” : CF”에서 DE” : 7=2 : 3 3 DE”=14 ∴ DE”=:¡3¢:

∴ AD”=DE”=:¡3¢:

10

^Action먼저 점 M이 △ABC의 외심임을 이용하여 MÚD”의 길이를 구한다.

점 M은 △ABC의 외심이므로

AM”=B’M”=C’M”=;2!; BC”=;2!;_15=;;¡2∞;;(cm)

∴ MD”=BD”-BM”=12-;;¡2∞;;=;2(;(cm)

△ABC에서 AD” ¤ =BD”¥CD”이므로

AD” ¤ =12_3=36 ∴ AD”=6(cm)(∵ AD”>0) 또, △AMD에서 AD” ¤ =AH”¥AM”이므로

6¤ =AH”_:¡2∞: ∴ AH”=:™5¢:(cm)

11

^Action△ADCª△BDF`(AA 닮음)임을 이용한다.

△ADC와 △BDF에서

∠ADC=∠BDF=90˘

∠CAD=90˘-∠AFE

=90˘-∠BFD=∠FBD

∴ △ADCª△BDF (AA 닮음)

AD” : BD”=DC” : DF”에서 AD” : 6=6 : 3 3 AD”=36 ∴ AD”=12(cm)

∴ AF”=AD”-FD”=12-3=9(cm)

12

^Action먼저 AB” ¤ =BD”¥BC” 또는 AC” ¤ =CD”¥CB”임을 이용하여 DM”의 길이를 구한다.

⑴ AB”¤ =BD”¥BC”이므로

6¤ =BD”_10 ∴ BD”=:¡5•:(cm)

∴ DM”=BM”-BD”=5-:¡5•:=;5&;(cm) ^{…… 20%}

또, △ABC=;2!;_AB”_AC”=;2!;_BC”_AD”이므로 ;2!;_6_8=;2!;_10_AD”

∴ AD”=:™5¢:(cm) ^{…… 20%}

∴ △ADM=;2!;_DM”_AD”

∴ △ADM=;2!;_;5&;_:™5¢:=;2*5$;(cm¤ ) ^{…… 10%}

⑵ AC”¤ =CD”¥CB”이므로

8¤ =CD”_10 ∴ CD”=;;£5™;;(cm)

∴ DM”=CD”-C’M”=;;£5™;;-5=;5&;(cm) ^{…… 20%}

△ABC=;2!;_6_8=24(cm¤ )이고 ^{…… 10%}

△ABC : △ADM=BC” : DM”이므로 24 : △ADM=10 : ;5&;, 10△ADM=;:!5^:*;

∴ △ADM=;2*5$;(cm¤ ) ^{…… 20%}

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 문제의 그림에서 점 M은

△ABC의 외심이다.

따라서 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로 AM”=B’M”=C’M”=;2!; BC”

Lecture 직각삼각형의 외심

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Ⅲ-`1. 도형의 닮음 41

13

^Action△PBQª△DBE`(AA 닮음)임을 이용한다.

AD”∥BC”이므로 ∠PDB=∠DBC (엇각) 이때 ∠PBD=∠DBC(접은 각)이므로

∠PBD=∠PDB

따라서 △PBD는 이등변삼각형이므로 BQ”=;2!;BD”=;2!;_5=;2%;

또, △PBQ와 △DBE에서

∠BQP=∠BED=90˘

∠PBQ는 공통

∴ △PBQª△DBE (AA 닮음) PQ” : DE”=BQ” : BE”에서 PQ” : 3=;2%; : 4, 4PQ”=:¡2∞:

∴ PQ”=:¡8∞:

14

^ActionAD”의 길이를 k(k>0)로 놓고 AB”, DC”의 길이를 각각 k 의 식으로 나타낸다.

AD”=k(k>0)라고 하면 AD” : DC”=1 : 3에서 k : DC”=1 : 3

∴ DC”=3k

또, AB” : AC”=1 : 2에서 AB” : 4k=1 : 2, 2AB”=4k

∴ AB”=2k

△ABC와 △ADB에서 AB” : AD”=2k : k=2 : 1 AC” : AB”=4k : 2k=2 : 1

∠A는 공통

∴ △ABCª△ADB (SAS 닮음) BC” : DB”=2 : 1에서

10 : BD”=2 : 1, 2BD”=10

∴ BD”=5(cm)

15

^Action△AFDª△EFC`(AA 닮음)임을 이용한다.

△AFD와 △EFC에서

∠AFD=∠EFC (맞꼭지각)

AD”∥BE”이므로 ∠ADF=∠ECF (엇각)

∴ △AFDª△EFC (AA 닮음) 이때 AD”=BC”이고

DF” : CF”=△EDF : △EFC=5 : 2이므로 AD” : EC”=DF” : CF”에서

BC” : EC”=5 : 2

∴ BE” : CE”=7 : 2

B C

10###cm k 2k 3k

16

^Action△DEFª△ABC`(AA 닮음)임을 이용한다.

△DEF와 △ABC에서

∠DEF=∠BAE+∠ABE

=∠CBF+∠ABE

=∠ABC

∠EFD=∠CBF+∠BCF

=∠ACD+∠BCF

=∠BCA

∴ △DEFª△ABC (AA 닮음)

DE” : AB”=EF” : BC”에서 3 : 8=E’FÚ : 12 8 E’FÚ=36 ∴ E’FÚ=;2(;(cm)

또, DE” : AB”=DF” : AC”에서 3 : 8=DF” : 14 8 DF”=42 ∴ DF”=;;™4¡;;(cm)

∴ (△DEF의 둘레의 길이)=DE”+E’FÚ+FD”

∴ (△DEF의 둘레의 길이)=3+;2(;+;;™4¡;;=;;∞4¡;;(cm)

01

^Action닮음의 성질을 이해한다.

ㄴ. 반지름의 길이가 서로 같아도 중심각의 크기가 같지 않으면 두 부채꼴은 닮은 도형이 아니다.

ㄷ. 한 내각의 크기가 서로 같아도 이웃하는 두 변의 길 이의 비가 같지 않으면 두 평행사변형은 닮은 도형 이 아니다.

ㅁ. 아랫변의 양 끝각의 크기가 서로 같아도 아랫변과 윗 변의 길이의 비가 같지 않으면 두 등변사다리꼴은 닮 은 도형이 아니다.

따라서 항상 닮은 도형인 것은 ㄱ, ㄹ이다.

최/ 고/ 수/ 준

완성하기

^P^76~78

01ㄱ, ㄹ 0218 0335˘ 04;1^3$; cm 05;2#; cm 06^{30 cm} 074배 08¹² 09^{25 : 16} 10^{10 cm} 11⁴ 12;;¡5§;; cm

⑴ 항상 닮음인 평면도형 ① 두 원

② 두 직각이등변삼각형 ③ 변의 개수가 같은 두 정다각형

⑵ 항상 닮음인 입체도형 ① 두 구

② 면의 개수가 같은 두 정다면체

Lecture 항상 닮음인 도형

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02

^Action△ABCª△AFD`(SAS 닮음), △ABFª△ACD`(SAS 닮음)임을 이용한다.

△ABC와 △AFD에서 AB” : AF”=6 : 3=2 : 1 AC” : AD”=12 : 6=2 : 1

∠BAC=∠FAD

∴ △ABCª△AFD (SAS 닮음) BC” : FD”=2 : 1에서 x : 4=2 : 1

∴ x=8

△ABF와 △ACD에서 AB” : AC”=6 : 12=1 : 2 AF” : AD”=3 : 6=1 : 2

∠BAF=∠BAE+∠EAF

=∠DAF+∠EAF

=∠CAD

∴ △ABFª△ACD (SAS 닮음) BF” : CD”=1 : 2에서 5 : y=1 : 2

∴ y=10

∴ x+y=8+10=18

03

^Action△ABEª△ACD임을 이용하여 또 다른 닮음인 두 삼각형 을 찾는다.

△ABC와 △AED에서

△ABEª△ACD이므로 AB” : AE”=AC” : AD”

∠BAE=∠CAD이므로

∠BAC=∠BAE+∠EAC

=∠CAD+∠EAC

=∠EAD

∴ △ABCª△AED (SAS 닮음)

이때 ∠ADC=∠AEB=180˘-(35˘+65˘)=80˘이 고 ∠ADE=∠ACB=45˘이므로

∠EDC=∠ADC-∠ADE

=80˘-45˘=35˘

04

^Action△ABCª△DCE임을 이용하여 또 다른 닮음인 두 삼각형 을 찾는다.

△ABCª△DCE이므로 AC” : DE”=AB” : DC”=5 : 8 또, ∠ACB=∠DEC이므로 AC”∥DE”

△FAC와 △FED에서

∠AFC=∠EFD (맞꼭지각)

AC”∥DE”이므로 ∠CAF=∠DEF (엇각)

∴ △FACª△FED (AA 닮음)

DF”=x cm라고 하면 CF”=(8-x) cm

CF” : DF”=AC” : ED”에서 (8-x) : x=5 : 8, 64-8x=5x 13x=64, x=;1^3$;

∴ DF”=;1^3$;(cm)

05

^Action△ABCª△DAC`(AA 닮음)임을 이용한다.

△ABC와 △DAC에서

∠ABC=∠DAC

∠C는 공통

∴ △ABCª△DAC (AA 닮음)

BC” : AC”=AC” : DC”에서 8 : 6=6 : DC”

8 DC”=36 ∴ DC”=;2(;(cm) 이때 △ABE에서

∠AEC=∠BAE+∠ABE

=∠EAD+∠DAC

=∠EAC

따라서 △CAE는 CA”=CE”=6 cm인 이등변삼각형 이므로

ED”=EC”-DC”=6-;2(;=;2#;(cm)

06

^Action△ABEª△CBD`(AA 닮음)임을 이용한다.

△AED는 이등변삼각형이므로

∠AED=∠ADE

△ABE와 △CBD에서

∠ABE=∠CBD

∠BAE=∠AED-∠ABE

=∠ADE-∠DBC

=∠BCD

∴ △ABEª△CBD (AA 닮음) AB” : C’BÚ=BE” : BD”에서 24 : 36=BE” : 27, 36BE”=648

∴ BE”=18(cm)

이때 ED”=BD”-BE”=27-18=9(cm)이므로 AE” : ED”=4 : 3에서

AE” : 9=4 : 3, 3AE”=36

∴ AE”=12(cm)

또, AB” : C’BÚ=AE” : CD”에서 24 : 36=12 : CD”, 24CD”=432

∴ CD”=18(cm)

∴ AC”=AD”+CD”=AE”+CD”

=12+18=30(cm) http://zuaki.tistory.com

Ⅲ-`1. 도형의 닮음 43

07

^Action△AODª△COB`(AA 닮음), △AEDª△MEB`(AA 닮음)임을 이용하여 BE”, EO”를 각각 BD”의 식으로 나타낸다.

△AOD와 △COB에서

∠AOD=∠COB (맞꼭지각)

AD”∥B’CÚ이므로 ∠DAO=∠BCO (엇각)

∴ △AODª△COB (AA 닮음)

즉, OD” : OB”=AD” : C’BÚ=2 : 6=1 : 3이므로 OD”=;4!; BD”

또, △AED와 △MEB에서

∠AED=∠MEB (맞꼭지각)

AD”∥B’CÚ이므로 ∠DAE=∠BME (엇각)

∴ △AEDª△MEB (AA 닮음) 즉, ED” : EB”=AD” : MÚB”=2 : 3이므로 ED”=;5@; BD”, EB”=;5#;BD”

이때 EO”=ED”-OD”=;5@;BD”-;4!;BD”=;2£0;BD”이므로 BE” : EO”=;5#; BD” : ;2£0; BD”=4 : 1

따라서 BE”의 길이는 EO”의 길이의 4배이다.

08

^Action△ABD™△ACE`(SAS 합동), △FBEª△ACE`(AA 닮음)임을 이용한다.

△ABD와 △ACE에서 AB”=AC”=8

AD”=AE”=6

∠DAB=∠EAC=60˘

∴ △ABD™△ACE (SAS 합동)

∴ ∠ABD=∠ACE 또, △FBE와 △ACE에서

∠FEB=∠AEC (맞꼭지각)

∠FBE=∠ACE

∴ △FBEª△ACE (AA 닮음)

FE” : AE”=BE” : CE”에서 FE” : 6=2 : CE”

∴ FE”_CE”=12

09

^Action△DFEª△CED`(AA 닮음)임을 이용한다.

△DFE와 △CED에서

∠DFE=∠CED=90˘

∠FED=90˘-∠FDE=∠EDC

∴ △DFEª△CED (AA 닮음)

DE” : CD”=FE” : ED”에서 5 : CD”=4 : 5 4 CD”=25 ∴ CD”=:™4∞:

따라서 △ADC와 △DFE의 닮음비는 DC” : FE”=:™4∞: : 4=25 : 16

10

^Action△BFEª△CFD`(AA 닮음), △ABDª△ACE`(AA 닮 음)임을 이용한다.

CF” : FE”=1 : 2이므로

CF”=;3!; CE”=;3!;_:¡2∞:=;2%;(cm), FE”=CE”-CF”=:¡2∞:-;2%;=5(cm)

△BFE와 △CFD에서

∠BEF=∠CDF=90˘

∠EFB=∠DFC (맞꼭지각)

∴ △BFEª△CFD (AA 닮음)

BF” : CF”=FE” : FD”에서 BF” : ;2%;=5 : 2 2 BF”=:™2∞: ∴ BF”=:™4∞:(cm)

∴ BD”=BF”+FD”=:™4∞:+2=:£4£:(cm) 또, △ABD와 △ACE에서

∠A는 공통

∠ADB=∠AEC=90˘

∴ △ABDª△ACE (AA 닮음)

AD” : AE”=BD” : CE”에서 11 : AE”=:£4£: : :¡2∞:

:£4£: AE”=;:!2^:%; ∴ AE”=10(cm)

11

^Action△BCF™△CDE`(SAS 합동), △BCGª△CFG`(AA 닮 음)임을 이용한다.

△BCF와 △CDE에서 BC”=CD”

CF”=DE”

∠BCF=∠CDE=90˘

∴ △BCF™△CDE (SAS 합동)

∴ ∠FBC=∠ECD 이때 △GCF에서

∠BGC=∠GCF+∠GFC

=∠GBC+∠GFC=90˘

△BCG와 △CFG에서

∠BGC=∠CGF=90˘

∠GBC=∠GCF

∴ △BCGª△CFG (AA 닮음)

⑴ 대응하는 세 변의 길이가 각각 같다. SSS 합동

⑵ 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다.

SAS합동

⑶ 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같다.

ASA합동

Lecture 삼각형의 합동 조건

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답지 블로그

BC” : CF”=CG” : FG”에서 2 : 1=CG” : FG”

∴ CG”=2FG” yy㉠

또, BC” : CF”=BG” : CG”에서 2 : 1=BG” : CG”

∴ BG”=2CG” yy㉡

㉠, ㉡`에서

BG”=2 CG”=2_2 FG”=4 FG”

∴ = =4

12

^Action먼저 △EBFª△FCD`(AA 닮음)임을 이용하여 EF”의 길 이를 구한다.

BF”=BC”-FC”=10-6=4(cm)

△EBF와 △FCD에서

∠EBF=∠FCD=90˘

∠FEB=90˘-∠BFE=∠DFC

∴ △EBFª△FCD (AA 닮음)

EB” : FC”=BF” : CD”에서 EB” : 6=4 : 8 8 EB”=24 ∴ EB”=3(cm)

∴ E’FÚ=AE”=AB”-EB”

=8-3=5(cm)

△BFE에서 BF”¤ =FH”¥FE”이므로 4¤ =FH”_5 ∴ FH”=:¡5§:(cm)

4 FG”

FG”

BG”

FG”

01

^Action△ACDª△ABE, △ABCª△AED임을 이용하여 비례 식을 세워 본다.

△ABCª△AED이므로 AC” : AD”=B’CÚ : ED”

∴ AC”_ED”=AD”_BC”

이때 AD”_BC”=BD”_AC”이므로 AC”_ED”=BD”_AC”

∴ ED”=BD” yy㉠

△ACDª△ABE이므로 AC” : AB”=CD” : BE”

∴ AC”_BE”=AB”_CD”

이때 BD”_AC”=CD”_AB”이므로 AC”_BE”=BD”_AC”

∴ BE”=BD” yy㉡

따라서 ㉠, ㉡`에서 ED”=BD”=BE”이므로 △EBD는 정삼각형이다.

최/ 고/ 수/ 준

뛰어넘기

^P^79~80

01^60˘ 02;2#; 03^{3 cm} 04^{22 %} 05^45˘ 06;5!;

오른쪽 그림과 같이 AD”의 연 장선과 BC”가 만나는 점을 G 라고 하면

∠BDC

=∠BDG+∠CDG

=(∠ABD+∠BAD)+(∠ACD+∠CAD)

=(∠BAD+∠CAD)+(∠ABD+∠ACD)

=∠BAC+(∠ABD+∠ABE)

=∠BAC+∠EBD

=∠BAC+60˘

∴ ∠BDC-∠BAC=60˘

02

^ActionAO”=x cm, DO”=y cm로 놓고 △AODª△COB`(AA 닮음)임을 이용한다.

△AOD와 △COB에서

∠AOD=∠COB (맞꼭지각)

AD”∥BC”이므로 ∠OAD=∠OCB (엇각)

∴ △AODª△COB (AA 닮음) AO”=x cm, DO”=y cm라고 하면 CO”=(6-x)cm, BO”=(9-y)cm

AO” : CO”=DO” : BO”에서 x : (6-x)=y : (9-y) x(9-y)=y(6-x), 9x-xy=6y-xy

9x=6y ∴ x=;3@;y

∴ = = =;2#;

03

^Action△ABEª△AQF`(AA 닮음), △AEPª△AFD`(AA 닮 음)임을 이용한다.

△ABE와 △AQF에서

∠ABE=∠AQF=90˘

∠BAE=45˘-∠EAP=∠QAF

∴ △ABEª△AQF (AA 닮음)

∴ AB” : AQ”=AE” : AF” yy㉠ 또, △AEP와 △AFD에서

∠APE=∠ADF=90˘

∠EAP=45˘-∠PAF=∠FAD

∴ △AEPª△AFD (AA 닮음)

∴ AE” : AF”=AP” : AD” yy㉡

㉠, ㉡`에서 AB” : AQ”=AP” : AD”

AB” : AQ”=6 : AD”, AB”¥AD”=6AQ”

54=6 AQ” ∴ AQ”=9(cm)

∴ PQ”=AQ”-AP”

=9-6

=3(cm) 11y

;3@;y y x DO”

AO”

B C

D E

G F

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Ⅲ-`1. 도형의 닮음 45

04

^Action△ABC의 밑변의 길이와 높이의 변화량을 이용하여 △ADE 의 넓이를 구하는 식을 세워 본다.

오른쪽 그림과 같이 두 점 E, C 에서 AD”에 내린 수선의 발을 각각 F, H라고 하자.

△AFE와 △AHC에서

∠AFE=∠AHC=90˘

∠A는 공통

∴ △AFEª△AHC (AA 닮음)

EF” : CH”=AE” : AC”={1-;1¢0º0;}AC” : AC”=3 : 5 5 EF”=3 CH” ∴ EF”=;5#; CH”

∴ △ADE=;2!;_AD”_EF”

∴ △ADE=;2!;_{1+;1£0º0;}AB”_;5#; CH”

∴ △ADE=;1!0#0);_;5#;_{;2!;_AB”_CH”}

∴ △ADE=;1¶0•0;△ABC

∴ △ADE={1-;1™0™0;}△ABC

따라서 △ADE의 넓이는 △ABC의 넓이보다 22 % 줄어든 것이다.

05

^Action당구공이 지나간 경로를 일직선으로 나타내어 본다.

당구공이 당구대의 벽에 부딪히는 각의 크기와 부딪힌 후 나오는 각의 크기가 같으므로 당구공이 지나간 경로 는 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

이때 △PCQ와 △PB'B"에서

∠PCQ=∠PB'B"=90˘

∠QPC는 공통

∴ △PCQª△PB'B" (AA 닮음)

P A

B 4a 3a

D Q

R R'

A F HB D

E C

AB” : BC”=3 : 4이므로 AB”=3a, BC”=4a(a>0)라 고 하면

PC” : CQ”=P’B'” : B’'B"”

=(PC”+C’B'”) : (B’'A'”+A’'B"”)

=(2a+4a) : (3a+3a)

=6a : 6a

=1 : 1

따라서 △PCQ는 ∠PCQ=90˘이고 PC”=CQ”인 직각 이등변삼각형이므로

∠QPC=45˘

06

^Action△ABH의 내접원과 △AHC의 내접원의 반지름의 길이를 각각 구한다.

AB” ¤ =BH”¥BC””이므로 4¤ =BH”_5

∴ BH”=:¡5§:,

∴CH”=BC””-BH”=5-:¡5§:=;5(;

또, △ABC=;2!;_AB”_AC”=;2!;_BC”_AH”이므로

;2!;_4_3=;2!;_5_AH” ∴ AH”=:¡5™:

오른쪽 그림과 같이 △ABH 의 내접원의 반지름의 길이 를 R라고 하면

△ABH

=;2!;_BH”_AH”=;2!;R {AB”+BH”+HA”}

;2!;_:¡5§:_:¡5™:=;2!;R {4+:¡5§:+:¡5™:}

:™5¢:R=;2(5^;

∴ R=;5$;

또, △AHC의 내접원의 반지름의 길이를 r라고 하면

△AHC=;2!;_HC”_AH”=;2!;r{AH”+HC”+CA”}

;2!;_;5(;_:¡5™:=;2!; r {:¡5™:+;5(;+3}

:¡5•: r=;2%5$;

∴ r=;5#;

∴ DE”=R-r=;5$;-;5#;=;5!;

H A

B C

E D R

5 4

오른쪽 그림에서 점 I가 △ABC의 내심 일 때,

△ABC=;2!;r(a+b+c)

Lecture 삼각형의 내심의 활용

B D C

F E

a c b

길이가 l인 선분에 대하여

⑴ a % 늘린 선분의 길이는 {1+;10A0;}l=

⑵ b % 줄인 선분의 길이는 {1-;10B0;}l=(100-b)l 100 (100+a)l

100

Lecture 선분의 길이의 변화량

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닮음의 활용`⑴

2

P82~84

01

^Action△AGB에서 EF”∥BG”일 때, AE” : EB”+EF” : BG”임에 주의한다.

처음으로 잘못된 곳은 ③`이고 바르게 풀면 다음과 같다.

…… 20%

AB”∥CD”이므로 AB” : CD”=BG” : CG”

12 : 16=BG” : 12, 16BG”=144

∴ BG”=9 …… 35%

EF”∥BG”이므로 AE” : AB”=EF” : BG”

4 : 12=EF” : 9, 12EF”=36

∴ EF”=3 …… 35%

∴ EF”+BG”=3+9=12 …… 10%

02

^Action먼저 △ADF에서 평행선과 선분의 길이의 비를 이용하여 EF”의 길이를 구한다.

PE”∥DF”이므로 AP” : P’D”=AE” : EF”

4 : 3=32 : EF”, 4EF”=96

∴ EF”=24(cm)

DF”∥BE”이므로 CD” : DB”=CF” : FE”

3 : 4=CF” : 24, 4CF”=72

∴ CF”=18(cm)

03

^Action△ABC와 △ABD에서 각각 평행선과 선분의 길이의 비를 이용한다.

AC”∥ED”이므로 BE” : E’A”=BD” : DC”=6 : 4=3 : 2 AD”∥EF”이므로 BF” : FD”=BE” : E’A”=3 : 2

∴ BF”=;5#; BD”=;5#;_6=:¡5•:

04

^Action△GCD와 △ABC에서 각각 평행선과 선분의 길이의 비를 이용한다.

EF”∥DC”이므로 GF” : GC”=EF” : DC”

GF” : 8=x : 8, 8GF”=8x

∴ GF”=x, CF”=8-x

EF”∥AB”이므로 CF” : CB”=EF” : AB”

(8-x) : 10=x : 6, 48-6x=10x -16x=-48 ∴ x=3

05

^Action ^DBFE와 DGCE가 평행사변형임을 이용한다.

BC”∥DE”이므로 AD” : AB”=DE” : BC”

1 : 4=DE” : 12, 4DE”=12

∴ DE”=3(cm)

이때 DBFE와 DGCE가 평행사변형이므로 BF”=DE”=3(cm), GC”=DE”=3(cm)

∴ FG”=BC”-BF”-GC”

=12-3-3

=6(cm)

06

^Action△EAB, △FBC, △GCD가 모두 정삼각형이므로

∠EAB=∠FBC=∠GCD=60˘(동위각), 즉 E’A”∥FB”∥GC”이다.

△EAB, △FBC, △GCD가 모두 정삼각형이므로

∠EAB=∠FBC=∠GCD=60˘ (동위각)

∴ E’A”∥FB”∥GC”

AB”=EA”=8(cm)이므로

HB”=HA”-AB”=20-8=12(cm) EA”∥FB”이므로 HB” : HA”=FB” : EA”

12 : 20=FB” : 8, 20FB”=96

∴ FB”=:™5¢:(cm)

이때 BC”=FB”=:™5¢:(cm)이므로 HC”=HB”-BC”=12-:™5¢:=:£5§:(cm) EA”∥GC”이므로 HC” : HA”=GC” : E’A”

:£5§: : 20=GC” : 8, 20 GC”=;:@5*:*;

∴ GC”=;2&5@;(cm)

∴ GD”=GC”=;2&5@;(cm)

07

^ActionAB” : AC”=BD” : CD”, AB” : AC”=BE” : CE”임을 이용한 다.

AD”는 ∠BAC의 이등분선이므로

AB” : AC”=BD” : CD”, 6 : 4=(5-CD”) : CD”

6 CD”=20-4 CD”, 10CD”=20

∴ CD”=2

AE”는 ∠CAF의 이등분선이므로

AB” : AC”=BE” : CE”, 6 : 4=(5+CE”) : CE”

6 CE”=20+4 CE”, 2CE”=20

∴ CE”=10

∴ DE”=DC”+CE”=2+10=12 01③, 풀이 참조 02^{18 cm} 03:¡5•:

04³ 05^{6 cm} 06;2&5@; cm 07¹² 08:£5§: 09:§7º: cm 10^{3 : 2} 11^{6 cm} 12;7@;배 13⁵⁰ 14^{22 cm} 15¹² 16^{95 cm} 17^{8 cm}

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