Chapter 2 열전도방정식
본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고 하였습니다.
참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)" , 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011
<학습목표>
1. 다차원성 및 시간에 의존하는 열전달 문제 및 열전달 문제를 1차원화할 수 있는 조건에 대해 이해한다.
2. 각종 좌표계 하에서의 열전도 미분방정식을 구한 후, 1차원 정상상태 방정식으로 단순화하는 과정을 이해한다.
3. 표면에서의 열조건에 대한 이해와 이를 경계 및 초기 조건의 항으로 수 학적으로 표현하는 방법을 찾는다.
4. 1차원 열전도 문제 해법과 매체와 열유속에서의 온도분포를 구한다.
5. 열원을 갖는 고체의 1차원 열전도를 해석한다.
6. 온도의 함수인 열전도도를 갖는 고체의 열전도를 해석한다.
2.1 서 론
열전달은 크기와 방향을 가짐.
(a)직각좌표계 (b)원통좌표계 (c)구좌표계
< 정상상태 대 비정상상태 열전달 >
정상상태: 매개물내의 어떤 점에 대해서 시간에 따른 변화가 없음 비정상상태: 시간에 따라 변하는 시간종속을 의미
< 다차원 열전달 >
Fourier의 열전도 법칙(1차원) :
(k: 열전도도 dT/dx: T-x선도에서 기울기를 나타내는 온도구배)
Fourier의 열전도 법칙(3차원) :
직각좌표에서
등방성 : 모든 방향에서 물성치 같음
이방성 : 방향에 따라 물성치 변함
< 열발생 >
열발생 : 전기, 핵 또는 화학적 에너지가 열에너지로 변환하는 과정 (=열에너지) 열발생률 : 단위체적당 값, 으로 표시 (단위가 )
체적 의 매체의 총 열발생률
2.2 1차원 열전도 방정식
< 대형 평면벽에서의 열전도 >
(x에서 열전도율) - ((x+Δx)에서 열전도율) + (요소의 열발생률) = (요소의 에너지 변화율) 또는
Q
. x -Q
. x+ Δx +G
. element =Δ
E
element Δt
Q
. x -Q
. x+ Δx +g
. AΔX = ρCAΔxT
t- Δt-T
t Δt
가변 열전도도: ∂
∂
x
(k
∂T
∂
x
)+ .g
= ρC
∂T
∂
t
일정 열전도도: ∂2
T
∂2
x
+g
.k
= ∂T
α∂t
(1)정상상태: ∂2
T
∂2
x
+g
.k
= 0(2)비정상상태 열발생이 없는 경우: ∂2
T
∂2
x
= ∂T
α∂t
(3)정상상태 열발생이 없는 경우: ∂2T
∂2
x
= 0< 긴 원통에서 열전도 방정식 >
(r에서 열전도율)-(r+Δr에서 열전도율)+(요소 내부의 열발생율)=(요소내부의 에너지 변화율)
Q
. r -Q
. r+ Δr +G
. element =Δ
E
element Δt
Q
. r -Q
. r+ Δr +g
. AΔr = ρCAΔrT
t- Δt-T
t Δt
가변 열전도도: ∂2
T
∂2
x
+ ∂2
T
∂2
y
+ ∂2
T
∂2
z
+g
.k
= ∂T
α∂t
일정 열전도도: 1
r
∂∂r
(r
∂T
∂
r
)+.
g
k
= 1α ∂T
∂
t
(1)정상상태: 1r
∂∂r
(rk
∂T
∂
r
)+ .g
= 0 (2)비정상상태, 열발생이 없는 경우 : 1r
∂∂r
(r
∂T
∂
r
) = 1α ∂T
∂
t
(3)정상상태, 열발생이 없는 경우: 1r
∂∂r
(r
∂T
∂
r
) =0< 구에서의 열전도 방정식 >
가변 열전도도: 1
r
2 ∂∂r
(r
2k
∂T
∂
r
)+ .g
= ρc
∂T
∂
t
일정 열전도도: 1
r
2 ∂∂r
(r
2 ∂T
∂
r
)+.
g
k
= 1α ∂T
∂
t
(1)정상상태: 1
r
2 ∂∂r
(r
2 ∂T
∂
r
)+g
.k
= 0 (2)비정상상태, 열발생이 없는 경우: 1r
2 ∂∂r
(r
2 ∂T
∂
r
) = 1α ∂T
∂
t
(3)정상상태, 열발생이 없는 경우: 1r
2 ∂∂r
(r
2 ∂T
∂
r
) =0⋇복합 1차원 열전도 방정식
평면벽, 원통 및 구에서 각각의 1차원 비정상 열전도 방정식 1
r
n ∂∂r
(r
nk
∂T
∂
r
)+ .g
= ρc
∂T
∂
t
여기서 평면벽의 경우 n=0, 원통은 n=1, 구는 n=2 평면벽의 경우 변수를 r대신 x로 대치함.
(이식은 정상상태 또는 열발생이 없는 경우에 단순화 될 수 있음.)
예제 2-3 전열기의 열전도.
열전도도 k=15W/m℃, 지름 D=0.4cm,길이 L=50cm인 2kW 전열기가 그림 2-27과 같이 물속 에 잠겨서 물을 끓이는데 사용된다. 전열선의 온도에 따른 열전도도의 변화는 무시하고 정상작동 중에 저항선의 온도 변화를 나타내는 미분방정식을 구하라.
sol) .
G
= ⌠⌡vg
. dv.
g
=G
.V
=G
.( π
D
2/4)L
= 2000W
[π (0.004
m
)2/4](0.5m
) =0.318* 10 9W/m
3열전도도는 일정하고 전선의 온도변화를 지배하는 미분방정식은 아래와 같다.
1
r
∂∂r
(r k
∂T
∂
r
)+ .g
= 02.3 일반적인 열전도방정식
< 직각좌표계 >
길이 ∆ , 폭 ∆ , 높이 ∆ 인 직육면체
∆ 동안 이 직육면체에 대한 에너지 균형
∆ ∆ ∆
∆
∆
(2-1)
직육면체의 체적은 ∆∆∆ 이고, 직육면체의 에너지 변화와 열발생률은 다음과 같이 표현된다.
∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆
∆∆∆
위의 두식을 (2-1)식에 대입하면, 다음 식을 얻는다.
∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆∆∆
∆
∆
이 식을 ∆∆∆ 로 나누면 다음 식이 된다.
∆∆
∆
∆
∆∆
∆
∆
± ∆∆
∆
∆
∆
∆
방향에서 전도된 열전달 면적은 각각 ∆∆ ∆∆ ∆∆ 이
고 ∆∆ ∆ 그리고 ∆→ 의 극한을 취하면 다음과 같다.
위 식은 직각 좌표계에서의 일반적인 열전도방정식이다.
일정 열전도도인 경우, 특정 조건하에서는 다음과 같다.
(1) Steady–state:
(2) Transient, no heat generation:
(3) Steady-state, no heat generation:
< 원통좌표계 >
직각좌표계에서와 같은 방법으로 식을 유도하면 다음 식을 얻을 수 있다.
일정 열전도도인 경우, 특정 조건하에서는 다음과 같다.
(1) Steady–state:
(2) Transient, no heat generation:
(3) Steady-state, no heat generation:
< 구좌표계 >
앞에서 한 방법으로 그대로 유도를 하면 다음과 같은 식을 얻는다.
일정 열전도도인 경우, 특정 조건하에서는 다음과 같다.
(1) Steady–state:
(2) Transient, no heat generation:
(3) Steady-state, no heat generation:
예제2-5 공기중에서 뜨거운 금속구의 냉각
반지름 R인 금속구는 오븐에서 600℉의 온도로 가열된다. 그런 다음 오븐에서 꺼내 T=7 5℉의 공기중에서 대류와 복사에 의해 냉각된다. 금속구의 열전도도는 온도에 따라 선형적 으로 변한다. 금속구는 바깥표면으로부터 균일하게 냉각된다고 가정하고 냉각기간 중 금속 구의 온도 변화를 나타내는 미분방적식을 구하라.
풀이 ) 열전도도는 변하고 구의 열발생은 없다. 그러므로 구 내부의 온도 변화를 지배하는 미분
방정식은 아래와 같다.
2.4 경계조건과 초기조건
경계에서 열적조건의 수학적 표현을 경계조건이라 함.
또한 열전달 문제를 완전히 기술하기 위해서 두개의 경계조건은 반드시 열전달이 일어 나는 각 방향으로 주어져야 함.
시간 t=0일 때의 주어지는 조건을 초기조건이라 하며, 이는 초기일 때 매체 온도분포에 대한 수학적 표현임.
실제로 주어진 온도, 열유속, 내류 및 복사등이 흔히 접하게 되는 경 계조건.
직각 좌표계의 경우 초기 조건은 T(x,y,z,0) = f(x,y,z) 여기서 함수 f(x,y,z)는 t=0 일 때 매체의 온도 분포
1 주어진 온도 경계조건
두께 L의 평면벽을 통한 1차원 열전달의 경우 T(0 , t) = T
1T(L , t) = T
2( 제 1경계조건)
T
1,T
2는 각각 x=0, x=L에서의 표면온도.
주어진 온도는 정상 열전도인 경우에는 일정, 시간에 따라 변할 수도 있음.
2 주어진 열유속 경계조건
q = =(양의 x방향으로 열유속) (W/m ) (제 2 경계조건
매체의 경계를 포함한 어떤 위치에서 양의 x방향으로 열 유속은 Fourier의 열전도 법칙에 의해 표현할 수 있음.
특별한 경우 : 단열경계
= 0 또는 = 0
단열면에서 그 면은 온도의 기울기가 0이므로 온도함수는 그 면에 수직이어야 함.
다른 특별한 경우 : 열적 대칭성
= 0
왼쪽의 그림에서 보는 것과 같이 중심인 x=L/2인 중심을 기준으로 열적대칭성을 갖음.
평판의 중심은 단열면으로 간주될 수 있으며, 좌우 대칭적인 열적조건을 갖음.
3 대류 경계조건
대부분의 열전달 표면은 특정한 온도를 가진 주위에 노출되 어 있기 때문에 대류는 실제로 가장 흔히 접하는 경계조건.
대류 경계 조건은 표면에서의 에너지 균형에 근거를 두고 다 음와 같이 표현됨.
(표면에서 지정된 방향으로의 열전도)=(표면에서 같은 방향으로 열대류)
두께 L의 평판에서 x방향으로의 1차원 열전달의 경우 표면에서의 대류 경계조건은 다음 과 같음.
그리고
=
왼쪽 상단 그림에서 과 는 열전달 계수, 과 는 평판 양
쪽에서의 주위 매체의 온도. 경계에서 열전달의 가정된 방향은 경
계조건 표현에 영향이 없고, 그 부호로써 그 방향만을 표시함. (다
만 평면벽에 관한 대류문제의 경우는 그 전달수단이 대류에서 전도
로 바뀌는 것뿐임.)
4 복사 경계조건
표면과 주위사이의 복사 열전달 메커니즘.
(표면에서의 지정된 방향으로 열전도)=(표면과 같은 방향으로의 복사열교환) 두께 L인 평판에서 x방향으로 1차원 열전달의 경우, 복사 경계조건은 다음과 같이 표시된다.
=
그리고
, 는 표면에서의 방사율, =5.67×10
-8W/m
2․K
4으로 Stefan-Boltzman상수
5 접촉면 경계조건
접촉면 또는 계면에서의 경계조건은 다음의 요구조건에 바탕을 둠.
(1)접촉한 두 물체는 반드시 접촉면에서 동일한 온도를 가짐.
(2) 접촉면은 에너지를 저장할 수 없으며, 접촉면 양족에서의 열유속은 같음.
왼쪽 그림과 같이 x=x
0에서 완전히 접촉한 두 물체 A와 B의 접촉면에서의 경계조 건은 다음과 같이 표현됨.
그리고
=
6 일반화된 경계조건
일반적으로 표면에서의 열전달은 대류, 복사 및 지정된 열유속 등을 함께 포함. 이 경우
경계조건은 다시 표면의 에너지 균형으로부터 표시됨.
(모든 모드에서 표면으로 열전달)=(모든 모드에서 표면으로부터의 열전달)
열전달 문제는 다른 표면에서 다른 경계조건을 갖으며 다른 경계에서는 어떠한 조건도 주어지지 않는 반면 동일경계에 한 방향으로 두 개의 경계조건들이 주어질 수 있음.
예제 2 – 6 열유속 경계조건
전기 가열기 위에 올려 놓고 쇠고기를 요리하는 알루미늄팬을 생각. 팬 바닥면의 지름D=20cm 이고 두께L=0.3cm. 전기 가열기의 가열장치는 요리중에 800W의 전력을 소비하고 발생된열의 90%가 팬에 전달된다. 정상 작동중에 팬 안쪽 면의 온도가 110℃로 측정. 요리를 하는 동안 팬 바닥 부분의 경계조건을 나타내라.
Sol )
- 해석 : 팬의 바닥에서 열전달은 1차원으로 근사 할 수 있음. 바닥의 바깥면과 안쪽 표면은 각 각 x=0, x=L로 나타낼수 있음. 정상작동시 T=T(x)
표면에서 800W중 90%인 720W가 전달
x=0 팬의 바깥면에서 경계조건 : -
k dT dx
(0) = .q
0여기서 .
q
0= 열전달률바닥면적 = 0.720kW
π (0.1
m
)2 =22.9kW/m
2안쪽면의 경계조건
T
(L)=110℃ 여기서 L=0.003m예제 2 – 8 대류, 복사 그리고 열유속의 복합조건
두께 L=0.2m인 남향집의 벽을 생각. 벽의 바깥면은 태양 복사에너지에 노출되어 있고 태양에 대한 흡수율α=0.5이다 집안의 온도
T
∞1= 20℃로 유지되고 바깥공기의 온도T
∞2= 5℃로 유지됨. 하늘 지면 그리고 주위 건축물의 표면은 벽의 바깥 표면에서 복사교환이 일어날 수 있 는 표면으로 유효온도T
sky= 225K
로 모델화 할수 있다. 벽의 안쪽면과 바깥면 바닥 그리고 천 정 사이에서의 복사는 무시됨. 벽의 안쪽과 바깥면에서의 대류열전달계수는 각각h
1=6W
/m
2℃와h
2= 25W
/m
2℃. 열전도도 k= 0.7W/m℃, 벽의 바깥면의 방사율 ε1= 0.9 벽을 통한 열전달은 1차원 정상상태라고 가정, 벽의 안쪽과 바깥면에서의 경계조건 을 표시.Sol )
x=0 안쪽면에서의 경계조건 : 대류조건.
-
k dT dx
(0) =h
1[T
∞, 1-T
(0)]x=L 바깥쪽면에서의 경계조건 : 전도, 대류, 복사, 지정된 열유속 포함.
∞
는 입사 태양 열유속
2.5 1차원 정상 열전도 문제 해
열전도 문제를 풀이하는 절차는 다음과 같이 요약가능
(1) 가장 간단한 형태로 적합한 미분방정식 세우고, 경계조건을 지정하 여 문제를 수식화
(2) 미분방정식에 대한 일반해를 구함
(3) 경계조건을 적용하고, 일반해에서 임의의 상수를 정함
예제 2 – 10 평면벽에서의 열전도
두께L=0.2m인 대형 평면벽을 생각해보자. 열전도도는 k=1.2W/mk이고 면적은 A=15㎡이다.
벽의 양쪽면은 그림 2-40과 같이 각각 T1=120℃와 T2=50℃로 일정하게 유지된다.
(a)x=0.1m에서의 온도와 벽 내의 온도변화를 구하고 (b)정상상태하에서 벽을 통한 열전도율을 구하라.
Sol )
- 해석 : (a)
경계조건
℃
℃
x에 대하여 한번 적분하면
(C1=임의 상수) 한번 더 적분하면
첫 번째 경계조건은
× →
두 번째 경계조건은
→ →
C1, C2값을 일반해에 대입하면
따라서, 주어진 경계조건에 따라 T(0)=T1 T(L)=T2이 된다.
x=0.1m 일 때
℃
℃ ℃
(b)열전도율은 Fourier의 법칙으로 부터 구함
℃
예제 2 – 11 다양한 경계조건을 가진 벽
두께L과 일정한 열전도도k 그리고 열발생이 없는 큰 평면적에서의 1차원 정상 열전도를 생각해 보자. 다음의 경계조건들에 대한 벽 내의 온도변화를 구하라(그림2-43)
and ℃
and
and
Sol )
(C1 C2는 임의의 적분상수) - 해석 :(a)경계x=0,x=L
경계조건을 적용하면
→ →
→ × →
적분상수를 대입한 특별 해는
(b)두 개의 경계에서 서로 다른 열유속을 가진다
→ →
→ →
(c)두 경계들에서 동일 열유속이 주어진 경우
→ →
→ →
두 개의 경계에서 상수 C1은 같은 값이고, C2값은 없음 상수 C1을 대입한 특별해는 다음을 구할 수 있음
예제 2 – 12 다리미 바닥판에서의 열전도
두께L=0.5cm, 바닥면적 A=300㎠, 열전도도 k=15W/mk인 1200W의 다리미 바닥판에 대해 서 생각해보자. 그림 2-45에서와 같이 바닥판의 내부면은 열저항 코일에 의해 면전체에 균일하 게 가열되고, 받가판의 외부면은 T∞=20℃의 주위로 대류열전달로 열을 빼앗긴다. 대류열전달계 수 h=80W/㎡k이며 복사에 의한 열손실을 무시할 때, 바닥면의 온도변화식과 바닥면 내부와 외 부의 표면온도를 구하라.
Sol )
- 해석 : 균일 열유속은
⌂
경계조건으로부터
∞적분하여 미분방정식의 일반해를 구하면
그리고
첫 번째 경계조건을 적용하면
→ →
두 번째 경계조건을 적용하면
∞ → ∞
를 대입하면
∞
따라서, x=0, x=L
∞
℃
℃
∞
℃
℃
예제 2 – 14 증기관을 통한 열손실
그림2-49에서와 같이 길이L=20m, 내부반경 r1=6cm, 외부반경 r2=8cm, 열전도도 k=20W/mk인 증기관에 대해 생각하자. 관의 내외 면의 평균온도는 T1=150℃,T2=60℃이다. 정 상상태에서 관 내부의 온도분포에 대한 일반 관계식을 구하고 증기로부터 관을 통한 열손실률을 구하라
Sol )
- 해석 :
경계 조건은
℃
℃
r에 대해 적분하면
다시 적분하면
ln
두 개의 경계조건을 적용하여 경계에서의 특정 값들을 대입하면
→ ln
→ ln
연립하여 풀면
ln
and ln
관내의 온도는
ln ln
열손실률은 관을 통한 총 열전도율이므로 Fourier법칙으로 구함.
ln
ln
℃
예제 2 – 15 구형 쉘을 통한 열전도
그림 2-51과 같이 내부반경 r1=8cm, 외부반경 r2=10cm, 열전도도 k=45W/mk인 구형 용기 에 대해 생각해보자. 용기 내에서 발생하는 어떤 화학작용에 의해 내외 면의 온도는 각각 T1=200℃,T2=80℃로 일정하게 유지된다. 이 경우 정상상태하에서 내부 쉘의 온도 분포에 대한 일반 관계식을 구하고 용기로부터의 열손실률을 구하라
Sol )
- 해석 :
경계조건은
℃
℃
r에 대하여 적분하면
다시 적분하면
두 개의 경계조건을 적용하여 경계에서의 특정 값들을 대입하면
→
→
연립하여 풀면
and
구형 쉘의 온도 변화는
열손실률은 관을 통한 총 열전도율이므로 Fourier법칙으로 구함.
℃
2.6 고체 내부의 열발생
매체를 통해 온도상승이 일어나는 매체들은 내부 열발생을 포함.(그림 2-53)
전기 저항선의 열발생은 다음과 같이 표시됨.
정상상태 하에서 고체의 에너지 균형은 다음과 같음.(그림 2-54)
(Rate of heat transfer from solid)
= (Rate of energy generation within the solid)
열전달률은 Newton의 냉각법칙으로부터 다음과 같음(복사무시).
∞연립하면
∞
(1)평면벽 (A
s= 2A
wall, V = 2LA
wall)
∞
m ax
(2) 긴원통 (A
s= 2πr
0L, V = πr
02L)(그림2-55)
∞
m ax
(3) 구 (A
s= 4πr
02l
, V = 4/3πr
03)
∞
m ax
m ax∆
m ax를 이용하면 중심선 온도를 구할수 있음.(그림 2-56)
예제 2-16 전열기의 중심선에서의 온도
열전도도 k = 15W/m℃이고 지름 D = 4mm L = 0.5m의 2kW 전열기는 물을 가열 하는데 사용된다. 저항선의 외부 표면온도 T
s= 105℃일 때 저항선 중심의 온도를 구하 라.(그림2-57)
sol)
단위체적당 열발생률
선의 중심온도
℃
℃
℃
예제 2-17 전열기의 온도변화
반지름 r
0= 0.5cm, 열전도도 k = 13.5W/m℃ 인 균질의 긴 저항선이 대기 압력하 전류를 흘려 물을 끓이는 데 사용한다. 저항선은
의 율로 균일하 게 열을 발생한다. 만일 저항선의 외부온도 T
s= 108℃로 측정된다면, 정상상태에 도달 했을 때의 온도분포에 대한 관계식을 구하고, 저항선의 중심선에서의 온도를 구하라.
(그림2-58,59)
sol)
온도변화를 지배하는 미분방정식
경계조건
℃,
변수분리 후 적분하면
... (a)
두 번째 경계조건을 적용하면
→
(a)식을 r로 나누고 적분가능한 형태로 변환
적분하면
... (b)
첫 번째 경계조건을 적용
→
(b)에 C
2를 대입한 후 재정리
... (c)
(c)에 r=0을 대입한 후 알고 있는 값들을 대입
℃
℃
℃
따라서 중심선에서의 온도는 128℃
예제 2-18 두 층 매체 내에서의 열전도
그림 2-60처럼 반지름 r
1=0.2cm, 열전도도 k
wire= 15W/mk 인 긴 저항선에
의 일정한 율로 균일하게 열이 발생한다. 저항선은 열전도도 k
ceramic=
1.2W/mk인 두께 0.5cm의 세라믹에 피복되어 있다. 만일 세라믹층의 외부 표면온도가 T
s= 45℃라면 정상상태에서 저항선의 중심선 온도와 저항선과 세라믹 접촉면에서의 온도를 구하라.(그림2-60)
sol)
미지의 접촉면 온도를 T
1이라 하면, 저항선에서의 열전달 문제는 아래와 같이 수식화됨
예제 2-17과 같은 방법으로 풀 수 있고, 구한 해는
... (a)
세라믹층은 어떠한 열발생도 없고 외부표면온도는 특정값으로 주어짐
℃예제 2-15와 같은 방법으로 풀 수 있음
ln ln
... (b)
접촉면 온도 T
I은 r = r
1의 접촉면에서 저항선과 세라믹층의 열유속이 같다는 두 번째 접촉면 조건으로부터 구할 수 있음.
→
ln
접촉면 온도는 다음과 같음
℃ ℃
중심선(r = 0)에서의 온도는 다음과 같음
℃
℃
예제 2-19 전열기의 온도변화
그림 2-61에서 두께 2L인 대형 평면벽에서 균일한 열이 발생한다. 벽 내부의 온도변화
식을 (a) T1 > T2, (b) T1 = T2 대해서 구하라.(그림2-61)
sol)
직각 좌표계에서 열발생이 있는 열전도 방정식
1차원 정상열전도에서의 일반 열전도방정식
두 번 적분하면
(a) T1 > T2인 비대칭 경계조건의 경우
상수 C1, C2는 다음과 같다.
and
일반해에 대입하면, 벽 내부의 온도변화는 다음과 같음
(b) 대칭 경계조건의 경우, 위 식에 T1 = T2를 대입하면 다음과 같음
2.7 가변 열전도도 k(T)
열전도도의 평균값
k
ave=⌠⌡
T2 T1
k
(T
)dT
T
2-T
1가변 열전도도에 대한 정상상태 열전달률.
(1) 평면벽의 경우: .
Q
planewall=k
aveA T
1-T
2L
=A
L
⌠⌡T2
T1
k
(T
)dT
(2) 원통형의 경우: .Q
cylinder= 2πL k
aveT
1-T
2 ln(r
1r
2 )= 2π
L
ln (r
1r
2 )⌠⌡
T2 T1
k
(T
)dT
(3) 구형의 경우:
Q
. cylinder= 4πr
1r
2k
aveT
1-T
2r
2-r
1 =( 4π
r
1r
2)r
2-r
1 ⌠⌡T2
T1
k
(T
)dT
선형함수로서 근사적 표현
k(T) =
k
0(1+βT) β : 열전도도의 온도 계수 이 경우 열전도도의 평균값k
ave=⌠⌡
T2
T1
k
0(1-βT
)dT
T
2-T
1 =k
0(1+βT
2-T
12 ) =
k
(T
ave)예제 2-21 k(T)인 벽면을 통한 열전도
두께 = 0.1m 높이 2m 폭0.7m 황동판.
판의 한쪽면이 400K로 유지되는 동안 다른 한 면은 600K로 유지됨.
열전도도 k(T) =
k
0(1+βT) -> 선형적으로 변함 (k
0=38W/mK, β=9.21* 10- 4K
- 1) 가장자리 효과를 무시,1차원 열전달로 가정 평판을 통한 열전도율을 구하라.sol)
k
ave=k
(T
ave) =k
0(1+βT
2-T
12 )
= (38
W
/mK
) [1 + (9.21* 10- 4K
- 1) (600 + 400)K
2 ] = 55.5
W
/mK
평판을 통한 열전도율Q
. planewall=k
aveA T
1-T
2L
= (55.5W
/m K
)(2m
* 0.7m
) (600 - 400)K
0.1
