가 알려지지 않은 경우

두 모집단 평균의 차이에 대한 추론 :



^과 

가 알려지지 않은 경우

  ₁ –  ₂ ^{의 신뢰구간 추정}

  ₁ –  ₂^{의 가설 검정}



_- 

^{의 신뢰구간 추정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

 ₁ ^과 ₂ ^{을 모르고 있을 때} :

•

•

2 2

1 2

1 2 / 2

1 2

s s x x t

n n

 



1 2 / 2

1 2

s s x x t

n n

 



t_/2 에 대한 자유도:



_- 

에 대한 신뢰구간 추정 :



^과 

가 알려지지 않은 경우

 신뢰구간 추정치

2 2 2

1 2

1 2

2 2

2 2

1 2

1 1 2 2

1 1

1 1

s s

n n

df

s s

n n n n

 

  

 

    

    

     

2 2 2

1 2

1 2

2 2

2 2

1 2

1 1 2 2

1 1

1 1

s s

n n

df

s s

n n n n

 

  

 

    

    

     

 예 : Specific Motors

두 모집단 평균의 차이 :



^과 

가 알려지지 않은 경우

Detroit의 Specific Motors는 M car라는 새로운 자동 차를 개발 하였다.

연비 (miles-per-gallon: mpg) 비교를 위해 M car 24대와 J cars 28대(일본산) 로 실험을 하였다. 표본통계량은 다음 슬라이더에 제공되어 있다.

두 모집단 평균의 차이 :



^과 

가 알려지지 않은 경우

 예 : Specific Motors

표본규모 표본평균

표본표준편차 표본#1

M Cars

표본 #2 J Cars 24 대 28 대 29.8 mpg 27.3 mpg 2.56 mpg 1.81 mpg

두 모집단 평균의 차이 :



^과 

가 알려지지 않은 경우

두 자동차 연비의 모집단 평균의 차이에 대하여 90%의 신뢰구간을 추정해 보자.

 예 : Specific Motors

 ₁  ₂ ^{의 점추정치} = xx₁₁  xx₂₂



 

^{의 점추정치}

여기서:

₁ = M car의 평균연비(mpg)

₂ = J car 의 평균연비(mpg)

= 29.8 - 27.3

= 2.5 mpg



 

^{의 구간 추정}



^과 

가 알려지지 않은 경우

 t_/2 의 자유도:

2 2 2

2 2

2 2

(2.56) (1.81)

24 28

24.07 24 1 (2.56) 1 (1.81)

24 1 24 28 1 28

df

 

  

 

  

   

    

     

2 2 2

2 2

2 2

(2.56) (1.81)

24 28

24.07 24 1 (2.56) 1 (1.81)

24 1 24 28 1 28

df

 

  

 

  

   

    

     

 /2 = .05 이고, df = 24, t_/2 = 1.711



 

^{의 구간추정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

2 2 2 2

1 2

1 2 / 2

1 2

(2.56) (1.81)

29.8 27.3 1.711

24 28

s s

x x t

n n

   ¹²  ²²    ²  ²

1 2 / 2

1 2

(2.56) (1.81)

29.8 27.3 1.711

24 28

s s

x x t

n n

       

 M cars 와 J cars의 평균 연비 차이가 1.431 에서 3.569 mpg 이다는 것을 90% 신뢰한다.

 2.5 + 1.069 또는 1.431에서 3.569 mpg



 

^{에 대한 가설검정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

 가설

1 2 0

2 2

1 2

1 2

( x x ) D t

s s

n n

 





1 2 0

2 2

1 2

1 2

( x x ) D t

s s

n n

 





 

 

a

:

H_a

:  

 

H D

   

0

:

H₀

:  

 

H D

   

0

:

H₀

:  

 

H D

 

 

a

:

H_a

:  

 

H D

   

0

:

H₀

:  

 

H D

 

 

a

:

H_a

:  

 

H D

왼쪽 검정 오른쪽 검정 양측 검정

 검정통계량

 예: Specific Motors



 

^{에 대한 가설 검정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

 0.05 의 유의수준에서, M cars의 연비 ^(mpg) 가 J cars의 연비 ^(mpg)보다 크다고 결론을 내릴 수 있는 가?

H₀: ₁ - ₂ < 0  H_a: ₁ - ₂ > 0 여기서:

₁ = M cars 모집단의 평균 mpg

₂ = J cars 모집단의 평균 mpg 1. 가설 수립

 p –값과 임계값을 이용한 방법



 

^{에 대한 가설 검정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

2. 유의수준 설정 3. 검정통계량 계산

 = .05

 p –값과 임계값 접근 방법



 

^{에 대한 가설 검정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

1 2 0

2 2 2 2

1 2

1 2

( ) (29.8 27.3) 0

4.003 (2.56) (1.81)

24 28

x x D

t

s s

n n

   

  

 

1 2 0

2 2 2 2

1 2

1 2

( ) (29.8 27.3) 0

4.003 (2.56) (1.81)

24 28

x x D

t

s s

n n

   

  

 



 

^{에 대한 가설 검정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

 p –값 접근법 4. p –값 계산

t_ 에 대한 자유도:

2 2 2

2 2

2 2

(2.56) (1.81)

24 28

24.07 24 1 (2.56) 1 (1.81)

24 1 24 28 1 28

df

 

  

 

  

   

    

     

2 2 2

2 2

2 2

(2.56) (1.81)

24 28

24.07 24 1 (2.56) 1 (1.81)

24 1 24 28 1 28

df

 

  

 

  

   

    

     

t = 4.003 > t_.005 = 2.797 에서, p–값 < .005.

5. H₀을 기각할지 결정

M cars의 연비 (mpg) 가 J cars의 연비 (mpg) 보다 우수하다는 것을 적어도 95% 신뢰한다.

 p –값 접근법

p–값 <  = .05, H₀을 기각한다.



 

^{에 대한 가설 검정}



^과 

가 알려지지 않은 경우

4. 임계값과 기각법칙 결정

 임계값 접근법



 

^{에 대한 가설 검정} _:



^과 

가 알려지지 않은 경우

 = .05 와 df = 24에서, t_.05 = 1.711 t > 1.711일 경우, ^H₀ ^기각 5. H₀을 기각할지 결정

4.003 > 1.711에서, H₀을 기각한다.

M cars의 연비 (mpg) 가 J cars의 연비 (mpg) 보다 우수하다는 것을 적어도 95% 신뢰한다.