2020 특급기출 중학수학 3-1 기말고사 답지 정답

이차방정식과 풀이

1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯ 2 ⑴ ◯ ⑵ _ 3 ⑴ x=0 또는 x=4 ⑵ x=-2 또는 x=-9 ⑶ x=6 또는 x=-;2!; ⑷ x=;3@; 또는 x=-;4%; 4 ⑴ x=-5 또는 x=5 ⑵ x=2 또는 x=5 ⑶ x=-6 또는 x=3 ⑷ x=5 5 3 6 ⑴ x=\'6 ⑵ x=\2'3 ⑶ x=\;3%; ⑷ x=\8'5 5 7 ⑴ x=2\'5 ⑵ x=-6\'2 ⑶ x=-1\2'2 ⑷ x=2\'7 3 8 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, -1\'2 9 x=2\'5 8쪽~9쪽 01 ④ 02 ⑤ 03 ③ 04 ② 05 ⑤ 06 ② 07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ⑤ 11 ① 12 ⑤ 13 ③ 14 ① 15 ② 16 ⑤ 17 ② 18 ③ 19 3 20 3 21 x=-4 또는 x=1 22 :™4¶: 23 x=4\'ß14 01 ①, ⑤ 02 ① 03 ④ 04 ④ 05 ④ 06 ③ 07 ③ 08 ③ 09 ③ 10 ② 11 ⑤ 12 ⑤ 13 ② 14 ① 15 ③ 16 ④ 17 ④ 18 ② 19 x=;5!; 또는 x=1 20 -3 21 2 22 x=-;2#; 또는 x=;2%; 23 ⑴ a=1, b=5, c=-1, d=5 ⑵ x=-5 또는 x=5

2

22쪽~25쪽 10쪽~15쪽 01 ④ 02 3개 03 ③ 04 ⑤ 05 ④ 06 ②, ⑤ 07 x=-1 08 -3 09 ② 10 ① 11 ② 12 ④ 13 ④ 14 ② 15 ② 16 ④ 17 ⑤ 18 2 19 ① 20 ④ 21 ③ 22 ② 23 14 24 10 25 ④ 26 ① 27 ② 28 -12 29 ②, ③ 30 ② 31 ⑤ 32 34 33 ④ 34 ③ 35 9 36 2'2 37 ④ 38 ① 39 4 40 ③ 41 ① 42 ④ 43 ③ 44 x=1\'ß21₃ 45 ② 01 ⑴ -7 ⑵ x=7 01-1 ⑴ -5 ⑵ x=-;3!; 01-2 m=-1, x=-;2!; 02 x=-2\'6 02-1 x=-3\'ß11 03 23 04 3 05 1 06⑴ x=3 ⑵ -6 07 ⑴ 7 ⑵ 7개 16쪽~17쪽 1 ⑴ x=-3\'5 2 ⑵ x= 7\'ß33 4 ⑶ x=1\'2 ⑷ x=-1\'ß19 9 2 ⑴ x=1\'5 ⑵ x=-;5#; 또는 x=1 ⑶ x=-1 또는 x=9 ⑷ x=4 또는 x=5 3 ⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ 0 4 ⑴ x€-5x-14=0 ⑵ 3x€-30x+75=0 5 11, 12 28쪽

이차방정식의 근의 공식과 활용

01 2, 8 02 7 03 3 04 a=-8, b=15 05 3개 06 3 26쪽

이차함수와 그 그래프

Ⅳ. 이차함수 1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ 2 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ -;4!; 3 ⑴ 위로 ⑵ 좁아진다 ⑶ x축 4 ⑵, ⑴, ⑷, ⑶ 5 ⑴ y=-5x€-2 ⑵ y=;3!;x€+5 6 ⑴ y=-2(x-4)€ ⑵ y=;3!;(x+1)€ 7 ⑴ (0, 1), x=0 ⑵ (3, 0), x=3 ⑶ (-2, 5), x=-2 8 ⑴ a>0, p>0, q<0 ⑵ a<0, p<0, q>0 48쪽~49쪽 50쪽~55쪽 01 ④ 02 ③ 03 ③, ⑤ 04 ① 05 ③ 06 ⑤ 07 ④ 08 ④ 09 ④ 10 ①, ③ 11 ① 12 -2<a<0 13 ③ 14 -20 15 ⑤ 16 -24 17 ④ 18 ① 19 8 20 ;4#; 21 ② 22 ③ 23 ② 24 ③ 25 16 26 y=-;2!;(x-2)€ 27 6 28 ⑤ 29 ③ 30 ⑤ 31 ⑤ 32 ② 33 ④ 34 1 35 ② 36 ⑤ 37제 3 사분면, 제 4 사분면 38 ② 39 32 01 ⑴ x€+2x-9=0 ⑵ 9 01-1 ⑴ x€-6x-4=0 ⑵ 16 02 16 02-1 80 03 x=-5\'ß37 6 04 -5 05 ⑴ a=2, b=-5 ⑵ x=-1\'6 06 x=-3 또는 x=5 07 47 08 10`m 36쪽~37쪽 01 -12 01-1 9 02 4 02-1 12 02-2 -6 03 -1 04 -4 05 y=2x€+1 06 ⑴ (2, 3) ⑵ a<-;4#; 07 ⑴ A(-1, -3) ⑵ C(4, 16a) ⑶ ;4%; 56쪽~57쪽 01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ④ 05 ④ 06 ③ 07 ② 08 ④ 09 ③ 10 ⑤ 11 ① 12 ④ 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16 ④ 17 ⑤ 18 ② 19 1 20 ;2!; 21 2 22 12 23 18`cm

1

38쪽~41쪽 01 ④ 02 ③ 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ⑤ 07 ⑤ 08 ③ 09 ⑤ 10 ③ 11 ① 12 ④ 13 ② 14 ① 15 ② 16 ③ 17 ③ 18 ③ 19 -;2!; 20 -5 21 ⑴ x=3 또는 x=6 ⑵ 9 22 9 23 8`cm

2

42쪽~45쪽 29쪽~35쪽 01 ④ ₀₂ ④ ₀₃ ③ ₀₄ ① 05 ③ ₀₆ ③ ₀₇ ③ ₀₈ 36 09 ③ ₁₀ ⑤ ₁₁ ④ ₁₂ ① 13 ③ ₁₄ ① ₁₅ ② ₁₆ ③ 17 ③ 18 x=1\'5 2 19 ① 20 ② ₂₁ ⑤ ₂₂ x=-6 또는 x=5 23 ③ ₂₄ ④ ₂₅ ④ ₂₆ ② 27 ① ₂₈ ② ₂₉ 7, 11 30 ④ 31 130 32 ③ ₃₃ 35 34 ④ 35 5월 10일 ₃₆ ⑤ ₃₇ 100 38 ③ 39 10`m 40 3`m 41 ① ₄₂ ③ 43 2초후 ₄₄ 10`cm 45 2 46 ⑤ 47 ④ <sub>48</sub> 2`m 01 7월 26일 02 (-1+'5 )`cm 03 2 04 21`cm€ 05 7단계 46쪽

01 ③ 02 ⑤ 03 ② 04 ⑤ 05 ④ 06 ④ 07 ⑤ 08 ④ 09 ② 10 ① 11 ③ 12 ① 13 ④ 14 ② 15 ④ 16 ④ 17 ④ 18 ① 19 27 20 8 21 -4 22 2 23 2 01 ② 02 ⑤ 03 ③, ④ 04 ①, ⑤ 05 ① 06 ① 07 ④ 08 ② 09 ② 10 ③ 11 ④ 12 ③ 13 ③ 14 ① 15 ⑤ 16 ⑤ 17 ④ 18 ④ 19 3 20 -8 21 4 22 ⑴ a=3, p=1, q=-4 ⑵ -1 23 4

2

62쪽~65쪽 1 1, 2, 1, 2, -1, 2 2 ⑴ (1, 1), x=1 ⑵ (2, 15), x=2 ⑶ (-2, -3), x=-2 3 4 ⑴ x축과의교점：(-2, 0), (1, 0), y축과의교점：(0, 2) ⑵ x축과의교점：{-;2#;, 0}, (2, 0), y축과의교점：(0, -6) ⑶ x축과의교점：(-3, 0), (-1, 0), y축과의교점：{0, ;2#;} 5 ⑴ >, <, > ⑵ <, <, < 6 ⑴ y=2(x-1)€+3 ⑵ y=(x-2)€+1 7 ⑴ y=4x€-x-1 ⑵ y=;3!;x€+;3@;x-;3*; Y Z 0       68쪽~69쪽

이차함수의 활용

01 ① ₀₂ ④ ₀₃ ① ₀₄ ② 05 ⑤ ₀₆ ④ ₀₇ ① ₀₈ ⑤ 09 ② ₁₀ ③ ₁₁ ⑤ ₁₂ ② 13 ③ ₁₄ ② ₁₅ ① ₁₆ ③ 17 ⑤ ₁₈ ⑤ ₁₉ ⑤ ₂₀ ⑤ 21 ③ ₂₂ 8 23 ② ₂₄ 60 25 ⑤ ₂₆ ③ ₂₇ ⑤ ₂₈ ④ 29 (0, 5) 30 ⑤ ₃₁ 5 32 ⑤ 33 ④ ₃₄ (0, -9) 35 ① ₃₆ -12 37 ③ ₃₈ 6 01 y=x€-2x+9 01-1 y=2x€-4x 02 ⑴ m=12, n=-10 ⑵ (1, 0), (5, 0) 02-1 ⑴ m=4, n=-6 ⑵ (-3, 0), (1, 0) 03 (-3, -12) 04 ⑴ (-2, -5) ⑵ x<-2 05 2 06 9：8 07제 4 사분면 08 4 76쪽~77쪽 01 ④ 02 ③ 03 ② 04 ③, ④ 05 ① 06 ③ 07 ④ 08 ① 09 ⑤ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤ 13 ② 14 ⑤ 15 ② 16 ⑤ 17 ⑤ 18 ③ 19 3 20 (2, 0) 21 (1, -4) 22 30 23 8

1

78쪽~81쪽 01 ③ 02 ④ 03 ⑤ 04 ③ 05 ③ 06 ④ 07 ④ 08 ① 09 ② 10 ④ 11 ⑤ 12 ④ 13 ⑤ 14 ② 15 ③ 16 ① 17 ⑤ 18 ② 19 4 20 6 21 ⑴ (3, 4) ⑵ y=-;9$;x€+;3*;x 22 5 23 (-2, 4)

2

82쪽~85쪽 01 y=;20!0;x€, 20, 8, 50 02 ;9@; 03 16`m 04 (2, 8) 66쪽 01 y=2x€+12x+13 02제 3 사분면 03 ;3*; 04 3개 86쪽

01 47 02 ;3y6; 03 x=;2%; 또는 x=:¡3º: 04 49 05 -4 06 -8 07 -;3%; 08 30 09 6 10 ⑴ p<:™4¶: ⑵ 6 11 12 12 -3 13 10 14 3 15 0<m<2 또는 m>2 16 ㄴ, ㄹ 17 14 18 1 19 x€+x-6=0 20 36 21 32번 ₂₂ 1+'5 2 `cm 23 5초후 24 P(3, 6) 25 2`m 26 -2 27 ;1¡6; 28 825 29 18 30 ;3$; 31 0<a<;1y6; 32 x>-2 33 ;3%; 34 -18 35 0 36제 1 사분면, 제 2 사분면 37 P(2, 8) 38 48 39 2 40 15 41 k<-;2(; 42 ;3!6&; 43 -18 44 D(1, 6) 45 3 46 72 47 -6 48 y=;3@;x-;3@; 49제 1, 2, 3, 4 사분면 50 ㄱ, ㄹ 부록 88쪽~96쪽 01 ⑤ 02 ①, ④ 03 ④ 04 ⑤ 05 ② 06 ⑤ 07 ④ 08 ② 09 ④ 10 ⑤ 11 ② 12 ④ 13 ⑤ 14 ④ 15 ③ 16 ⑤ 17 ② 18 ⑤ 19 x<-2 20 6 21 ⑴ 2초후 ⑵ (10+2'ß31 )초 22 16 23 27

4

회 _{109쪽~112쪽} 01 ⑤ ₀₂ ④ ₀₃ ② ₀₄ ④ ₀₅ ⑤ 06 ④ ₀₇ ① ₀₈ ⑤ ₀₉ ⑤ ₁₀ ① 11 ① ₁₂ ⑤ ₁₃ ② ₁₄ ③ ₁₅ ③ 16 ② ₁₇ ④ ₁₈ ③ ₁₉ -4 20 -2 21 10초후 22 4 23 y=;2#;x€-6x+8

3

회 _{105쪽~108쪽} 01 ③ 02 ⑤ 03 ④ 04 ⑤ 05 ③ 06 ② 07 ④ 08 ② 09 ① 10 ③ 11 ① 12 ②, ③ 13 ⑤ 14 ⑤ 15 ② 16 ③ 17 ③ 18 ① 19 65 20 5 21 5 22 y=;2!;(x-3)€ 23 0

5

회 _{113쪽~116쪽} 01 ③ 02 ④ 03 ② 04 ③ 05 ① 06 ① 07 ② 08 ③ 09 ④ 10 ② 11 ④ 12 ① 13 ① 14 ⑤ 15 ③ 16 ⑤ 17 ⑤ 18 ② 19 -3 20 3, 8 21 15`cm 22 y=3(x+6)€+5 23 12

2

회 _{101쪽~104쪽} 01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 ④ 05 ② 06 ① 07 ① 08 ③ 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ① 13 ⑤ 14 ④ 15 ③ 16 ⑤ 17 ③ 18 ④ 19 x=0 또는 x=1 20 ;4%; 21 18 22 6 23 -1

1

회 _97쪽~100쪽

x€=:§5¢: ∴ x=\ 8 '5=\ 8'5 5

7

⑴ x=2\'5 ⑵ x=-6\'2 ⑶ x=-1\2'2 ⑷ x=2\'7₃ ⑴ (x-2)€=5에서 x-2=\'5 ∴ x=2\'5 ⑵ (x+6)€-2=0에서 (x+6)€=2 x+6=\'2 ∴ x=-6\'2 ⑶ 3(x+1)€=24에서 (x+1)€=8 x+1=\'8 =\2'2 ∴ x=-1\2'2 ⑷ (3x-2)€-7=0에서 (3x-2)€=7, 3x-2=\'7 3x=2\'7 ∴ x=2\'7₃

8

1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, -1\'2 x€+2x-1=0에서 x€+2x= 1 x€+2x+ 1 =1+ 1 (x+ 1 )€= 2 x+ 1 =\

"|

2 ∴ x= -1\'2

9

x=2\'5 x€=4x+1에서 x€-4x=1 x€-4x+4=1+4 (x-2)€=5 x-2=\'5 ∴ x=2\'5

1

⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯ ⑴ x€=5x+6에서 x€-5x-6=0이므로 이차방정식이다. ⑵ x€-2x+1은 이차방정식이 아니다. (다항식) ⑶ (x+2)€=x€에서 x€+4x+4=x€, 4x+4=0이므로 이차방정식이 아니다. (일차방정식) ⑷ 2x(x-1)=0에서 2x€-2x=0이므로 이차방정식이다.

2

⑴ ◯ ⑵ _ ⑴ x=-3을 x€-9=0에 대입하면 (-3)€-9=0이므로 x=-3은 이차방정식 x€-9=0의 해이다. ⑵ x=1을 x€-3x+4=0에 대입하면 1€-3_1+4=2+0이므로 x=1은 이차방정식 x€-3x+4=0의 해가 아니다.

3

⑴ x=0 또는 x=4 ⑵ x=-2 또는 x=-9 ⑶ x=6 또는 x=-;2!; ⑷ x=;3@; 또는 x=-;4%; ⑴ x(x-4)=0에서 x=0 또는 x-4=0 ∴ x=0 또는 x=4 ⑵ (x+2)(x+9)=0에서 x+2=0 또는 x+9=0 ∴ x=-2 또는 x=-9 ⑶ (x-6)(2x+1)=0에서 x-6=0 또는 2x+1=0 ∴ x=6 또는 x=-;2!; ⑷ (3x-2)(4x+5)=0에서 3x-2=0 또는 4x+5=0 ∴ x=;3@; 또는 x=-;4%;

4

⑴ x=-5 또는 x=5 ⑵ x=2 또는 x=5 ⑶ x=-6 또는 x=3 ⑷ x=5 ⑴ x€-25=0에서 (x+5)(x-5)=0이므로 x+5=0 또는 x-5=0 ∴ x=-5 또는 x=5 ⑵ x€-7x+10=0에서 (x-2)(x-5)=0이므로 x-2=0 또는 x-5=0 ∴ x=2 또는 x=5 ⑶ x€+3x-18=0에서 (x+6)(x-3)=0이므로 x+6=0 또는 x-3=0 ∴ x=-6 또는 x=3 ⑷ x€-10x+25=0에서 (x-5)€=0이므로 x-5=0 또는 x-5=0 ∴ x=5

5

3 이차방정식 x€+6x+3k=0이 중근을 가지려면 좌변이 완전제 곱식으로 인수분해되어야 한다. 따라서 3k={;2^;}€에서 3k=9 ∴ k=3

6

⑴ x=\'6 ⑵ x=\2'3 ⑶ x=\;3%; ⑷ x=\8'5 5 ⑴ x€=6에서 x=\'6 ⑵ x€-12=0에서 x€=12 ∴ x=\'ß12 =\2'3 ⑶ 9x€=25에서 x€=:™9y: ∴ x=\;3%; ⑷ 5x€-64=0에서 5x€=64 8쪽~9쪽

이차방정식과 풀이

Ⅲ. 이차방정식

0

1

④ ① x€(x+1)=x‹에서 x‹+x€=x‹, x€=0이므로 이차방정식 이다. ② x€-1 2 =x에서 ;2!;x€-x-;2!;=0이므로 이차방정식이다. ③ (x+1)(x-1)=0에서 x€-1=0이므로 이차방정식이다. ④ 3x(x+1)=3x€+3에서 3x€+3x=3x€+3, 3x-3=0이 므로 이차방정식이 아니다. ⑤ 4x€+3x=x€-3에서 3x€+3x+3=0이므로 이차방정식이 다. 따라서 x에 대한 이차방정식이 아닌 것은 ④이다.

0

2

3개 ㄱ. x€+5x+2는 이차방정식이 아니다. ㄴ. (3x+1)€=(3x-1)€에서 9x€+6x+1=9x€-6x+1, 12x=0이므로 이차방정식이 아니다. x에 대한 이차방정식

ax€+bx+c=0 (a, b, c는 상수, a+0) 꼴로 나타내어지는 방정식

유형

01

1 1 10쪽 10쪽~15쪽

ㄷ. 4x+1=x€에서 x€-4x-1=0이므로 이차방정식이다. ㄹ. ;5!;x€-2x=0은 이차방정식이다. ㅁ. x€=(x€+1)€에서 x€=x›+2x€+1, x›+x€+1=0이므로 이차방정식이 아니다. ㅂ. x(x+1)(x+2)=x‹에서 x(x€+3x+2)=x‹, x‹+3x€+2x=x‹, 3x€+2x=0이므로 이차방정식이다. 따라서 이차방정식인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅂ의 3개이다.

0

3

③ 4ax€-x=8x€-12에서 (4a-8)x€-x+12=0 x에 대한 이차방정식이 되려면 4a-8+0 ∴ a+2 x=p가 이차방정식 ax€+bx+c=0의 해이다. x=p를 ax€+bx+c=0에 대입하면 등식이 성립한다. ap€+bp+c=0 유형

02

11 10쪽

0

4

⑤ x=2를 이차방정식에 각각 대입하면 ① (2+2)€=16+0 ② (2-3)€=1+-1 ③ 2€-2_2-8=-8+0 ④ (2+2)(2-3)=-4+0 ⑤ 2€-5_2+6=0 따라서 x=2를 해로 갖는 것은 ⑤이다.

0

5

④ $ & 안의 수를 주어진 이차방정식에 각각 대입하면 ① (-1)€=1+-1-1=-2 ② (-2-2)€=16+0 ③ 2€+2-2=4+0 ④ 2_4€-10_4+8=0 ⑤ (3_1-1)€=4+1-3=-2 따라서 $ & 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ④이다.

0

6

②, ⑤ $ & 안의 수를 주어진 이차방정식에 각각 대입하면 ① 1€-1-2=-2+0 ② (-4)€+2_(-4)-8=0 ③ 4€+5_4+4=40+0 ④ 3_{-;3!;}€+2_{-;3!;}-1=-;3$;+0 ⑤ 2_(-6)€-3=69=(-6)€-3_(-6)+15 따라서 $ & 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ②, ⑤이다.

0

7

x=-1 -1<x<2인 정수 x는 -1, 0, 1이므로 x€-2x-3=0에 각각 대입하면 x=-1일 때, (-1)€-2_(-1)-3=0 x=0일 때, 0€-2_0-3=-3+0 x=1일 때, 1€-2_1-3=-4+0 따라서 이차방정식의 해는 x=-1이다. 이차방정식의 한 근이 주어지면 주어진 근을 이차방정식에 대입 하여 미지수의 값을 구한다. 유형

03

11 11111 10쪽

0

8

-3 x=2를 x€+ax-(a+1)=0에 대입하면 2€+a_2-(a+1)=0, 4+2a-a-1=0 a+3=0 ∴ a=-3

0

9

② x=-1을 ax€-x+7=0에 대입하면

a_(-1)€-(-1)+7=0에서 a+1+7=0 ∴ a=-8 x=1을 x€+5x-2b=0에 대입하면 1€+5_1-2b=0에서 6-2b=0 ∴ b=3 ∴ a+b=-8+3=-5

10

① x=-2를 x€+ax+b=0에 대입하면 (-2)€+a_(-2)+b=0에서 -2a+b=-4 …… ㉠ x=5를 x€+ax+b=0에 대입하면 5€+5a+b=0에서 5a+b=-25 …… ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-3, b=-10 ∴ a+2b=-3+2_(-10)=-23 이차방정식 x€+ax+b=0의 한 근이 x=a일 때 a€+aa+b=0 a€+aa=-b a+ b a=-a (단, a+0) 유형

04

111 11111 11쪽

11

② x=k를 x€-6x+8=0에 대입하면 k€-6k+8=0에서 k€-6k=-8 ∴ (k€-6k+7)(k€-6k+9) =(-8+7)_(-8+9) =(-1)_1=-1

12

④ x=a를 x€+3x-4=0에 대입하면 a€+3a-4=0에서 a€+3a=4 x=b를 2x€-x-6=0에 대입하면 2b€-b-6=0에서 2b€-b=6 ∴ 2a€+6a-2b€+b =2(a€+3a)-(2b€-b) =2_4-6=2

13

④ x=a를 x€-3x-2=0에 대입하면 a€-3a-2=0 ㄱ. a€-3a-2=0에서 a€-3a=2

ㄴ. a>0이므로 a€-3a-2=0의 양변을 a로 나누면 a-3-;a@;=0 ∴ a-;a@;=3

이때 a+;a@;>0이므로 a+;a@;='ß17 ㄹ. a€-3a-2=0의 양변에 -2를 곱하면 -2a€+6a+4=0 ∴ -2a€+6a=-4 ㅁ. a€-3a-2=0의 양변에 3을 곱하면 3a€-9a-6=0, 3a€-9a=6 ∴ 3a€-9a+1=6+1=7 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다. 이차방정식의 좌변이 인수분해되면 ❶ 좌변을 인수분해하여 AB=0 꼴로 만든다. ❷ AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이용하여 방정식을 푼다. 유형

05

 1!11"1 11쪽

14

② ① (2x-1)(x-2)=0에서 2x-1=0 또는 x-2=0 ∴ x=;2!; 또는 x=2 ② (2x-1)(x+2)=0에서 2x-1=0 또는 x+2=0 ∴ x=;2!; 또는 x=-2 ③ (2x+1)(x+2)=0에서 2x+1=0 또는 x+2=0 ∴ x=-;2!; 또는 x=-2 ④ 2(x+1)(x-2)=0에서 x+1=0 또는 x-2=0 ∴ x=-1 또는 x=2 ⑤ 2(x+1)(x+2)=0에서 x+1=0 또는 x+2=0 ∴ x=-1 또는 x=-2 따라서 해가 x=;2!; 또는 x=-2인 것은 ②이다.

15

② 2x€+x-6=0에서 (x+2)(2x-3)=0 x+2=0 또는 2x-3=0 ∴ x=-2 또는 x=;2#;

16

④ x€-3x-28=0에서 (x+4)(x-7)=0 x+4=0 또는 x-7=0 ∴ x=-4 또는 x=7 이때 a>b이므로 a=7, b=-4 ∴ a-b=7-(-4)=11

17

⑤ x€+x-6=0에서 (x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 2x€-5x+2=0에서 (2x-1)(x-2)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=2 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=2이다.

18

2 x€-6x-7=0에서 (x+1)(x-7)=0 ∴ x=-1 또는 x=7 3x€+2x-1=0에서 (3x-1)(x+1)=0 ∴ x=;3!; 또는 x=-1 두 이차방정식을 동시에 만족시키는 x의 값은 -1이므로 a=-1 ∴ a€-a=(-1)€-(-1)=2 이차방정식 ax€+bx+c=0의 한 근이 이차방정식 px€+qx+r=0의 한 근인 경우 ❶ 이차방정식 ax€+bx+c=0의 근을 구한다. ❷ ❶에서 구한 근 중 조건에 맞는 근을 이차방정식 px€+qx+r=0에 대입하여 미지수의 값을 구한다. 유형

06

11#!1 12쪽

19

① x€-3x-18=0에서 (x+3)(x-6)=0 ∴ x=-3 또는 x=6 두 근 중 큰 근은 x=6이므로 x=6을 2x€+ax+6=0에 대입하면

2_6€+6a+6=0, 6a=-78 ∴ a=-13

20

④ 3x€+5x-2=0에서 (3x-1)(x+2)=0 ∴ x=;3!; 또는 x=-2 두 근 중 작은 근은 x=-2이므로 x=-2를 x€-kx-4k=0에 대입하면 (-2)€-k_(-2)-4k=0, 4+2k-4k=0 -2k=-4 ∴ k=2

21

③ 2x€+5x-3=0에서 (2x-1)(x+3)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=-3 2x€-7x+3=0에서 (2x-1)(x-3)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=3 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=;2!;이므로 x=;2!; 을 6x€-5x+a=0에 대입하면 6_{;2!;}€-5_;2!;+a=0, ;2#;-;2%;+a=0 a-1=0 ∴ a=1 이차방정식의 한 근이 주어진 경우 ❶ 주어진 한 근을 이차방정식에 대입하여 미지수의 값을 구한다. ❷ 미지수의 값을 원래의 이차방정식에 대입하여 다른 한 근을 구한다. 유형

07

11 11$%1111 12쪽

22

② x=4를 2x€-7x+k=0에 대입하면 2_4€-7_4+k=0, 32-28+k=0 ∴ k=-4 k=-4를 주어진 이차방정식에 대입하면 2x€-7x-4=0에서 (2x+1)(x-4)=0 ∴ x=-;2!; 또는 x=4 따라서 다른 한 근은 x=-;2!;이다.

23

14 x=-5를 x€+ax+15=0에 대입하면 (-5)€-5a+15=0, -5a=-40 ∴ a=8 a=8을 x€+ax+15=0에 대입하면 x€+8x+15=0에서 (x+3)(x+5)=0 ∴ x=-3 또는 x=-5 따라서 다른 한 근은 x=-3이다. x=-3을 3x€+7x+b=0에 대입하면 3_(-3)€+7_(-3)+b=0 27-21+b=0 ∴ b=-6 ∴ a-b=8-(-6)=14

24

10 x=2를 ax€-2x+a€+4=0에 대입하면

a_2€-2_2+a€+4=0, 4a-4+a€+4=0, a€+4a=0 a(a+4)=0 ∴ a=0 또는 a=-4

이때 a+0이므로 a=-4 a=-4를 주어진 이차방정식에 대입하면 -4x€-2x+20=0에서 2x€+x-10=0 (2x+5)(x-2)=0 ∴ x=-;2%; 또는 x=2 따라서 다른 한 근은 x=-;2%;이므로 b=-;2%; ∴ ab=(-4)_{-;2%;}=10

25

④ x€+2(a-1)x+a+1=0의 일차항의 계수와 상수항을 바꾸면 x€+(a+1)x+2(a-1)=0 x=-3을 x€+(a+1)x+2(a-1)=0에 대입하면 (-3)€-3(a+1)+2(a-1)=0, -a+4=0 ∴ a=4 a=4를 처음 이차방정식에 대입하면 x€+6x+5=0에서 (x+1)(x+5)=0 ∴ x=-1 또는 x=-5 두 근 중 큰 근은 x=-1이므로 k=-1 ∴ a+k=4+(-1)=3 이차방정식이 (완전제곱식)=0 꼴로 인수분해되면 이차방정식 은 중근을 갖는다. 유형

08

1&1 13쪽

26

① ① x€=1에서 x€-1=0, (x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=1 ② (x-1)€=0에서 x=1 ③ x€-14x+49=0에서 (x-7)€=0 ∴ x=7 ④ 9x€=30x-25에서 9x€-30x+25=0, (3x-5)€=0 ∴ x=;3%; ⑤ 2x€-12x+18=0에서 x€-6x+9=0, (x-3)€=0 ∴ x=3 따라서 중근을 갖지 않는 것은 ①이다.

27

② ㄱ. x€-2x+1=0에서 (x-1)€=0 ∴ x=1 ㄴ. x€=4에서 x€-4=0, (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 ㄷ. -2x€+4x+6=0에서 x€-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 ㄹ. 3x€+18x=-27에서 3x€+18x+27=0 x€+6x+9=0, (x+3)€=0 ∴ x=-3 따라서 중근을 갖는 것은 ㄱ, ㄹ이다. 이차방정식 ax€+bx+c=0이 중근을 갖는다. 이차방정식 ax€+bx+c=0이 a(x-p)€=0 꼴로 인수분해 된다. 참고 _{이차방정식 x€+ax+b=0이 중근을 가질 조건 b={;2A;}€} 유형

09

1&1'1()1 13쪽

28

-12 x€+6x-3-a=0이 중근을 가지므로 -3-a={;2^;}€에서 -3-a=9 -a=12 ∴ a=-12

29

②, ③ x€+2(a+1)x+25=0이 중근을 가지므로 25=[2(a+1) 2 ]€에서 25=(a+1)€ 25=a€+2a+1, a€+2a-24=0

(a+6)(a-4)=0 ∴ a=-6 또는 a=4 따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ②, ③이다.

30

②

2x€+8x+a=0, 즉 x€+4x+;2A;=0이 중근을 가지므로 ;2A;={;2$;}€에서 ;2A;=4 ∴ a=8

a=8을 주어진 이차방정식에 대입하면 2x€+8x+8=0이므로 x€+4x+4=0 (x+2)€=0 ∴ x=-2 ∴ k=-2

31

⑤ x€-2(a-3)x+2a-7=0이 중근을 가지므로

37

④

(x+3)€=-a+5가 서로 다른 두 근을 가지려면 -a+5>0, -a>-5 ∴ a<5

38

① {x-;2!;}€=2k+3이 근을 가지려면 2k+3>0, 2k>-3 ∴ k>-;2#; 따라서 k의 값으로 옳지 않은 것은 ①이다.

39

4 (2x+1)€=6k+1에서 2x+1=\'ß6k+1 2x=-1\'ß6k+1 ∴ x=-1\'ß6k+1 2 이 해가 정수가 되려면 'ß6k+1 이 홀수인 자연수가 되어야 한다. 즉, 6k+1=1€, 3€, 5€, 7€, y이어야 하므로 6k+1=1, 9, 25, 49, y ∴ k=0, ;3$;, 4, 8, y 따라서 자연수 k의 최솟값은 4이다. 이차방정식 ax€+bx+c=0의 좌변이 인수분해되지 않으면 이차방정식의 좌변을 완전제곱식 꼴로 바꾼 후, 제곱근을 이용하 여 이차방정식을 푼다. ax€+bx+c=0 (x-p)€=q x=p\'q 유형

11

_{*+,-1!11"1} 15쪽

40

③ x€-12x-7=0에서 x€-12x=7 x€-12x+36=7+36, (x-6)€=43 따라서 a=-6, b=43이므로 a+b=-6+43=37

41

① ;2!;x€-3x-3=0에서 x€-6x-6=0 x€-6x=6, x€-6x+9=6+9, (x-3)€=15 따라서 p=-3, q=15이므로 3p+q=3_(-3)+15=6

42

④ 2x€-4x-12=0에서 x€-2x- 6 =0 x€-2x= 6 x€-2x+ 1 = 6 + 1 (x- 1 )€= 7 x- 1 =\

"|

7 ∴ x= 1\'7 따라서 ① 6 ② 1 ③ 1 ④ 7 ⑤ 1\'7 이므로 알맞은 것은 ④이다.

43

③ x€-8x+6=0에서 x€-8x=-6 2a-7=[-2(a-3) 2 ]€에서 2a-7=(a-3)€ 2a-7=a€-6a+9, a€-8a+16=0 (a-4)€=0 ∴ a=4 a=4를 주어진 이차방정식에 대입하면 x€-2x+1=0이므로 (x-1)€=0 ∴ x=1

32

34 x€+12x+a+5=0이 중근을 가지므로 a+5={:¡2™:}€에서 a+5=36 ∴ a=31 x€-2bx+2b+3=0이 중근을 가지므로 2b+3={-2b₂ }€에서 2b+3=b€ b€-2b-3=0, (b+1)(b-3)=0 ∴ b=-1 또는 b=3 이때 b>0이므로 b=3 ∴ a+b=31+3=34 ⑴ x€=q (q>0)이면 x=\'q ⑵ (x-p)€=q (q>0)이면 x=p\'q 참고 _{이차방정식 (x-p)€=q에 대하여} 참고 _{① 서로 다른 두 근을 갖는다. q>0} 참고 _{② 중근을 갖는다. q=0} 참고 _{③ 해가 없다. q<0} 유형

10

,-1!11"1 14쪽 해를 가질 조건 q>0

33

④ (2x+3)€=5에서 2x+3=\'5 2x=-3\'5 ∴ x=-3\'5₂

34

③ ① (x-3)€=2에서 x-3=\'2 ∴ x=3\'2 ② (x-2)€=3에서 x-2=\'3 ∴ x=2\'3 ③ (x+2)€=3에서 x+2=\'3 ∴ x=-2\'3 ④ (x+3)€=2에서 x+3=\'2 ∴ x=-3\'2 ⑤ (2x-1)€=3에서 2x-1=\'3 2x=1\'3 ∴ x=1\'3 2 따라서 해가 x=-2\'3 인 것은 ③이다.

35

9 4(x-3)€-24=0에서 (x-3)€=6 x-3=\'6 ∴ x=3\'6 따라서 A=3, B=6이므로 A+B=3+6=9

36

2'2 (x-7)€-2=0에서 (x-7)€=2 x-7=\'2 ∴ x=7\'2 따라서 두 근의 차는 (7+'2 )-(7-'2 )=2'2

x€-8x+16=-6+16, (x-4)€=10 x-4=\'ß10 ∴ x=4\'ß10 따라서 A=16, B=4, C=10이므로 A+B-C=16+4-10=10

44

x=1\'ß21 3 3x€-6x-4=0에서 x€-2x-;3$;=0 x€-2x=;3$;, x€-2x+1=;3$;+1 (x-1)€=;3&;, x-1=\'ß21 3 ∴ x=1\'ß21 3

45

② 2x€+10x-1=0에서 x€+5x-;2!;=0 x€+5x=;2!;, x€+5x+:™4y:=;2!;+:™4y: {x+;2%;}€=:™4¶:, x+;2%;=\3'3₂ ∴ x=-5\3'3 2 따라서 a=-5, b=3이므로 a+b=-5+3=-2

0

1-2

m=-1, x=-;2!; 채점 기준 ₁ m의 값 구하기 … 3점 x=-2를 (m-1)x€-(m€-2m+2)x-2=0에 대입하면 4(m-1)+2(m€-2m+2)-2=0에서 2m€=2 ∴ m=\1 이때 m-1+0이므로 m+1 ∴ m=-1 채점 기준 ₂ 다른 한 근 구하기 … 3점 m=-1을 (m-1)x€-(m€-2m+2)x-2=0에 대입하면 -2x€-5x-2=0에서 2x€+5x+2=0 (2x+1)(x+2)=0 ∴ x=-;2!; 또는 x=-2 따라서 다른 한 근은 x=-;2!;이다.

0

2

x=-2\'6 채점 기준 ₁ (x-p)€=q 꼴로 나타내기 … 3점 2x€+8x-4=0에서 x€+4x=2 x€+4x+4 =6 (x+ 2 )€=6 채점 기준 ₂ 제곱근을 이용하여 해 구하기 … 1점 x+ 2 =\

_"|

6 ∴ x=-2\'6

0

2-1

x=-3\'ß11 채점 기준 1 (x-p)€=q 꼴로 나타내기 … 3점 x€+6x-2=0에서 x€+6x=2 x€+6x+9=11 (x+3)€=11 채점 기준 2 제곱근을 이용하여 해 구하기 … 1점 x+3=\'ß11 ∴ x=-3\'ß11

0

3

23 x=a를 x€-5x+1=0에 대입하면 a€-5a+1=0 양변을 a로 나누면 a-5+;a!;=0 ∴ a+;a!;=5 …… ❶ ∴ a€+ 1 a€={a+;a!;}€-2=25-2=23 …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ a+;a!;의 값 구하기 2점 ❷ a€+ 1 a€의 값 구하기 2점

0

4

3 x€-2x-15=0에서 (x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5 두 근 중 양수인 근은 x=5이므로 …… ❶ x=5를 x€-kx-10=0에 대입하면 5€-k_5-10=0, 5k=15 ∴ k=3 …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ 주어진 이차방정식의 두 근 중 양수인 근 구하기 2점 ❷ k의 값 구하기 2점 16쪽~17쪽

0

1

⑴ -7 ⑵ x=7 ⑴ 채점 기준 1 a의 값 구하기 … 2점 x=-1을 x€+(a+1)x-7=0에 대입하면 (-1)€+(a+1)_(-1)-7=0, -a-7=0 ∴ a=-7 ⑵ 채점 기준 2 다른 한 근 구하기 … 2점 a=-7을 x€+(a+1)x-7=0에 대입하면 x€- 6 x-7=0에서 (x+1)( x-7 )=0 ∴ x=-1 또는 x=7 따라서 다른 한 근은 x=7이다.

0

1-1

⑴ -5 ⑵ x=-;3!; ⑴채점 기준 ₁ a의 값 구하기 … 2점 x=2를 3x€+ax-2=0에 대입하면 3_2€+a_2-2=0, 12+2a-2=0 2a=-10 ∴ a=-5 ⑵채점 기준 ₂ 다른 한 근 구하기 … 2점 a=-5를 3x€+ax-2=0에 대입하면 3x€-5x-2=0에서 (3x+1)(x-2)=0 ∴ x=-;3!; 또는 x=2 따라서 다른 한 근은 x=-;3!;이다.

0

5

1 이차방정식 x€+10x+p=0이 중근을 가지므로 p={:¡2º:}€에서 p=25 …… ❶ p=25를 x€-2qx+p+11=0에 대입하면 x€-2qx+36=0 이 이차방정식이 중근을 가지므로 36={-2q₂ }€에서 q€=36 ∴ q=\6 이때 q는 자연수이므로 q=6 …… ❷ ∴ p-4q=25-4_6=1 …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ p의 값 구하기 2점 ❷ q의 값 구하기 3점 ❸ p-4q의 값 구하기 1점

0

6

⑴ x=3 ⑵ -6 ⑴ x€+5x-24=0에서 (x+8)(x-3)=0 ∴ x=-8 또는 x=3 (x+2)€=25에서 x+2=\5 ∴ x=-7 또는 x=3 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=3이다. …… ❶ ⑵ x=3을 3x€+(a+1)x+2a=0에 대입하면 3_3€+(a+1)_3+2a=0 27+3a+3+2a=0, 5a=-30 ∴ a=-6 …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ 두 이차방정식의 공통인 근 구하기 4점 ❷ a의 값 구하기 2점

0

7

⑴ 7 ⑵ 7개 ⑴ (x+4)€=m(2x+1)에서 x€+8x+16=2mx+m, x€+(8-2m)x+16-m=0 이 이차방정식이 중근을 가지므로 16-m={ 8-2m 2 }€에서 16-m=16-8m+m€ m€-7m=0, m(m-7)=0 ∴ m=0 또는 m=7 이때 m+0이므로 m=7 …… ❶ ⑵ m=7을 2x€-(2m-1)x-m=0에 대입하면 2x€-13x-7=0, (2x+1)(x-7)=0 ∴ x=-;2!; 또는 x=7 …… ❷ 따라서 -;2!; 과 7 사이에 있는 정수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6이므 로 두 근 사이에 있는 정수는 모두 7개이다. …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ m의 값 구하기 3점 ❷ 이차방정식 2x€-(2m-1)x-m=0의 해 구하기 3점 ❸ 두 근 사이에 있는 정수는 모두 몇 개인지 구하기 1점

0

1

④ 유형01 ① 2x+8=0은 이차방정식이 아니다. ② x€-2x+3=x€+1에서 -2x+2=0이므로 이차방정식이 아니다. ③ x(x+1)=x€+5에서 x€+x=x€+5, x-5=0이므로 이 차방정식이 아니다. ④ 3x€-x+1=x€+2x에서 2x€-3x+1=0이므로 이차방정 식이다. ⑤ (x+1)(x-1)=x(x+1)에서 x€-1=x€+x, -x-1=0 이므로 이차방정식이 아니다. 따라서 이차방정식인 것은 ④이다.

0

2

⑤ 유형01 ax€+4x-1=2x(x-1)에서 ax€+4x-1=2x€-2x, (a-2)x€+6x-1=0 x에 대한 이차방정식이 되려면 a-2+0 ∴ a+2

0

3

③ 유형02 x=1을 이차방정식에 각각 대입하면 ① 1€-2_1-1=-2+0 ② 1€-4_1-4=-7+0 ③ 2_1€-1-1=0 ④ 2_1€+3_1-4=1+0 ⑤ (1+2)€=9+4 따라서 x=1을 해로 갖는 것은 ③이다.

0

4

② 유형03 x=2를 x€+ax-6=0에 대입하면 2€+a_2-6=0, 2a=2 ∴ a=1 x=2를 x€+(b+3)x-2=0에 대입하면 2€+2(b+3)-2=0, 2b=-8 ∴ b=-4 ∴ a+b=1+(-4)=-3

0

5

⑤ 유형04 x=a를 x€-6x+1=0에 대입하면 a€-6a+1=0 양변을 a로 나누면 a-6+;a!;=0 ∴ a+;a!;=6 참고 _{a€-6a+1=0에 a=0을 대입하면 0€-6_0+1=1+0} 이므로 a+0이다. 따라서 a€-6a+1=0의 양변을 a로 나눌 수 있다. 01 ④ ₀₂ ⑤ ₀₃ ③ ₀₄ ② ₀₅ ⑤ 06 ② ₀₇ ③ ₀₈ ⑤ ₀₉ ④ ₁₀ ⑤ 11 ① ₁₂ ⑤ ₁₃ ③ ₁₄ ① ₁₅ ② 16 ⑤ ₁₇ ② ₁₈ ③ ₁₉ 3 20 3 21 x=-4 또는 x=1 22 :™4¶: 23 x=4\'ß14 18쪽~21쪽

1

0

6

② 유형04

x=a를 x€+x-1=0에 대입하면 a€+a-1=0에서 1-a=a€, 1-a€=a ∴ a€ 1-a -4a 1-a€= a€ a€ -4a a =1-4=-3

0

7

③ 유형05 ① (2x+1)(x+1)=0에서 x=-;2!; 또는 x=-1 ② (2x-1)(x+1)=0에서 x=;2!; 또는 x=-1 ③ (2x+1)(x-1)=0에서 x=-;2!; 또는 x=1 ④ (2x-1)(x-1)=0에서 x=;2!; 또는 x=1 ⑤ 2(x-1)(x+1)=0에서 x=1 또는 x=-1 따라서 해가 x=-;2!; 또는 x=1인 것은 ③이다.

0

8

⑤ 유형05 x€-6x-16=0에서 (x-8)(x+2)=0 ∴ x=8 또는 x=-2 따라서 두 근의 합은 8+(-2)=6

0

9

④ 유형05 x€+x-12=0에서 (x+4)(x-3)=0 ∴ x=-4 또는 x=3 3x€-11x+6=0에서 (3x-2)(x-3)=0 ∴ x=;3@; 또는 x=3 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=3이다.

10

⑤ 유형05 x€-(a+7)x+7a=0에서 (x-a)(x-7)=0 ∴ x=7 또는 x=a x€+3ax+3a-1=0에서 (x+3a-1)(x+1)=0 ∴ x=-3a+1 또는 x=-1 1 공통인 근이 x=7일 때, -3a+1=7 ∴ a=-2 2 공통인 근이 x=-1일 때, a=-1 3 x=a, x=-3a+1이 공통인 근일 때,

a=-3a+1, 4a=1 ∴ a=;4!; 따라서 모든 상수 a의 값의 곱은 (-2)_(-1)_;4!;=;2!;

11

① 유형06 2x€+x-15=0에서 (2x-5)(x+3)=0 ∴ x=;2%; 또는 x=-3 두 근 중 음수인 근은 x=-3이므로 x=-3을 x€-ax+3=0에 대입하면 (-3)€-a_(-3)+3=0, 9+3a+3=0 3a=-12 ∴ a=-4

12

⑤ 유형07 x=-3을 5x€+2ax-3=0에 대입하면 5_(-3)€+2a_(-3)-3=0, -6a+42=0 -6a=-42 ∴ a=7 a=7을 5x€+2ax-3=0에 대입하면 5x€+14x-3=0에서 (5x-1)(x+3)=0 ∴ x=;5!; 또는 x=-3 따라서 다른 한 근은 x=;5!;이므로 b=;5!; ∴ a+5b=7+5_;5!;=8

13

③ 유형08 유형10 ㄱ. (x+1)€=4에서 x+1=\2, x=-1\2 ∴ x=1 또는 x=-3 ㄴ. x€=12x-36에서 x€-12x+36=0 (x-6)€=0 ∴ x=6 ㄷ. 4x€+4x+1=0에서 (2x+1)€=0 ∴ x=-;2!; ㄹ. x€-1=0에서 (x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=1 따라서 중근을 갖는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

14

① 유형09 x€+2x+3+a=0이 중근을 가지므로 3+a={;2@;}€에서 3+a=1 ∴ a=-2 a=-2를 x€+2x+3+a=0에 대입하면 x€+2x+1=0에서 (x+1)€=0 ∴ x=-1 따라서 b=-1이므로 a+b=(-2)+(-1)=-3

15

② 유형10 5(x-2)€=15에서 (x-2)€=3 x-2=\'3 ∴ x=2\'3 따라서 a=2, b=3이므로 a+b=2+3=5

16

⑤ 유형10 4(x-5)€=a에서 (x-5)€=;4A; 이때 a는 양수이므로 x-5=\'a 2 ∴ x=5\'a 2 두 근의 차가 3이므로 {5+'a 2 }-{5-'a 2 }=3, 'a=3 ∴ a=9

17

② 유형11 3x€-12x+2=0에서 x€-4x+;3@;=0

채점 기준 배점 ❶ a의 값 구하기 3점 ❷ 처음 이차방정식의 해 구하기 4점

22

:™4¶: 유형09 3x€+ax+12=0, 즉 x€+;3A;x+4=0이 중근을 가지므로 4={;2!;_;3A;}€에서 4=a€ 36

a€=144 ∴ a=-12 또는 a=12 …… ❶ 4x€-3x+b=0, 즉 x€-;4#;x+;4B;=0이 중근을 가지므로 ;4B;=[;2!;_{-;4#;}]€에서 ;4B;=;6ª4; ∴ b=;1ª6; …… ❷ 따라서 ab의 최댓값은 a=12, b=;1ª6;일 때이므로 ab=12_;1ª6;=:™4¶: …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ a의 값 구하기 2점 ❷ b의 값 구하기 2점 ❸ ab의 최댓값 구하기 3점

23

x=4\'ß14 유형11 3x€-24x+6=0에서 x€-8x+2=0 x€-8x=-2, x€-8x+16=-2+16 (x-4)€=14 …… ❶ x-4=\'ß14 ∴ x=4\'ß14 …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ (x-p)€=q 꼴로 나타내기 4점 ❷ 제곱근을 이용하여 해 구하기 2점 x€-4x=-;3@;, x€-4x+4=-;3@;+4 ∴ (x-2)€=:¡3º: 따라서 p=-2, q=:¡3º:이므로 p+3q=-2+3_:¡3º:=8

18

③ 유형11 x€+8x-5=0에서 x€+8x=5 x€+8x+16=5+16, (x+4)€=21 ∴ x=-4\'ß21 따라서 a=16, b=4, c=21이므로 a+b-c=16+4-21=-1

19

3 유형03 x=1을 ax€+bx-1=0에 대입하면 a+b-1=0 ∴ a+b=1 yy ㉠ x=-1을 3ax€+bx-7=0에 대입하면 3a-b-7=0 ∴ 3a-b=7 yy ㉡ …… ❶ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 ∴ a-b=2-(-1)=3 …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ a, b에 대한 연립방정식 세우기 2점 ❷ a-b의 값 구하기 2점

20

3 유형05 3x€-4x-4=0에서 (3x+2)(x-2)=0 ∴ x=-;3@; 또는 x=2 …… ❶ 6x€+7x+2=0에서 (3x+2)(2x+1)=0 ∴ x=-;3@; 또는 x=-;2!; …… ❷ 따라서 두 이차방정식의 공통인 해는 x=-;3@;이므로 k=-;3@; ∴ 1-3k=1-3_{-;3@;}=3 …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ 이차방정식 3x€-4x-4=0의 해 구하기 2점 ❷ 이차방정식 6x€+7x+2=0의 해 구하기 2점 ❸ 1-3k의 값 구하기 2점

21

x=-4 또는 x=1 유형07 x€+(a+4)x+4a=0의 x의 계수와 상수항을 바꾸면 x€+4ax+(a+4)=0 x=3을 x€+4ax+(a+4)=0에 대입하면 3€+4a_3+(a+4)=0 13a+13=0 ∴ a=-1 …… ❶ a=-1을 x€+(a+4)x+4a=0에 대입하면 x€+3x-4=0에서 (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1 …… ❷ 01 ①, ⑤ 02 ① 03 ④ 04 ④ 05 ④ 06 ③ 07 ③ 08 ③ 09 ③ 10 ② 11 ⑤ 12 ⑤ 13 ② 14 ① 15 ③ 16 ④ 17 ④ 18 ② 19 x=;5!; 또는 x=1 20 -3 21 2 22 x=-;2#; 또는 x=;2%; 23 ⑴ a=1, b=5, c=-1, d=5 ⑵ x=-5 또는 x=5 22쪽~25쪽

2

0

1

①, ⑤ 유형01 ① x€-4x+1=1-x€에서 2x€-4x=0이므로 이차방정식이다. ② 4x+1=2x-1에서 2x+2=0이므로 이차방정식이 아니다. ③ 2x(x+1)=2x€+4에서 2x€+2x=2x€+4, 2x-4=0이 므로 이차방정식이 아니다.

0

9

③ 유형03 유형05

-3x€+2x+5=0에서 3x€-2x-5=0 (3x-5)(x+1)=0 ∴ x=;3%; 또는 x=-1 1 공통인 근이 x=;3%;일 때,

x=;3%; 를 x€-ax-3=0에 대입하면

{;3%;}€-;3%;a-3=0, ;3%;a=-;9@; ∴ a=-;1™5; x=;3%; 를 ax€+5x+3=0에 대입하면

{;3%;}€_a+:™3y:+3=0, :™9y:a=-:£3¢: ∴ a=-:¡2º5™: 이때 a의 값이 서로 다르게 나오므로 공통인 근은 x=;3%;가 아니다.

2 공통인 근이 x=-1일 때,

x=-1을 x€-ax-3=0에 대입하면

(-1)€-a_(-1)-3=0, a-2=0 ∴ a=2 x=-1을 ax€+5x+3=0에 대입하면

a_(-1)€+5_(-1)+3=0, a-2=0 ∴ a=2 즉, 공통인 근은 x=-1이므로 k=-1, a=2 ∴ a+k=2+(-1)=1

10

② 유형06 x€-4x=21에서 x€-4x-21=0 (x+3)(x-7)=0 ∴ x=-3 또는 x=7 두 근 중 작은 근은 x=-3이므로 x=-3을 2x€-ax+2a-3=0에 대입하면 2_(-3)€-a_(-3)+2a-3=0

18+3a+2a-3=0, 5a=-15 ∴ a=-3

11

⑤ 유형06 유형07

x€+5x-14=0에서 (x-2)(x+7)=0 ∴ x=2 또는 x=-7

두 근 중 양수인 근은 x=2이므로 x=2를 x€-(a-1)x+a=0에 대입하면 2€-(a-1)_2+a=0, -a+6=0 ∴ a=6 a=6을 x€-(a-1)x+a=0에 대입하면 x€-5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 따라서 다른 한 근은 x=3이다.

12

⑤ 유형07 x=-2를 5x€+(a-2)x-2a=0에 대입하면 5_(-2)€+(a-2)_(-2)-2a=0 -4a=-24 ∴ a=6 a=6을 주어진 이차방정식에 대입하면 5x€+4x-12=0에서 (5x-6)(x+2)=0 ∴ x=;5^; 또는 x=-2 따라서 다른 한 근은 x=;5^;이다. ④ -x€+1=x(1-x)에서 -x€+1=x-x€, -x+1=0이 므로 이차방정식이 아니다. ⑤ x€-3=2x에서 x€-2x-3=0이므로 이차방정식이다. 따라서 이차방정식인 것은 ①, ⑤이다.

0

2

① 유형01 2x(ax-1)=-4x€+3에서 2ax€-2x=-4x€+3, (2a+4)x€-2x-3=0 x에 대한 이차방정식이 되려면 2a+4+0 ∴ a+-2

0

3

④ 유형02 $ & 안의 수를 주어진 이차방정식에 각각 대입하면 ① (-8)€-16=48+0 ② (-2)€+(-2)-6=-4+0 ③ (3-1)_(3-2)=2+3 ④ 5€-3_5-10=0 ⑤ 3_1€-2_1+5=6+0 따라서 $ & 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ④이다.

0

4

④ 유형03 x=-1을 4x€-ax-5a+8=0에 대입하면 4_(-1)€-a_(-1)-5a+8=0

4+a-5a+8=0, 4a=12 ∴ a=3

0

5

④ 유형04 x=a를 x€+3x-1=0에 대입하면 a€+3a-1=0 ① a€+3a=1 ② a€+3a-5=1-5=-4 ③ 4a€+12a=4(a€+3a)=4_1=4 ④ 3a€+9a+7=3(a€+3a)+7=3_1+7=10 ⑤ a€+3a-1=0에서 a+3-;a!;=0 ∴ a-;a!;=-3 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

0

6

③ 유형04 x=k를 5x€-(3a+2)x+5=0에 대입하면 5k€-(3a+2)k+5=0 양변을 k로 나누면 5k-(3a+2)+;k%;=0, 5k+;k%;=3a+2 양변을 5로 나누면 k+;k!;= 3a+2 5 즉, 3a+2 5 =a이므로 3a+2=5a 2a=2 ∴ a=1

0

7

③ 유형05 (x+2)(x-5)=0에서 x=-2 또는 x=5 따라서 a=-2, b=5 또는 a=5, b=-2이므로 a+b=-2+5=3

0

8

③ 유형05 x€-(a+5)x+5a=0에서 (x-a)(x-5)=0 ∴ x=a 또는 x=5 두 근의 차가 8이므로 a=-3 또는 a=13 이때 a<0이므로 a=-3

18

② 유형11 2x€+8x-1=0에서 x€+4x-;2!;=0 x€+4x=;2!;, x€+4x+4=;2!;+4 (x+2)€=;2(;, x+2=\3'2₂ ∴ x=-2\3'2 2 따라서 ① 4 ② ;2!; ③ 2 ④ ;2(; ⑤ -2\3'2 2 이므로 알맞지 않은 것은 ②이다.

19

x=;5!; 또는 x=1 유형03 유형05 x=3을 x€-x+a=0에 대입하면 3€-3+a=0 ∴ a=-6 …… ❶ a=-6을 5x€+ax+1=0에 대입하면 5x€-6x+1=0에서 (5x-1)(x-1)=0 ∴ x=;5!; 또는 x=1 …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ a의 값 구하기 2점 ❷ 이차방정식 5x€+ax+1=0의 해 구하기 2점

20

-3 유형04 x=a를 x€-2x-1=0에 대입하면 a€-2a-1=0 ∴ a€-2a=1 …… ❶ x=b를 3x€-2x-4=0에 대입하면 3b€-2b-4=0 ∴ 3b€-2b=4 …… ❷ ∴ a€-3b€-2a+2b =a€-2a-(3b€-2b) =1-4=-3 …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ a€-2a의 값 구하기 2점 ❷ 3b€-2b의 값 구하기 2점 ❸ a€-3b€-2a+2b의 값 구하기 2점

21

2 유형05 5x€+7x-6=0에서 (5x-3)(x+2)=0 ∴ x=;5#; 또는 x=-2 …… ❶ 3x€-4x-20=0에서 (3x-10)(x+2)=0 ∴ x=:¡3º: 또는 x=-2 …… ❷ 따라서 공통이 아닌 두 근은 x=;5#;, x=:¡3º:이므로 그 곱은 ;5#;_:¡3º:=2 …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ 이차방정식 5x€+7x-6=0의 해 구하기 3점 ❷ 이차방정식 3x€-4x-20=0의 해 구하기 3점 ❸ 공통이 아닌 두 근의 곱 구하기 1점

13

② 유형08 x€+20x+100=0에서 (x+10)€=0 ∴ x=-10 4x€-12x+9=0에서 (2x-3)€=0 ∴ x=;2#; 따라서 a=-10, b=;2#;이므로 ab=(-10)_;2#;=-15

14

① 유형09 x€-ax-a+3=0이 중근을 가지려면 -a+3={-a 2 }€에서 -a+3= a€ 4 a€+4a-12=0, (a+6)(a-2)=0 ∴ a=-6 또는 a=2 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 -6+2=-4

15

③ 유형10 2(x-a)€=12에서 (x-a)€=6 x-a=\'6 ∴ x=a\'6 따라서 a=-2, b=6이므로 ;aB;= 6 -2=-3

16

④ 유형10 ㄱ. k=-4이면 {x-;4!;}€=:¡3§:이므로 x-;4!;=\4'3 3 ∴ x=;4!;\ 4'3 3 따라서 서로 다른 두 근을 갖는다. ㄴ. k=0이면 {x-;4!;}€=;3*;이므로 x-;4!;=\2'6 3 ∴ x=;4!;\ 2'6 3 따라서 서로 다른 두 근을 갖는다. ㄷ. k=5이면 {x-;4!;}€=-;3@; 따라서 해가 없다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 참고 _{{x-;4!;}€= 8-2k} 3 에서 1 서로 다른 두 근을 가질 조건：8-2k 3 >0 ∴ k<4 2 중근을 가질 조건：8-2k 3 =0 ∴ k=4 3 해가 없을 조건：8-2k 3 <0 ∴ k>4

17

④ 유형11 x€-10x+5=0에서 x€-10x=-5 x€-10x+25=-5+25, (x-5)€=20 따라서 p=-5, q=20이므로 p+q=-5+20=15

22

x=-;2#; 또는 x=;2%; 유형05 유형09 x€-4x+m=0이 중근을 가지므로 m={-4 2 }€ ∴ m=4 …… ❶ m=4를 mx€-mx-15=0에 대입하면 4x€-4x-15=0에서 (2x+3)(2x-5)=0 ∴ x=-;2#; 또는 x=;2%; …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ m의 값 구하기 3점 ❷ 이차방정식 mx€-mx-15=0의 해 구하기 3점

23

⑴ a=1, b=5, c=-1, d=5 유형05 유형11 ⑵ x=-5 또는 x=5 ⑴ (2x-3)(x+4)=x-4에서 2x€+5x-12=x-4, 2x€+4x-8=0 x€+2x-4=0, x€+2x=4 x€+2x+1=4+1, (x+1)€=5 x+1=\'5 ∴ x=-1\'5 ∴ a=1, b=5, c=-1, d=5 …… ❶ ⑵ a=1, b=5, c=-1, d=5를 (ax+b)(cx+d)=0에 대입 하면 (x+5)(-x+5)=0, (x+5)(x-5)=0 ∴ x=-5 또는 x=5 …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ a, b, c, d의 값 각각 구하기 4점 ❷ (ax+b)(cx+d)=0의 해 구하기 3점

0

3

3 ax-2y+1=0에서 y=;2!;ax+;2!; 이 직선이 점 (a+2, 2a+2)를 지나므로 2a+2=;2!;a(a+2)+;2!;, 4a+4=a€+2a+1 a€-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a=3 이 직선이 제 4 사분면을 지나지 않으려면 ;2!;a>0이어야 하므로 a>0이어야 한다. ∴ a=3

0

4

a=-8, b=15 두 근 중 큰 수를 B, 작은 수를 A라 하면 조건 ㈎에서 B=2A-1 조건 ㈏에서 AB=15이므로 A(2A-1)=15, 2A€-A-15=0

(2A+5)(A-3)=0 ∴ A=-;2%; 또는 A=3 이때 A, B는 모두 자연수이므로 A=3 ∴ B=2A-1=2_3-1=5 따라서 x€+ax+b=0의 두 근이 x=3 또는 x=5이므로 x=3을 x€+ax+b=0에 대입하면 9+3a+b=0, 3a+b=-9 yy ㉠ x=5를 x€+ax+b=0에 대입하면 25+5a+b=0, 5a+b=-25 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-8, b=15

0

5

3개 x€+ax+b=0이 중근을 가지려면 b={;2A;}€에서 b=a€₄ , a€=4b ∴ a=\2'b 이때 a가 자연수이므로 a=2'b 이고, 'b 는 자연수이어야 한다. a, b는 한 자리의 자연수이므로 가능한 b의 값은 1, 4, 9이고 이 때 a의 값은 2, 4, 6이다. 따라서 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (4, 4), (6, 9)의 3개이다.

0

6

3 x€-8x+16-3k=0에서 x€-8x+16=3k (x-4)€=3k, x-4=\'ß3k ∴ x=4\'ß3k 따라서 주어진 이차방정식의 근은 x=4+'ß3k 또는 x=4-'ß3k 이므로 두 근이 모두 자연수가 되려면 'ß3k 가 자연 수이고, 4-'ß3k >0이어야 한다. 즉, 0<4-'ß3k <4이므로 가능한 4-'ß3k 의 값은 1, 2, 3이다. 1 4-'ß3k =1일 때, 'ß3k =3이므로 3k=9 ∴ k=3 2 4-'ß3k =2일 때, 'ß3k =2이므로 3k=4 ∴ k=;3$; 3 4-'ß3k =3일 때, 'ß3k =1이므로 3k=1 ∴ k=;3!; 따라서 자연수 k의 값은 3이다.

0

1

2, 8 x€-(a+4)x+4a=0에서 (x-a)(x-4)=0 ∴ x=a 또는 x=4 두 근의 비가 1：2이므로 1 a<4인 경우

a：4=1：2에서 2a=4 ∴ a=2 2 a>4인 경우

4：a=1：2에서 a=8 따라서 a의 값은 2, 8이다.

0

2

7

x=3을 x€+(a-2)x-4a+1=0에 대입하면 3€+(a-2)_3-4a+1=0, 4-a=0 ∴ a=4 a=4를 x€+(a-2)x-4a+1=0에 대입하면 x€+2x-15=0에서 (x-3)(x+5)=0 ∴ x=3 또는 x=-5 따라서 다른 한 근은 x=-5이므로 x=-5를 x€-2bx+b+8=0에 대입하면 (-5)€-2b_(-5)+b+8=0, 11b=-33 ∴ b=-3 ∴ a-b=4-(-3)=7 26쪽

⑵ x€의 계수가 3이고 x=5를 중근으로 갖는 이차방정식은 3(x-5)€=0, 3(x€-10x+25)=0 ∴ 3x€-30x+75=0

5

11, 12 연속하는 두 자연수 중 작은 수를 x라 하면 큰 수는 x+1이므로 x(x+1)=132, x€+x-132=0 (x+12)(x-11)=0 ∴ x=-12 또는 x=11 이때 x는 자연수이므로 x=11 따라서 두 자연수는 11, 12이다. 28쪽

이차방정식의 근의 공식과 활용

Ⅲ. 이차방정식

1

⑴ x=-3\'5 2 ⑵ x= 7\'ß33 4 ⑶ x=1\'2 ⑷ x=-1\'ß19 9 ⑴ x€+3x+1=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-3\"||3€-4_1_1 2_1 = -3\'5 2 ⑵ 2x€-7x+2=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-(-7)\"ƒ(-7)€-4_2_2 2_2 = 7\'ß33 4 ⑶ x€-2x-1=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-(-1)\"ƒ(-1)€-1_(-1)₁ =1\'2 ⑷ 9x€+2x-2=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-1\"ƒ1€-9_(-2) 9 = -1\'ß19 9

2

⑴ x=1\'5 ⑵ x=-;5#; 또는 x=1 ⑶ x=-1 또는 x=9 ⑷ x=4 또는 x=5 ⑴ 양변에 분모 4, 2의 최소공배수 4를 곱하면 x€-2x-4=0 근의 공식을 이용하면 x=-(-1)\"ƒ(-1)€-1_(-4) 1 =1\'5 ⑵ 양변에 10을 곱하면 5x€-2x-3=0, (5x+3)(x-1)=0 ∴ x=-;5#; 또는 x=1 ⑶ (x+3)(x-3)=8x에서 x€-9=8x x€-8x-9=0, (x+1)(x-9)=0 ∴ x=-1 또는 x=9 ⑷ x-2=A라 하면 A€-5A+6=0, (A-2)(A-3)=0 ∴ A=2 또는 A=3 A=x-2이므로 x-2=2 또는 x-2=3 ∴ x=4 또는 x=5

3

⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ 0 ⑴ 3€-4_1_2=1>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다. 근의 개수：2 ⑵ 2€-4_1_1=0이므로 중근을 갖는다. 근의 개수：1 ⑶ 1€-4_1_2=-7<0이므로 근이 없다. 근의 개수：0

4

⑴ x€-5x-14=0 ⑵ 3x€-30x+75=0 ⑴ 두 근이 x=-2, x=7이고 x€의 계수가 1인 이차방정식은 (x+2)(x-7)=0 ∴ x€-5x-14=0

0

1

④ x€-3x+1=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-(-3)\"ƒ(-3)€-4_1_1 2_1 = 3\'5 2 따라서 A=3, B=5이므로 A+B=3+5=8

0

2

④ 4x€+7x+A=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-7\"ƒ7€-4_4_A 2_4 = -7\'ß49-16A 8 즉, 49-16A=17이므로 16A=32 ∴ A=2

0

3

③ 4x€-6x=x€-2에서 3x€-6x+2=0 근의 공식을 이용하면 x=-(-3)\"ƒ(-3)€-3_2 3 = 3\'3 3 두 근 중 작은 근은 x=3-'3 3 이므로 p= 3-'3 3 ∴ 3p+'3 =3_3-'3 3 +'3 =3-'3+'3=3

0

4

① x€+ax+2=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-a\"ƒa€-4_1_2_{2_1} =-a\"ƒa€-8₂ 즉, -;2A;=2이므로 a=-4 'b ="ƒa€-8₂ 에서 'b ='8₂ =2'2₂ ='2 ∴ b=2 ∴ a-b=-4-2=-6 ⑴ 이차방정식 ax€+bx+c=0의 근은 x=-b\"ƒb€-4ac 2a (단, b€-4ac>0) ⑵ 이차방정식 ax€+2b'x+c=0의 근은 x=-b'\"ƒb'€-ac a (단, b'€-ac>0) 11. 29쪽 유형 29쪽~35쪽

0

5

③ 2x€-6x-1=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-(-3)\"ƒ(-3)€-2_(-1)₂ =3\'ß11₂ a<b이므로 a=3-'ß11₂ , b=3+'ß11₂ ∴ b-a=3+'ß11₂ -3-'ß11₂ ='ß11 3<'ß11 <4이므로 n=3

0

6

③ x€-3x+a-5=0에서 근의 공식을 이용하면 x=-(-3)\"ƒ(-3)€-4_1_(a-5) 2_1 = 3\'ß29-4a 2 해가 모두 유리수가 되려면 29-4a는 0 또는 29보다 작은 제곱 수이어야 하므로 29-4a=0, 1, 4, 9, 16, 25 ∴ a=:™4ª:, 7, :™4y:, 5, :¡4£:, 1 이때 a는 자연수이므로 a는 1, 5, 7의 3개이다. 이차방정식의 계수가 모두 정수가 되도록 ax€+bx+c=0 꼴 로 정리한 후, 인수분해 또는 근의 공식을 이용한다. ⑴ 계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다. ⑵ 계수가 소수이면 양변에 10의 거듭제곱을 곱한다. ⑶ 괄호가 있으면 괄호를 풀어 정리한다. 유형

02

/011"1 29쪽

0

7

③ 양변에 5를 곱하여 정리하면 5x€-x-4=0 (5x+4)(x-1)=0 ∴ x=-;5$; 또는 x=1 따라서 두 근의 합은 -;5$;+1=;5!;

0

8

36 양변에 10을 곱하면 4x€+5x-1=0 근의 공식을 이용하면 x=-5\"ƒ5€-4_4_(-1) 2_4 = -5\'ß41 8 따라서 A=-5, B=41이므로 A+B=-5+41=36

0

9

③ 3x(x-1)=x(x+2)-3에서 3x€-3x=x€+2x-3 2x€-5x+3=0, (x-1)(2x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=;2#;

10

⑤ 양변에 20을 곱하면 4(x€-5)-5(x-1)=2x 4x€-20-5x+5=2x, 4x€-7x-15=0 (4x+5)(x-3)=0 ∴ x=-;4%; 또는 x=3 따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1, 2이므로 그 합은 -1+0+1+2=2

11

④ (x-2)(x+3)=-4x에서 x€+x-6=-4x x€+5x-6=0, (x+6)(x-1)=0 ∴ x=-6 또는 x=1 이때 a>b이므로 a=1, b=-6 이차방정식 ;b!;x€+;a!;x+1=0에 a=1, b=-6을 대입하면 -;6!;x€+x+1=0, x€-6x-6=0 ∴ x=-(-3)\"ƒ(-3)€-1_(-6) =3\'ß15 이차방정식에 공통인 부분이 있으면 한 문자로 치환하여 푼다. ❶ 공통인 부분을 A로 치환한 후 인수분해 또는 근의 공식을 이 용하여 A의 값을 구한다. ❷ 치환한 식에 A의 값을 대입하여 x의 값을 구한다. 유형

03

.11213411"1 30쪽

12

① x+2=A라 하면 A€+3A+2=0, (A+1)(A+2)=0 ∴ A=-1 또는 A=-2 A=x+2이므로 x+2=-1 또는 x+2=-2 ∴ x=-3 또는 x=-4 이때 a>b이므로 a=-3, b=-4 ∴ 2a+b=2_(-3)+(-4)=-10

13

③ x-y=A라 하면 A(A+2)=8, A€+2A=8 A€+2A-8=0, (A+4)(A-2)=0 ∴ A=-4 또는 A=2

A=x-y이므로 x-y=-4 또는 x-y=2 이때 x>y, 즉 x-y>0이므로 x-y=2

이차방정식 ax€+bx+c=0에서 ⑴ 근을 가질 조건 b€-4ac>0 ① 서로 다른 두 개의 근을 가질 조건 b€-4ac>0 ② 한 개의 근(중근)을 가질 조건 b€-4ac=0 ⑵ 근을 갖지 않을 조건 b€-4ac<0 유형

04

1151 30쪽

14

① 이차방정식 3x€+2x-k=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 2€-4_3_(-k)>0에서 4+12k>0, 12k>-4 ∴ k>-;3!;

15

② ① (-3)€-4_1_0=9>0 근이 2개 ② 3€-4_1_7=-19<0 근이 0개 ③ (-1)€-4_3_(-1)=13>0 근이 2개 ④ 양변에 6을 곱하여 정리하면 6x€+2x-1=0

2€-4_6_(-1)=28>0 근이 2개 ⑤ 괄호를 풀어 정리하면 2x€-8x+5=0 (-8)€-4_2_5=24>0 근이 2개 따라서 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.

16

③ 이차방정식 4x€-2x+3-k=0의 근이 존재하지 않으려면 (-2)€-4_4_(3-k)<0에서 4-48+16k<0, 16k<44 ∴ k<:¡4¡: 따라서 상수 k의 값 중 가장 큰 정수는 2이다.

17

③ 이차방정식 2x€+8x+k-5=0의 근이 존재하려면 8€-4_2_(k-5)>0에서 64-8k+40>0, 8k<104 ∴ k<13

18

x=1\'5₂ 이차방정식 x€-(k+2)x+4=0이 중근을 가지므로 {-(k+2)}€-4_1_4=0, k€+4k-12=0 (k+6)(k-2)=0 ∴ k=-6 또는 k=2 이때 k>0이므로 k=2 k=2를 이차방정식 2x€-kx-2=0에 대입하면 2x€-2x-2=0, x€-x-1=0 근의 공식을 이용하면 x=-(-1)\"ƒ(-1)€-4_1_(-1) 2 = 1\'5 2

19

① 이차방정식 9x€+ax+1=0이 중근을 가지므로 a€-4_9_1=0에서 a€=36 ∴ a=\6

이차방정식 2x€-6x+3a=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 (-6)€-4_2_3a>0에서 -24a>-36 ∴ a<;2#; 따라서 두 조건을 모두 만족시키는 a의 값은 -6 ⑴ 두 근이 x=a, x=b이고 x€의 계수가 a인 이차방정식 a(x-a)(x-b)=0 ⑵ x€의 계수가 a이고 x=a를 중근으로 갖는 이차방정식 a(x-a)€=0 유형

05

11 31쪽

20

② 두 근이 ;4#;, ;3!;이고 x€의 계수가 12인 이차방정식은 12 {x-;4#;} {x-;3!;}=0에서 12x€-13x+3=0 따라서 a=-13, b=3이므로 a+b=-13+3=-10

21

⑤ x€의 계수가 9이고 x=-;3@; 를 중근으로 갖는 이차방정식은 9 {x+;3@;}€=0에서 9 {x€+;3$;x+;9$;}=0 9x€+12x+4=0 따라서 a=9, b=12, c=4이므로 a+b-c=9+12-4=17

22

x=-6 또는 x=5 지혜는 상수항을 바르게 보았으므로 (x+2)(x-15)=0, 즉 x€-13x-30=0에서 상수항은 -30 이다. 수민이는 x의 계수를 바르게 보았으므로 (x+3)(x-2)=0, 즉 x€+x-6=0에서 x의 계수는 1이다. 따라서 처음 이차방정식은 x€+x-30=0 (x+6)(x-5)=0 ∴ x=-6 또는 x=5 참고 잘못 보고 푼 이차방정식에서 ① x의 계수를 잘못 본 경우 상수항을 바르게 봄 ② 상수항을 잘못 본 경우 x의 계수를 바르게 봄 ❶ 주어진 식을 이용하여 이차방정식을 세운다. ❷ 이차방정식을 풀어 해를 구한다. ❸ 주어진 조건을 만족시키는 답을 구한다. 유형

06

.1 61781#!1 32쪽

23

③ n(n+1) 2 =210에서 n€+n=420 n€+n-420=0, (n+21)(n-20)=0 ∴ n=-21 또는 n=20 이때 n은 자연수이므로 n=20 따라서 합이 210이 되려면 1부터 20까지 더해야 한다.

24

④ n(n-3) 2 =35에서 n(n-3)=70 n€-3n-70=0, (n+7)(n-10)=0 ∴ n=-7 또는 n=10 이때 n은 자연수이므로 n=10 따라서 구하는 다각형은 십각형이다.

25

④ n(n-1) 2 =66에서 n€-n=132 n€-n-132=0, (n+11)(n-12)=0 ∴ n=-11 또는 n=12 이때 n은 자연수이므로 n=12 따라서 동호회에 참석한 회원은 모두 12명이다. ⑴ 위로 쏘아 올린 물체의 높이가 h`m IAN 인 경우는 올라갈 때와 내려올 때 의 2번이다. ⑵ 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0`m이다. 유형

07

961:;<1=1#!1 32쪽

26

② 농구공이 지면에 떨어질 때의 높이는 0`m이므로 -5t€+9t+2=0, 5t€-9t-2=0

31

130 연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면 (x+2)€=10x+11 x€+4x+4=10x+11, x€-6x-7=0 (x+1)(x-7)=0 ∴ x=-1 또는 x=7 이때 x는 홀수이므로 x=7 따라서 두 홀수 7, 9의 제곱의 합은 7€+9€=49+81=130

32

③ 어떤 자연수를 x라 하면 x(x+6)=216, x€+6x-216=0 (x+18)(x-12)=0 ∴ x=-18 또는 x=12 이때 x는 자연수이므로 x=12 따라서 처음에 구하려고 했던 두 수의 곱은 12_(12-5)=12_7=84

33

35 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는 8-x이므로 x(8-x)=10x+(8-x)-20 8x-x€=9x-12, x€+x-12=0 (x+4)(x-3)=0 ∴ x=-4 또는 x=3 이때 x는 자연수이므로 x=3 즉, 십의 자리의 숫자는 3이고, 일의 자리의 숫자는 8-3=5이 므로 두 자리의 자연수는 35이다. ❶ 구하려는 것을 x로 놓는다. ❷ 문제의 뜻에 맞는 이차방정식을 세운다. ❸ 이차방정식을 풀어 해를 구한다. ❹ 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 택한다. 유형

09

>?#<@1#!1 33쪽

34

④ 은희의 나이를 x살이라 하면 동생의 나이는 (x-3)살이므로 x€=2(x-3)€-18, x€=2x€-12x+18-18 x€-12x=0, x(x-12)=0 ∴ x=0 또는 x=12 이때 x>3이므로 x=12 따라서 은희의 나이는 12살이다.

35

5월 10일 가족 여행의 날짜를 x일, (x+1)일이라 하면 x(x+1)=110, x€+x-110=0 (x+11)(x-10)=0 ∴ x=-11 또는 x=10 이때 x는 자연수이므로 x=10 따라서 여행의 출발일은 5월 10일이다.

36

⑤ 학생 수를 x라 하면 한 학생이 받은 공책의 수는 x-3이므로 x(x-3)=108, x€-3x-108=0 (x+9)(x-12)=0 ∴ x=-9 또는 x=12 이때 x는 자연수이므로 x=12 따라서 학생은 모두 12명이다. (5t+1)(t-2)=0 ∴ t=-;5!; 또는 t=2 이때 t>0이므로 t=2 따라서 농구공이 지면에 떨어지는 것은 2초 후이다.

27

① 지면에서 수직으로 쏘아 올린 로켓의 보조 장치가 분리된 것은 높이가 480`m일 때이므로 100t-5t€=480, 5t€-100t+480=0 t€-20t+96=0, (t-8)(t-12)=0 ∴ t=8 또는 t=12 따라서 로켓의 보조 장치가 분리된 것은 로켓을 쏘아 올리고 나 서 8초 후이다.

28

② 20+30t-5t€=45에서 5t€-30t+25=0 t€-6t+5=0, (t-1)(t-5)=0 ∴ t=1 또는 t=5 따라서 높이가 45`m인 지점을 통과하는 것은 1초 후 올라갈 때 와 5초 후 다시 내려올 때이므로 물체의 높이가 45`m 이상을 유 지하는 것은 4초 동안이다. ❶ 구하는 수를 x로 놓는다. ❷ 문제의 뜻에 맞는 이차방정식을 세운다. ❸ 이차방정식을 풀어 해를 구한다. ❹ 문제의 뜻에 맞는 답을 구한다. 참고 _{•연속하는 두 자연수 x, x+1} 참고 _{•연속하는 두 짝수 x, x+2 (x는 짝수)} 또는 2x, 2x+2 (x는 자연수) 참고 _{•연속하는 두 홀수 x, x+2 (x는 홀수)} 또는 2x-1, 2x+1 (x는 자연수) 유형

08

<1=1#!1 33쪽

29

7, 11 두 자연수 중 작은 수를 x라 하면 큰 수는 x+4이므로 x€+(x+4)€=170, 2x€+8x-154=0 x€+4x-77=0, (x+11)(x-7)=0 ∴ x=-11 또는 x=7 이때 x는 자연수이므로 x=7 따라서 두 자연수는 7, 11이다.

30

④ 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면 (x+1)€=x€+(x-1)€-12 x€+2x+1=2x€-2x-11, x€-4x-12=0 (x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 이때 x는 자연수이므로 x=6 따라서 가장 큰 수는 7이다. 오답 피하기 구하는 세 자연수는 5, 6, 7이므로 가장 큰 수는 7이다. 답을 x 의 값인 6이라 하지 않도록 주의한다.