제2장_시간영역분석 [호환 모드]

(1)

(2)

용어 정의

x(t)의 시평균(Time Average) 구간이 t1 < <t t2로 정해진 경우 / 2 / 2 1 ( ) lim T ( ) T _T x t x t dt T →∞ ₋ =

∫

2 1 2 1 1 ( ) t ( ) t x t x t dt t t = −

∫

x(t)의 직류값(DC Value) / 2 1 ( ) lim T ( ) d x = x t =

∫

x t dt 2 1 2 2 1 (t) t P =

∫

x dt x(t)의 평균전력(Average Power) / 2 ( ) lim ( ) dc _T _T x x t x t dt T →∞

∫

₋ ₁ 2 1 (t) t P x dt t t = −

∫

순시전력 / 2 2 2 / 2 1 ( ) lim T ( ) T _T P x t x t dt T →∞ ₋ = =

∫

_p_(t)*순시전력_i2_{(t) R} v2(t) R = i =

x(t)의 실효값(RMS Value, Effective Value)

2

x = x t 중심이 0V인 주기 사인파의 경우 최대치의 =0.707배

1

(5)

용어 정의

x(t)의 에너지 구간이 t₁ < <t t₂로 정해진 경우 x(t)의 에너지 /2 ₂ ₂ /2 lim T ( ) ( ) T T E x t dt −∞ x t dt →∞ − −∞ =

∫

=

∫

2 1 2 (t) t t E =

∫

x dt 데시벨(전력이나 전압의의 상대적인비를 dB단위로 표시한것) • 회로의 데시벨 이득 / 회로의 데시벨 이득

Input power P_in _회로 Ouput power P_out

out in [watts] dB 10 log [watts] P P ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ = _⎜ _⎟ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ rms out rms in [volts] 20 log [volts] x x ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ = _⎜ _⎟_⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠

(6)

용어 정의

1 mW기준 에 대한 데시벨 전력 레벨

( )

3

actual power level (watts)

dBm 10 log

10

30 10 log actual power level (watts) − ⎛ _⎞⎟ ⎜ = _⎜_⎜⎝ _⎟_⎟ ⎠ = + Example 3 dB 이득 ( )

30 10 log actual power level (watts)

= + • 3 dB 이득 출력신호의 전력이 입력신호 전력의 2배 출력신호의 전압이 입력신호 전압의 1.414배 2 • -3 dB 이득 출력신호의 전력이 입력신호 전력의 0.5배 출력신호의 전압이 입력신호 전압의 0.707배 1 2 • 6 dB 이득 출력신호의 전력이 입력신호 전력의 4배 2

(7)

(8)

신호의 분류

연속시간 신호와 이산시간 신호 아날로그 신호와 디지털 신호 ( ) x t( ) x t( ) x t x t( ) t t (a) 연속시간, 아날로그 t t (a) (b) (b) 연속시간, 디지털 ( ) 이산시간 아날로그 ( ) x t x t( ) (c) 이산시간, 아날로그 (d) 이산시간, 디지털 t t (d) (c)

(9)

신호의 분류

주기 신호 ( ) x t t 0 T 0 T − 0 ( ) ( ) x t = x t +T • 기본 주기(fundamental period) T₀ 위의 식을 만족시키는 최소의 주기

• 기본 주파수(fundamental frequency) f기본 주파수(fundamental frequency) f₀₀

(10)

신호의 분류

주기 신호의 예: 정현파 신호 0 ( ) cos( ) x t = A ω t ( ) x t A t 0 A 0 T 0/ 2 T 0 A − 0 2 T = π • 기본 주기(fundamental period) T₀ = 2π/ω₀ • 기본 주파수(fundamental frequency) f = 1 / T 0 0 ω • 기본 주파수(fundamental frequency) f₀ = 1 / T₀ • 주기신호의 평균전력 0 0 / 2 ₂ / 2 0 1 ( ) T T P x t dt T − =

∫

(11)

신호의 분류

에너지 신호 2 0 E ∞ x t( ) dt −∞ < =

∫

< ∞ 전력 신호 / 2 ₂ / 1 0 lim T ( ) T P x t dt T < =

∫

< ∞ / 2 ( ) T→∞T

∫

−T

(12)

신호의 분류

예제 2.1 • 에너지와 평균전력을 구하고, 에너지 신호인지 전력신호인지 판정하라. ( ) x t( ) x t( )( ) A _Ae−t A _Ae−t 풀이 0 t 0 t (a) (b) 풀이 (a) 에너지 2 A 이므로 에너지 신호 2 2 2 2 0 ( ) 2 0 t A E x t dt A e dt E ∞ ∞ ₋ −∞ = = = < < ∞

∫

(13)

신호의 분류

예제 2.1(계속) / 2 ₂ / 2 2 2 / 2 0 / 2 2 2 1 1 lim ( ) lim 1 T T t T _T T T P x t dt A e dt T T A A − →∞ ₋ →∞ = = ⎡ ⎤

∫

x t( ) x t( ) A _Ae−t A _Ae−t 가 아니므로 전력 신호가 아님 / 2 2 2 0 1 lim lim 0 2 2 0 t T T A A e T T P − →∞ →∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ < < ∞ 0 0 t t (a) (b) (b) 가 아니 력 가 아님 에너지 2 0 2 2 2 0 : _E ∞ _{x t}( ) _dt _{A dt} ∞_{A e dt}− t −∞ −∞ =

∫

=

∫

+

∫

= ∞ / 1 (a) ( ) 평균전력 / 2 2 / 2 0 / 2 2 2 2 1 : lim ( ) 1 1 lim lim T T T T t P x t dt T A dt A e dt →∞ − − = = +

∫

_{/ 2}

∫

₀ 2 2 lim lim 1 lim 0 2 2 T _T T T A dt A e dt T T T A A T →∞ ₋ →∞ →∞ = + = + =

∫

2 2 T ∞T

(14)

신호의 분류

예제 2.2평균전력을 구하라. ( ) x t t A ( ) x t A t 0 T 0 2 T 0 A − 0 3 2 T t 0 T 0 2 T 0 A − 0 3 2 T 0 4 T ( ) x t t T T 0 A 3T 0 T 0 2 T 0 A − 0 3 2 T 0 4 T

(15)

(16)

신호의 기본 연산

Time Shift x t( − t0) ( 1) x t ( ) x t ( 1) x t− ( ) x t _t 0 1 4 0 1 t = t 0 3 x t( +1) 0 1 t = − t 1 − 2

(17)

신호의 기본 연산

Time Reversal x t( )− ( ) x t _{x t}₍₋ ₎ t 0 ₃ 3 0 t 0 ₃ −3 0

(18)

신호의 기본 연산

Time Scaling x at( ) (2 ) x t ( ) x t 2 a= t 1 − 1 t 2 − 2 ( / 2) x t 1 2 a = t 4 4 4 − 4

(19)

(20)

기본 신호

Unit Step Function

1 0 ( ) 0 0 t u t( ) = ⎨⎧⎪⎪ ≥ 0 t 0 ⎨⎪ < ⎪⎩ ( )t ( ) u t 1 t 0

(21)

기본 신호

Unit Impulse Function(단위임펄스함수 : )

δ

( )

t

2 1 1 2 ( ) ( ) (0), 0 t t x t δ t dt = x t < < t

∫

i) ( ) 0 for 0 ii) (0) t t δ δ = ≠ → ∞

iii) ( ) 1 for any >0

iv) ( ) ( ) i.e. even function

t dt t t ε εδ ε δ δ − = = − ∫ 단위임펄스함수의 개념 ( )t δ (1) ( ) k tδ 1 ( )k t 0 0 t

(22)

기본 신호

임펄스 함수의 성질 • Step function과의 관계 ( ) ( ) du t t dt = δ ( ) ( ) t d u t δ λ λ −∞ =

∫

( )t ε δ 1 ( ) u t_ε t ε ε 1 ε t 1 _⎯⎯⎯→_dtd t dλ −∞⋅ ←⎯⎯⎯⎯ ∫ 2 2 − ( ) u t δ( )t ⎯ ⎯→ ⎯_⎯→ 0 lim ε→ 0 lim ε→ ( ) u t 1 ( ) (1) d dt ⎯⎯⎯→ t dλ −∞⋅ ←⎯⎯⎯⎯ ∫

(23)

기본 신호

임펄스 함수의 성질 • Sampling property ( ) ( ) (0) ( ) x t δ t = x δ t • Sifting property 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x t δ t −t = x t δ t − t • Sifting property ( ) ( ) (0) ( ) (0) x t δ t dt x δ t dt x ∞ ∞ ∞ = ∞ =

∫

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t δ t t dt x t δ t t dt x t −∞ −∞ ∞ ∞ −∞ − = −∞ − =

∫

(24)

기본 신호

임펄스 함수의 성질 • Convolution property ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x τ δ t τ τd x t δ t x t ∞ −∞ − ∗ =

∫

• Scaling property 0 0 ( ) ( ) ( ) x t ∗ δ t −t = x t −t g p p y

(

)

1 ( ) ( ) 1 at t a b δ = δ

(

)

1 (at b) t b a a δ + = δ + 단위 임펄스함수의 개념

(25)

기본 신호

Sinusoidal Function 0 0 ( ) cos( ) cos(2 ) x t = A ω t + φ = A πf t + φ ( ) x t A 0 0 2 T π ω = t φ − 0 0 ω A − 0 1/ 0 2 / 0 T = f = π ω

(26)

기본 신호

Exponential Function(1) 와 가 모두 실수인 경우 ( ) st x t = Ce • C와 s가 모두 실수인 경우 ( ) x t x t( ) _{x t}_{( )} c c c 0 t 0 t (a) (b) 0 t (c) (a) s > 0 (b) s = 0 (c) s < 0

(27)

기본 신호

Exponential Function(2) • C는 실수이고 s는 순허수인 경우, 즉 s = jω₀ 0 0 2 0( 2 / 0) ( ) j t j t j j t x t = Ce ω = Ce ω e π = Ce ω + π ω 0

( ) is a periodic function with period 2 /

x t π ω ⇒ Im 0 0 ( ) (cos sin ) x t = C ω t + j ω t Im 1 1 Re c 0 ( )t t θ =ω { } { } 0 0 0 0 0 0 0 1 1 cos Re 2 2 1 1 i I j t j t j t j t j t j t t e e e t ω ω ω ω ω ω ω − − = = + { 0 } 0 0 0 sin Im 2 2 j t j t j t t e e e j j ω ω ω ω = = −

(28)

기본 신호

Exponential Function(3) • C와 s가 모두 복소수인 경우 0 , j C = C e θ s = σ + jω 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) cos( ) sin( ) j j t t j t t t x t C e e C e e C e t j C e t θ σ ω σ ω θ σ _ω _θ σ _ω _θ + + = = = + + + Re{ ( )}x t Re{ ( )}x t t t 0 σ > σ <0

(29)

기본 신호

Rectangular Pulse 1 1 2 2 1 for ( ) 0 otherwise t t ⎧⎪⎪⎪ − < < Π _{= ⎨} ⎪⎪ ⎪⎩⎩

(

1

) ( )

1 ( ) 2 2 t u t u t Π = + − − ( )t Π AΠ( / )t τ A

(

₂

) ( )

₂ 1 A t 1 2 1 2 − t 2 τ 2 τ −

(30)

기본 신호

Triangular Pulse 1 for 1 1 ( ) 0 otherwise t t t ⎧⎪⎪ − − < < Λ _{= ⎨} ⎪⎪ ⎪⎩ ( )t Λ( )t AΛ( / )t τ Λ 1 ( / ) AΛ t τ A t 1 1 − −τ τ t

(31)

기본 신호

Sampling Function sin Sa( )t t t

= sinc( )t sin t Sa( )t

t π π π = = Sa( )t 1 sinc( )t 1 t π 0 3π − −2π −π 2π 3π −3 −2 −1 0 1 2 3 t

(32)

(33)

시스템의 시간영역 표현

입출력 미분방정식 ( ) i t • 시스템의 예: ( ) C v t + R C ( ) R i t ( ) C i t ( ) s i t ( ) ( ) ( ) vc dvC i t i t + i t +C C( ) − ( ) ( ) ( ) s R C i t i t i t C R dt = + = + ( ) ( ), ( ) ( ) s c i t = x t v t = y t ( ) 1 1 ( ) ( ) dy t y t x t dt RC C ⇒ + = • 일반적인 선형 시불변 시스템의 입출력 미분방정식 0 0 ( ) ( ) N n M m n m n m d y t d x t a b dt dt = = =

∑

(34)

시스템의 시간영역 표현

임펄스 응답 ( ) [ ( )] h t = T tδ [ ] T ⋅ ( )t δ h t( ) ( ) ( ) x t =δ t y t_{( )} = h t_{( )} (1) t 0 0 t

(35)

시스템의 시간영역 표현

Convolution ( ) h t ( ) x t y t( ) = h t( )∗ x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t h t ∞x τ h t τ τd −∞ ∗ ≡

∫

− Convolution의 성질 • 교환성 ( ) ( ) ( ) ( ) x t ∗ h t = h t ∗ x t ( ) h t ( ) x t y t( )

≡

h t( ) x t( ) y t( )

(36)

시스템의 시간영역 표현

Convolution의 성질 • 결합성 1 2 1 2 { ( )x t ∗ h t( )} ∗ h t( ) = x t( ) { ( )∗ h t ∗ h t( )} 1( ) h t ( ) x t h t₂( ) y t( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) h t = h t ∗h t ( ) x t y t( )

≡

• 분배성 ( ) { ( )₁ ₂( )} ( ) ₁( ) ( ) ₂( ) ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) x t ∗ h t + h t = x t ∗ h t + x t ∗ h t 1( ) h t₁( ) ( ) x t ( ) h t ( ) y t Σ

≡

x t( ) h t( )= h t1( )+h t2( ) y t( ) + +

(37)

Convolution 예제

예제 2.3 ( ) ( ), 0 ( ) ( ) at x t e u t a h t u t − = > = ( ) ( ) ( ) x t( ) _{h t}_{( )} x t 1 ( ) h t 1 0 t ₀ t

(38)

Convolution 예제

For 0 1 ( ) ( ) ( ) t a (1 at) t y t ∞x τ h t τ τd e− τdτ e− ≥ ∫ ∫ 1 ( ) xτ 1 ( ) xτ 0 ( ) ( ) ( ) (1 ) y t x h t d e d e a τ τ τ τ −∞ = ∫ − = ∫ = − 0 τ ( ) h t τ 0 τ ( ) h t−τ t ( ) h t−τ t 0 1 τ ( ) h t τ t 0 1 τ ( ) y t 1 t 0 (a)t<0 t 0 (b)t>0 0 t 1 a

(39)

Convolution 예제

예제 2.4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x t u t u t a h t u t u t b b a = − − = − − > ( ) ( ) ( ), h t u t u t b b > a ( ) x t( ) _{h t}_{( )} 1 ( ) h t 1 0 a t 0 _b t

(40)

Convolution 예제

( ) xτ 1 ( ) xτ 1 0 a τ ( ) h t−τ 1 0 a τ ( ) h t−τ 1 ( ) 0 y t = 0 ( ) t(1) y t = ∫ dt = t 0 1 t b− t τ ( )t<0 0 1 t b− t τ (b) 0≤ <t (a)t<0 (b) 0≤ <t a ( ) xτ 1 ( ) xτ 1 0 a τ ( ) h t−τ 0 a τ ( ) h t−τ 0 ( ) a(1) y t dt a = = ∫ ( ) a (1) t b y t dt a b t − = = + − ∫ 1 τ 1 − τ a = +a b t

(41)

Convolution 예제

( ) xτ 1 0 a τ ( ) 0 y t = ( ) h t−τ 1 0 _{t b}₋ t τ (e) a b+ ≤t ( ) y t a 0 a b a b+ t

(42)

LTI 시스템

Memoryless system 는 상수 ( ) ( ), ( ) ( ) y t Kx t K h t K tδ = ⇒ = Causal system ( ) 0 for 0 h t = t < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y t x h t d x h t d h x t d h x t d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ⇒ = − = − = − = −

∫

Stable system 0 ( ) ( ) ( ) ( ) h τ x t τ τd h τ x t τ τd −∞ =

∫

=

∫

y ( ) h t dt ∞ −∞ < ∞

∫

(43)

(44)

Cross-correlation Function

에너지 신호의 상호상관 함수 ( ) ( ) ( ) xy R τ ∞ x t y t∗ τ dt −∞ +

∫

전력 신호의 상호상관 함수 / 2 1 T • 주기 신호의 경우 / 2 / 2 1 ( ) lim T ( ) ( ) xy _T T R x t y t dt T τ ∗ τ →∞ − = ∫ + • 주기 신호의 경우 0 0 / 2 / 2 0 1 ( ) T ( ) ( ) xy T R x t y t dt T τ ∗ τ − =

∫

+ 0/ 2 0 T T

(45)

Auto-correlation Function

에너지 신호의 자기상관 함수 ( ) ( ) ( ) x R τ ∞ x t x t∗ τ dt −∞ +

∫

자기상관 함수의 성질 i) ( )R R∗( ) 2 i) ( ) ( ) ii) (0) ( ) x x x R R R x t dt E τ τ ∞ −∞ = − =

∫

iii) ( )R_x τ R_x(0) −∞ ≤

∫

(46)

Auto-correlation Function

전력 신호의 자기상관 함수 / 2 / 2 1 ( ) lim T ( ) ( ) T T R x t x t dt T τ τ = _→∞

∫

₋ ∗ + τ • 주기신호의 경우 0/ 2 / 1 ( ) T ( ) ( ) R x t x t dt T τ τ =

∫

∗ + τ • 자기상관 함수의 성질 0/ 2 0 ( ) ( ) ( ) T T τ −

∫

i) R ( ) R∗( ) / 2 ₂ / 2 i) ( ) ( ) 1 ii) (0) lim ( ) x x T x _T T R R R x t dt P T τ ∗ τ →∞ ₋ = − =

∫

/ iii) ( ) (0)

iv) If ( ) is periodic, then ( ) is also periodic with same period

x x T R R x t R τ τ ≤

(47)

Auto-correlation Function

예제 2.5 (에너지 신호) ( ) x t A 0 L t ( ) x R τ 2 A L 0 L τ L −

(48)

Auto-correlation Function

예제 2.6 (전력 신호) ( ) x t A t 0 T 0 2 T 0 3 0 2 T 0 2 T − 0 T −

"

0 2 2 2 ( ) x t A (a) t T 0 T 0 A 0 3T 0 T − 0 T −

"

t 0 T 2 A − 2 2

(49)

Auto-correlation Function

예제 2.6 (전력 신호) ( ) x R τ 2 2 A

"

τ 0 T 0 2 T 0 3 0 2 T 0 2 T − 0 T − (a) ( ) x R τ 2 A τ 0 T 0 2 T 0 3 0 2 T 0 2 T − 0 T −

"

2 2 2 2 A −

(50)

Auto-correlation Function

예제 2.7 (정현파 신호) 0 ( ) cos(2 ) x t = A πf t + θ 0/ 2 1 ( ) T ( ) ( ) R

∫

t t dt 0 0 / 2 0 / 2 0 0 / 2 ( ) ( ) ( ) 1 cos( ) cos( ( ) ) x T T T R x t x t dt T A t A t dt T τ τ ω θ ω τ θ − = − = + ⋅ − +

∫

{ } 0 0 0 / 2 0 2 / 2 0 0 0 / 2 0 1 cos( ) cos(2 2 ) 2 T T T T A t dt T ω τ ω ω τ θ − − = + − +

∫

• 자기상관 함수는 주기 신호이며 θ 와는 무관하다. 2 0 cos( ) 2 A ω τ = 자기상관 함수는 주기 신호이며 θ 와는 무관하다. • R_x(0)는 신호의 평균 전력 A2_{/2과 동일하다.}

제2장_시간영역분석 [호환 모드]

Contents

Contents

용어 정의

용어 정의

∫

∫

∫

∫

∫

∫

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용어 정의

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∫

∫

∫

용어 정의

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신호의 분류

신호의 분류

신호의 분류

신호의 분류

신호의 분류

신호의 분류

∫

신호의 분류

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∫

∫

∫

신호의 분류

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∫

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신호의 분류

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∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

신호의 분류

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신호의 기본 연산

신호의 기본 연산

신호의 기본 연산

신호의 기본 연산

신호의 기본 연산

신호의 기본 연산

기본 신호

기본 신호

기본 신호

기본 신호

δ

( )

t

∫

기본 신호

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기본 신호

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∫

∫

∫

∫

∫

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기본 신호

기본 신호

∫

(

)

(