Chapter 4 열전도방정식
본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고 하였습니다.
참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar,
"Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)", 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011
<학습목표>
1. 위치에 따른 온도변화를 고려하지 않고 시간에 대해 거의 균일하게 온 도가 변하는 경우, 단순화된 집중계 해석을 적용한다.
2. 변수 분리법을 이용하여 사각형, 원통, 구 형상에 대한 비정상 1차원 전도 해석해를 도출하고, 단일항 해가 항상 성립하는 이유에 대해 이 해한다.
3. 유산 변수를 이용하여 큰 매질에 대한 비정상 전도를 풀고, 시간과 외 부 표면으로부터 떨어진 거리에 따른 온도변화를 예측한다. product solution을 이용하여 다차원 비정상 전도 해를 구한다.
4.1 집중계 해석
집중계 해석(lumped system analysis) :
내부의 온도가 언제든지 거의 균일하게 유지되어 집중(lump)되는 물체 (이 경우 물체의 온도는 시간만의 함수 T(t)로 나타낼 수 있다.)
정확도가 크게 떨어지지 않으면서 열전달 문제를 단순화
(4-1)
(dt동안 물체로의 열전달)=(dt동안 물체에서의 에너지 증가) m = ρV = 일정 , dT=d(T- T∞)이므로
∞
∞
(4-2)
T= T i에서 t=0부터, T=T(t)에서 임의 시간 t까지를 적분
ln ∞
∞
(4-3)
양변에 지수를 취하고 이를 다시 정리
∞
∞
(4-4)
(1/s) (4-5)
그림 4-3과 위의 관계로부터 다음 두 가지를 알 수 있다.
1. 식 4-4로 시간 t에서 물체의 온도T(t), 그리고 또한 주어진 온도 T(t)에 도달하기 위한 시간을 알 수 있다.
2. 물체의 온도는 주위 온도 T ∞에 지수함수의 형태로 접근하다.
b값이 큰 경우 물체의 주위 온도에 빠르게 접근하다.
지수 b가 클수록 온도변화는 커진다.
(b는 표면적에 비례하지만 물체의 질량과 비열에는 반비례 ) 대류 열전달률 :
(W) (Newton의 냉각법칙) (4-6) 총 열전달량 = 에너지 저장량
(kJ) (4-7)
∞, 최대 열전달량 :
max ∞ (kJ) (4-8)
집중계 해석의 기준
특성길이(characterisric length) :
Bi수 : 물체의 열전도에 대한 내부저항과 대류에 대한 외부저항의 비
(4-9)
∆
∆
체내부의전도
물체표면에서의대류
물체표면의대류저항 물체내부의전도저항
Bi수 감소 → 전도에 대한 저항 감소 → 온도구배 감소
집중계 해석은 물체 내의 온도가 균일하다고 가정 (열저항 = 0) Bi수가 적을수록 집중계 해석은 보다 정확
Bi≤0.1 (일반적인 집중계 해석)
(온도차는 5%미만)
※ Bi<0.1인 경우에는 물체 내부의 온도 변화는 작으며 균일하다고 가정
집중계 열전달에 대한 부언
대류에 의한 물체의 열전달이 큰 경우, 물체의 내부와 외부의 온도차는 커짐 최대 온도차 :
(표면으로 전도할 수 있는 능력)=(표면으로부터 대류할 수 있는 능력)
단위표면적당 열전도
q=-k∂T/∂n
예제 4.1 열전대를 이용한 온도측정
흐르는 기체의 온도를 열전대를 이용해 특정하려고 하며 이때 열전대의 접 함점(junction)은 지름 1mm의 구로 생각할 수 있다. 접함점의 특징은 k=35W/m =8500kg/㎥ 그리고 C p=320J/kgㆍ℃ 그리고 접함점과 기체 사이 의 대류열전달계수 h=210W/㎡ㆍ℃이다. 열전대가 초기온도가의 99%까지 정 확히 특정하기 위해서 필요한 시간을 구하라.
sol) [가정] 1. 접함점은 지름D=0.001m인 구 모양이다. 2. 접함점의 물성치와 열전달계수는 일정하다. 3. 복사효과는 무시할 만하다.
[해석] 접함점의 특성길이는
×
그때 Bi수는
℃
㎡ㆍ℃ ×
따라서 짐중계 해석의 사용이 가능하며 이 경우 발생하는 오차 무시.
접함점과 기체 사이의 온도차가 99%가 되기 위해서는
∞
∞
이 되어야 한다. 예를 들어 Ti= 0℃, T ∞= 100℃일 때 열전대를 사용하 여 특정한 온도가 T(t)=99℃라면 이 때 열전대는 실제 온도의 99%를 나 타낸다고 할 수 이다.
지수 b의 값은
℃ ×
㎡℃
이 값을 식4-4에 적용하면
∞
∞
→ , t=10s
예제4-2 강철 막대의 경화 담금질
경화 담금질을 위해, 강철막대 (ρ=7832kg/㎥, C p=434J/kgㆍK , k=63.95W/mㆍK)는 850℃ 화로에서 가열된 뒤 물이 담긴 수조에서 평균온도 95℃로 다시 냉각된다.
아래 그림에 나타나있다. 물수조는 40℃로 균일하게 유지되며, 대류 열전달 계수는 h=450W/㎡ㆍK 이다. 강철막대 지름이 50mm, 길이가 2m인 경우,
(a) 수조에 담겨서 850℃에서 95℃로 냉각되는 데 걸리는 시간을 구하라.
(b) 한 개의 강철 막대가 경화되는 동안 총 열전달량을 구하여라.
[가정]1. 강철 막대의 열 물성치는 모두 상수이다.
2. 대류열전달계수는 균일하다.
3. 복사에 의한 열전달은 고려하지 않는다.
[해석] (a) 원통 막대의 특성길이와 Biot수는
·
·
Bi 수가 0.1보다 작으므로 집중계 해석이 가능하다.
수조에서 강철 막대가 850℃에서 95℃로 냉각되는데 걸리는 시간은
·
·
∞
∞
→
∞
∞
(b) 총 열전달량은
·
×
4.2 대형 평면벽, 긴 원통, 구에서의 비정상 열전도
본 절에서는 대형 평면벽, 긴 원통 및 구와 같은 1차원, 비정상상태에서의 온도면화를 다루게 될 것이다. 초기 온도가 T i인 두께 2L의 평면벽, 반지름 r 0인 긴원통 그리고 반지름 r 0인 구를 생각하자. 시간 t=0에서 이들 각 물 체를 온도 T ∞으로 유지되는 대단히 큰 매체에 t>0만큼 노출시켰다. 물체와 주위 사이에는 대류에 의해 열전달이 발생하며 열전달계수 h는 상수이고 일 정하다. 세 가지 경우 모두 기하학적으로 그리고 열적으로 대칭임에 유의해 야 한다. 평면벽은 중심면(x=0)에 대해, 원통은 중심선(r=0)에 대해, 그리고 구는 중심(r=0)에 대해 대칭이다.
평면벽에서 시간에 따른 온도변화 [그림4-12] 를 나타내면 벽이 시간 t=0
에서 온도 T ∞< T i인 매체에노출될 때, 벽 전체의 온도는 초기온도인 T i이 다. 그러나 벽과 표면근처는 주위매체와 열전달이 발생하기 때문에 온도가 떨어지게 된다. 이로 인하여 벽에는 온도구배가 발생하고 벽면의 내부에서 외부로 향한 전도가 시작된다. 벽 중심에서의 온도는 t= t2가 될 때까지 T i 를 유지하며 벽 내부에서의 온도분포는 중심에 대해 항상 대칭이 된다. 온도 분포는 열전달에 의하여 점점 평평해지며, 결국T= T ∞가 되면서 일정하게 된다. 이때 벽은 주위와 열적평형을 이루었다고 하며 더 이상 온도차가 존재 하지 않기 때문에 열전달은 정지된다. 원통과 구의 경우에도 마찬가지 현상 이다.
무차원화된 1차원 비정상 열전도 문제
평면벽에서 시간에 따른 온도변화를 그림 4-12에 나타내었다. 벽이 시간 t= 0에서 온도 T∞<T∞인 매체에 노출될 때, 벽 전체의 온도는 초기온도인 Ti이다. 그러나 벽과 표면근처는 주위 매체와 열전달이 발생하기 때문에 온 도가 떨어지게 된다. 이로 인하여 벽에는 온도구배가 발생하고 벽면의 내부 에서 외부로 향한 전도가 시작된다. 벽 중심에서의 온도는 t=t2가 될 때까 지 Ti를 유지하며 벽 내부에서의 온도분포는 중심에 대해 항상 대칭이 된 다. 온도분포는 열전달에 의하여 점점 평평해지며, 결국T=T∞가 되면서 일 정하게 된다. 이때 벽은 주위와 열적평형을 이루었다고 하며 더 이상 온도차
가 존재하지 않기 때문에 열전달은 정지된다. 원통과 구의 경우에도 마찬가 지 현상이다.
벽에서의 1차원 비정상상태의 온도분포T(x,t)를 구하기 위해서는 편미분방 정식을 고등수학을 이용하여 풀어야 한다. 이들의 해답은 일반적으로 사용하 기 불편하고 계산하기에 많은 시간이 소요되는 무한급수의 형태로 얻어진다.
따라서 해를 표나 그래프의 형태로 나타낼 필요가 있다. 그러나 해는 x,L,t, k,α,h,Ti,T∞와 같은 수많은 변수와 관계되므로 그래프로 나타내기에는 어 려움이 있다. 변수들의 수를 줄이기 위해서 다음과 같은 무차원계수를 정의 한다.
무차원화를 위하여 체인룰을 이용한다.
∞
∞
∞
1차원 비정상상태 온도분포 T(x,t)를 구하기 위해서 무차원 계수를 정의하면 무차원 온도 :
∞
∞
중심으로부터의 무차원 거리 :
무차원 열전달 계수 :
(Biot 수)
무차원 시간 :
(Fourier 수)
무차원화함으로서 우리는 온도를 세 가지 변수(X, Bi, τ)로 나타낼 수 있게 되어 해를 실용적으로 그래프에 나타낼 수 있다.
근사해법과 도식법에 따른 해석
앞에 나온 것들을 다 계산해서 그래프로 나타내었다. 세가지 기하학적 형상 에 대한 1차원 비정상 열전도 문제는 정확한 해를 구할 수 있으나 이 해는 다루기가 까다로운 무한급수를 포함하고 있다. 그러나 해석해는 시간이 증가 하면 급격히 수렴하며 τ>0.2인 경우에는 급수해 중 첫 번째 항만을 이용하 여도 오차는 2%이하가 된다. 통상적으로 필요한 해는 τ>0.2인 경우가 많기 때문에 이 경우 다음과 같이 단항 근사해법(one term approximation)으로 나타낼 수 있다.
평면벽:
∞
∞
cos
(4-23)
원통 :
∞
∞
(4-24)구:
∞
∞
sin
(4-25)여기서 상수 A 1과 λ 1는 Bi만의 함수이며, 표 4-2에 세가지 기하학적 형상에 대해 Bi수의 함수로 나타내었다.
함수 J0은 1종 0차 Bessel함수이며 이것의 값은 표 4-3에 나타내었다.
또 cos(0)= J0(0)=1이고 (sinx)/x의 임계치도 역시 1이기 때문에 평면벽, 원 통 및 구의 중심에서는 다음과 같이 된다.
평면벽의 중심(x=0) :
∞
∞
(4-26)
원통의 중심(r=0) : ∞
∞
(4-27)
구의 중심(r=0) : θ ∞
∞
λτ (4-28)
Bi수만 구할 수 있다면 상기 식을 사용하여 매체 어디에서든지 온도를 구 할 수 있다. 표 대신 차트를 이용하고자 하는 경우를 위해, 위의 관계식과 단항 근사해를 그래프로 나타내었으며 이것을 비정상 온도차트라고한다.
<Midplane temperature>
<Temperature distribution>
<Heat transfer>
<Centerline temperature>
<Temperature distribution>
<Heat transfer>
<Midpoint temperature>
<Temperature distribution>
<Heat transfer>
Heisler 차트는 1961년 H.Grober에 의해 만들어진 비정상 차트를 이용하여 보강되었다. 개개의 기하학적 형상에 대해 세 가지의 차트가 있다. 첫 번째 차트는 주어진 시간 t에서 중심온도 T 0를 구하는 것이고, 두 번째는 같은 시간에 T의 함수로서 기타 다른 부위의 온도를 나타낸다. 세 번째 차트는 시간t까지의 총 열전달을 구할 수 있으며 이들 차트는 τ>0.2인 경우에 한해 유효하다.
물체의 온도는 초기온도 Ti로부터 비정상 열전도가 끝날 때 주위온도 T ∞
까지 변하게 된다. 따라서 물체가 얻는 최대 열전달은 ( T i> T∞인 경우에 는 열손실)물체의 에너지 변화량과 같다. 즉
max ∞ ρ∞ (kJ) (4-30) 여기서 m은 질량, V는 체적, ρ는 밀도, C p는 물체의 비열이다. 따라서
Q max는 t→∞일때의 열전달량을 나타낸다. 한정된 시간t에서의 열전달량 Q 는 당연히 이 최대치보다 적을 것이다.
열전달의 비율은 앞에서 설명한 단항근사해법에 의해 다음과 같은 관계식 으로도 구할 수 있다.
평면벽 :
max
θ
λ sinλ
(4-33) 원통 : max
θ
λ
λ
(4-34) 구 : max
θ
λ
sinλ λcosλ
(4-35)
Heisler/Grober 차트나 단항근사해법을 이용하기 위해서는 이 절의 처음에 명시하였던 다음 주건을 만족해야만 한다.: 초기에 물체의 온도는 동일해야 한다. 물체 주위의 온도와 대류열전달계수는 일정하고 또한 동일해야 한다.
물체 내부의 에너지 발생은 없어야 한다.
Fourier 수 τ의 물리적 의미를 이해하기 위해 이를 그림 4-18에 나타내었 다.
τ α
ρΔ
Δ
적인물체의열저장률
체적인물체에서길이까지의전도
Fourier 수는 물체의 열전도와 열저장의 상대적인 비를 나타낸다. 따라서 Fourier수가 큰 경우에는 열은 물체 속으로 빨리 전달하게 된다.
예제 4-3 달걀삶기
달걀은 보통 지름 5cm의 구로 생각할 수 있다. 초기온도가 5℃로 균일한 달 걀을 95℃의 끓는 물에 집어넣었다. 대류열전달계수 h=1200W/㎡ㆍ℃라고 할 때 달걀의 중심온도가 70℃가 되는데 걸리는 시간은 얼마인가?
sol)
[가정] 1. 달걀은 지름 5cm인 구이다.
2. 중심점에 대해 달걀은 대칭이기 때문에 전도는 1차원이다.
3. 달rif의 열물성치와 열전달계수는 상수이다. 4. fourier 수 τ>0.2이므로 단항해의 적용이 가능하다.
[물성치] 달걀의 수분함량은 74%정도이므로 달걀의 열전도도와 열확산계수는(5=70)/2 = 37.5℃의 물과 유사하다.
(k=0.627W/mㆍ℃, α=k/ρ C p= 0.151× 10 - 6㎡/s ,표 A-9)
[해석] 달걀 내부의 온도는 반경방향과 시간에 따라 변하며, 특정 위치에서 의 온도는 Heisler 차트나 단항해를 이용하여 구할 수 있다. 여기서 는 예로서 단항해를 사용한다.
Bi수는
℃
㎡ㆍ℃
0.1보다 매우 크기 때문에 집중계 해석은 적용 불가능하다.
구에서 이 Bi수에 해당하는 계수 λ 1와 A 1는 표4-1에서
λ 1=3.0753 A 1=1.9958 이다. 이들 값을 식 4-15에 대입하여 τ를 풀면
∞
∞
→
→
이것은 0.2보다 크기 때문에 단항해를 사용하여도
오차는 2%이내가 된다. Fourier수를 이용한 삶는 시간은
×
min
따라서 달걀 중심온도가 5℃에서 70℃가 되는 데는 약 15분 정도 소요된다.
예제 4-4 오븐에서 대형 황동판의 가열
어떤 생산공장에서 두께가 4cm이고 초기에 20℃로 균일한 온도에 있는 황 동판을 500℃로 우지되는 오븐 속으로 통과시킨다. 판은 오븐속에 7분 동안 머물게 된다. 대류와 복사를 합친 열전달계수 h=120W/㎡ㆍ℃일 때 오븐에서 나오는 판 표면의 온도를 구하라.
sol)
[가정] 1. 판에서의 열전도는 1차원
2. 판의 열물성치와 열전달계수는 상수
3. Fourier 수는 τ>0.2이므로 단항해법의 사용이 가능
[물성치] 실온에서의 황동의 물성치는 (표 A-3 참조) k=110W/mㆍ℃
ρ=8530kg/㎥
=380J/kgㆍ℃
α=33.9× 10 - 6㎡/s
[해석] Heisler차트를 이용하여 구한다.
(판의 두께의 1/2) = L = 0.02m
ㆍ℃
ㆍ℃
× ㎡ ×
∞
∞
또한
∞
∞
그러므로
∞
∞
∞
∞
∞
∞
×
∞ ∞
℃
따라서 오븐에서 나올 때 표면 온도는 282℃이다.
예제4-5 긴 스테인레스 강과 원통축의 냉각
스테인레스 강304로 만들어진 지름 20cm인 긴 원통 모양의 축이 600℃의 오븐에서 나오고 있다. 축은 주위 온도 200℃이고 열전달계수 h=80W/㎡ㆍ℃
인 방에서 서서히 냉각된다. 냉각시작 45분 후 축 중심의 온도를 구하라. 또 한 이 기간 동안 축의 단위길이당 열전달을 구하라.
sol)
[가정] 1. 열전도는 1차원
2. 축의 열물성치와 열전달계수 일정 (상수)
3. Fourier 수 τ>0.2이기 때문에 단항근사해법이 유효
[물성치] 실내에서 스테인레스강 304의 물성치는 k=14.9W/mㆍ℃,
ρ=7900kg/㎥,
=477J/kgㆍ℃, α=3.95× 10 - 6㎡/s
[해석] 축의 온도는 반지름 방향과 시간에 따라 변하며, 주어진 시간 및 위치에서의 온도는
Heisler 차트를 이용하여 구할 수 있다.
축의 반지름r 0= 0.1m이다.
ㆍ℃
ㆍ℃
× ㎡ ×
∞
∞
그리고
∞ ∞ ℃
따라서 축의 중심온도는 45분 후 600℃에서 360℃로 떨어진다.
실제의 열전달량을 구하기 위해서 우선 원통에서 주위로 전달되는 최대 열량(이 경우에는 감지에너지)을 구해야 한다. L=0.1이므로
max ∞
ㆍ℃ ℃
그림 4-14c에서 긴 원통에 대한 무차원 열전달비는 다음과 같이 결정된다.
max
이므로,
max ×
따라서 45분간의 냉각기간 동안 축에서의 총열전달량은 29,360kJ이다.
4.3 반무한 고체에서의 비정상 열전도
◆반무한 고체 :
그림 4-22와 같이 모든 방향으로 무한하게 긴 이상적인 단면 판.
(이러한 이상적인 물체는 표면의 온도변화가 한 방향에 국한될 때 사용.)
◆비정상 온도분포 :
1-θ(x,t)= 1- T(x,t)- T ∞
Ti- T∞ = T(x,t)- Ti
T∞- Ti (4-21)
체 온도
표면온도
열전달계수
(해를 구하기 위해 그림 4-23 참조)
-무차원 온도, 변수x/(2 αt)에 의해 여러 가지 변수 (h αt)/k에 대한 그래프-
◆1차원 비정상 열전도의 엄밀해 :
(초기온도T로 균일한 반무한 물체가 t= 0에서 대류에 갑자기 노출)
T(x,t)- Ti
T∞- Ti =erfc( x
2 αt)- exp( hx
k + h 2αt
k2 )[erfc( x
2 αt+ h αt
k )] (4.22)
◆erfc(ξ) : 보충 오차함수 (complementary error function)
(4-23)
(표 4-3 참조)
h→∞, 표면온도Ts = 유체의 온도T∞
(4-24)예제 4-6 동파를 방지하기 위한 수도관의 최소 매설 깊이
기온이 0℃ 이하로 오랫동안 내려가 있는 지역에서는 지하에 매설된 수도 관의 동파가 문제가 된다.
어떤 지역이 3개월 동안 계속해서 -10℃의 눈으로 뒤덮여 있고 흙의 물성 치 k=0.4W/mㆍ℃, × 와 같다. 흙의 초기온도를 15℃라고 할
때 수도관이 얼지 않을 최소의 매설 깊이는 얼마인가? (동절기에 흙은 영하 의 차가운 공기에 대해 수도관의 단열재 역할을 한다.)
sol)
[가정] 1. 흑은 표면온도가 -10℃인 반무한체로 생각한다.
2. 흙의 열적물성치는 일정
[해석] 최소 매설 깊이에서 3개원 후 수도관 주위의 흙의 온도는 0℃이다.
∞ (h→∞이므로)
∞
∞
t=(90day)(24h/day)(3600s/h)=7.78× 10 6s
그래서
× × ×
따라서 도관은 겨울철 혹독한 날씨에서 얼지 않으려면 최소 77cm깊이에 매설해야 한다.
예제 4-7 가열된 블록의 표면온도 상승
20℃의 검은색 페인트가 칠해진 두꺼운 나무 블록이 1250W/㎡의 일정한 태 양열에 노출되어 있다. 20분후에 블록의 표면온도를 구하여라. 블록의 재질 이 알루미늄이라면 표면온도가 어떻게 달라질 것인가?
sol) [가정] 1. 태양복사로 입사되는 에너지는 블록에 모두 흡수됨 2. 블록의 열손실 무시
3. 반무한체로 가정할만큼 블록이 충분히 두껍고, 물성치는 상수 [해석] 일정한 표면 열유속과 온도 조건이 주어진 반무한체의 비정상
열전도에 대한 것으로, 다음과 같이 표현 할 수 있다.
주어진 값들을 수식에 대입하여 나무와 알루미늄에 대한 표면온도를 구할 수 있다.
·
× ×
알루미늄에도 똑같은 식을 적용하면
·
× ×
4.4 다차원에서의 비정상 열전도
product solution이라고 불리는 중첩 접근방법을 적절하게 사용하면, 짧은 원통, 긴 사각 막대기, 반무한 원통이나 평판에 대한 2차원 온도분포를 구할
수 있으며 사각 기둥이나 반무한 사각 막대기와 같은 3차원 문제도 해결할 수 있다. 그러나 이 경우 모든 물체 표면은 동일한 온도 T인 유체에 노출되 어야 하며, 동일한 열전달계수 h 그리고 내부 열발생이 없는 경우에는 3차원 문제도 다룰 수 있다.
초기온도 T i, 높이 a, 반지름 r 0인 짧은 원통을 생각하자. 원통 내부에서 열발생은 없다. 시간 t=0에서 원통은 온도가 T ∞이고 열전달계수가 h인 조 건으로 대류에 노출되어 있다. 원통에서 열전달은 상부, ㅏ부, 그리고 측면 표면 모두에서 발생하기 때문에 내부의 온도는 r와 시간 t뿐만 아니라 x에 대해서도 바뀔 것이다. 즉 T=T(r,x,t)가 되며 2차원 비정상열전도 문제가 된 다. 물성치가 일정할 때, 2차원 문제의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다
( T(r,x,t) - T ∞
T i- T ∞ )shor tcyl.= ( T(x,t) - T ∞
T i- T ∞ )planewall ( T(r,t) - T ∞
Ti- T ∞ )∞initecyl. (4-25) 높이 a, 반지름 r 0인 2차원 짧은 원통의 해는 두께 a인 평면 벽과 반지름
r 0인 긴 원통에 대한 각각의 1차원 문제에 대해서 얻어진 각각의 무차원 해를 서로 곱한 것과 같다는 것이다. 다차원 기하학적 형상의 해는 이들의 교차가 다차원에서 이루어지는 1차원 해를 곱함으로서 얻을 수 있다.
편의를 위해 1차원 해를 다음과 같이 나타낸다.
∞
∞
∞
∞
∞ (4-26)
i f ∞
∞
i f
예를 들어 단면적이 a×b인 긴 고체 막대기의 해는 두께가 a, b인 두 개의 무한 평판에 대한 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 이 사각 막대기의 비정상 온도분포는 다음과 같다.
∞
∞
(4-27) 표4-4에 다른 기하학적 형상에서 product solution을 구하는 방법을 나타내 었다. 여기서 주의할 점은 x축은 반무한 물체의 표면에서부터 그리고 평면벽 의 중심에서부터 택하였다. 또한 반지름방향 거리 r은 항상 중심에서 시작한
다. 또한 2차원 문제는 두 개의 1차원 해를 곱하여 구할 수 있으며, 3차원 문제는 세 개의 1차원 문제의 해를 곱하여 얻어진다.
두 개의 1차원 형상 1과 2가 서로 교차하여 생긴 2차원 형상에 대한 비정상 열전달은
max
max
max
max
(4-28)
세 개의 1차원 형상 1, 2, 3이 교차하여 생성된 3차원 형상에 대한 비정상 열전달은
max
max
max
max
max
max
max
(4-29)
예제 4-8 짧은 황동 원통의 냉각
지름 10cm, 높이 12cm 그리고 초기온도 120℃인 짧은 황동 원통이 있다.
25℃의 대기에 원통이 노출되어 있고, 이 때 열전달계수 h=60W/㎡ㆍK이다.
노출 15분 후에 다음의 온도를 계산한다. (a)원통 중심의 온도, (b)원통 상부 표면의 중심부 온도.
sol) [가정] 1. 2차원 -온도는 축방향과 반지름 방향으로 변한다.
2. 원통의 물성치와 열전달계수는 일정
3. Fourier 수(τ)>0.2 이므로 단행근사해법을 적용할 수 있다.
[물성치] 상온에서 황동의 물성치는 k=110W/mㆍ℃, α=33.9× 10 - 6㎡/s
[해석] (a) 이 짧은 원통은 그림과 같이 반지름 r 0=5cm인 긴 원통과 두께 2L=12cm인 평판으로 구성되었다. 평판 중심의 무차원 온도를 구 하면
×
㎡ㆍ℃
ㆍ℃
∞
∞
원통의 중심에서는
× ㎡
㎡ㆍ℃
ㆍ℃
∞
∞
그러므로
∞
∞
× ×
∞ ∞
℃
따라서 짧은 원통중심온도(긴 원통과 평판의 중심온도)는 63℃이다.
(b) 원통 상부의 중심은 긴 원통의 중심과 동일하지만(r=0), 평판의 외 부표면이 되기도 한다(x=L). 따라서 우선 벽의 표면 온도를 구하면
x=L=0.06 이므로
ㆍ℃
ㆍ℃
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
×
∞
∞
×
∞ ∞
℃
따라서 원형 상부 중심에서의 온도는 62.2℃이다.
예제 4-9 짧은 원통에서의 열전달
앞에 예제 4-8에서 다뤘던 짧은 황동 원통(ρ=8530kg/㎥, C p =0.380kJ/kg ㆍ℃)에 대하여 총열전달량을 구하라.
sol) 원통으로부터 주위로 전달되는 최대 열전달을 구하면
max ∞ ℃ ℃ 모든 형상에 대하여 무차원 열전달비를 구하여라. 먼저 평판에 대해서는
max
i f
이와 유사하게, 원통에 대해서 계산하면
max
i f
식 4-28로부터 짧은 원통의 열전달비를 구하면
max
max
max
max
= 0.23+0.47(1-0.23)=0.592
처음 15분 동안 원통으로부터의 총 열전달량은 171.8kJ이다.
max ×
예제 4-10 물에 위한 긴 원통의 냉각
지름 20cm, 초기온도가 균일하게 200℃인 반무한 알루미늄 원통이 있다. 원 통을 15℃ 물 속에 집어넣었으며 이 때 열전달계수 h=120W/㎡ㆍ℃이다. 냉 각이 시작된 5분 후, 끝에서 15cm 떨어진 원통 중심의 온도를 구하라.
sol) [가정] 1. 2차원: x축 방향과 반지름 r방향 2. 물성치, 열전달계수 일정 3. Fourier 수 τ>0.2이므로 단항 근사해 적용.
[물성치] 알루미늄의 물성치는 k=237W/mㆍ℃, α=9.71× 10 - 6㎡/s [해석] 무한히 긴 원통의 Bi수는
℃
㎡ㆍ℃
표 4-2로부터 λ 1= 0.3126, A1= 1.0124 가 된다. 이 값을 4-27에 대입하면
이 경우 Fourier 수는
× ㎡ ×
τ>0.2보다 크므로 단항해를 사용하여 반무한체의 해를 구하면
i f
exp
괄호 안의 값들을 산출하면
× ㎡ ×
℃
㎡ㆍ℃ ×
㎡
ㆍ℃
㎡ㆍ℃
위의 값을 대입하여 표 4-4 보충 오차 함수를 구하면
∞ = 1-erfc(0.44)+exp(0.0759+0.0074)erfc(0.44+0.086)
= 1-0.5338+exp(0.0833)×0.457
= 0.963 product solution을 적용하면
∞
∞
∞
∞
×
T(x,0,t) = T ∞+0.734( Ti- T ∞)=15+0.734(200-15)=151℃
따라서 노출된 밑면에서 15cm 상부면의 중심온도는 151℃이다.
예제 4-11 얼지 않게 스테이크를 냉각하기
육류가공 공장에서 5 ℉로 유지되는 커다란 냉장실에서 초기온도 75℉인 1 인치 두께의 스테이크를 냉각시키고 있다. 스테이크들은 서로 가까이 놓여 있기 때문에 1인치 두께의 모서리 영향은 없는 것으로 간주한다. 스테이크는 45℉까지 냉각하려고 하고 있지만 고기부위에 얼음이 맺히는 것을 방지하기 위하여 어느 부분이든 온도는 35℉이상이 되어야 한다. 대류열전달계수, 다 시말해 열전달률은 냉동실에 장치된 공기순환 홴의 속도를 변화시켜 조정한 다. 냉동시간을 최소화하면서 앞에서 말한 두 가지 온도조건을 만족시키는 열전달계수 h는 얼마인가?
스테이크는 ρ=74.9lbm/ft3, C p=0.98Btu/lbmㆍ℉, k=0.26Btu/hㆍftㆍ℉, α
=0.0035ft2/h 인 물성치를 갖는 균일체로 생각할 수 있다.
sol) [가정] 1. 1차원 열전도도 2. 스테이크의 물성치와 열전달계수는 일정 3. fourier 수 τ>0.2이기 때문에 단항해를 사용한다.
[해석] 스테이크는 표면의 온도가 가장 낮을 것이며, 중심의 온도는 냉 각에 시간이 걸리므로 가장 높을 것이다. 주변부 온도 –15℃인 냉동기 내에서 중심으로 떨어진x=L=1.5cm인 표면의 온도 2℃ , 스테이크 중심 부의 온도는 8℃를 유지해야 한다.
∈
∞
∞
ㆍ℃
ㆍ℃
따라서 구하고자 하는 열전달계수는 h=20W/㎡·℃이다.
예제 4-12 육류 가공 공장에서의 쇠고기 냉각
육가공 공장의 냉각실 크기는 × × 이고 450마리의 쇠고기를 처 리할 수 있다. 냉각실의 팬과 전등에 소요되는 전력은 각각 26kW, 3kW이고 방의 벽면으로 들어오는 열은 13kW이다. 쇠고기의 평균 질량은 285kg이다.
증발냉각을 위해 물에 씻은 직후 냉각실에 입고되는 쇠고기의 평균온도는 36℃이고 10시간 동안 15℃까지 냉각된다. 물의 증발률은 0.080kg/s이다. 공 기는 냉장시스템에 0.7℃로 유입되어 –2℃로 유출된다. 증발기의 공기 쪽
부분은 많은 팬이 장착되었으며 증발기 공기 쪽의 열전달계수는 20W/㎡·K 이다. 또한 공기와 증발기 냉매와의 평균 온도차는 5.5℃이다. (a) 냉각실의 냉장부하, (b) 공기의 체적유동률, (c) 증발기의 모든 증기와 안개는 언다고 생각하고, 공기쪽 증발기의 열전달면적을 구하라.
sol) [가정] 1. 물은 0.080kg/s 속도로 증발 2. 공기중의 모든 습기는 증발기 에서 얼게된다.
[물성치] 0℃물의 응고열과 증발열은 각각 333.7kJ/kg과 2501kJ/kg(표 A-9), 0℃에서의 공기의 밀도와 비열은 1.292kg/㎥, 1.006kJ/kg·K(표 A-15), 쇠고기의 비열은 표 A-7b의 관계로부터
×
× ·
[해석]
(a) 냉각실 구조가 그림4-56에 제시되어있다. 단위 시간당 냉각해야 할
쇠고기의 질량은
×
냉장부하는 쇠고기를 3.56 kg/s의 속도로 36℃에서 15℃로 냉각하는 데 필요한 에너지라고 생각할 수 있다.
· ℃
냉각실의 총 냉장부하는
각실
따라서 냉각실의 냉장부하는 277kW이다
물의 증발냉각에 의한 소고기의 양은
200/235=85이므로, 총 생산 냉각부하의 85%를 차지한다. 나머지 15%의 열은 대류와 복사에 의한 것이다.
(b) 277kW만큼의 열이 공기로 전달되고, 이로 인해 공기 온도는 –2℃
에서 0.7℃로 상승한다. 그러므로 공기의 질량유량은
· ℃
이때 공기의 체적유량은
따라서 공기의 체적유동률은 78.9㎥/s 이다.
(c) 액체 상태로 증발기에 주입되는 물이 –2℃로 냉각되며 얼기 때문 에, 증발기에서는 응고 잠열도 함께 제거해야 한다. 응고잠열은
증발기에서 제거하는 총 열전달은
냉각실
이때 공기쪽 측면에서 증발기의 열전달 면적은 이므로
·℃
따라서 공기 쪽 측면에서의 열전달 면적은 2764㎡이다.
