459원

(1)

447

⑴ l=2p_4=8p(cm), S=p_4Û =16p(cmÛ )

⑵ l=2p_10=20p(cm), S=p_10Û =100p(cmÛ )

 ⑴ l=8p cm, S=16p cmÛ` ⑵ l=20p cm, S=100p cmÛ`

448

⑴ p_4Û =16p(cmÛ )

⑵ 원 O'의 반지름의 길이가 2`cm이므로 p_2Û =4p(cmÛ )

⑶ 16p-4p=12p(cmÛ )

 ⑴ 16p cmÛ ⑵ 4p cmÛ ⑶ 12p cmÛ

449

⑴ l=2p_6_;3¤6¼0;=2p(cm) S=p_6Û _;3¤6¼0;=6p(cmÛ )

⑵ l=2p_8_;3!6#0%;=6p(cm) S=p_8Û _;3!6#0%;=24p(cmÛ )

 ⑴ l=2p cm, S=6p cmÛ` ⑵ l=6p cm, S=24p cmÛ`

450

⑴ 2p_4_;3¢6°0;+4_2=p+8(cm)

⑵ 2p_3_;3!6@0);+3_2=2p+6(cm)

 ⑴ (p+8) cm ⑵ (2p+6) cm`

451

⑴ ;2!;_8_3p=12p(cmÛ )

⑵ ;2!;_9_6p=27p(cmÛ )

 ⑴ 12p cmÛ ⑵ 27p cmÛ

본문 | 88 ~ 96 쪽

유형 ^콕콕

452

^①

453

^{ㄱ, ㄷ}

454

^⑤

455

^60ù

456

^⑤

457

^{15 cm}

458

³⁰

459

^{45 cm}

460

^80ù

461

^160ù

462

^④

463

^135ù

464

^5:1

465

^④

466

^{9 cm}

467

^{10 cm}

468

^{5 cm}

469

;2%;`배

470

^{6 cm}

471

^30ù

472

^{15p cmÛ}

473

^70ù

474

^{54 cmÛ}

475

^{75 cmÛ}

476

^80ù

477

^⑤

478

^②

479

^{10 cm}

480

^④

481

^③

482

^②

483

둘레의 길이：12p cm, 넓이：24p cmÛ`

484

둘레의 길이：20p cm, 넓이：20p cmÛ`

485

둘레의 길이：32p cm, 넓이：30p cmÛ`

486

^{18p cm}

487

36p cmÛ``

488

^④

489

^{8p cm}

490

^120ù

491

둘레의 길이：(3p+8)cm, 넓이：6p cmÛ`

492

^{9p cmÛ}

493

둘레의 길이：(16p+8)cm, 넓이：32p cmÛ

494

{31

9 ^p+12}cm

495

^(5p+10)cm

496

^①

497

^(6p+6)cm

498

^12p cm

499

;2(;p cmÛ

500

(64-16p) cmÛ

501

^①

502

(36-6p) cmÛ

503

^③

504

^④

505

^50 cmÛ

506

^{18 cmÛ}

507

^{24 cmÛ}

508

^{8p cmÛ`}

509

^(2+p)cmÛ

510

^{2.5p cm}

511

(6p+18)cm

512

(12p+72)cm

513

^(8p+32)cm

514

(10p+60)cm

515

(4p+40)cmÛ

516

^②

517

(4p+72)cmÛ

518

^{2p cm}

519

^{4p cm}

520

^{4p cm}

521

^6p cm

452

① ACÓ는 현이고 µAC는 호이다. ①

453

ㄴ. 지름은 원에서 길이가 가장 긴 현이다.

ㄹ. 반원은 중심각의 크기가 180ù인 부채꼴이다.  ㄱ, ㄷ

454

부채꼴과 활꼴이 같아지는 경우는 반원일 때이므로 중심각의 크기

는 180ù이다.  ⑤

455

호 PQ에 대한 중심각은 ∠POQ이고 △PQO는 정삼각형이므로

∠POQ=60ù  60ù

456

25ù:100ù=3:x에서 1:4=3:x ∴ x=12

25ù:yù=3:15에서 25:y=1:5 ∴ `y=125  ⑤

457

90ù:30ù=µAB:5 3:1=µAB:5

∴ `µAB=15(cm)  15 cm

458

(5x-30)ù:80ù=18:12`

(5x-30):80=3:2 10x-60=240

10x=300 ∴ x=30  30

(2)

Ⅱ- 2. 원과 부채꼴

459

원 O의 둘레의 길이를 x cm라고 하면

40ù:360ù=5:x` 50%

1:9=5:x ∴ x=45 50%

45 cm

460

∠AOB:∠BOC:∠COA=µAB:µ BC:µ CA=2:3:4

∴ ∠AOB=360ù_ 2

2+3+4 =360ù_;9@;=80ù ^^80ù

461

∠AOB:∠BOC:∠COA=µAB:µ BC:µ CA=3:7:8

∴ ∠AOC=360ù_ 8

3+7+8 =360ù_;1¥8;=160ù ^^160ù

462

∠AOC:∠BOC=µAC:µ BC=4:5

∴ ∠AOC=180ù_ 44+5 =80ù ^{ ④}

463

µAC=3µ BC이므로 µAC:µ BC=3:1

∠AOC:∠BOC=µAC:µ BC=3:1

∴ ∠AOC=180ù_ 33+1 =135ù ^{ 135ù}

464

△OAC는 AOÓ=COÓ인 이등변삼각형이므로

∠OCA=∠OAC=15ù

∠COB=15ù+15ù=30ù, ∠AOC=180ù-30ù=150ù µAC:µ BC=∠AOC:∠COB이므로

µAC:µµ BC=150ù:30ù=5:1  5:1

465

△OAC는 AOÓ=COÓ인 이등변삼각형이므로

∠OCA=∠OAC=30ù

∠COB=30ù+30ù=60ù, ∠AOC=180ù-60ù=120ù

120ù:60ù=16:µµ BC에서 2:1=16:µ BC ∴ µ BC=8(cm) ④

466

△AOC가 정삼각형이므로 ∠AOC=60ù

∴ ∠COD=180ù-(60ù+30ù)=90ù 90ù:30ù=µ CD:3에서

3:1`=µ CD:3 ∴ µ CD=9(cm)  9 cm

467

BOÓ=COÓ(반지름), BOÓ=BCÓ이므로

BOÓ=BCÓ=COÓ, 즉 △BOC는 정삼각형이다. 40%

∠BOC=60ù, ∠AOB=180ù-60ù=120ù이므로 ^30%

120ù:60ù=µAB:5

2:1=µAB:5 ∴ µAB=10(cm) 30%

10 cm

468

△AOB는 AOÓ=BOÓ인 이등변삼각형이므로

∠ABO=;2!;_(180ù-120ù)=30ù ABÓCDÓ이므로 ∠BOD=∠ABO=30ù µAB:µ BD=∠AOB:∠BOD이므로

20:µ BD=120ù:30ù에서 20:µ BD=4:1 ∴ µBD=5(cm)

 5 cm

469

△OCD에서 COÓ=DOÓ이므로

∠ODC=;2!;_(180ù-100ù)=40ù ABÓCDÓ이므로 ∠BOD=∠ODC=40ù

µ CD:µ BD=100ù:40ù, µCD:µ BD=5:2, 5µ BD=2µ CD

∴ µ CD=;2%;`µ BD

따라서 µ CD의 길이는 µ BD의 길이의 ;2%;`배이다. ^;2%;`배

470

ACÓODÓ이므로 ∠DOB=∠CAO=45ù OCÓ를 그으면 OAÓ=OCÓ이므로

∠AOC=180ù-(45ù+45ù)=90ù µAC:µ BD=∠AOC:∠DOB이므로 12:µ BD=90ù:45ù에서

12:µ BD=2:1 ∴ µ BD=6(cm) 6`cm

471

∠BOC=∠x라 하면 OCÓABÓ이므로

∠BOC =∠OBA=∠OAB

=∠AOD=∠x

µAB:µ BC=4:1이므로 ∠AOB=4∠x

△OAB에서 4∠x+∠x+∠x=180ù

6∠x=180ù ∴ ∠x=30ù 30ù

472

부채꼴 COD의 넓이를 x cmÛ`라고 하면

5p:x=40ù:120ù, 5p:x=1:3 ∴ x=15p 15p cmÛ

473

15:10=105ù:∠xù 3:2`=105ù:∠x

3∠x=210ù ∴ ∠x=70ù  70ù

474

원 O의 넓이를 x cmÛ`라고 하면 6:x=40ù:360ù

6:x=1:9 ∴ x=54 54 cmÛ

12 cm

A B

C D

O 45ù

O

A B

C D

x x

4x

(3)

(색칠한 부분의 넓이)

=p_6Û _;2!;+p_4Û _;2!;-p_2Û`_;2!;

=18p+8p-2p=24p(cmÛ )

 둘레의 길이：12p cm, 넓이：24p cmÛ`

484

(색칠한 부분의 둘레의 길이)=2p_6+2p_4=20p(cm) (색칠한 부분의 넓이)=p_6Û -p_4Û =20p(cmÛ )

485

(색칠한 부분의 둘레의 길이)

=2p_8+2p_5+2p_3=16p+10p+6p=32p(cm) (색칠한 부분의 넓이)

=p_8Û -(p_5Û +p_3Û )=64p-34p=30p(cmÛ )

486

작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 prÛ`=9p, rÛ`=9 ∴ r=3

큰 원의 반지름의 길이는 3r=3_3=9(cm)

∴ (큰 원의 둘레의 길이)=2p_9=18p(cm)  18p cm

487

부채꼴의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 2p_r_;3!6^0);=8p ∴ r=9

∴ (부채꼴의 넓이)=p_9Û _;3!6^0);=36p(cmÛ )  36p cmÛ``

488

중심각의 크기를 xù라고 하면

2p_8_ x360 =2p ∴ x=45 ④

489

부채꼴의 호의 길이를 l cm라고 하면

20p=;2!;_5_l ∴ l=8p ^^8p cm

490

부채꼴의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

12p=;2!;_r_4p ∴ r=6 ^50%

부채꼴의 중심각의 크기를 xù라고 하면

2p_6_ x360 =4p ∴ x=120 50%

 120ù

475

세 부채꼴 AOB, BOC, AOC의 넓이의 비가 2:3:5이므로 부채꼴 AOC의 넓이는

150_ 5

2+3+5 =75(cmÛ`)이다. 75 cmÛ

476

ABÓ=CDÓ=DEÓ이므로 ∠AOB=∠COD=∠DOE=40ù

∴ ∠COE=40ù+40ù=80ù 80ù

477

①, ② ∠AOB=∠BOC=∠COD이므로 ABÓ=BCÓ=CDÓ=3(cm)

③, ④ ∠AOC=∠BOD=∠COE이므로 ACÓ=BDÓ=CEÓ

⑤ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다. ⑤

478

∠AOB=∠COD이므로 ABÓ=CDÓ=10(cm) ②

479

ACÓODÓ이므로

∠OAC=∠BOD(동위각) ^20%

OCÓ를 그으면 △OAC는 이등변삼각형이므로

∠OCA=∠OAC ^30%

또 ∠COD=∠OCA(엇각)이므로

∠COD=∠BOD ^30%

∴ BDÓ=CDÓ=10(cm) ^20%

 10 cm

480

ㄴ, ㄹ. ∠AOB=2∠COD이므로 µAB=2µ CD

(부채꼴 AOB의 넓이)=2_(부채꼴 COD의 넓이)

ㄱ, ㄷ. 현의 길이와 삼각형의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하지

않는다.  ④

481

③ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다. ③

482

② 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로

ADÓ+3CDÓ ②

483

=2p_6_;2!;+2p_4_;2!;+2p_2_;2!;

=6p+4p+2p=12p(cm)

12 cm

A B

C D

O 45ù

(4)

491

=2p_8_;3¢6°0;+2p_4_;3¢6°0;+4_2=3p+8(cm) (색칠한 부분의 넓이)

=p_8Û _;3¢6°0;-p_4Û _;3¢6°0;=6p(cmÛ )

 둘레의 길이：(3p+8)cm, 넓이：6p cmÛ`

492

중심각의 크기를 xù라고 하면 2p_6_ x360 =4p ∴ x=120

∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_6Û _;3!6@0);-p_3ÛÛ _;3!6@0);

=12p-3p=9p(cmÛ )  9p cmÛ

493

=2p_8_;3@6$0);+2p_4_;3@6$0);+4_2

=:£3ª:p+:Á3¤:p+8=16p+8(cm) (색칠한 부분의 넓이)

=p_8Û _;3@6$0);-p_4Û _;3@6$0);

=;;;!3@;¥;;p-;;£3ª;;p=32p(cmÛ )

 둘레의 길이：(16p+8)cm, 넓이：32p cmÛ

494

=2p_4_;3¥6¼0;+2p_6_;3°6¼0;+4+6+2

=:Á9¤:p+;3%;p+12=:£9Á:p+12(cm) ^{ 319 p+12}cm

495

=µ DE+µ EC+CDÓ

=µ DE+µ EB+CDÓ

=µ BD+CDÓ

=2p_10_;3»6¼0;+10

=5p+10(cm)  (5p+10)cm

496

={2p_6_;3»6¼0;}_4=12p(cm) ^{ ①}

497

=2p_6_;3»6¼0;+2p_3_;3!6*0);+6=6p+6(cm)

 (6p+6)`cm

498

=2p_8_;3»6¼0;+{2p_4_;3!6*0);}_2

=4p+8p=12p(cm)  12p cm

499

p_6Û _;3»6¼0;-p_3Û _;2!;=9p-;2(;p=;2(;p(cmÛ )  ;2(;p cmÛ

500

=(사각형의 넓이)-(반지름의 길이가 4`cm인 반원의 넓이)_2

=8_8-{p_4Û`_;2!;}_2=64-16p(cmÛ )

 (64-16p) cmÛ

501

색칠한 부분의 넓이는 ㉠의 넓이의 8배이다.

∴ {p_4Û`_;3»6¼0;-;2!;_4_4}_8 =(4p-8)_8=32p-64(cmÛ`)

 ①

502

= (사각형 ABCD의 넓이)

-{(부채꼴 ABE의 넓이)+(부채꼴 ECD의 넓이)}

=6_6-{p_6Û _;3£6¼0;}_2=36-6p(cmÛ )

 (36-6p) cmÛ

보충 설명

△EBC는 한 변의 길이가 6`cm인 정삼각형이므로 한 내각의 크기 는 60ù이다.

∴ ∠ABE=∠ABC-∠EBC=90ù-60ù=30ù

503

=(직각삼각형의 넓이)

=;2!;_4_4=8(cmÛ )

 ③

8 cm 8 cm

㉠

4 cm 4 cm

(5)

504

색칠한 부분의 넓이는 지름이 6`cm인 반원의 넓이와 같다.

p_3Û _;2!;=;2(;p(cmÛ )

④

505

=(사각형 ABCD의 넓이)

=5_10=50(cmÛ )

 50 cmÛ

506

=(사각형 ABCD의 넓이)

=3_6=18(cmÛ )

 18 cmÛ

507

{p_4Û _;2!;+p_3Û _;2!;+;2!;_8_6}-p_5Û _;2!;

=8p+;2(;p+24-;;ª2°;;p=24(cmÛ ) ^{ 24 cmÛ}

508

= (지름이 AB'Ó인 반원의 넓이)+(부채꼴 B'AB의 넓이) -(지름이 ABÓ인 반원의 넓이)

=(부채꼴 B'AB의 넓이)

=p_8Û _;3¢6°0;=8p(cmÛ ) ^{ 8p`cmÛ`}

509

= (사각형 NBCO의 넓이)+(부채꼴 COM의 넓이) -(△NBM의 넓이)

=2_4+p_2Û _;4!;-;2!;_6_2=2+p(cmÛ ) ^{ (2+p)cmÛ}

510

(사각형 ABCD의 넓이)=㉠+㉡,

(부채꼴 ABE의 넓이)=㉡+㉢ ^40%

이때 ㉠=㉢이므로 (사각형 ABCD의 넓이)

=(부채꼴 ABE의 넓이) 40%

3 cm 3 cm

O 5 cm O'

A D

B C

6 cm A 6 cm

B

D

C

10 cm A

B C

D

E

㉠

㉡

㉢

즉, 10_BCÓ=p_10Û _;4!;이므로

BCÓ=2.5p(cm) 20%  2.5p cm

511

(끈의 최소 길이) =(곡선 부분의 길이)+(직선 부분의 길이)

=(원의 둘레의 길이)+6_3

=2p_3+18=6p+18(cm)

 (6p+18)cm

512

(끈의 최소 길이)

= (곡선 부분의 길이) +(직선 부분의 길이)

=(원의 둘레의 길이)+36_2

=2p_6+72=12p+72(cm)  (12p+72)cm

513

2p_4+8_4=8p+32(cm)

 (8p+32)cm

514

2p_5+20_3=10p+60(cm)

 (10p+60)cm

515

p_2Û +(5_2)_4=4p+40(cmÛ )

(4p+40)cmÛ

516

p_4Û +(8_4)_3=16p+96(cmÛ )

②

6 cm 36 cm

180ù 180ù

4 cm 8 cm

5 cm

20 cm

5 cm 2 cm

8 cm 4 cm

(6)

517

p_2Û +(6_2)_6=4p+72(cmÛ )

 (4p+72)cmÛ

518

점 A가 움직인 거리는 중심각의 크기가 180ù-60ù=120ù이고 반 지름의 길이가 3 cm인 부채꼴의 호의 길이와 같으므로

2p_3_;3!6@0);=2p(cm) ^^2p cm

519

(점 B가 움직인 거리)=2p_8_;3»6¼0;=4p(cm) ^^4p cm

520

(점 A가 움직인 거리)

={2p_3_;3!6@0);}_2=4p(cm)

4p cm

521

(점 B가 움직인 거리)

=2p_4_;3»6¼0+2p_5_;3»6¼0;

+2p_3_;3»6¼0;

=2p+;2%;p+;2#;p=6p(cm) ^^6p cm

6 cm 2 cm

l A 3 cm B C A

C B

60ù60ù 60ù60ù

l A

B C A B

D

D C

4 cm 3 cm 5 cm

522

^②

523

¹⁴⁸

524

^{10p cm}

525

^144ù

526

^18`cm

527

^54ù

528

^{4 cm}

529

^{36 cm}

530

^①

531

⁴⁸

532

^{②, ⑤}

533

^40p`cm

534

^①

535

^27p`cmÛ

536

{:ª3¤:p+12}`cm

537

:Á3¤:p`cm

538

^⑤

539

^⑤

540

^{12p cm}

541

(10p+60)cm

542

^(4p+48)cmÛ

543

^{28p mÛ}

544

^{라지 피자}

본문 | 97 ~ 99쪽

실력 ^콕콕

522

① OCÓ는 반지름이다.

③ µ BC에 대한 중심각은 ∠BOC이다.

④ µ BC와 두 반지름 OB, OC로 이루어진 도형은 부채꼴이다.

⑤ OBÓ=OCÓ이므로 △OBC는 이등변삼각형이다. ②

523

xù:35ù=16:4에서 x:35=4:1 ∴ x=140 35ù:70ù=4:y에서 1:2=4:y ∴ y=8

∴ x+y=140+8=148 148

524

∠BOC=180ù-30ù=150ù이므로 30ù:150ù=2p:µ BC

1:5=2p:µ BC ∴ µ BC=10p(cm)  10p cm

525

원의 중심각의 크기는 360ù이므로

1:;5@;=360ù:∠x ∴ ∠x=360ù_;5@;=144ù ^{ 144ù}

526

3∠AOB=2∠BOC에서 ∠AOB:∠BOC=2:3 따라서 2:3=12:µ BC이므로 2µ BC=36

∴ µ BC=18(cm) 18`cm

527

4µAC=6µ BC에서 µAC:µ BC=6:4이므로

∠COB=180ù_ 4 6+4 =72ù

△OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로

∠x=;2!;_(180ù-72ù)=54ù ^^54ù

528

△COP에서 COÓ=CPÓ이므로 ∠POC=∠OPC=20ù

∴ ∠OCD=20ù+20ù=40ù

△OCD에서 COÓ=DOÓ이므로 ∠ODC=∠OCD=40ù

△PDO에서 ∠BOD=20ù+40ù=60ù 20ù:60ù=µAC:12에서

1:3=µAC:12 ∴ µAC=4(cm) 4 cm

529

OCÓBDÓ이므로

∠ABD=∠AOC=30ù ODÓ를 그으면 OBÓ=ODÓ이므로

∠BOD=180ù-(30ù+30ù)=120ù 30ù:120ù=9:µ BD에서

1:4=9:µ BD ∴ µ BD=36(cm)  36 cm

530

오른쪽 그림에서 ∠AOB=80ù,

∠BOC=∠COD=∠EOF

=∠AOF=50ù이므로 µµ BC=µ CD=µ EF=µ FA

①

9 cm 30ù

A B

C D

O

A

B

C D

E F 50ù O

50ù

50ù 50ù 50ù 50ù

80ù 50ù50ù

(7)

531

20:5=2x:(x-24)이므로

4:1=2x:(x-24), 4x-96=2x, 2x=96

∴ x=48 48

532

① ABÓ와 CDÓ는 평행하지 않다.

③ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.

④ 중심각의 크기에 정비례하는 것은 부채꼴의 넓이이다. ②, ⑤

533

A에서 B까지 곡선의 길이는 반지름이 8`cm인 원의 둘레의 길이의

;2%;`배이다.

∴ (2p_8)_;2%;=40p(cm) ^^40p`cm

534

ABÓ=BCÓ=CDÓ=6 cm이므로

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_6+2p_3

=12p+6p

=18p(cm) ①

535

정육각형의 한 내각의 크기는 180ù_(6-2) 6 =120ù

∴ (넓이)=p_9Û _;3!6@0);=27p(cmÛ ) ^{ 27p`cmÛ}

536

=µAC+ABÓ+µ BC

=2p_6_;2!;+12+2p_12_;3¢6¼0;

=6p+12+;3*;p

=:ª3¤:p+12(cm) ^ {:ª3¤:p+12}^`cm

537

오른쪽 그림과 같이 색칠한 부분의 둘레의 길이는 반지름의 길이가 4`cm이고 중심각 의 크기가 60ù인 부채꼴의 호의 길이의 4배 와 같다.

∴ (둘레의 길이)={2p_4_;3¤6¼0;}_4=:Á3¤:p(cm)

 :Á3¤:p`cm

538

p_7Û -p_5Û +(2_20)_2=24p+80(mÛ )  ⑤

O 4 cm60ù O'

539

색칠한 부분의 넓이는 반지름의 길이가 6`cm이 고 중심각의 크기가 90ù인 부채꼴의 넓이의 2배 와 같다.

∴ {p_6Û _;3»6¼0;}_2=18p(cmÛ )

 ⑤

540

= (ABÓ가 지름인 반원의 호의 길이)+(ACÓ가 지름인 반원의 호의 길이)+(BCÓ가 지름인 반원의 호의 길이)

=2p_4_;2!;+2p_3_;2!;+2p_5_;2!;

=4p+3p+5p=12p(cm)  12p cm

541

(끈의 최소 길이)

=(곡선 부분의 길이) +(직선 부분의 길이)

=(원의 둘레의 길이) +20_2+10_2

=2p_5+40+20

=10p+60(cm)  (10p+60)cm

542

p_2Û +10_2+8_2+6_2

=4p+48(cmÛ )

(4p+48)cmÛ

543

소가 움직일 수 있는 부분은 오른쪽 그림에서 색칠한 부분과 같다.

p_6Û _;3@6&0);+p_2Û _;3»6¼0;

=27p+p=28p(mÛ )

 28p mÛ

544

레귤러 피자의 넓이는 p_14Û`=196p(cmÛ`)이므로 한 조각의 넓이는 196p

6 =:»3¥:p(cmÛ`)

라지 피자의 넓이는 p_18Û`=324p(cmÛ`)이므로 한 조각의 넓이는 324p

8 =:¥2Á:p(cmÛ`)

:»3¥:p<:¥2Á:p이므로 라지 피자 한 조각의 넓이가 더 크다.

 라지 피자

6 cm

10 cm

5 cm 20 cm

2 cm

6 cm 8 cm

10 cm

4 m

2 m 6 m

6 m

(8)

545

^5`cm

546

^27 cm

547

^36ù

548

^90ù

549

:£3ª:p cm

550

^{7p cm}

551

^{A, 10`cm}

552

^{A, 8 cm}

본문 | 100 ~ 101쪽

서술형 ^콕콕

545

단계 1 △DOE는 이등변삼각형이므로 ∠DOE=∠DEO=20ù

단계 2 △DOE에서 ∠ODC=∠DOE+∠DEO=20ù+20ù=40ù △OCD는 이등변삼각형이므로 ∠OCD=∠ODC=40ù △OCE에서 ∠AOC=20ù+40ù=60ù

단계 3 µAC:µ BD=∠AOC:∠BOD이므로 15:µ BD=60ù:20ù, 15:µ BD=3:1

3µ BD=15 ∴ µ BD=5(cm)  5`cm

546

△DOE는 이등변삼각형이므로 ∠DEO=∠DOE=30ù

^20%

△ODE에서 ∠ODC=∠DOE+∠DEO=30ù+30ù=60ù

△OCD는 이등변삼각형이므로 ∠OCD=∠ODC=60ù

△OCE에서 ∠AOC=60ù+30ù=90ù ^50%

µAC:9=90ù:30ù에서 µAC:9=3:1

∴ µAC=27(cm) ^30%

 27 cm

547

단계 1 ∠AOB:∠AOC=5:15, ∠AOB:∠AOC=1:3ù

단계 2 ∠AOB:∠AOC=1:3이므로 ∠x:∠AOC=1:3 ∴ ∠AOC=3∠x

단계 3 ACÓBOÓ이므로 ∠CAO=∠AOB=∠x(엇각) △AOC는 이등변삼각형이므로 ∠OCA=∠CAO=∠x △AOC에서 ∠x+3∠x+∠x=180ù이므로 ∠x=36ùù

 36ù

548

∠AOB:∠AOC=10:20에서 ∠AOB:∠AOC=1:2

^20%

∠AOB=∠x라고 하면 ∠x:∠AOC=1:2

∴ ∠AOC=2∠x ^30%

ACÓBOÓ이므로 ∠CAO=∠AOB=∠x(엇각)

△AOC는 이등변삼각형이므로 ∠OCA=∠OAC=∠x

△AOC에서 ∠x+2∠x+∠x=180ù이므로 ∠x=45ù

∴ ∠AOC=2∠x=2_45ù=90ù ^50%

 90ù

549

단계 1 (µAB의 길이)=2p_4_;2!;=4p(cm)

단계 2 (µ BB'의 길이)=2p_8_;3¤6¼0;=;3*;p(cm)

단계 3 µAB=µAB'이므로

=(µAB의 길이)+(µAB'의 길이)+(µ BB'의 길이)

=4p+4p+;3*;p=:£3ª:p(cm) ^ :£3ª:p cm

550

(µAB의 길이)=2p_3_;2!;=3p(cm) ^30%

(µ BB'의 길이)=2p_6_;3£6¼0;=p(cm) ^30%

µAB=µAB'이므로

=(µAB의 길이)+(µAB'의 길이)+(µ BB'의 길이)

=3p+3p+p=7p(cm) 40%

 7p cm

551

단계 1 2p_5+20_2=10p+40(cm)ù

단계 2 2p_5+10_3=10p+30(cm)

단계 3 (10p+40)-(10p+30)=10(cm)

따라서 A가 10`cm 더 길다.  A, 10`cm

552

12 cm 2 cm 4 cm

2 cm

A B A로 묶었을 때 끈의 최소 길이는

2p_2+4_4=4p+16(cm) 40%

B로 묶었을 때 끈의 최소 길이는

2p_2+12_2=4p+24(cm) 40%

따라서 A로 묶은 것이

(4p+24)-(4p+16)=8(cm) 더 짧다. 20%

 A, 8 cm

5 cm 20 cm

5 cm

10 cm 120ù

120ù 120ù

(9)

1 ^{다면체와 회전체}

Ⅲ. 입체도형

553

 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅂ

554

⑷ (꼭짓점의 개수)+(모서리의 개수)-(면의 개수)

=6+9-5=10(개)

 ⑴ 6개 ⑵ 9개 ⑶ 5개 ⑷ 10개

555

입체도형

이름 육각기둥 육각뿔 육각뿔대

옆면의 모양 직사각형 삼각형 사다리꼴

면의 개수 8개 7개 8개

꼭짓점의 개수 12개 7개 12개

모서리의 개수 18개 12개 18개

 풀이 참조

556

⑴ 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십 면체의 5가지뿐이다.

⑷ 정다면체에서 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3개 또는 4개 또는 5개이다.

 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×

557

 ⑴ ㄱ, ㄷ, ㅁ ⑵ ㄱ, ㄴ, ㄹ ⑶ ㄷ

558

⑴ 주어진 전개도로 만든 정다면체는 오른쪽 그림과 같은 정사면체이다.

 ⑴ 정사면체 ⑵ 점 E ⑶ CBÓ

559

 ㄱ, ㅁ, ㅂ

개념 ^콕콕

본문 | 105, 107쪽

560

 ⑴ , 원뿔 ⑵ , 원기둥

⑶ , 원뿔대 ⑷ , 구

561

회전체

회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양

회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양

원기둥 원 직사각형

원뿔 원 이등변삼각형

원뿔대 원 사다리꼴

구 원 원

 풀이 참조

562

⑵ 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 항상 원이지만 모두 합동인 것은 아니다.

 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯

563

 ⑴

6 cm

3 cm ⑵

²

본문 | 108 ~ 116쪽

유형 ^콕콕

(10)

Ⅲ- 1. 다면체와 회전체

565

② 오각형은 평면도형이다.

④ 원기둥은 다각형 모양의 면으로만 둘러싸여 있지 않으므로 다면

체가 아니다.  ②, ④

566

원뿔과 구는 다각형 모양의 면으로만 둘러싸여 있지 않으므로 다면 체가 아니다.

따라서 다면체인 것은 삼각기둥, 사면체, 오각뿔, 팔각뿔대의 4개이

다.  ④

567

① 사각뿔 - 오면체 ③ 육각기둥 - 팔면체

④ 칠각뿔대 - 구면체 ⑤ 팔각뿔대 - 십면체  ②

568

① 4+2=6(개) ② 4+2=6(개) ③ 6개

④ 5+1=6(개) ⑤ 5+2=7(개)

따라서 면의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다.  ⑤

569

주어진 다면체의 면의 개수는 7개이다.

① 4+2=6(개) ② 4+1=5(개) ③ 6+2=8(개)

④ 6+1=7(개) ⑤ 7+2=9(개)

따라서 면의 개수가 같은 것은 ④이다.  ④

570

① 3_3=9(개) ② 2_3=6(개) ③ 2_4=8(개)

④ 2_5=10(개) ⑤ 3_4=12(개)

따라서 모서리의 개수가 가장 많은 입체도형은 ⑤이다.  ⑤

571

① 2_5=10(개) ② 3_6=18(개) ③ 2_7=14(개)

④ 3_8=24(개) ⑤ 3_9=27(개)

따라서 모서리의 개수가 14개인 다면체는 ③이다.  ③

572

사각뿔의 모서리의 개수는 2_4=8(개)이므로 a=8 ^40%

팔각뿔대의 모서리의 개수는 3_8=24(개)이므로 b=24 ^40%

∴ a+b=8+24=32 ^20%

 32

573

주어진 각뿔대를 n각뿔대라고 하면 2n=12 ∴ n=6

따라서 육각뿔대의 면의 개수는 6+2=8(개)이므로 팔면체이다.

 ④

574

각 입체도형의 꼭짓점의 개수를 차례대로 구하면

① 2_8=16(개) ② 9+1=10(개) ③ 2_5=10(개)

④ 2_7=14(개) ⑤ 10+1=11(개)

따라서 꼭짓점의 개수가 가장 많은 입체도형은 ①이다.  ①

575

각 입체도형의 면의 개수와 꼭짓점의 개수를 차례대로 구하면

① 3+2=5(개), 2_3=6(개) ② 4+2=6(개), 2_4=8(개)

③ 5+1=6(개), 5+1=6(개) ④ 5+2=7(개), 2_5=10(개)

⑤ 6+2=8(개), 2_6=12(개)

따라서 면의 개수와 꼭짓점의 개수가 같은 입체도형은 ③이다.

 ③

576

주어진 각기둥을 n각기둥이라고 하면 3n=21 ∴ n=7 따라서 칠각기둥의 면의 개수는 7+2=9(개)이므로 a=9 꼭짓점의 개수는 2_7=14(개)이므로 b=14

∴ a+b=9+14=23  ②

577

주어진 각뿔을 n각뿔이라고 하면 n+1=6 ∴ n=5 오각뿔의 면의 개수는 5+1=6(개)이므로 a=6 모서리의 개수는 2_5=10(개)이므로 b=10

∴ a+b=6+10=16  ⑤

578

주어진 각뿔대를 n각뿔대라고 하면 n+2=6 ∴ n=4 사각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_4=8(개)이므로 a=8 모서리의 개수는 3_4=12(개)이므로 b=12

∴ b-a=12-8=4  4

579

모서리의 개수와 면의 개수의 합이 19개인 각뿔을 n각뿔이라고 하 면 n각뿔의 모서리의 개수는 2n개, 면의 개수는 (n+1)개이므로 2n+(n+1)=19, 3n=18 ∴ n=6 60%

^{64p cmÛ}

621

(16p+18)cm

622

^{36p cmÛ}

623

^④

624

^ㄴ

(11)

581

① 직사각형 ② 삼각형 ③ 직사각형

④ 사다리꼴 ⑤ 직사각형  ④

582

각 다면체의 옆면의 모양을 차례대로 구하면

사각기둥 - 직사각형, 칠각뿔 - 삼각형, 팔각뿔대 - 사다리꼴, 구각뿔대 - 사다리꼴, 십각기둥 - 직사각형, 십이각뿔 - 삼각형 따라서 옆면의 모양이 사각형인 다면체는 4개이다.  ③

583

㈏, ㈐에 의하여 구하는 입체도형은 각기둥이다.

구하는 각기둥을 n각기둥이라고 하면 ㈎에 의하여 면의 개수가 8개 이므로 n+2=8 ∴ n=6

따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 입체도형은 육각기둥이다.

 육각기둥

584

① 각뿔의 옆면의 모양은 삼각형이다.

② 각뿔대의 밑면은 2개이다.

⑤ 각기둥의 모서리의 개수는 밑면인 다각형의 꼭짓점의 개수의

3배이다.  ③, ④

585

㈎, ㈏에 의하여 구하는 다면체는 각뿔대이다. ^30%

구하는 각뿔대를 n각뿔대라고 하면

㈐에 의하여 3n=15 ∴ n=5 ^30%

오각뿔대의 면의 개수는 5+2=7(개)이므로 a=7

꼭짓점의 개수는 2_5=10(개)이므로 b=10 ^20%

∴ a+b=7+10=17 ^20%

 17

586

④ 정사면체는 평행한 면이 없다.  ④

587

④ 정십이면체 - 정오각형

⑤ 정이십면체 - 정삼각형  ④, ⑤

588

모든 면이 합동인 정삼각형으로 이루어져 있지만 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개 또는 4개로 같지 않으므로 정다면체가 아니다.

 풀이 참조

589

각 면이 모두 합동인 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체이다.

이때 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 4개인 정다면체는 정팔면체

이다.  ③

590

한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개인 정다면체는 정사면체, 정육면 체, 정십이면체이다.

이때 꼭짓점의 개수가 4개인 정다면체는 정사면체이다.  ①

591

한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 5개인 정다면체는 정이십면체이다.

^40%

정이십면체의 면의 개수는 20개이므로 a=20

꼭짓점의 개수는 12개이므로 b=12 ^40%

∴ a-b=20-12=8 ^20%

 8

592

4개의 인공위성이 같은 거리에 있으므로 3개의 인공위성을 꼭짓점 으로 하는 도형은 항상 정삼각형이 된다.

이때 각 면이 모두 합동인 정삼각형이고 꼭짓점의 개수가 4개인 입 체도형은 정사면체이다.

따라서 정사면체의 면의 개수는 4개이므로 a=4 모서리의 개수는 6개이므로 b=6

∴ b-a=6-4=2  2

593

주어진 전개도로 만들어진 정다면체는 오른쪽 그림과 같은 정팔면체이다.

따라서 ABÓ와 겹치는 모서리는 IHÓ, 평행한 모서리는 CDÓ(또는 GFÓ)이다.

 ③

594

주어진 전개도로 만들어진 정다면체는 오른쪽 그림과 같은 정사면체이다.

② ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CFÓ이다.

 ②

595

④ 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3개이다.

⑤ 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20개, 면의 개수는 12개이므로 면의 개수보다 꼭짓점의 개수가 더 많다.  ④

J

A(I)

E

C(G) B(H)

D(F)

B(D)

F C A(E)

(12)

Ⅲ- 1. 다면체와 회전체 모서리의 개수는 12개이므로 e=12

면의 개수는 7개이므로 f=7

∴ v-e+f=7-12+7=2 2

605

v-e+f=2에 v=14, f=9를 대입하면 14-e+9=2 ∴ e=21

따라서 구하는 모서리의 개수는 21개이다. ④

606

모서리의 개수를 e개라고 하면 e=15이다.

v-e+f=2에서 e=15를 대입하면

v-15+f=2 ∴ v+f=17 ③

607

모서리의 개수를 e개, 꼭짓점의 개수를 v개라고 하면

e=v+8 ^40%

v-e+f=2에 e=v+8을 대입하면 v-(v+8)+f=2 ∴ f=10

따라서 구하는 다면체의 면의 개수는 10개이다. ^60%

10개

608

ㄴ, ㄹ, ㅁ은 다면체이므로 회전체인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다. ④

609

③, ⑤ 다면체 ③, ⑤

610

⑤ 오각뿔대는 다면체이다. ⑤

611

ㄹ. ^l

➞

ㄹ

612

➞ l

③

613

① 원기둥 - 직사각형 ② 원뿔 - 이등변삼각형

④ 구 - 원 ⑤ 반구 - 반원 ③

596

정육면체의 면은 6개이므로 각 면의 한가운데에 있는 점을 연결하 여 만든 정다면체는 꼭짓점이 6개인 정팔면체이다. ③

597

정이십면체의 면은 20개이므로 각 면의 한가운데에 있는 점을 연결 하여 만든 정다면체는 꼭짓점이 20개인 정십이면체이다.

④ 정십이면체의 각 면의 모양은 정오각형이다. ④

598

새로 만든 정다면체의 꼭짓점의 개수와 처음 정다면체의 면의 개수 가 같아야 하므로 구하는 정다면체는 정사면체이다. 정사면체

599

정십이면체의 면은 12개이므로 각 면의 한가운데에 있는 점을 연결 하여 만든 정다면체는 꼭짓점이 12개인 정이십면체이다. ^60%

따라서 정이십면체의 모서리의 개수는 30개이다. ^40%

30개

600

오른쪽 그림과 같이 단면은 사각형 ABGH이 고 사각형 ABGH는 직사각형이다.

④

601

① 정육면체를 한 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 직각삼각

형이 될 수 없다. ①

602

BCÓ=BFÓ=CFÓ이므로

△BFC는 정삼각형이다.

∴ ∠BFC=60ù

60ù

603

오른쪽 그림과 같이 세 모서리 AB, AC, CD의 중점을 각각 L, M, N이라 하고 세 점 L, M, N을 지나는 평면으로 자르면 BDÓ의 중점 P를 지난다.

이때 LÕMÓ=MòNÓ=NPÓ=LPÓ, LNÓ=MòPÓ이므로

사각형 LMNP는 정사각형이다. ⑤

604

주어진 입체도형의 꼭짓점의 개수는 7개이므로 v=7

A

B C

D

E

F G

H

A B

C

D

E F

G

A

B C

D L

P N M

(13)

620

주어진 원기둥의 전개도는 오른쪽 그림과 같다. 이때 직사각형의 가로의 길이는 밑 면인 원의 둘레의 길이와 같으므로 (가로의 길이)=2p_4=8p(cm) 세로의 길이는 원기둥의 높이와 같으므로 8 cm이다.

따라서 구하는 넓이는 8p_8=64p(cmÛ ) 64pcmÛ

621

주어진 원뿔대의 전개도는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는 2p_3+2p_5+9_2=16p+18(cm)

(16p+18)cm

622

주어진 전개도로 만든 입체도형은 원뿔이다. ^20%

밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

2p_8_;3@6&0);=2pr ∴ r=6 ^50%

∴ (밑면의 넓이)=p_6Û =36p(cmÛ ) ^30%

36p cmÛ

보충 설명

반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 xù인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면

⑴ l=2pr_ x360 ⑵ S=prÛ`_ x 360 =;2!;rl

623

④ 원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면은 이등

변삼각형이다. ④

624

ㄴ. 구는 어떤 평면으로 잘라도 그 단면은 원이지만 크기는 다를 수

있으므로 항상 합동인 것은 아니다. ㄴ

8 cm 4 cm

9 cm

5 cm 3 cm

614

① 원기둥을 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 원이

고 항상 합동이다. ①

615

① ② ③ ④

⑤

616

회전체는 오른쪽 그림과 같은 원뿔대이고 단면은 윗변의 길이가 10 cm,

아랫변의 길이가 14 cm, 높이가 8 cm인 사다리꼴이므로 단면의 넓이는

;2!;_(10+14)_8=96(cmÛ )

96 cmÛ

617

회전체는 오른쪽 그림과 같은 원기둥이다.

50%

단면은 가로의 길이가 8 cm이고 세로의 길이가 9 cm인 직사각형이므로 단면의 둘레의 길이는

(8+9)_2=34(cm) 50%

34 cm

618

⑴ 회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 넓이는 {;2!;_6_8}_2=48(cmÛ )

⑵ 단면인 원의 넓이가 가장 큰 경우는 오른 쪽 그림과 같이 자를 때이므로 구하는 원 의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

;2!;_10_r=;2!;_8_6 ∴ r=;;ª5¢;;

따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 ;;ª5¢;; cm이다.

⑴ 48 cmÛ ⑵ ;;ª5¢;; cm

619

② 주어진 전개도로 만든 입체도형은 원기둥이고 원기둥을 회전축 을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양은 직사각형이다. ②

8 cm

7 cm 5 cm l

9 cm 4 cm l

8 cm

6 cm 10 cm l

8 cm

6 cm 10 cm r cm

l

625

^③

626

^90개

627

⁴⁵

628

^{ㄷ, ㄹ}

629

⁴²

630

^③

631

³²

632

^{①, ③}

633

²

634

^{③, ④}

635

^①

636

²

637

^정팔면체

638

^{②, ⑤}

639

^⑤

640

^{③, ⑤}

641

^①

642

^120 cmÛ

643

^{③, ⑤}

644

^⑤

645

^④

646

^{30p cm}

본문 | 117 ~ 119쪽

실력 ^콕콕

(14)

Ⅲ- 1. 다면체와 회전체 꼭짓점의 개수는 20개이므로 b=20

∴ a+b=12+20=32 32

632

주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 오른쪽 그림과 같은 정팔면체이다.

① 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 4개이 다.

② 모서리의 개수는 12개, 꼭짓점의 개수

는 6개이므로 모서리의 개수는 꼭짓점의 개수의 2배이다.

③ 점 B와 겹치는 점은 점 F이다.  ①, ③

633

a가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 2이므로 a+2=7 ∴ a=5

b가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 1이므로 b+1=7 ∴ b=6

c가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 4이므로 c+4=7 ∴ c=3

∴ a-b+c=5-6+3=2 2

634

정팔면체의 면은 8개이므로 각 면의 한가운데에 있는 점을 연결하 여 만든 정다면체는 꼭짓점이 8개인 정육면체이다.

① 면의 개수는 6개이다.

② 꼭짓점의 개수는 8개이다.

⑤ 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3개이다. ③, ④

635

② ③ ④ ⑤

①

636

주어진 입체도형의 꼭짓점의 개수는 9개이므로 v=9 모서리의 개수는 16개이므로 e=16

면의 개수는 9개이므로 f=9

∴ v-e+f=9-16+9=2 2

637

v= e2 , f=;3@;e

v-e+f=2에서 e2 -e+;3@;e=2이므로 e=12

∴ v=6, f=8

따라서 구하는 정다면체는 정팔면체이다. 정팔면체

I

C(E)

D

A(G) B(F)

J(H)

625

구각뿔의 꼭짓점의 개수는 9+1=10(개) 각 다면체의 꼭짓점의 개수를 구하면

① 2_3=6(개) ② 2_4=8(개) ③ 2_5=10(개)

④ 2_6=12(개) ⑤ 2_7=14(개) ③

626

정오각형 12개의 변의 개수는 12_5=60(개), 정육각형 20개의 변의 개수는 20_6=120(개)

이 다면체는 한 모서리에 2개의 면이 모이므로 구하는 모서리의 개수는 60+1202 =90(개) 90개

627

주어진 각뿔대를 n각뿔대라고 하면 n(n-3)

2 =27, n(n-3)=54(=9_6) ∴ n=9 구각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_9=18(개)이므로 a=18 모서리의 개수는 3_9=27(개)이므로 b=27

∴ a+b=18+27=45 45

보충 설명

n각형의 대각선의 총 개수는 n(n-3)2 개이다.

628

ㄱ. 육각뿔 - 삼각형 ㄴ. 팔각기둥 - 직사각형

따라서 다면체와 그 옆면의 모양이 바르게 짝지어진 것은 ㄷ, ㄹ이다.

ㄷ, ㄹ

629

면의 개수가 가장 많은 정다면체는 정이십면체이고 정이십면체의 꼭짓점의 개수는 12개이므로 a=12

꼭짓점의 개수가 가장 많은 정다면체는 정십이면체이고 정십이면체 의 모서리의 개수는 30개이므로 b=30

∴ a+b=12+30=42 42

630

한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개인 정다면체는 정사면체, 정육면 체, 정십이면체이다.

이때 모서리의 개수가 12개인 정다면체는 정육면체이고 정육면체의 면의 개수는 6개이다.

① 3+2=5(개) ② 4+1=5(개) ③ 4+2=6(개)

④ 6+2=8(개) ⑤ 6+1=7(개)

따라서 정육면체와 면의 개수가 같은 다면체는 ③이다.  ③

631

한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 4개인 정다면체는 정팔면체이고 정 팔면체의 모서리의 개수는 12개이므로 a=12

면의 모양이 정오각형인 정다면체는 정십이면체이고 정십이면체의

(15)

638

① 다면체는 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ이다.

③ 삼각형인 면이 있는 입체도형은 ㄹ, ㅁ이다.

④ 평행한 면이 있는 입체도형은 ㄱ, ㄷ, ㅁ, ㅂ이다. ②, ⑤

639

➞ l

 ⑤

640

각 변을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 회전체는 다음과 같 다.

①

E

D A

B B C

A E C D

②

E

D A

B B C

A E C

D

③

E

D A

B B C

A E C D

④

E

D A

B B C

A E C

D

⑤

E

D A

B B C

A E C

D

 ③, ⑤

641

② ③ ④ ⑤

 ①

642

회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 단면의 넓이는

[;2!;_(6+9)_8]_2=120(cmÛ )

 120 cmÛ

643

① 원뿔대는 회전체이다.

② 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC를 ACÓ를 축으로 하여 1회전시 킨 회전체는 원뿔이 아니다.

④ 원기둥을 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면은 직

사각형이다.  ③, ⑤

8 cm

9 cm 6 cm 3 cm

l

l A

B C

➞

644

주어진 전개도로 만든 입체도형은 원기둥이다.

④ 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 2p_r=4p ∴ r=2

따라서 밑면인 원의 반지름의 길이는 2 cm이다.

⑤ 밑면에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 직사각형이다.

 ⑤

645

점 A는 옆면과 밑면이 만나는 부분에 있고 실의 길이가 가장 짧아야 하므로 실의 경로는 전개도에서 두 점을 잇는 선분으로 나타난다.

따라서 길이가 가장 짧게 되는 경로로 알맞은 것은 ④이다.

 ④

646

원뿔대의 옆면이 평면에 닿도록 놓고 처음 페 인트가 묻은 부분과 원뿔대가 다시 만날 때까 지 굴리면 페인트가 묻은 부분의 모양은 오른 쪽 그림과 같다.

따라서 페인트가 묻은 부분의 모양의 둘레의 길이는 2p_10+2p_5 =20p+10p

=30p(cm)  30p`cm

5 cm 5 cm

647

⁴³

648

²⁷

649

^16개

650

^21개

651

¹¹

652

³⁵

653

^{40p cmÛ}

654

^{96p cmÛ}

655

^{6 cm}

656

^{10 cm}

본문 | 120 ~ 121쪽

서술형 ^콕콕

647

단계 1 칠각기둥의 면의 개수는 7+2=9(개)이므로 a=9 팔각뿔의 모서리의 개수는 2_8=16(개)이므로 b=16 구각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_9=18(개)이므로 c=18

단계 2 a+b+c=9+16+18=43

43

648

삼각뿔의 꼭짓점의 개수는 3+1=4(개)이므로 a=4 ^30%

오각기둥의 모서리의 개수는 3_5=15(개)이므로 b=15 ^30%

육각뿔대의 면의 개수는 6+2=8(개)이므로 c=8 ^30%

∴ a+b+c=4+15+8=27 ^10%

 27

(16)

Ⅲ- 1. 다면체와 회전체

649

단계 1 ㈏, ㈐에 의하여 구하는 다면체는 각기둥이다.

구하는 각기둥을 n각기둥이라고 하면

㈎에 의하여 면의 개수가 10개이므로 n+2=10 ∴ n=8 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 다면체는 팔각기둥이다.

단계 2 팔각기둥의 꼭짓점의 개수는 2_8=16(개)

16개

650

㈎, ㈏에 의하여 구하는 다면체는 각뿔대이다. 30%

구하는 각뿔대를 n각뿔대라고 하면

㈐에 의하여 2n=14 ∴ n=7

즉, 주어진 조건을 모두 만족시키는 다면체는 칠각뿔대이다.

30%

따라서 칠각뿔대의 모서리의 개수는 3_7=21(개) ^40%

 21개

651

단계 1 주어진 전개도로 만든 정다면체는 정육면체이다.

단계 2 정육면체의 꼭짓점의 개수는 8개이므로 a=8

정육면체에서 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3개이므로 b=3

단계 3 a+b=8+3=11

11

652

주어진 전개도로 만든 정다면체는 정이십면체이다. ^40%

모서리의 개수는 30개이므로 a=30

한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 5개이므로 b=5 ^40%

∴ a+b=30+5=35 ^20%

 35

653

단계 1 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같다.

단계 2 (단면의 넓이)=p_7Û -p_3Û

=49p-9p

=40p(cmÛ )

40p cmÛ

654

회전체는 도넛 모양이고 회전축에 수직인 평 면으로 자른 단면 중 넓이가 가장 큰 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같다. ^40%

3 cm 4 cm

2 cm 8 cm

∴ (단면의 넓이) =p_10Û -p_2Û

=100p-4p

=96p(cmÛ ) 60%

 96p cmÛ

655

단계 1 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레 의 길이와 같으므로 2p_2=4p(cm)

단계 2 원뿔의 모선의 길이를 r`cm라고 하면 2p_r_;3!6@0);=4p ∴ r=6

따라서 원뿔의 모선의 길이는 6 cm이다.

6 cm

보충 설명

원뿔의 전개도에서 원뿔의 모선의 길이는 부채꼴의 반지름의 길이 와 같다.

656

원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이

와 같으므로 2p_3=6p(cm) ^40%

원뿔의 모선의 길이를 r`cm라고 하면 2p_r_;3!6)0*;=6p ∴ r=10

따라서 원뿔의 모선의 길이는 10 cm이다. ^60%

10 cm

(17)

2 입체도형의 겉넓이와 부피

Ⅲ. 입체도형

657

⑴ c=3+4+5=12

⑵ (밑넓이)=;2!;_3_4=6(cmÛ`)

⑶ (옆넓이)=12_6=72(cmÛ`)

⑷ (겉넓이)=6_2+72=84(cmÛ`)

 ⑴ a=4, b=6, c=12 ⑵ 6 cmÛ` ⑶ 72 cmÛ` ⑷ 84 cmÛ`

658

⑴ b=2p_3=6p

⑵ (밑넓이)=p_3Û`=9p(cmÛ )

⑶ (옆넓이)=6p_6=36p(cmÛ )

⑷ (겉넓이)=9p_2+36p=54p(cmÛ )

 ⑴ a=3, b=6p, c=6 ⑵ 9p cmÛ` ⑶ 36p cmÛÛ` ⑷ 54p cmÛ`

659

⑴ (겉넓이) =(4_3)_2+(4+3+4+3)_5=94(cmÛ )

⑵ (겉넓이) =(p_4Û )_2+2p_4_9=104p(cmÛ )

 ⑴ 94 cmÛ` ⑵ 104p cmÛ`

660

⑴ (부피)=(9_6)_8=432(cmÜ )

⑵ (부피)={;2!;_10_4}_8=160(cmÜ )

 ⑴ 432 cmÜ` ⑵ 160 cmÜ``

661

⑴ (부피)=p_5Û _4=100p(cmÜ )

⑵ 밑면인 원의 반지름의 길이가 ;2!;_12=6(cm)이므로 (부피)=p_6Û _10=360p(cmÜ )

 ⑴ 100p cmÜ` ⑵ 360p cmÜ`

662

⑴ (밑넓이)=;2!;_6_5+;2!;_6_4=27(cmÛ )

⑵ (부피)=27_7=189(cmÜ )

 ⑴ 27 cmÛ` ⑵ 189 cmÜ`

개념 ^콕콕

본문 | 123, 125쪽

663

⑴ (밑넓이)=;2!;_(5+7)_4=24(cmÛ ) (부피)=24_10=240(cmÜ )

⑵ (밑넓이)=;2!;_9_6=27(cmÛ ) (부피)=27_10=270(cmÜ )

 ⑴ 240 cmÜ` ⑵ 270 cmÜ``

664

⑵ (밑넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ )

⑶ (옆넓이)=p_4_9=36p(cmÛ )

⑷ (겉넓이) =16p+36p=52p(cmÛ )

 ⑴ a=9, b=4 ⑵ 16p cmÛ` ⑶ 36p cmÛ` ⑷ 52p cmÛ

665

⑴ (겉넓이)=4_4+{;2!;_4_5}_4=56(cmÛ )

⑵ (겉넓이)=p_5Û +p_5_8=65p(cmÛ )

 ⑴ 56 cmÛ` ⑵ 65p cmÛ`

666

⑴ (부피)=;3!;_(10_10)_9=300(cmÜ )

⑵ (부피)=;3!;_{;2!;_6_4}_5=20(cmÜ )

 ⑴ 300 cmÜ` ⑵ 20 cmÜ`

667

⑴ (부피)=;3!;_p_4Û _9=48p(cmÜ )

⑵ (부피)=;3!;_p_6Û _8=96p(cmÜ )

 ⑴ 48p cmÜ`` ⑵ 96p cmÜ`

668

⑴ (겉넓이)=4p_6Û =144p(cmÛ )

⑵ 구의 반지름의 길이가 ;2!;_16=8(cm)이므로 (겉넓이)=4p_8Û =256p(cmÛ )

 ⑴ 144p cmÛ` ⑵ 256p cmÛ`

669

⑴ (겉넓이)=4p_7Û _;2!;+p_7Û =98p+49p=147p(cmÛ )

⑵ 반구의 반지름의 길이가 ;2!;_20=10(cm)이므로

(겉넓이)=4p_10Û _;2!;+p_10Û =200p+100p=300p(cmÛ )

 ⑴ 147p cmÛ` ⑵ 300p cmÛ`

(18)

Ⅲ- 2. 입체도형의 겉넓이와 부피

672

(겉넓이)=[;2!;_(3+9)_4]_2+(3+5+9+5)_5

=48+110=158(cmÛ ) 158 cmÛ`

673

(겉넓이) =(3_4)_2+(3+4+3+4)_6

=24+84=108(cmÛ ) ④

674

정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라고 하면 (a_a)_6=150, aÛ =25 ∴ a=5(∵ a>0)

따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 5`cm이다. ③

675

{;2!;_3_4}_2+(3+4+5)_h=60이므로 ^60%

12+12h=60, 12h=48

∴ h=4 ^40%

4

676

(p_6Û )_2+2p_6_h=132p이므로 72p+12ph=132p, 12ph=60p

∴ h=5 5

677

밑면인 원의 반지름의 길이가 ;2!;_8=4(cm)이므로 (겉넓이) =(p_4Û )_2+2p_4_5

=32p+40p=72p(cmÛ ) 72p cmÛ`

678

(겉넓이) =(p_5Û )_2+2p_5_7+2p_3_7

=50p+70p+42p=162p(cmÛ ) 162p cmÛ`

679

원기둥 모양의 롤러의 옆넓이는 2p_3_24=144p(cmÛ )

롤러를 멈추지 않고 3바퀴 연속하여 굴렸을 때, 페인트가 칠해진 부 분의 넓이는 원기둥의 옆넓이의 3배이므로 3_144p=432p(cmÛ )

432p cmÛ`

본문 | 126 ~ 138쪽

유형 ^콕콕

672

^158`cmÛ

673

^④

674

^③

675

⁴

676

⁵

677

^72p`cmÛ`

678

162p`cmÛ

679

^432p`cmÛ

680

^②

681

^105`cmÜ`

682

^{10 cm}

683

^③

684

^{6 cm}

685

^②

686

⁹

687

^54p`cmÜ

688

^③

689

겉넓이:288`cmÛ , 부피:240`cmÜ

690

^③

691

(36p+36)`cmÛ

692

^①

693

(14p+20)`cmÛ

694

^45ù

695

^{240 cmÜ}

696

^④

697

^446`cmÛ

698

^36p`cmÜ

699

^56p`cmÜ

700

^144p`cmÛ

701

(600-45p)`cmÜ`

702

⁴³²

703

^⑤

704

^72p`cmÜ

705

겉넓이:268p cmÛ , 부피:445p cmÜ`

706

^132`cmÛ

707

^②

708

⁸

709

^368`cmÛ

710

^{7 cm}

711

^④

712

^200p`cmÛ

713

^4`cm

714

^①

715

^②

716

^4`cm

717

^9`cmÜ

718

^③

719

^256p`cmÜ

720

^33p`cmÜ

721

:Á4°:`cm

722

^36`cmÜ`

723

^20`cmÜ

724

;;¢2°;;`cmÜ

725

^1398`cmÜ

726

^②

727

³

728

¹⁰

729

⑴ 75p cmÜ` ⑵ 15분

730

⁸

731

^54000원

732

^④

733

¹⁴⁰

734

^{3 cm}

735

^{8 cm}

736

^32p`cmÜ

737

^42p`cmÛ

738

^25p`cmÜ

739

^245p`cmÛ

740

^71`cmÛ

741

^41p`cmÛ

742

^88p`cmÛ

743

^312p`cmÜ

744

^②

745

^224p`cmÜ

746

^④

747

^228p`cmÛ

748

^④

749

^16p`cmÛ

750

^④

751

^30p`cmÜ

752

^①

753

^8개

754

31500p`cmÜ

755

^⑤

756

^100p`cmÛ

757

^{겉넓이 :}:¦2°:p`cmÛ`, 부피 : 30p`cmÜ`

758

^②

759

^②

760

³

761

원뿔 : 24p cmÜ`, 원기둥 : 72p cmÜ`

762

^①

763

^④

764

^③

765

^③

766

^{288 cmÜ}

670

⑴ (부피)=;3$;p_5Ü =:;%3):);p(cmÜ )

⑵ 구의 반지름의 길이가 ;2!;_18=9(cm)이므로 (부피)=;3$;p_9Ü `=972p(cmÜ )

 ⑴ :;%3):);p cmÜ ⑵ 972p cmÜ

671

⑴ (부피)=;3$;p_4Ü _;2!;=:;!3@:*;p(cmÜ )

⑵ 반구의 반지름의 길이가 ;2!;_12=6(cm)이므로 (부피)=;3$;p_6Ü _;2!;=144p(cmÜ )

 ⑴ :;!3@:*;p cmÜ ⑵ 144p cmÜ

(19)

680

(부피)=[;2!;_(5+8)_4]_6=156(cmÜ ) ^^②

681

(부피)={;2!;_5_4+;2!;_5_2}_7

=15_7=105(cmÜ`)  105`cmÜ`

682

삼각기둥의 높이를 h cm라고 하면 {;2!;_4_10}_h=200

20h=200 ∴ h=10

따라서 삼각기둥의 높이는 10`cm이다. 10 cm

683

(밑넓이)=;2!;_6_3+;2!;_(6+5)_4=9+22=31(cmÛ )

∴ (부피)=31_8=248(cmÜ ) ③

684

원기둥의 높이를 h cm라고 하면

p_5Û _h=150p, 25ph=150p ∴ h=6

따라서 이 원기둥의 높이는 6 cm이다. 6 cm

685

밑면인 원의 반지름의 길이가 ;2!;_14=7(cm)이므로

(부피)=p_7Û _4=196p(cmÜ ) ②

686

(A의 부피)=p_6Û _4=144p(cmÜ ) 40%

(B의 부피)=p_4Û _x=16px(cmÜ ) 40%

144p=16px ∴ x=9 20%

9

687

원기둥의 높이를 h cm라고 하면

2p_3_h=36p, 6ph=36p ∴ h=6

∴ (부피)=p_3Û _6=54p(cmÜ ) 54p cmÜ

688

원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 2pr=10p ∴ r=5

∴ (부피)=p_5Û _8=200p(cmÜ ) ③

689

(겉넓이)={;2!;_8_6}_2+(6+8+10)_10 =48+240=288(cmÛ )

(부피)={;2!;_8_6}_10=240(cmÜ )

겉넓이:288 cmÛ`, 부피:240 cmÜ

690

옆면인 직사각형의 가로의 길이, 즉 밑면의 둘레의 길이가 12 cm이 므로 밑면인 정사각형의 한 변의 길이는 12_;4!;=3(cm)이다.

따라서 사각기둥의 부피는 3_3_6=54(cmÜ ) ③

691

(밑넓이)=p_3Û _;3@6$0);=6p(cmÛ ) (옆넓이)={2p_3_;3@6$0);+3_2}_6 =(4p+6)_6=24p+36(cmÛ )

∴ (겉넓이)=6p_2+(24p+36)=36p+36(cmÛ )

(36p+36) cmÛ

692

밑면인 부채꼴의 중심각의 크기는 60ù이므로

(부피)={p_6Û _;3¤6¼0;}_5=30p(cmÜ ) ^^①

693

밑면은 반지름의 길이가 ;2!;_4=2(cm)인 반원이다. ^10%

(밑넓이)=p_2Û _;2!;=2p(cmÛ ) ^30%

(옆넓이)={2p_2_;2!;+4}_5=10p+20(cmÛ ) ^30%

∴ (겉넓이)=2p_2+(10p+20)=14p+20(cmÛ ) ^30%

(14p+20) cmÛ

694

밑면인 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라고 하면 {p_4Û _ x360 }_6=12p ∴ x=45

따라서 밑면인 부채꼴의 중심각의 크기는 45ù이다. 45ù

695

(부피) =(8_6)_8-(3_6)_8=384-144=240(cmÜ )

240 cmÜ

696

(부피)={p_8Û _;3»6¼0;}_6-{p_4Û _;3»6¼0;}_6

=96p-24p=72p(cmÜ ) ④

459원

447

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450

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유형 콕콕

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유형 ^콕콕