제 29 장. 전류에 의한 자기장

제 29 장. 전류에 의한 자기장

전류가 만드는 자기장은 일상생활에서 가장 많이 응용되어 사용되는 분야이다.

전기장은

Coulomb's law

와

Gauss' law

에 의해 계산할 수 있다면, 자기장은 이에 대응되는

Biot-Savart's law

^와

Ampere's law

에 의해 그 크기와 방향을 계산할 수 있다.

29.1 전류가 만드는 자기장

전류가 만드는 자기장(

Biot-Savart's law

^): ₂

r 4

o

id s

d B r





 

(29.1)

진공 속의 투자상수(Permeability^):



_o

 4   10 T m / A

^7



※ 전하가 만드는 전기장(

Coulomb's Law

):

1

₂

4

_o

r d E dq

 r



여기서 r 은 소스(Source)

i d s

로부터 측정지점으로 향하는 지름 방향의 단위벡터이다. 도선 주위에 생기는 자기장은 오른손 엄지를 전류가 흐르는 방향으로 향하게 하고 나머지 손가락을 감아 쥐면 그 감긴 방향으로 만들어 진다. 우측 그림의 경우

i d s

에 의한 거 리

r

인 점

P

에서의 자기장

d B

는

r

에 수직한 방향 (그림에서 지 면으로 들어가는 방향)이다.

※ 전기의 경우

dq

에 의한 거리

r

에서의 전기장

d E

는

r

방향과 일치하거나 그 반대방향이다.

도선 주위에 만들어지는 자기장

B

는 아래 그림과 같다. 여기서 도선 근처에서

B

^{는 거리의 자승}

에 역 비례하므로 도선의 근처에서는 강하고 거리가 멀면 약해진다.

뇌 활동이 만드는 자기장: (29.1)식의 적용 예로 뇌 활동으로 생기는 자기장을 계산해 보자. 뇌자 도(MEG: MagnetoEncephaloGraphy)는 인간의 뇌가 활동할 때 뇌의 자기장을 검출하는 장치이 다. 만일 책을 읽는다면 약한 전기펄스가 뇌세포 사이의 전도경로를 따라 보내져서 뇌의 한 부분 이 활성화된다. 다른 활동에서는 다른 전류가 흐르게 되는 데 각 펄스는 서로 다른 자기장을 만든 다. 다음 그림은 뇌 표면의 갈라진 틈의 벽을 따라 이동하는 펄스이고 펄스로부터 거리

r  2cm

인 점

P

에서 MEG로 자기장을 측정하는 예이다. 전형적인 펄스의 경우

i  10μA

^{, 전도경로의}

길이

ds  1mm

이다. 이때

P

에서의 자기장 세기는

2 2

r

4 4

o

id s

o

ids

d B dB

r r

 

 

   

※

id s  

r

ids

sin 90 k^o

 ids

k^: k^은

id s

^와 r에 수직인 단위벡 터로 그림에서는 지면으로 나오는 방향이다.

7 6 3

12

2 2

(4 10 T m / A) (10 10 )(1 10 m)

2.5 10 T

4 (2 10 m)

dB  A



  





   

  



이 자기장은 아주 작은 값이므로 측정하기가 대단히 어렵다. 이것을 감지하려면

SQUID

라는 초전 도 양자 간섭소자가 필요하다.

29.2

Biot-Savart’s law

에 의한 자기장 구하기

※ 앞으로 상수



_o/ 4

  k

'로 놓고 계산할 것이다.

(i) 긴 직선 도선의 전류에 의한 자기장

그림처럼 도선 속을 흐르는 전류가 점

P

에 만드는 자기장을 구하려면

id s

에서 점

P

로 향하는

r  r

r를 그리고

Biot-Savart's law

를 적용한다.

sin(180o

 

)



sin

  R r

/

2 3

' i ds sin ( k) ' i R ds ( k)

d B k k

r r

    

' i R ds

3

dB k

 r

^(29.2)

※ 삼각치환 적분

tan(180

o

) tan cot

tan

R R

s R

  s 

        



csc2

ds  R   d

(1)

2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2

( ) ( cot ) cs c

r  s  R  R   R  R 

(2)

(29.2)에 (1), (2)를 대입하면

2

3 3

( cs c ) ' '

' ' sin

( c sc ) cs c

ds R d k i d k i

dB k iR k iR d

r R R R

    

 

   

0

' sin [ cos ]

4 2

o

i

o

i

B k i d

R R R

 



 

  

 

 



  

^(29.3)

2 ( k)

o

i

B R



  

,



k는 지면으로 들어가는 방향.

보기문제 29. 1 그림과 같은 구조로 이루어진 두 개의 도선의 중앙으로부터 거리가

x

만큼 떨어진 곳에서 자기장을 구하라.

(풀이) 원점으로부터 거리

x

^{에서 전류}

1, 2

^{가 만드는}

B

1^과

B

2는 오른손 법칙에 의해 모두

 y

^{방향을 향한다.}

1 2

( ) ( ) ( )

B x  B x  B x

2 2

1 1

( ) ( )

2

o

i

o

i d

B x d x d x d x

 

 

  

  

2 2

( )

^o

i d ( j)

B x d x



 



보기문제 29.2 그림처럼 두 개의 긴 평행도선에 서로 반대방향으로 전류

1 15 A

i 

^,

i

₂



32 A^{가 거리}

d  5.3cm

떨어져 흐르고 있다. 점

P

^에서

자기장의 방향과 크기를 구하여라.

(풀이) 전류가 흐르는 방향으로 오른손의 엄지를 향하게 하고 나머지 손가 락들을 감아 쥐면 점

P

에서 그림과 같은 방향으로

B

들이 형성된다. 밑 변의 각들은 45^o이므로

cos 45

o

2

R  d

^:

2 5.3cm

3.75cm

2 2 2 2

d d

R   R   

B

1과

B

₂ 크기: ₁ ¹

2

o

i

B R



 

^, ₂ ²

2

o

i

B R



 

B

1^와

B

2는 사이 각이 직각이므로 합성벡터

B

^{의 크기는}

2 2 1/ 2

1 2

[( )]

2

B

o

i i

R



  

7

2 2 1/ 2 4

2

4 10 T m / A

[(15A) (32A) ] 1.88 10 T 2 (3.75 10 m)

B 



 



 

   



1 1

2 2

tan 15

32

B i

B i

   

: ¹

15

^o

tan ( ) 25

 

^

32 

B

^는

 x

축을 기준으로 하면 반 시계방향으로

25

^o

 45

^o

 70

^{o방향에 있다.}

(ii) 원형도선의 전류에 의한 자기장

우측 그림은 위를

 x

방향, 지면에서 나오는 방향을

 y

^방

향으로 정했을 때

xy

평면에 놓인 반경

R

인 도선을 지면 위에서 바라본(

 y

방향으로 바라 본) 그림이다. 이때 원형 도선에 전류

i

가 흐를 때, 오른손 법칙을 사용하면 도선의 요소

i d s

에 의한 중심 축의 임의의 점

P

에 만드는 자기장

d B

는 그림과 같이 형성된다.

Biot-Savart's law

^:

' id s r

₃

d B k

r

 

^(29.4)

d s

(지면으로 나오는 방향)와

r

는 서로 수직이다.

' ids

2

dB k

 r

^(29.5)

전류고리의 미소부분

id s

가 점

P

에 만드는 자기장

d B

는

z

축의 평행성분

dB

_z과

z

축에 수직 인

dB

_⁽

xy

평면에 평행한 성분)로 분해된다. 한편

id s

는 자신과 같은 요소가

z

^{축 반대편에 항}

상 있다(

z

^축 symmetry). 두 대칭 요소들의 분해된

dB

_자기장들은 서로 반대 방향이기 때문에 상쇄되며 오직 같은 방향의

z

축 평행 성분만 남는다. 따라서

dB

_z의 크기를 구하고 적분하면 전 류고리가

P

에 만드는 자기장이 얻어진다. 여기서

r 

(

z

²

 R

^{2 1/ 2})

cos '

3

z

R iR

dB dB dB k ds

r r



  

^(29.6)

2 2

3 0 3 3

' (2 )

4 2

R o o

z

iR iR

B k iR ds R

r r r



  

    

^(29.7)

2

2 2 3/ 2

2( )

o z

B iR

z R

 



^(29.8)

(29.8)의 상황 별 값

(a) 중심에서 자기장(

z  0

):

2

o z

B i R

 

(29.9)

(b)

z  R

의 거리에서 자기장:

4 2

o z

B i

R

 

^(29.10)

(c)

z R

인 곳에서의 자기장:

2

2 3 o z

B iR z

 

(29.11)

전류 고리와 자기쌍극자

(29.11)을 자기 쌍극자 모먼트로 표기하면

2

3 3 3

( )

( ) 2 2 2

o

i R

o

iA

o

B z z z z

    

  

  

^(29.12)

전류고리가

N

개 감겨 있다면 자기쌍극자 모먼트는:

  NiA

벡터로 표시:

( )

3

2 B z

o

z

 

 

전류고리를 자기쌍극자로 볼 수 있는 두 가지 측면 (a) 전류고리는 외부자기장에 돌림 힘을 받는다.

B

ext

   

(b) 전류고리는 고유의 자기장을 만들며 중심축 위의 먼 점에서 (29.11)식의 자기장을 형성한다.

우측 그림은 하나의 전류고리가 만드는 자기장 선이다. 자기장 선이 그림의 막대가 만드는 모양과 같으므로, 전류고리의 한 쪽은

N

^극(



의 방향에서), 반대쪽은

S

^{극에 해당한다.}

보기문제 29.3 우측 그림에서 반지름

R

, 중심각

 / 2

인 원호와 양쪽 직선의 연장선이 중심

C

와 만나는 도선에 전류

i

^{가 흐른다.}

원호의 중심

C

^{에서 자기장}

B

^{를 구하여라.}

(풀이) 각 부분에서

C

로 향하는 벡터들은 그림과 같고, 각 부분 이

C

에 만드는 자기장을 구하여 합한다. 여기서

r

₃

 R

^.

Biot-Savart's law

^:

' id s r

₃

d B k

r

 

o 1 1

1 3

1

sin 0 ' ids r 0 dB k

 r 

o 2 2

2 3

2

sin180

' ids r 0

dB k

 r 

o 3 3

3 3 2 3 2

3

sin 90 ' ' '

' ids r k i k i ( ) k i

dB k ds Rd d

r R R  R 

   

/ 2

3 0 3

' ( )

4 2 8

o

i

o

i

B k i d B

R R R



   

     

C

에서의 자기장: 1 2 3

( k)

8

o

i

B B B B B

R

      

여기서



k는 지면으로 들어가는 방향이다. 방향을 찾는 방법은 직선도선과 달리 오른손을 전류 방향의 원호선을 따라 감아 쥐고 엄지를 펴면 그 엄지가 가리키는 방향이

B

의 방향이다.

(iii) 유한한 솔레노이드의 자기장

그림과 같이 코일(전류고리가 많이 감겨 있는 전기부품)을 솔레노이드라 한다. 솔레노이드의 중심 축 임의의 점에서 자기장의 세기를 계산하여 보자.

코일에 흐르는 전류:

i

단위길이당 감긴 수:

n

dz

에 있는 총 전류:

di '  ni dz

^(29.13)

이 전류요소에 의한 점

P

에서의 자기장:

'

₃

' di d s r d B k

r

 

(29.14)

3 2

sin 90 ' '( )

ds r

o

k n

dB k nidz ids dz

r r

 

^(29.15)

i ds

는

z

축에 대해 대칭요소가 존재하므로 두 대칭 요소가 점

P

에 만드는 자기장은

dB

z 성분 만 남는다.

dB

z 계산은 (ii)의 원형고리에서 적용한 수식과 동일하다. 여기서

r 

(

R

²

 z

^{2 1/ 2}) ^.

z

cos

dB dB dB R

 r

 

^(29.16)

(29.15)를 (29.16)에 대입:

3

'

z

k nRi

dB ds dz

 r

2 0 3

'

^{R b}

z a

B k nRi ds dz r



  

 ^(29.17)

2

2 2 3/ 2

(2 )

4 2 ( )

o o b

z a

nRi n R i dz

B R

R z

  



^

 

 

^(29.18)

※ (29.18)을 삼각치환 적분을 하기 위해 (ii)의 직선도선의 자기장 그림을 참조한다.

cot

z  R 

^,

d z   R

c o t²



2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2

( ) ( cot ) csc

r  R  z  R  R   R 

2

2 2 3/ 2 3 3 2 2

csc 1 1

sin [ cos ]

( ) csc

dz R d

R z R R d R

    



    

   

2 2 1/ 2

cos ( )

z z

r R z

  



2 2 3/ 2 2 2 2 2 1/ 2

1 1

[cos ] [ ]

( ) ( )

b a

dz z

R z  R   R R z

_

 



2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2

1 [ ]

( ) ( )

b a

R R b R a

 

 

2 2 1/ 2 2 2 1/ 2

[ ]

2 ( ) ( )

o z

n i a b

B R a R b

  

 

^(29.19)

원점으로부터 좌측 끝단

z  a

^{와 우측 끝단}

z  b

^{를 잇는 선과}

y  0

축이 이루는 각을 각각

1 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2

cos , cos

( ) ( )

a b

R a R b

   

 

^(29.20)

라고 하면

1 2

(cos cos ) 2

o z

B   n i   

^(29.21)

솔레노이드의 길이를

l

이라하고, 솔레노이드의 중심 (

z  0, a   b l / 2

)에서 자기장의 세기를 계산하면,

/ 2

2 2 1/ 2 / 2 2 2 1/ 2

[ ] ( )

2 ( ) (4 )

o l

z l o

n i z l

B n i

R z R l



_



 

 

^(29.22)

왼쪽 끝을 원점에 두고 우측 끝이

x  l

되는 곳에서의 자기장의 세기는

2 2 1/ 2 0 2 2 1/ 2

[ ]

2 ( ) 2 ( )

o l o

z

n i z n i l

B R z R l

 

 

 

^(29.23)

29.3

Ampere’s law

및 적용

폐곡선(Contour C: Amperian loop^{)을 따라}

B d s 

^{를 적분하}

면 그 값은 폐 곡선 내의 총 전류

i

^에



_o를 곱한 양과 같다.

Ampere’s law^: _o

C

B d s    i



^(29.24)

우측 그림에서 반 시계방향을 따라 적분했을 때 지면으로 나오 는 전류는 양의 부호, 들어가는 전류는 음의 부호이다.

1 2

i   i i

이때

i    i

₁

i

₂ 0으로 양이면

B

는 그림에 표시된 방향이고, 음이면 반대방향이다. 자기장 계산 의 Ampere 법칙은 전기장 계산의 Gauss 법칙과 개념적으로 동등하다.

(i) 긴 도선에서의 자기장

(a) 그림과 같이 지면과 수직한 긴 직선도선에 전류

i

^{가 지면에서}

나오는 방향으로 흐를 때 도선 밖 거리

r

에서의 자기장은

(2 ) _o

C

B d s   B

C

ds  B  r   i

 

2

o

i

B r



 

^(29.25)

이것은 위에서 Biot-Savart’s law로 계산한 (29.3)과 동일하다.

(b) 원형 단면적에 전류

i

가 흐르는 긴 도선의 내부, 즉

r  R

^인

곳에서의 자기장

2 2

e n c 2 2

r r

i i i

R R



  

(29.26)

e n c

(

2

)

2 2

o o

r

B i i

r R

 

 

 

^(29.27)

보기문제 29. 4 반경

R  1.5mm

인 긴 도선에

i  32 A

가 흐른다. (a) 도선 표면에서의 자기장은 얼마인가? (b)

r  1.2 mm

에서의 자기장의 크기는 얼마인가?

(풀이) (a)

7

3 3

(4 10 T m / A)(32A)

4.27 10 T

2 2 (1.5 10 m)

o

i

B R

 

 

 



 

   



(b)

2 e n c

2 2

( )

2 2 2

o

i

o

r

o

ri

B i

r r R R

  

  

  

7 3

3

3 2

(4 10 T m / A)(1.2 10 m)(32A)

3.41 10 T (2 )(1.5 10 m)

B 



 





  

  



보기문제 29.5 우측 그림의 안쪽 반지름은

a  2.0cm

, 바깥쪽 반지름은

4.0cm

b 

인 긴 원통 도체의 단면이다. 지면에서 나오는 방향으로 전류가 흐 르며, 전류밀도의 크기는

J  cr

²⁽

c  3.0 10 A / m 

^{6 4})이다. 원통의 중심축에 서

r  3.0cm

떨어진 곳의 자기장을 구하여라.

(풀이)

di

_{en c}

 Jda  J

(2

 rdr

)



2

 cr dr

³

4 4

3 4

e n c

2 ( )

2 [ ]

4 2

r r

a a

c c r a

i   c  r dr   r   ^

4 4 4

e n c ( ) 3

[ ] ( )

2 2 2 4

o

i

o

c r a

o

c a

B r

r r r

   

 

    

7 6 4

(4 10 T m / A)(3.0 10 A / m )

B   

^



4



2 4

2 3 5

2

(2.0 10 m)

[(3.0 10 m) ] 2.04 10 T

3.0 10 m

  



     



(ii) 두 개의 평행 도체에 작용하는 자기력

두 도선에 전류가

 y

축으로 흐르고 일부 도선의 길이를

L

로 가정하면 (a) 도선

a

에 흐르는 전류

i

_a^{가 도선}

b

근처에 만드는 자기장

B

a^{와 그}

것에 의한 자기력

F

ba.

2 ( k)

a o a

B i

d



  

^(29.28)

( j) ( k) ( i)

2 2

o a o a b

ba b a b

i i i

F i L B i L

d d

 

 

      

^(29.29)

(b) 도선

b

에 흐르는 전류

i

_b가 도선

a

근처에 만드는 자기장

B

b와 그 것에 의한 자기력

F

ab^.

2 (k)

b o b

B i

r



 

^(29.30)

( j) (k) (i)

2 2

o b o a b

ab a b a

i i i

F i L B i L

d d

 

 

    

^(29.31)

도선

b

는 전류

i

_a가 만든

B

_a(도선 근방에서 지면으로 들어가는 자기장)에 의해

 x

축(좌측) 방 향으로 끌리는 자기력

F

_ba를 느낀다. 같은 논리로 도선

a

는 전류

i

_b가 만든

B

_b(도선 근방에서 지면으로 나오는 자기장)에 의해

 x

축(우측) 방향으로 끌리는 자기력

F

_ab 를 느낀다. 따라서 같 은 방향의 전류로 만들어진 자기장은 도선을 서로 잡아당기게 하며 (인력: Attractive force), 반대 방향으로 흐르는 전류로 만들어진 자기장은 도선을 서로 밀게 한다(척력: Repulsive force).

29.4 솔레노이드와 토로이드

(i) 솔레노이드( Solenoid )

솔레노이드는 다음의 그림처럼 도선을 감아 놓은 전기부품으로 자기 에너지를 축적하는 장치이다.

이것은 마치 전기 에너지를 담는 축전기와 유사하다. 아래 그림에서 보듯 각 감긴 도선의 전류고 리의 자기장은 좌우에서 옆의 고리의 자기장과 서로 방향이 반대되어 상쇄되며 오직 교차되지 않 는 쪽만 더해져 남는다. 한편 고리의 내부에서는 자기장이 응집되어 있고 외부에서는 약하다.

전류가 흐르는 쪽으로 솔레로이드를 손가락을 감아 쥐고 엄 지를 펴면 그 엄지가 가리키는 방향이 솔레노이드 내에서 자기장의 방향이다. 우측 그림의 긴 솔레노이드에

Ampere

법칙을 적용하면,

ad

^와

bc

^구간은

B

^와

d s

^{가 직각으로}

계산 값이

0

^이며,

dc

구간은 외부이므로 자기장이 약하여

0

으로 간주한다. 따라서

ab

^구간에서

만 계산된다.

o

'

C

B d s   Bh   i



^(29.32)

여기서 도선에 흐르는 전류를

i

^{라 하면}

i '

은 솔레노이드에 감긴 도선의 수에 비례하는 양이다.

단위길이당 도선이 감긴 수를

n

^{이라 하면}

ab

^{구간의 전류는}

'

i  Ni  nhi

^(29.33)

o ' o o

Bh   i   nhi  B   ni

^(29.34)

솔레노이드에 축적되는 자기장은 솔레노이드의 길이나 원통의 지름과 무관하다.

(ii) 토로이드

(

Toroid

⁾

솔레노이드의 양끝을 접합하면 토로이드가 된다. 그림과 같은 전형 적인 토로이드 내부에 반경

r

인 폐곡선을 그리면

( 2 ) '

2

o

o o

C

B d s B r i Ni B Ni

r

   

      



(29.35)

여기서

N

는 토로이드 도선의 총 감긴 수이다. 단위길이당 감긴 수 는

n  N / 2  r

^이므로

B

^{는 여전히}

B  

_o

ni

보기문제 29.6 길이

L  1.23m

^{, 안쪽 지름}

d  3.55cm

^{, 전류}

5.57A

i 

^{, 한 겹에}

850

번 감은 다섯 겹으로 된 솔레노이드 중심 에서 자기장의 세기는 얼마인가?

(풀이)

B  

_o

in  (4   10 T m / A)(5.57A)[(5 850) /1.23m)]

^7

   2.42 10 T 

^2