수의 탄생

생활과 수

목적: 생활 속에서 사용되고 있는 수는 어떻게 생겨났으며 어 떻게 표현되고 있는가? 또 어떻게 사용되고 있는가?

그리고 수와 관련된 암호에 대해 알아 본다.

수의 탄생

원시시대의 수의 표현 – 가축의 수를 세기 위해 1) 돌맹이나 나무토막을 모우거나

2) 흙이나 돌위에 자국을 내어 표시

3) 짐승의 뼈나 막대기에 금을 그어 표현

1937년 체코슬로바키아 : 눈금이 새겨진 늑대 의 뼈

1962년 콩고: 8000년 전의 것으로 보이는 눈금 을 새긴 뼈의 발견

=> 수의 표기법으로 숫자의 출현

고대 바빌로니아 시대 “쐐기문자”

-60진법 : '위치적 기수법'의 원리가 사용 (예) 63=60+ 3 =1*60+3 => “1, 3”

72=60+12=1*60+12 => “1, 12”

바빌로니아 60진법 =>아라비아=>유럽

1시간=60분, 1분=60초, 1도=60'(분), '(분)=60"(초) 원둘레각=360도, 원의 6등분=60도

고대 인도: 10진 위치적 기수법 인도 아라비아식 기수법,

불교의 공(空) 개념 => 0 의 출현

- 기원전 2세기경에는 불교에서 공, 3, 4세기경에는 점, 7세기에 들어서 지금의 0이 등장,

0+0=0, 0+a=a, 0*a=0

사칙연산에 사용하면서 수로써 인정을 받음

수의 범위

원시 뉴기니인의 수 : 1, 2, 많다(=무한) 중국, 인도 : 백 , 천, 만, ….

세종대왕의 산학책(만진법):

일, 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경, 해, 자, 양, 구, 간, 정, 재, 극, 항하사, 아승기, 나유타, 불가사의, 무 량대수(=10의 68재곱)

항하사(恒河沙)는 인더스강 모래알의 개수

아승기. 나유타. 불가사의 등은 모두 불교적

인 명칭이다.

큰 수

일, 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경, 해, 자, 양, 구, 간, 정, 재, 극, 항하사, 아승기, 나유타, 불가 사의, 무량대수(10의 68승).

작은 수

할, 푼, 리, 모, 사, 흘, 미, 섬, 사, 진, 애, 묘, 막, 모호, 준순, 수유, 순식, 탄지, 찰나, 육덕, 허공, 청정(10의 -21승)

우리말 수사에는 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯,

일곱, 여덟, 아홉, 열, 스물, 서른, 마흔, 쉰, 예

순, 일흔, 아흔, 온(백), 즈믄(천) 등

현대과학에 쓰이는 수 10 ^𝑛

1광년- 빛이 진공에서 1년간 진행하는 거리 (9.4607304725808 × 10

km),

AU - 지구와 태양사이의 거리를 기준으로 한 단위.

1AU = 1.495978707 × 10

m.

1광년은 약 63241.1AU이다.

1메가톤(질량 또는 에너지의 단위) = 1,000,000 톤

핵무기의 폭발 또는 소행성 충돌시 방출되는에너지 미크론(micron), 1x10

m=0.000 001m

나노(10억분의 1= 10

), …

동서양의 수

동양: 오행설 6은 물 (거북이 등 무늬, 눈, 얼음)

서양(그리이스): 수를 분석해 수들 사이의 관계를 따졌다.

짝수는 양(남성), 홀수는 음(여성)이라고 생각하는 것까 지는 동서양이 같았다.

그러나 희랍인은 더 나아가 6은 2×3으로 생각하여 남성 과 여성이 곱해지는 것이므로 결혼의 수라고 한 것이다.

영어에서는 `성'을 `sex'라고 하는데 그 어원은 `six' 곧 6

에서 나왔다.

우리 조상들은 1,3,5,7... 등 홀수를 양의 수,

2,4,6,8...등 짝수를 음의 수 라고 생각하였다.

--- 양은 밝고, 트고, 높고 따뜻한 것으로

음은 어둡고, 작고, 낮고, 서늘한 것으로 생각하여 달력에도 양이 겹치는 날을 명절로 정하였다.

1월 1일은 설날, 3월 3일은 삼짓날, 5월 5일은 단오,

7월 7일은 칠석, 9월 9일은 중제, 이와 같은 날들은

모두 양이 겹쳐 있어서 중양절이라고 하며 경사스러

운 날이라는 의미를 부여하였다.

그리스의

히파수스

– 무리수의 존재성을 증명하여 피타고라스 학파에서 추방당함 피타고라스학파의 사람들은

정수와 정수의 비로 모든 기하적 인 대상을 표현할 수 있다고 믿고 다른 수의 필요성을 인정하 려고 하지 않았다. (직각삼각형의 피타고라스 정리)

분수(정수의 비로 나타나는 수) 를 상식적인 수 라고 히였으나 무리수는 비 상식적인 수로 알려져 있었고 “입에 담지 못할 수“(alogos) 라고 불렀고 비 밀로 유지하려고 노력했다.

히파수스가 정사각형의 대각선을 표현할 수 있는 어떤 다른 수 도 존재하지 않음을 보이자 그들은 혼란에 빠졌고, 대각선의 길이를 근사적으로 나타내려 하였다. 실제로, 그들은 루트2는 수가 아니라고 주장하였다. 𝑥

=2, 𝑥 = ?

무리수의 발견

허수의 발견

이탈리아의 수학자

라파엘로 봄벨리

"1의 제곱근은 1과 -1 두 개다. 음수를 두 번 곱하면 양수가 되어 이것은 문제가 되지 않는다. 그런데 -1의 제곱근은 얼마인가?“

𝑥 ² = 1 ⇒ 𝑥 = 1, 𝑥 = −1 𝑥 ² = −1 ?

1572년 봄벨리가 허수단위를 정의하였고, 이를 데카르트가 허수(imaginary

numbers)라고 명명하였고, 오일러가 허수 단위 기호로 i = −1 를 도입하였다.

1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하학적으로 표현 하였다.

복소평면에서 허수의 위치를 극좌표로 표시

- 임의의 단위 원을 그려 복소수와 삼각함수의 관계를 생각하다.

1714년 영국의 수학자 로저 코츠(복소수와 삼각함 수의 관계를 자연로그를 써서 표현)

𝑙𝑛(cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 ) = 𝑖𝑥

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 오일러의 공식 을 만들었다.

𝑒

= cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥

헤밀턴 사원수

윌리엄 로원 해밀턴

Hemilton은 복소수를 Vector 에 대응시켜, 2차원 공간의 회전에 관한 vector의 특성을 보존하면서 3차원 공간의 회전에 대해서도 가능한 한 벡터의 성질을 기호화하려고 노력하였다.

1843년 Dublin에 있는 Royal Canal 공원을 아내와 함께 산책 하다 4원수를 발견하고 주머니에서 Pen-Knife를 꺼내 돌에 공식 을 새겨 놓았다고 하고, 그 기념비가 현재 Brouggham 다리에 있다.

해밀턴은 복소수 a+bi가 평면 위의 점을 기술할 수 있듯이 3차 원 공간 위의 점을 기술할 수 있는 a+bi+cj와 같은 꼴의 삼원수 (triplets)가 존재하지 않을까 하는 생각에 빠져 이를 두고 오랫동 안 고심했다.

마침내 1843년 10월 16일 산책하던 도중 공간의 점을 기술하 려면 a+bi+cj+아 형태로, 원소가 4개인 사원수가 필요하다는 것 을 발견하였는데 이는

곱셈의 교환 법칙을 포기한 벡터 해석과 행렬 대수의 기초

(사원수끼리의 곱셈에는 교환 법칙이 성립되지 않는다)

무한대와 무한소

선사시대는 2-3 이상의 수가 필요 없었으나 농경시대로 들어가면서 토지 측량, 식량분배, 과세등에서 수적 개념이 발달하여 하늘의 별, 물고 기의 수, 모래알의 수에서 무한을 의식

피타고라스 학파 “만물은 수(數)이다”

무리수의 출현(히파수스)으로 피타고라스 정리에 나타나는

수

도형

사이의 아름다운

조화

선분의 길이는 유리수이어야 한다

모두 무한대 무한소 의 두 개념이 현실 세계와 대립 될 때 생기는 모순에서 유도되는 6가지의 역설들

① (Zenon 의 역리) A에서 B까지 움직인다는 것은 B에 가기 전에 AB의 중심인 C를 지나야 하고 또 C에 가기 전에 AC의 중심인 D를 거쳐야 한다. 이와 같이 움직인다는 것은 무한개의 많은 점을 통과해야 하므로 운동이란 있을 수 없다.

② 그리스의 전설에 나오는 아킬레스(Achilleus)처럼 빨리 달리는 사람도 거북을 따라갈 수 없다. 거북이 앞서 A에 있고, 아킬레스가 B에서 동시에 출발할 때, 아킬레스가 A1 점에 도달하고, 또 아킬레스가 A1점에 도달하면 거북은 그보다 앞선 A2점에 가 있다. 이같이 생각하면 아킬레스는 거북을 따라갈 수 없다.

③ 날아가는 화살은 각 순간에 있어 일정한 위치를 차지한다. 즉 화살은 각 순 간에 있어 그 위치에서 정지하고 있다. 눈과 화살 사이에는 무한개의 점이 있 으므로 눈은 그 무한개의 점의 위치를 하나하나 넘기면서 눈에 가까이 오는 화 살을 본다. 아무리 화살이 눈에 접근한다 할지라도 그들 사이에는 거리가 있고, 그 거리에는 무한 개 점이 남는다. 따라서 날아가는 화살은 정지하고 있다.

④ (혜시의 역설) 크기가 없는 것을 모을 수는 없으나 그 크기는 1000리에 이른다. 크기가 없는 것 즉 무한소란 합할 수가 없는 것 다시 말하면 아무리 더해 보아도 크기가 영인 것을 말한다. 그러 나 무한소의 크기라는 것은 일정한 길이를 갖는 물질을 분할해서 얻은 것이다. 여기서 1000리의 길이를 갖는 것이라고 하는 것은 영의 크기를 갖는 길을 무한소 분할하여 얻는 것이라 할 수 있다.

(* 무한소는 미분 적분학의 기초 개념이 되었다.)

⑤(공손용의 역설) 한자(척) 길이의 실을 매일 반씩 취해가면 만년 이 지나도 끝이 없다. 한자의 실을 오늘 1/2자 취하고 내일 또 이 것의 1/2자 취하는 것을 무한히 계속할 수 있다.

⑥ 아무리 빨리 날아가는 화살이라도, 결코 날아가는 것도 정지해 있는 것도 아니다.

블랙홀-자연에서 발견되는 무한

- 인간적인, 너무나 인간적인 수학 - Micael Guillen에서 발췌 -

이전에는 하나의 별로 활동하다가 지금은 다 타버리고(전자를 다 방출하고) 초밀도의 잔해로 남아있는 블랙홀(중성자별)은 집중화된 무한으로서, 밀도가 무한인 물체를 블랙홀이라 부른다. 이론상 아무리 작은 블랙홀도 작은 원자폭 탄의 폭발과 맞먹는 위력의 에너지를 방출한다. 전자나 블랙홀과 같은 집중화 된 무한들을 특이성(singularity)이라 부른다.

이들은 공간에서-혹은 시간에서-점들로 나타나지만 이때 이러한 것들의 물리 적 양은 그 크기가 무한이다. 그러므로 이들의 존재는 무한이란 것을 어떤 하 나의 전체로 인식 할 수 있는 명확한 개념이 된다.

수의 분류

자연수 정수 0

유리수 음수 실수

복소수 무리수, 초월수 사원수 허수

솟수와 암호학

영화 「콘택트」를 보면 외계인이 보낸 메시지를 판독하 는 데 소수가 이용된다. 솟수란 1과 그 자신만으로 나누 어지는 자연수로 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 등을 말한다.

그러면 가장 큰 소수는 얼마일까 ?

그리고 슈퍼컴퓨터로 큰 솟수를 찾기위해 노력하는 이유 는 무엇일까 ?

암호학 의 근간이 되는 수학이론이 바로 거대 솟수를 이용하기 때문에 미국의 국가안전국(NSA)을 비롯한 여러 기관들이 소수 연구에 막대한 비용을 투자한다. 만약 솟수를 생성하거나 발견하는 어떤 수학적 법칙 이 발견된다면, 그것은 수학계뿐만 아니라 정보과학에도 일대 혁명이 일 어날 것이다.

유언 문제 (Testament Problem )

고대 로마의 Hadrian 왕대(117 - 138)때, 유명한 법률가인 Julianus의 法 典속에 해결하기 어려운 법률 퍼즐로 기록된 문제이고,

중세에는 widman(1489)이 인도의 수학 문제의 수집시 남아 있는 동서양에 영향을 주었던 재미있는 수수께끼 문제들 …

과부의 유산문제(Widow`s dower)

임종을 앞에 둔 남편이 임신한 아내에게 유언하기를,

『아들을 낳으면 전 재산을 아들과 당신이 2 : 1 이 되도록 나누어 가져라,

만약 딸이면 당신과 딸이 2 : 1 이 되도록 가져라』하는 유언을 남기고 죽었는데, 부인은 열 달 후에 딸과 아들인 쌍둥이를 낳아 재산을 어떻게 분배하였을까?

(해) Julianus 는 아들 : 어머니 : 딸 2 : 1 2 : 1

= 4 : 2 : 1 비율로 나누어 문제를 해결하였다.

[Activity]

유산 분배 문제(Division of the estate)

아라비아 상인은 자기의 재산인 17 마리의 낙타 를 큰아들에게 는 1/2, 둘째 아들에게는 1/3, 셋째 아들에게는 1/9을 가지라고 3 형제에게 유언을 남기고 죽었다.

3 형제가 아버지의 유언대로 재산을 분배할 수가 없어 난처해 하고 있었다. 그 때, 지나가던 한 노인이 자기가 타고 가던 낙타 한 마리를 보태서 18 마리 낙타로 1/2, 1/3,/ 1/9 씩 각각 나누어 주고도 자신의 낙타 한 마리가 남아 노인은 자신의 낙타를 타고 유유히 떠났다는 이야기

(힌트 : 9+6+2+1=17+1 , 18은 2, 3, 9 의 최소 공배수)

[Activity]

그런데 얼마 후에 이와 비슷한 문제(?)가 생겼다.

한 아라비아 상인은 3 형제 에게 낙타 11마리 를 각각 1/2, 1/3, 1/6씩 유산을 분배하여 살라고 하는 유언을 남기고 죽었다. 11마리의 낙타를 아 버지의 유언대로 나누어 가질 수 없어 난처해하는 모습을 보고 이 마을의 한 사람이 전에 17마리의 낙타 문제를 해결해 준 노인의 슬기를 듣고, 자 기도 머리가 좋다는 것을 보여주려고 자신의 낙타 한 마리를 끌고 가서, 12 마리의 낙타를 만들어 가지고 아버지의 유언대로 나누어 가지라 고 하 였다. 그 결과 이 사람은 낙타 한 마리를 잃었다.

(참고 : 1/2 +1/3+1/9=17/18 이지만, 1/2+1/3+1/6=12/12=1 이다.

2, 3, 9 의 최소 공배수는 18 이지만, 2, 3, 6 의 최소 공배수는 12 ^L^ )

[Activity]

카메라 조리개와 무리수 2

수동 카메라의 렌즈를 둘러싸고 있는 둥근 원통 모양의 겉면의 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11 숫자의 의미는?

그런데 이 숫자들이 어떻게 선택된 것일까?

첫 번째 숫자 1.4는 2 의 근사값이고 그 다음 숫자들은 2 씩 곱해나간 숫자들의 근사값이다.

그럼 이 숫자들이 무엇을 의미하고 있으며 왜 F값은 2 배씩 늘 어나는가?

빛이 들어오는 양을 반으로 줄이려면 빛이 들어오는 구멍의 넓이를 반으로 줄여야 한다. 즉

F= 카메라 렌즈의 초점 거리 / 조리개 구멍의 지름

이다. 카메라마다 렌즈의 초점 거리는 일정하므로 빛이 들어오 는 조리개 구멍의 지름에 의해서 F값이 정해지게 된다. 따라서 조리개 구멍의 지름이 작으면 작을수록 F값은 커진다.

[무리수의 응용]

즉, 처음 조리개 구멍 S의 반지름을 R, 넓이를 반으로 줄인 조리개 구멍 S1의 반지름을 r라 하면

구멍 S의 면적=π𝑅

, 구멍 S1의 면적= π𝑟

이므로 구멍 S의 면적 : 구멍 S1의 면적 = 2 : 1

= π𝑅

: π𝑟

이다.

따라서

π𝑅

=2 x π𝑟

, 𝑅

=2 𝑟

,

R = 2r (즉 R : r = 2 : 1 ) r=

2

R 가 되므로 조리개의 구멍이 반지름을

2

배로 줄여야 된다.

따라서 F는 조리개 구멍의 지름과 역수관계이므로

F값은 2 배 늘어나게 된다.

A4 용지는 어떻게 만들었을까?

A4 용지는 왜 297mm×210mm(길이x폭)일까?

A4 용지의 폭 : 길이 = 1 : ≒ 1.414 이다.

A4 용지의 전지를 A0라고 하는데, A0의 규격은 1189mm×841mm A0는 폭에 대한 길이의 비가 2 이고 넓이는 약 1m²가 되도록 만든 종이이다. 이를 절반으로 자르는 제조과정에서 근사값을 택하여 A1, A2, A3, A4 등의 에이(A)판 용지가 만들어진다.

210 : 297 = 1 : 1.414

1189x 841=999949 ≒ 1000000mm=(1 m)^2

[무리수의 응용]

(해설) 전지의 길이 : 폭 = x :1 이라고 하자. 그러면 이것을 절반으로 자른 종이의 길이 : 폭 = 1 : x/2이다.

두 직사각형은 서로 닮은꼴이므로 비례식 x :1 = 1 : x /2 가 성립 하고, 이로부터 이차 방정식 x^2=2를 얻는다.

따라서 전지의 길이 x= 2 이다.

이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 2 로 택하면, 반으로 자르 는 과정에서 이 비가 항상 유지된다. 복사용지의 2 비율은 우 리에게 익숙하여져서 황금비와 큰 차이를 느끼지 못한다.

이렇게 도형의 닮은꼴, 비례식, 이차 방정식, 무리수 등의 수학적 개념은 실생활에 유용한 종이의 재단에도 이용된다.

B4와 B5 용지도 A판과 같은 원리로 만들어진다.

전지 B0의 폭에 대한 길이의 비는 2 이고 넓이는 1.5m^2가 되 도록 규격을 1456mm×1030mm로 정했다.

이를 절반으로 자르는 과정에서 B1, B2, B3, B4, B5 등의 ‘비(B)판’

이 만들어진다.

A판과 B판의 모든 용지가 서로 닮은꼴

(면적의 비가 1:1.5 이므로 A0와 B0의 변의 닮음비는 1.5 )

이기 때문에, 적절한 비율로 확대하거나 축소해서 다른 용지에 복 사할 수 있는 또 다른 이점이 있다. A판과 B판의 폭에 대한 길이 의 비는 우리 눈에 가장 아름답게 보인다는 황금비는 아니지만 그 러나 A판과 B판은 ‘수학적으로’ 만들어졌다.

*완전수:

피타고라스는 "자신을 제외한 자신의 약수의 합 이 그 수 자체가 되는 수를 완전수"라고 하였다.

(예) 6의 약수는 6 자신을 제외하면 1, 2, 3이며 이들의 합은 1+2+3=6이다.

또 28의 약수 1, 2, 4, 7, 14를 전부 합하면 28이 다.

그는 이 수를 매우 신성하게 여겨 재판관의 수,

또는 조직을 만들 때 꼭 28명이 되도록 애썼다.

피타고라스는 '완전수의 약수들의 합은 완전수 자 체와 같다'는 것 이외에도 완전수는 여러 가지 특유 의 성질을 가지고 있음을 알아냈다. 그 중 하나로서 완전수는 항상 연속되는 자연수의 합 으로 표현될 수 있다.

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127

수천년동안 인류가 발견한 완전수는 30개뿐 6 28

496 , 8128,

33,550,336

8,589,869,056 ….

최근에 발견된 완전수는 13만자리 숫자다.

2

×(2

-1)

완전수가 짝수인지 무한히 많은지는 아직 밝혀

지지 않았다.

회문(回文) 숫자 ( =대칭수)

2002 처럼 앞 뒤가 대칭인 숫자를 ‘회문 숫자’

라 한다.

`47+74=121`

(Q) 회문숫자 만드는 법?

`39+93=132` => `132+231=363

*1)

뒤집어 더하기

89 로 회문 숫자를 만들려면 뒤집어 더하는 과정 을 25번 반복 ^{해야 한다.}

그러나 1백96 은 뒤집어 더하기를 9백50만 번 해서 4백90만 자리 숫자까지 계산해 보았지만 그래도 회문 숫자가 되지 않았다.

`12×21=252`

뒤집어 곱하기

77×78=6006`

연이은 숫자의 곱하기 11^2 = 121, 111^2 = 12321, ...

1로만 이뤄진 수를 제곱

11x11 = 121

111x111 = 12,321

1,111x1,111 = 1,234,321 ……

11,111,111x11,111,111=123,456,787,654,321

111,111,111x111,111,111=12,345,678,987,654,321

1,111,111,111x1,111,111,111= 123456790098… No!!

친화수란?

친화수(親和數)[amicable number] 우애수(友數) 라고도 한다.

두 개의 자연수 A, B 가 있어, A 의 약수의 합이 B 와 같고,

B 의 약수의 합이 A 와 같을 때, A 와 B 를 친화수라고 한다.

[예] 220 과 284

1+2+4+71+142 = 220,

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

17,296 과 18,416

9,363,584 과 9,437,056

• *사랑이 이루어지는 수

피타고라스학파의 학자들은 220과 284가 친화수라는 사실을 이미 알고 있었다.

그 후, 9세기 경에 이르러 아라비아의 수학자 사빗 이븐 쿠라(826년-901년)가 친화수를 구하는 식을 만들었다. (그러나 아직 누구도 모든 친화수들을 구해주는 단일한 공식이 나 방법을 알아내지 못했다.)

몇세기 뒤 마린 메르센(1588년-1648년)과 피에르 드 페르마(1601년-1665년)는 사빗의 공식을 응용해 두번째 친화수 17,296과 18,416를 발견했다.

비슷한 방법으로 데카르트는 세 번째 친화 수 9,363,584 와 9,437,056을 발견하였으며 레온하르트 오일러는 무려 63쌍의 친화수를 찾아낸다.

그러나 1866년에 니콜로 파가니니 라는 16세의 이탈리아 소년이 뜻밖의 친화수 쌍 1,184 와 1,210 을 발견하였다.

• 현대에서는 컴퓨터를 사용하여 많은 1백만개 이상의 친화수를 찾아내고 있다.

(2001년 1월 30일 기준 1,118,555개)

그러나 홀수와 짝수로 된 친화수는 아직 발견된바 없다.

쌍소수 ^란?

2만큼 차이 나는 두 개의 소수를 쌍소수 라고 한다.

5와 7, 17과 19,

22271과 22273,

1000000000061과 1000000000063 등 등.

쌍소수는 굉장히 많다. 그러나 무한히 많은

것인지 아직 증명되지 않았다.

수에 숨겨진 성질을 탐구?

=수론 (Number Theory)

1년을 나타내는 `3백65` 은

365 = 100 + 121 + 144 = 10 ² + 11 ² + 12 ² 연속된 숫자 10, 11, 12 의 곱이다.

성경에 나오는 153마리의 물고기

153 = 1x3 + 50x3 =1+1+1+50+50+50

그래서 ? 수비학

디오판토스( Diophantus , 246?～330?)

정수론에 대하여 유클리드의 기하학만큼이나 중요한 저 서를 남긴 사람이 바로 알렉산드리아의 디오판토스이다.

그는 그리스 수학을 선도한 중요한 인물이었다.

3세기 후반 알렉산드리아에서 활약했던 그리스의 수학자. 대수학의 아 버지라고 불리며, 주저 《산수론(算數論) Arithmetica》은 13권 중 6권이 현재까지 남아 있다. 그는 마이너스(－)․미지량(未知量)․상등(相等)․거 듭제곱 등의 기호를 사용했다. 그의 《산수론》은 아라비아어(語)로 번역 되고, 라틴어로 번역되어 아라비아와 유럽으로 전파되어 중세말 대수학 발달에 공헌했다. 저서 중 “주어진 제곱수를 2개의 제곱수로 나누어라”

라는 문제는 후대에 페르마(1637)에게 영향을 끼쳐, 페르마의 정리 가 되었다. ( z^2 = x^2 + y^2)

[디오판토스의 묘비명]

”신의 축복으로 태어난 그는 인생의 1/6을 소년으로 보냈다.

그리고 다시 인생의 1/12이 지난 뒤에는 얼굴에 수염이 자라기 시작했다.

다시 1/7이 지난 뒤 그는 아름다운 여인을 맞이하여 화촉을 밝혔으며, 결혼한 지 5년 만에 귀한 아들을 얻었다. 아! 그러나 그의 가엾은 아들은 아버지의 반밖에 살지 못했다. 아들을 먼저 보내고 깊은 슬픔에 빠진

그는 그 뒤 4년 간 정수론에 몰입하여 스스로를 달래다가 일생을 마쳤다.”

그렇다면 디오판토스는 몇 살까지 살았을까? (84세) [해설] 디오판토스가 살다간 햇수를 L이라고 하면 L=L/6+L/12+L/7+5+L/2+4

라는 방정식을 얻게 된다. 이 식의 우변을 계산하면, L=25L/28+9

이 되고 정리하여 L을 구하면, 3L/28=9

L=84 를 얻는다.

따라서 디오판토스가 죽었을 때, 그의 나이는 84세였다.

라마누잔의 직관

근대 인도의 수학자 라마누잔이 병석에 누워 있을 때, 문병을 간 사람이 자신의 차번호인 `1729`가 별 특징이 없 는 수라고 하자, 라마누잔은 병석에 있으면서도 "1729는 9와 10을 각각 세제곱한 수의 합이자, 1과 12를 각각 세제 곱한 수의 합"이라며 "1729는 이렇게 두 가지 다른 세제 곱수의 합으로 나타낼 수 있는 가장 작은 수"라고 했다.

• 𝟗

+ 𝟏𝟎

= 729 + 1000 = 1729

• 𝟏

+ 𝟏𝟐

= 1 + 1728 = 1729

26은 5의 제곱인 25와 3의 3제곱인 27사이에 끼어있는 수 다. ( 5

< 26 < 3

)

페르마는 이렇게 제곱수와 세제곱수 사이에 끼어있는 수가 자연수를 통털어 26 밖에 없다는 사실을 증명하였다.

페르마의 마지막 정리:

“n > 2 의 자연수일 때 𝑥

+ 𝑦

= 𝑧

을 만족시키는 정수쌍 (x, y, z) 는 존재하지 않는다. “

=> 영국의 1994년 와일즈 (Andrew Wiles)에 의해 증명되었다. 이 문 제에는 독일 괴팅엔 왕립과학원에서 10만 마르크의 상금이 걸려 있었고 1997년 와일즈는 이 상금을 받았지만 검증 과정동안 나이가 40이 넘어 필즈 메달은 수상하지못했다.

페르마의 '26의 증명‘

암호와 수학