29. 전류가 만드는 자기장

29. 전류가 만드는 자기장

(Magnetic fields due to currents)

(Ampere’s Law)

i enc

s d

B ⋅ = μ ₀

∫ ^{r r}

(Biot-Savart Law)

2

0 ˆ

4 r

r s

B id

d ×

= r

r

π μ

(Coulomb’s Law)

r r dq E πε

d

o

4 ˆ 1

=

o

q

A d

E ^{⋅ =} ε

∫ ^{r r}

지난 시간에 …

자기력

홀 효과 - 전하 운반자의 극성판별, 전하밀도

자기장 내에서 원 운동하는 대전입자

전류 i 가 흐르는 길이 L인 도선이 받는 자기력

A Ni r r =

μ

B r r

r = μ × τ

고리 전류의 자기쌍극자 모멘트 회전력

B v

q

F r

r r

×

=

Thomson 실험

^{m / e =} ( ) ^B

^L

^{/ ( 2 yE )}

) /(Vle Bi

n =

) /(

r mv qB F

F

=

⇒ =

B L

id F

d r r r

×

=

자기 쌍극자의 퍼텐셜에너지

U ( θ ) = − μ r ⋅ B r

29-2. 전류가 만드는 자기장 구하기

비오-사바르 법칙 (Biot-Savart Law)

3 0

2 0

4 ˆ

4 r

r s

id r

r s

B id

d r = r × = r × r

π μ π

μ

A m T

A m T

/ 10

26 . 1

/ 10

4

6 7 0

⋅

×

≈

⋅

×

=

−

π −

μ

: Permeability (투자율) 전류 i 가 흐르는 도선토막 ds 가 만드는 자기장 dB : 실험적 법칙

긴 직선도선

R B i

π μ

2

=

(Biot-Savart Law)

오른손 법칙

R 떨어진 위치에서의 B ?

?

(증명) 무한히 긴 직선도선

R B i

π μ

2

= 0

(Biot-Savart Law)

2 0

3 0

sin 4

4

r dB ids

B d

r r s B id

d

θ π

μ π

μ

=

=

= ×

r

r r r

∫

∫

⁼

=

0 0

sin

2 2 ds

r dB i

B θ

π μ

2 2

2 2

) sin(

sin s R

R r

R R

s r

= +

=

−

= +

=

θ π

θ

( ⁺ ) ^{= ⎢ ⎢} _⎣ ^⎡ ( ⁺ ) ^{⎥ ⎥} _⎦ ^{⎤ ⇒}

=

∞

∫

0 2 / 2 1 2

0

0 2 2 3/2

0

2

2 s R

s ds i

R s

R B i

π μ π

μ

원형 모양의 도선

(Biot-Savart Law)

2 0 2

0

3 0

4 90

sin 4

4

r ids r

dB ids

r r s B id

d

π μ π

μ π μ

=

=

= ×

o

r r r

φ Rd ds =

π φ φ μ

π μ

R d i

R B iR

4 4

0

0 2

0

=

= ∫

원형 고리도선인 경우 Æ

( )

R i R

B i

2 2 4

0

0

π μ

π

μ ₌

=

확인문제 1. 중심점에서 자기장이 큰 순서대로 나열하면?

a > c > b

29-3. 두 평행전류 사이에 작용하는 힘

a b

ba

i L B

F r r r

×

⋅

=

d B

i

π μ

2

=

b a a

b

ba

i i

d LB L

i

F π

μ

90 2

sin =

=

ab

ba

F

F r r

−

=

(작용-반작용)

: 도선 a (i_a) 가 만드는 자기장

전류방향이 같으면 서로 당기고, 반대면 밀어낸다 i

i 두 도선은 어떻게 될까?

질문 :

궤도 총 (rail gun)

전류 (i) 흐르면 Æ 퓨즈가 기화되어 전도 기체 형성

Æ 궤도 사이에 자기장 형성 Æ 전도 기체에 힘 작용 Æ 발사체 밀려남.

확인문제 2. 나머지 두 도선전류에 의해 각 도선에 작용하는 자기력이 큰 순서는?

b > c > a

29-4. 암페어 (Ampere) 법칙

r r i

B π

μ ) 2

( =

i r

B

r ( )

2 π ⋅ = μ

Ampere _’ s Law Gauss _’ s Law

i

s d

B ⋅ = μ

∫ ^{r r ∫ E r ⋅ d A r = q} _ε

i

Br

r

폐곡선 (Ampere loop) 적분

29-4. 암페어 (Ampere) 법칙 i

s d

B ⋅ = μ

∫ ^{r r}

i

ds B

s d

B ⋅ = ∫ cos θ = μ

∫ ^{r r}

전류방향의 부호 정의

2

1

i

i

i

= −

긴 직선 도선의 외부 및 내부 자기장

(Ampere_’s Law)

도선 단면(A)에 균일한 전류 밀도를 가정

i

s d

B ⋅ = μ

∫ ^{r r}

R i j r

r B

r ₂

2 0 2

2π ⋅ = μ0π ⋅ = μ

r

R

B i ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2 π

μ

i B

r ₀

2π ^{⋅ =} μ

r

B I 1

2

0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

π μ R2

i A

j i

= π

=

(2) r < R (도선 내부) (1) r > R (도선 외부)

(전류 밀도 : current density)

B

R r B ∝ r

B ∝ 1/r

29-5. 솔레노이드 (Solenoid)

S N

Solenoid coil이 느슨한 경우 Solenoid coil이 촘촘한 경우 전자석

매우 긴 이상적인 Solenoid

4) and 2 at B

(or,

4 0

2 B w

B = = ⊥

3 = 0 B

ienc

s d

B⋅ = μ₀

∫

( )

h B l

Br₁⋅r₁ = ⋅ = μ₀

ni

B = μ ₀

4 4 3

3 2

2 1

1 l B w B l B w

B s

d

Br r r r r r r r r r

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅

=

∫

내부 자기장은 균일 외부 자기장은 없음

1

2 3

4

n : 단위 길이당 감은 횟수

얼마일까?

토로이드 (Toloid)

a b

Ni B

r s

d

B⋅ = 2π ⋅ = μ₀

∫

i

s d

B ⋅ = μ

∫ ^{r r}

(i) r < a Î B = 0 (ii) r > b Î B = 0 (iii) a < r < b Î

Total N turns

얼마일까?

29-6. 전류고리와 자기쌍극자(Magnetic dipole)

3 0

) 2

( z z

B μ

π

μ ^r

r ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

z

( ) ^{Ni A r}

r =

μ

자기쌍극자 모멘트 (magnetic dipole moment)

(증명 : 전류고리가 만드는 자기장)

2 2

2 x R

r = +

r x

dB I cos ˆ

4 ²

0 θ

π

= μ

r

= R θ cos

+ θ π

= μ Rd

) R x

(

R

dB ⁰I _{2 2 3/ 2} 4

) xˆ R x

(

R

B I _{2 2 3/ 2}

2 0

2 +

= μ r

R xˆ B I

2 μ0

r =

x xˆ R

B I ₃

2 0

2 ⋅

≈ μ r

R2

I IA = π

≡ μ

3 0

B 2 xμ π

≅ μ

(i) z = 0 ⇒

(ii) z >> R ⇒

3 0

B 2 x μ π

= μ r

r (

)

29. Summary

Ampere’s Law

∫ B ^r ⋅ d s ^r = μ

i

3 0

4 r

r s

B id

d r = r × r

π μ

b a

ba

i i

d F L

π μ

2

= 0

ni B = μ ₀

두 도선

Solenoid