기하광학

기하광학

 빛에 대한 연구는 다음의 세 영역으로 분류한다.

• 기하광학

• 파동광학

• 양자광학

 31장: 빛을 전자기파로 배웠으며,

 34장: 빛의 파동성을 배울 것이다.

 이번 장에서는 빛을 광선으로 특징짓는 기하광학을 배운다.

 양자광학에서는 빛을 양자화된 입자, 즉 빛의 에너지가 국소화된 점입자인 광자로 다룬다.

구면파

 전자기파는 파원에서 구형으로 퍼져나간다.

 아래 그림의 노란색 동심원들은 전구에서 방출되는 빛의 구형 파면이 퍼져나가는 모습을 보여 준다.

 검은색 화살표는 공간의 모든 곳에서 파면과 수직한 광선을 표시하며, 빛이 진행하는 방향으로 향한다.

 물결모양의 빨간색 선은 진동하는 전기장을 나타낸다.

평면파

 광원으로부터 멀리 떨어진 빛은 파면이 직선으로 진행하는 평면파로 생각할 수 있다

 이와 같이 진행하는 평면파는 파면에 수직하고 진행방향에 평행한 벡터 또는 벡터들로 나타낼 수 있다.

 이 장에서는 빛을 균질한 매질에서 직선으로 진행하는 광선으로 다룬다.

 빛을 광선으로 간주하면 광범위한

실제 문제들을 간단한 기학학적 작도로 풀이할 수 있다.

 이 장에서는 더 이상 빛의 구조에 대해서 논의하지 않는다.

반사와 평면거울 (1)

 거울은 빛을 반사시키는 표면이다.

 평면거울은 평평한 거울이다.

 평면거울의 반사에서는 거울표면에 입사한 광선에 대한 반사법칙이 있다.

 즉, 입사각

 _i

 _r

반사와 평면거울 (2)

 두 각도는 항상 거울표면의 수직선으로부터 측정한다. 특히 입사광선, 수직선, 반사광선 모두 한 평면위에 있다

평면거울 입사광선

거울표면의 수직선 반사광선

r i

  

반사와 평면거울 (3)

 평면거울에 입사한 평행광선이 반사될 때

반사광선 또한 평행하다. 왜냐하면 표면의 모든 수직선은 다른 수직선들과 평행하기 때문이다.

 평면거울에서 반사된 빛에 의해 영상이 형성된다.

 예를 들어 평면거울 앞에 서면 거울 뒤쪽에 형성된 영상을 볼 수 있다.

 눈에 들어오는 빛은 방향의 변화 없이 오직

직진한다고 가정하는 뇌의 인식작용 때문이다.

 눈에 보이는 장소에 실제 물체가 없는 경우의 영상을 허상이라고 부른다.

 이러한 본성 때문에 허상은

거울 영상

 평면거울이 만든 영상은 좌우가 반대로 보인다. 거울표면에

입사한 광선이 수직선에 대해 반대방향으로 반사되기 때문이다.

 좌우가 반대로 보이는 영상을 거울영상이라 한다.

 수직방향은 올바로 보인다.

 두 광선만으로 영상을 형성할 수 있다.

 거울 영상

• 바로 선 (거꾸로 뒤집어지지 않은)

• 허상 (거울 표면의 뒤쪽에 생긴 영상)

 사람과 거울까지의 거리를 물체거리

d _o

영상까지의 거리를 영상거리

d _i

d _o

d _i

d _o d _i

거울 영상: 좌우?

 이번에도 두 광선으로 영상을 작도하지만

• 다른 모든 광선 또한 같은 방식으로 진행한다.

 왼쪽 그림의 사람은 오른손에 시계를 차고 있지만, 거울 속

자신은 왼손에 시계를 차고 있다. (좌우 반전이 아니다)

 영상이 반대방향을 향하고 있다.

 영상은 앞뒤가 바뀐 것이다!

보기문제 32.1: 전신거울 (1)

문제

:

전신거울의 최소 길이는 얼마인가? 답

:

 그림처럼 꼭대기에서 8cm 아래에 눈이 달인 184cm 막대를 생각해 보자.

보기문제 32.1: 전신거울 (2)

 거울의 아랫부분과 바닥까지의 거리…

• (184 cm – 8cm)/2 = 88 cm

• 입사각과 반사각이 같아서 사람이 자신의 발바닥을 보는 거울 면의 한 점은 눈과 발바닥 사이 거리의 반이다.

 마찬가지로 사람의 머리 끝에서 눈까지의 거리…

• (8 cm)/2 = 4 cm

 따라서 전신거울의 최소 크기는 …

• 184 cm – 88 cm – 4 cm = 92 cm

 이 크기는 정확히 키의 반이다. 결국 사람 키의 절반 크기인 거울로 한 번에 전신을

곡면거울

 빛이 곡면거울의 표면에서 반사될 때 광선은 표면의 각 점에서 반사법칙을 따른다.

 그러나 평면거울과는 달리 곡면거울의 표면은 평평하지 않다.

 반사되기 전 평행한 광선들은 반사법칙에 따라 각기 다른 방향으로 반사된다.

 거울의 오목 또는 볼록에 따라 광선은 수렴하거나 발산한다. 예:

반사면이 구의 내부 표면인 구면거울

• 반사면이 오목하므로 반사광선이 수렴한다.

• 자동차 전조등,

• 망원경, …

Soar Telescope

오목거울 (1)

 구면을 2차원 원호로 생각한다.

 거울의 광축은 수평단선으로 표시되어 있고, 구의 중심 C 를 지난다.

 광축에 평행한 광선이 거울표면으로 입사한다고 가정하자.

 반사법칙은 광선이 거울표면에 도달한 점에서 적용된다.

•





 반사점의 수직선인 점선은 그림처럼 구의 중심 C 를 지난다.

오목거울 (2)

 여러 수평광선이 구면거울로 입사한다고 하자

 각각의 광선은 반사법칙을 따르기 때문에 점 C와 거울의 중간에서 광축과 교차하게 된다.

 교차점 F를 초점이라고 부른다.

 초점 F는 구의 중심 C와 거울 표면 사이의 중간지점에 있다.

 점 C는 구의 중심에 위치하므로 거울표면과 점 C 사이의 거리는 거울의 반지름 R과 같다.

 오목거울, 즉 수렴거울의 초점거리 f ^는 다음과 같다.

 실제로 평행광선들이 초점에 모인다.

2

f  R

오목거울의 영상 (1)

수렴거울이 만드는 실제 영상을 작도해 보자

.

 d₀>f : 높이 h₀의 물체가 거울로부터 d₀ ^{떨어진 위치에 있다}.

 물체가 서있는 위치, 높이, 방향을 화살표 하나로 표시한다.

 화살표의 꼬리는 광축에 닿아있고 머리는 위쪽을 향한다.

 다음의 네 광선으로 영상이 형성되는 위치를 결정할 수 있다.

• 첫 번째 광선은 화살표 꼬리에서 나와 광축을 따라 진행한다.

• 이 광선은 단지 영상의 꼬리가 광축에 있다는 것만 알려준다.

• 보통은 표시하지 않는다.

• 두 번째 광선은 화살표 머리에서 나와 광축에 평행하게 진행한 후 거울의 초점으로 반사된다.

• 세 번째 광선은 화살표 머리에서 나와 구의 중심점 C를 지난 후 거울에 반사되어 되돌아간다.

• 나중의 세 광선은 물체 끝의 영상에서 교차한다

오목거울의 영상 (2)



d _o  2 f

수렴거울의 광축을 그린다

초점과 거울의

반지름을 표시한다. 물체를 광축 위에 놓는다.

물체높이 h_o 물체거리 d_o

구의 중심을 지나는 첫 번째 광선은 반사되어 되돌아온다.

광축에 평행한 두 번째 광선은

초점으로 반사된다.

두 광선의

교차점에서 영상이 형성된다.

영상높이

h

영상거리 d_i

오목거울의 영상 (3)

 다음의 경우에 실상이 형성된다.

• 물체와 영상이 거울의 같은 편에 있다.

• 거울 뒤편이 아니다.

 영상높이 h

_i

_i

_o,

_o

 영상은 거꾸로 서고 물체의 실제 크기보다 작다.

 실상의 경우 영상위치에 스크린을 놓으면 선명한 영상이 투영되는 것을 볼 수 있다.

 허상의 경우 실제 광선이 영상까지 도달하는 것이 아니므로 영상위치의 스크린에 광선이 도달하지 않는다.

오목거울, d _o < f : (1)

C F

 이제 d

_o

 물체는 광축에 서 있고, 다음의 세 광선으로 영상이 형성되는 위치를 결정할 수 있다.

• 첫 번째 광선은 영상의 꼬리가 광축에 있다는 것만 나타내므로 보통은 표시하지 않는다.

• 두 번째 광선은 물체의 머리에서 나와 반지름을 따라 진행하다가 거울에 반사되어 제자리로 되돌아간 후에 거울의 중심을 지나간다.

• 세 번째 광선은 물체의 머리에서 나와 광축과 평행하게 진행하다가 초점으로 반사된다.

• 그림에서 반사광선은 명백히 발산한다.

오목거울, d _o < f : (2)

 영상의 위치를 결정하려면 거울의 반대편으로 반사광선들의 연장선을 그려야 한다.

 두 연장선은 거울표면에서 d

_i

_i

C F

거울방정식

 거울에 대하여 물체 쪽의 모든 거리는 양수로 정의하고, 거울 반대편의 모든 거리는 음수로 정의한다.

• 오목거울에서 f 와 d_o 는 양수이다.

 실상이면 d

_i

 영상이 똑바로 서 있으면 h

_i

 거울방정식은 물체거리

d _o

d _i

f

 거울의 배율 m 은 다음과 같이 정의한다.

1 1 1

o i

d d f

 

i i

d h

m   

October 21, 2012 University Physics, Chapter 32 20

수렴거울 영상의 특징

구분 종류 방향 배율



d

 f



d  f

f  d

 2 f

d

 2 f

d

 2 f

거울방정식과 오목거울

두 오목거울과 돼지 영상



볼록거울 (1)

 구의 바깥쪽 표면이 반사면인 구면거울을 고려해 보자.

 즉, 반사광선이 발산하는 볼록거울이다.

 거울의 광축은 구의 중심을 지나가는 수평단선이다.

 광축에 수평한 광선들이 거울표면에 입사한다고 하자.

 광선은 거울표면 모든 점에서 반사법칙을 따른다.

 _i

 _r

 예: 자동차 사이드미러

 수렴거울과는 달리 거울표면의 수직선은 구의 중심 C에서 나가는 방향이다.

 다시 말해서 표면의 수직선들을 연장하면 구의 중심에서 광축과 만난다.

 반사광선을 보면 마치 구의 내부에서 나오는 것처럼 보인다.

볼록거울 (2)

볼록거울 (3)

 구면거울에 그림처럼 많은

수평광선들이 입사한다고 하자

 각각의 광선은 반사법칙을 따른다.

 반사광선이 발산하므로 어떤 영상도 만들지 않을 것처럼 보인다.

 그러나 반사광선들을 구의 표면 안쪽으로 연장해서 그리면, 모든

연장선이 광축과 한 점에서 만난다.

 이 점이 발산거울의 초점이다.

 옆의 실제 사진에서 5개의

평행광선이 발산거울로 입사한다.

 빨간색 화살표를 덧그린 반사광선의 연장선이 초점에서 교차한다.

볼록거울의 영상 (1)

 이제 발산거울이 만드는 영상을 작도해 보자.

d _o

 역시 다음의 세 광선을 사용한다.

• 첫 번째 광선은 광축위에 있는 화살표 꼬리부터 시작되는데 보통은 그리지 않는다.

• 두 번째 광선은 물체의 머리에서

출발하여 광축과 평행하게 진행하다가 거울표면에서 반사된다. 반사광선의 연장선이 거울표면에서 초점거리만큼 떨어진 점에서 광축과 교차한다.

• 세 번째 광선은 물체의 머리에서

볼록거울의 영상 (2)

 반사광선은 발산하지만 거울표면의 안쪽으로 향하는 연장선은 거울표면에 대해서 물체의 반대편 거리 d

_i

 광축 위 h

_i

 실제의 광선들이 영상의 위치까지 도달하지 못하므로 허상이다.

 모든 발산거울은 똑바로 선, 축소된, 허상을 형성한다.

 발산거울에서 초점거리 f 는 음수이다. 왜냐하면 거울의 초점이 물체의 반대편에 있기 때문이다.

 물체거리 d

_o

 볼록거울은 넓은 시야를 확보할 수 있으므로 상점 내부의 감시용이나 차량의 사이드미러 등으로 이용된다.

볼록거울의 영상 (3)

 거울방정식을 재정리하면 …

⇒

 d

_o

f

d _i

 그리고 배율 m=- d

_i

_o

 볼록거울에 대한 모든 작도에서 영상의 크기가 물체보다 축소되어 있다.

 따라서 발산거울은 항상 똑바로 선, 축소된 허상을 만든다.

o i

o

d f d

d f

 

1 1 1

o i

d d f

 

구면수차

 구면거울에서 유도한 식은 광축에 가까운 광선들에만 적용이 가능하다.

 광축과 멀리 떨어진 광선들은 정확히 거울의 초점에 모이지 않기 때문에 일그러진 영상이 형성된다.

 엄격히 말하면 구면거울의 경우 정밀한 초점은 없다.

 이 조건을 구면수차라고 부른다.

 광축에 보다 멀리 떨어진 광선들은 거울에서 반사된 후 광축과 교차하는 점이 광축에 가까운 광선들보다

거울표면 쪽으로 더 가까워진다.

 광축에 가까운 광선일수록 반사 후 광축과 교차하는 점이 초점에 더 가까워진다.

포물면거울

 포물면거울은 광축에 평행하게 입사한 모든 광선을 초점으로 반사시킨다.

 따라서 포물면거울 전체로 구면수차 없이 빛을 모으거나 영상을 만들 수 있다.

 그림에서 수평광선들이 포물면거울에 입사하고 있다.

 모든 광선은 반사되어 포물면거울의 초점을 지나간다.

 포물면거울은 구면거울보다 제작하기가 어렵기 때문에 더 비싸다.

 대부분의 대형 반사망원경은 구면수차를 피하기 위하여 포물면거울을 사용한다.

굴절 (1)

 빛은 광학적으로 다른 투명한 물질을 지날 때 속력이 달라진다.

 물질 속 빛의 속력과 진공 속 광속의 비율을 물질의 굴절률이라고 부른다.

 굴절률 n 은 다음과 같이 정의한다.

n c

v



Material Index of Refraction

Air 1.00029

Water 1.333

Ice 1.310

Ethyl alcohol 1.362 Quartz glass 1.459

Linseed oil 1.486

Typical glass 1.5

Typical oil 1.5

Diamond 2.417

여기서 c는 진공에서

광속이고 v는 매질에서 빛의 속력이다.

 따라서 굴절률은 언제나 1보다 크거나 같아야 하고, 정의에 따라 진공의 굴절률은

굴절 (2)

 빛이 투명한 매질의 경계면을 지날 때, 일부는 반사되지만 일부는 경계면을

지나 다른 물질로 들어가면서 굴절된다.

 굴절이란 광선이 물질 사이의 경계면을 지날 때 직선으로 진행하지 못하고

방향이 바뀌는 것을 뜻한다.

 빛이 굴절률(n₁)이 낮은 매질로부터 굴절률(n₂)이 높은 매질로 진행할 때, 광선의 방향이 변해서 경계면의 수직선 쪽으로 꺾인다.

 광선의 방향이 수직선 쪽으로 꺾이는 것은 굴절각이 입사각보다 작다는 뜻이다.

굴절 (3)

 빛이 굴절률 n₁ 이 높은 매질로부터 굴절률 n₂ 이 낮은 매질로 진행할 때는 광선의 방향이 경계면의 수직선에서 멀어지는 쪽으로 꺾인다.

 광선의 방향이 수직선에서 멀어지는 쪽으로 꺾이는 것은 굴절각이

입사각보다 크다는 뜻이다.





굴절법칙

 굴절법칙은 다음과 같이 표기한다.

여기서 n₁ 과





 굴절법칙을 스넬의 법칙이라고도 부른다.

 이 법칙은 기하광학만으로는 증명할 수 없다. 파동광학을 사용하여 유도해야 한다.

 공기의 굴절률은 거의 1에 가까우므로 대개는 1로 가정한다.

 빛이 공기로부터 여러 매질들로 입사하는 경우가 일반적이므로, 굴절률이 n_매질 인 물질의 표면으로 입사하는 빛의 굴절에 관한 공식으로 표기하면 다음과 같다.





1

s in

s in

n   n 

내부전반사 (1)

 빛이 높은 굴절률 n₁ 의 광학매질에서 낮은 굴절률 n₂ (n₁ > n₂)의 다른 광학매질로 입사한다고 가정하자.

 이 경우 빛은 수직선에서 멀어지는 쪽으로 꺾이게 된다.

 입사각





g

 굴절각이



 즉, 입사한 모든 광선이 전부 내부로 반사된다.





 내부전반사가 일어나는 임계각

 _c

 … 다음과 같다.

 위 식에서 알 수 있듯이, 내부전반사는 빛이 굴절률이 높은 매질에서 굴절률이 낮은 매질로 진행할 때만 일어난다. 왜냐하면 사인 값이 1보다 클 수 없기 때문이다.

 입사각이 임계각

 _c

내부전반사 (2)

2 1

1 2

s i n s i n

s i n s i n 9 0 n

n





  



2

2 1

1

s i n

n ( )

n n

n

  

광섬유 (1)

 두 번째 매질이 공기라면 n₂ =1이므로 굴절률 n 의 매질에서 공기로 진행하는 빛에 대한 임계각은 다음과 같다.

 내부전반사의 중요한 응용은 광섬유를 통한 빛의 전송이다.

 광섬유 안으로 빛이 들어갈 때 광섬유의 중심부 표면에 대한 입사각이 내부전반사의 임계각보다 크면,

 빛은 광섬유 안쪽에서 반복적으로

내부전반사 되어 길이방향으로 전송된다.

 광섬유는 광원에서 목적지까지 손실 없이 빛을 전송하는데 사용할 수 있다.

 광섬유 다발에서 빛이 전송되어 나온다.

s i n

1

n

 

광섬유 (2)

 광섬유들의 다른 쪽 끝은 광원에 연결되어 있다.

 광섬유가 직선이 아니더라도 빛을 전송할 수 있다는 점에 유의해라. 비록 광섬유가 구부러져 있더라도, 곡률반지름이 너무 작아져서 광섬유 안에서 전송되고 있는 빛의 입사각이

임계각보다 작아지지만 않는다면, 내부로 들어온 빛은 광섬유를 따라서 계속 진행한다.

 디지털 통신에 사용되는 광섬유는 유리중심부와 주위를 감싼 껍질부로 구성되어 있다. 껍질부는 중심부의 유리보다 굴절률이 낮은 유리로 만든다. 껍질부의 바깥쪽은 파손을 방지하기

위하여 덮개가 입혀져 있다

색분산 (1)

 광학매질의 굴절률은 매질을 진행하는 빛의 파장에 의존한다.

 굴절률의 파장 의존성 때문에 다른 색깔의 빛들이 두 광학매질의 경계면에서 서로 다르게 굴절된다.

 이 효과를 색분산이라고 부른다.

 일반적으로 주어진 광학매질의 굴절률은 긴 파장보다 짧은 파장에서 더 높다. 따라서 푸른색 광선이 빨간색 광선보다 더 많이 굴절된다.

 그림에서

 _r

 _b

색분산 (2)

 백색광은 모든 파장의

가시광선이 중첩되어 있다.

 백색광이 유리프리즘으로 입사하면, 각 파장의 빛이

다른 각도로 굴절하기 때문에 여러 색깔의 가시광선으로 분리된다.

 무지개에서 알 수 있듯이 백색광의 파장이

연속적이지만 그림은 빨간색, 초록색, 푸른색의 세

굴절광선만 보여 준다.

색분산: 물방울

 태양이 등 뒤에 있고 공기 중에 물방울이 떠있으면 무지개를 볼 수 있다.

 태양에서 온 백색광이 물방울에

입사하면 표면에서 굴절되어 물방울 안의 반대편 표면으로 진행한다.

 이곳에서 내부전반사되어 물방울의 다른 쪽 표면으로 진행하여 물방울을 빠져나가면서 다시 굴절된다.

 두 번의 굴절에서 각 파장마다 굴절률이 다르다.

 물에서 초록색 광선의 굴절률은 1.333, 푸른색 광선의 굴절률은 1.337, 빨간색 광선의 굴절률은 1.331이다.

 모든 색깔의 빛에 대하여 굴절률은 연속적으로 변한다.

 무지개 원호는 태양광의 수평방향에 대해 평균 42^o 를 이룬다.

색분산: 무지개

 전형적인 무지개의 모습이다.

 무지개 아래쪽에 푸른빛이 보이고 위쪽에 빨간빛이 보인다.

 무지개의 또 다른 특징은 무지개 사진에 잘 나와 있다.

 즉, 무지개의 안쪽이 바깥쪽 부분보다 밝다.

 이 현상은 물방울 안에서 굴절-반사- 굴절되는 광선들의 경로를 보면

이해할 수 있다.

색분산: 무지개 밝기

 그림에서 굴절-반사-굴절된 광선들은 대부분 42^o 보다 작은 각도로 관측자에게 도달한다.

 42^o 보다 작은 각도에서는 대부분의 광선이 굴절과 반사로 관측자에게 도달한다.

 이 경우에는 한 광선에 다른 광선이 겹쳐져서 다시 백색광이 되기 때문에 파장별로 분리되지 않는다.

 더 큰 각도에서는 이러한 경로로 빛이 관측자에게 전달되지 않으므로 무지개 바깥쪽 영역의 빛은 적다.

 그래도 다른 요인들에 의한 빛의 산란 때문에 약간의 빛은 볼 수 있다.

밝다 어둡다

무지개 보기