경영학을 위한 수학 기출문제 - [2019-1] 경영학을 위한 수학 중간고사

중간고사 풀이

1. (a) lim n→∞ 3n en_{+ 2}n = lim_n→∞ 1 (e/3)n_{+ (2/3)}n = ∞ 6= 0 이므로, 일반항 판정법에 의하여 발산한다. (b) 모든 자연수 n에 대하여, √ 1 n2_{+ 1} ≥ 1 √ 2n2 인데, ∞ X n=1 1 n√2 = ∞ 이므로, 비교 판정법에 의하여 발산한다. (c) 임의의 0이 아닌 실수 x에 대하여 | sin1_x| ≤ 1 이므로, 0 ≤ |x sin1 x| ≤ |x|가 성립한다. 따라서, 샌드위치 정리에 의해서, limx→0x sin1_x = 0 이다. (d) lim x→∞x 2  1 − cos1 x  = lim t→0+ 1 − cos t t2 = lim_t→0+ 1 − cos2_t t2_{(1 + cos t)} = lim_t→0+ sin2_t t2 · 1 1 + cos t= 1 2. 2. (a) sin2x + cos2x = 1 이 성립하므로, cos2x = 4/5 이다. (+2점)

주어진 범위 내에서, 코사인 함수는 음수이므로 (+2점) cos x = −√2

5= − 2√5

5 (+1점).

(b) sin 2x = 2 sin x cos x 이므로, (+4점) sin 2x = 2 · −√2 5· 1 √ 5 = − 4 5 (+1점). (c) tan(π − x) = tan(−x) (+2점), = sin(−x) cos(−x) = − sin x cos x (+2점), =1 2 (+1점). (d) cos(x +π 3) = cos x cos π 3− sin x sin π 3 (+2점), = −√2 5− 1 √ 5 √ 3 2 (+2점), = −2 + √ 3 2√5 = − 2√5 +√15 10 (+1점). 3. (a) 거짓. 반례: an= bn= 1/n. (b) 거짓. 반례: an= 1. (c) 참. 임의의 f 의 정의역에 포함되어 있는 x에 대하여, (g ◦ f )(−x) = g(f (−x)) = g(−f (x)) = −g(f (x)) = −(g ◦ f )(x) 이므로, g ◦ f 도 기함수이다. (d) 참. f 와 g가 순증가이므로, f0> 0, g0> 0 이다. 따라서, (f ◦ g)0= (f0◦ g)g0 > 0 이므로, f ◦ g도 순증가함수이다. 4. (a) 함수 f 가 원점에서 연속이므로, 1 = f (0) = lim x→0−f (x) (+3점) = lim x→0−(2x 2 + x + a) = a 1

2 가 되고, 따라서 a = 2 이다. (+2점) * 극한 기호를 한 번도 사용하지 않고 관계식을 도출한 경우, 답안지만 보고서는 연속 성의 정의가 활용된 것인지를 알 수 없습니다. (b) (1) x = 0 에서의 좌미분계수와 우미분계수를 구하고, 서로 다름을 보여 x = 0에서 f 가 미분이 불가능함을 말하고자 하는 방향성이 맞는가? (2) 좌미분계수 limh→0−f (0+h)−f (0)_h 와 우미분계수 limh→0+f (0+h)−f (0)_h 의 정의를 정확하게 활용하였는가? (특히, 도함수의 좌극한 limx→0−f0(x) 을 좌미분계수로서 사용한 경우, 정확한 활용이 아닙니다.) (3) 계산과 결론이 올바른가? lim h→0− f (0 + h) − f (0) h = limh→0− 2h2_{+ h + 1 − 1} h = 1, lim h→0+ f (0 + h) − f (0) h = limh→0+ e2h− 1 h = 2, 이므로 f0 (0)은 존재하지 않는다. (여기서도, 도함수의 일방극한으로 대신 계산한 경우는 올바른 계산과정이 아닙니다.) * (1), (2), (3)을 충족한 갯수에 따라서 +0, 3, 6, 10점. 5. (a) 주어진 관계식 f (x + y) = f (x)f (y)에 y = 0을 대입하여 f (x) = f (x)f (0) 을 얻는다. 이 식은 f (x)(f (0) − 1) = 0으로 쓸 수 있다. f (0) 6= 1이면, f (x) = 0으로 상수함수가 되는데, 이는 f0(0) = 1 이라는 조건에 모순이다. 따라서, f (0) = 1 이 된다. (b) 임의의 실수 x에 대하여, lim h→0 f (x + h) − f (x) h = limh→0 f (x)f (h) − f (x) h = limh→0 f (x)f (h) − f (x)f (0) h = f (x) lim h→0 f (h) − f (0) h = f (x)f 0 (0) = f (x), 이므로, f 는 모든 점에서 미분가능하다. (c) g(x) = f (x)e−x라 하자. (b)에 의해 g0 (x) = (f (x) − f0(x))e−x= 0이 되므로, g는 상수함수이다. 또한, g(0) = f (0) = 1이 되어야 하므로, g(x) = 1이다. 따라서, f (x) = ex 이다. * 조건 f (x) = f0(x)를 만족하는 함수는 ex_{뿐이므로 f (x) = e}x_{라고 쓴 경우에는 점수} 없음.

6. (a) 함수 f 가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, 열린 구간 (a, b)에서 미분가능하면, f (b) − f (a) b − a = f 0 (c)를 만족하는 c가 구간 (a, b) 안에 적어도 한 개 존재한다. (b) 주어진 부등식은 x = y인 경우, 좌변이 0이 되므로 당연히 성립한다. 따라서, x 6= y 인 경우만 생각하면 된다. f (x) = log(1 + ex ) 라 하자. f 는 실수 전체에서 연속이고, 미 분이 가능하다. 특별히, 임의의 실수 c에 대하여 f0(c) = e c 1 + ec 이므로, 0 ≤ f 0 (c) ≤ 1 이다. 평균값정리에 의해,     f (x) − f (y) x − y     = |f0(c)| 인 c 가 x와 y 사이에 존재하는데, 위 결과로부터, | log(1 + ex_{) − log(1 + e}y_{)| = |f (x) − f (y)| = |f}0

(c)||x − y| ≤ |x − y| 가 성립한다. (c) f (c1) = c1, f (c2) = c2를 만족시키는 서로 다른 두 실수 c1, c2가 존재한다고 하자. 일반성을 잃지 않고, c1 < c2 라 할 수 있다. 평균값정리를 적용하면, 실수 d가 c1과 c2 사이에 존재해서 f0 (d) = f (c2) − f (c1) c2− c1 = 1 이 되는데, 이는 f0(x) 6= 1 이라는 조건에 모순이다. 따라서, f (c) = c를 만족하는 c는 많아야 한 개 존재한다.

3 7. (a) f0(t) = 100 (1 + 9e−0.5t₎2 · 9 · 0.5e −0.5t = 5 1000f (t) · 900e−0.5t 1 + 9e−0.5t = 5 1000f (t)(100 − f (t)) (+5점). (b) 2차 방정식의 최댓값으로부터 y = 50 일 때, 0.005y(100 − y) 의 값이 최대이다. 따라서, 가장 빨리 증가할 때의 가치는 50만 원이다. (+5점) 이 시점에, 1 + 9e−0.5t = 2가 되기 때문에, t = 2 log 9 = 4 log 3 ' 4.4 년 후이다. (+5점) (c) t년 후 위스키의 현재 가치는 g(t) = f (t)e−0.05t 로 주어진다. g0 (t) = (f0(t) − 0.05f (t))e−0.05t= (0.45 − 0.005f (t))f (t)e−0.05t 이므로, g(t)는 f (t) = 90 인 시점에서 최댓값을 갖는다. (+5점) 이 시점에, 1 + 9e−0.5t = 10/9가 되기 때문에, t = 8 log 3 ' 8.8 년 후이다. (+5점) * 답에 log 함수 혹은 지수 함수가 남아있는 경우, 2점씩 감점.