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도형(기하)

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Academic year: 2022

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(1)

도형(기하)

박성선

춘천교육대학교

ⓒ Chuncheon National University of Education

(2)

- 네델란드의 부부(Pierre van Hiele과 Dina van Hiele) - 기하학적 사고를 5수준으로 구분

- 교사의 지도가 아동의 학습수준에 부합하지 못하면 부조화를 이룰 수 있음

• 각 수준별로 적용 가능한 활동 및 발문을 고려해야 한다.

• 교사는 학생의 수준을 파악하고 학생의 수준에서 지도해 야 한다.

Van Hieles의 수학 학습이론

(3)

기하학적 사고의 수준 모델

*제 1수준(시각화, Visualization)

-주변대상을 형(모양)이란 인식수단에 의해 파악하는 단계 -전체적인 모양으로 도형 인식

-세모꼴, 네모꼴, 상자모양 등으로 도형의 이름을 말할 수 있으나, 그 성질을 명확히 말하지 못함

-추론에 의하여 도형을 판단하는 것이 아니라 지각에 의하여 판단

(4)

기하학적 사고의 수준 모델

*제 2수준(분석적 인식, Analysis)

-도형의 구성요소와 성질에 대한 분석을 통해 도형을 파악

-도형의 성질을 통하여 시각적 형태가 아닌 성질의 집합으로 인식 “마름모는 네 변의 길이가 같은 도형”

-도형들 간의 관계를 인식하지 못함 “정사각형도 마름모이다”(

×)

(5)

기하학적 사고의 수준 모델

*제 3수준(추상적/관계적 인식, Abstraction/Relation)

-도형의 성질과 도형 사이의 관계를 인식 “정사각형은 마름모”

(O)

-도형의 개념에 대한 추상적 정의

-도형들의 성질을 통하여 도형을 위계적으로 분류 -비형식적 논증(귀납적 논증)을 통하여 기하적 증명 “삼각형의 내각의 합은 180도”

-연역적 논증의 역할 및 중요성은 아직 이해되지 않음

(6)

기하학적 사고의 수준 모델

*제 4수준(연역적 수준, Deduction)

- 연역적 논증을 이해하고 형식적 증명이 가능 - 공리체계를 이해

“무정의 용어, 정의, 공리, 정리, 증명의 의미와 역할 이해”

*유클리드 기하학의 공리체계 <공준>

1. 임의의 점으로부터 임의의 점에 대하여 하나의 직선을 긋는다.

2. 유한의 직선은 계속 직선으로 연장된다.

3. 임의 중심과 거리(반지름)를 갖는 원을 그린다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 하나의 직선이 두 개의 직선과 만날 때 같은 쪽에서 2직각보다 작은 내각을 만든다면, 이들 두 직선을 한없이 연장하 면 2직각보다 작은 각이 있는 쪽에서 만난다.

(7)

기하학적 사고의 수준 모델

*제 5수준(엄밀한 수학적 수준, Rigor)

-여러 가지 공리체계를 이해하고 비교

*비유클리드 기하학

- Riemann: 타원기하학

“한 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행인 직선은 한 개도 없다”

“삼각형의 내각의 합은 2직각보다 크다”

- Lobachevski, Bolyai : 쌍곡선기하학

“한 직선 밖의 한 점을 지나서 그 직선에 평행인 직선은 무한 개다”

“삼각형의 내각의 합은 2직각보다 작다”

(8)

입체도형

1. 대상의 묘사와 분류(반힐의 1수준과 2수준)

초급활동

-나는 누구인가?

-쌓을 수 있는 것은 무엇인가?

-두 도형이 어떻게 비슷한가? 또는 다른가?

-속하지 않은 도형은 어느 것인가?

-몇 개의 면이 있는가?

중급활동

-모서리, 꼭짓점, 면: 나는 누구인가?

-입체 도형 분류하기 -입체 도형 찾기

고급활동

-평행인 면 -수직인 모서리 -각기둥

2. 탐구하고 발견하기 위해 구성하기

-면 모델 -모서리 모델

(9)

1. 종이 튜브 만들기

두꺼운 종이를 접거나 잘라서 밑면과 윗면이 없는 각기둥 또는 원기둥

*오일러(Euler)공식 V+F=2+E

2. 막대 모델

빨대, 이쑤시개 등의 막대로 모델 만들기

3. 전개도

어떤 입체가 전개도로부터 구성될 수 있는지 확인 입체도형

(구성)

(10)

면의 자국을 입체와 짝짓기

 입체도형의 수직단면 및 평행

단면을 알아볼 수 있는 활동

(11)

입체에 대한 여러 겨냥도를 찾기

 다음 중 원기둥에 대한 겨냥도는?

→ 3차원 도형을 2차원 평면에 옮겨보는 활동

(12)

A X D C

B

Q : X면이 밑면에 오면 제일 윗면에는 무슨 글자가 올 것인가

(13)

입체 단면의 시각화

 다음 도형을 ‘ㄱ’방향으로 자른 단면은?

 다음과 같이 원뿔을 자른 단면은?

(14)

평면도형

1. 도형의 성질

-기하판, 패턴 블록과 같은 구체물을 포함하는 활동을 통해 제시 -평면도형을 조사할 때 1차원적인 변이나 꼭지점에 주목하게 됨.

-도형 사이의 관계, 분류, 구조 등이 고려될 것 -예와 예가 아닌 것을 통해서 도형의 분류

2. 고려되어야 개념

변과 꼭짓점의 개수

대칭 (거울이나 Miras 활용) 변의 길이

각의 크기

평행인 변과 수직인 변 오목과 볼록

높이

도형의 분류: 삼각형, 사각형, 다각형

(15)

도형의 개념

• 아동은 정의를 통해서가 아니라, 예와 예가 아닌 것 을 통해 도형의 유형을 인식해야 한다.

개념학습을 통한 도형의 정의 과정을 학습하고 이를 적용할 수 있는 지도안을 구성할 수 있어야 한다. (이등변 삼각형, 각기둥, 등)

(16)

위치와 위치 나타내기(좌표기하학)

1. 좌표 체계의 이해

-특정한 지점이나 이동한 경로를 거리와 방향으로 나타내기

2. 로고(Logo) 프로그램 활용

*교과서에 LOGO 프로그램 활동이 제시되어 있 으므로 반드시 공부해야 하며, Piaget와 Dienes 의 활동주의 수학학습이론과 관련지을 수 있어야 한다

(17)

도형의 변환

1. 도형의 변환

-합동변환: 변환해도 합동인 변환(평행이동, 대칭이동, 회전이동) 비합동 변환: 변환해서 합동이 아닌 변환(닮음이동)

-초등에서는 밀기, 뒤집기, 돌리기 -Geometer’s Sketchpad 활용

2. 합동과 닮음

1 ) 합동

:두 도형이 같은 크기와 같은 모양을 가진 것.

합동 넓이가 같음 합동 넓이가 같음

2) 닮음

:두 도형의 대응하는 각의 크기가 같고, 대응하는 변의 길이의 비가 같음 많은 아동들이 어려움을 느낌.

합동이라는 단어를 먼저 가르치지 말고 두 도 형을 먼저 맞추어 보도록 하고 점차 합동이라 는 단어를 소개하고 사용해야 함.

기하판을 이용하여 모양을 작고 크게 그리거나 만드는 활동을 도입

(18)

변의 개수

1.변이 몇 개일까요?

(19)

꼭지점의 수

• 꼭지점의 수는 변의 수와 밀접하게 관련됨

변의 수 = 꼭지점의 수

• 변의 수를 세기 위한 활동이 꼭지점

을 세기 위한 것으로 수정될 수 있다.

(20)

대칭

• 선대칭

- 중심에서 접는 법.

- 시각적 지각

- 대칭축으로 접어보기

- 주변 물건에서 대칭을 찾아보도록 하기.

(21)

4) 변의 길이

• 도형에 대한 분류 구조뿐만 아니라 도형의 정의

중 많은 부분이 변의 길이에 달려있음

(22)

5) 각의 크기

• 아동이 발견할 수 있는 성질

1. 삼각형 내각의 합은 180도 2. 사각형 내각의 합은 360도

3. 이등변삼각형의 밑각의 크기는 같다 4. 평행사변형의 대각의 크기는 같다

5. 변이 네 개 이상인 다각형은 각의 크기가 같지 않아도 변 의 길이가 같을 수 있다

6. 삼각형의 가장 긴 변이 대각이 가장 크다

(23)

6)평행인 변과 수직인 변

• 평행

- 평면에서 두 직선이 서로 만나지 않으면 평행 - 두 직선의 수직 거리가 항상 같은 거리이면 평행 평행선

- 책의 대변

- 알파벳 E에서 가로선 - 칠판의 위와 아래

수직선

- 책의 인접한 변

- 알파벳 E에서 세로선과 가로선

(24)

7)볼록과 오목

• 볼록 도형(내각이 180도 미만인 다각형)

변이 네 개이고 오목인 도형을 그릴 수 있는가?

변이 다섯 개이고 두 곳에서 오목인 도형을 그릴 수 있는가?

(25)

7) 볼록과 오목

(26)

8) 높이

• 밑변이 무엇인가에 따라 높이가 결정됨.

• 높이는 도형의 넓이를 구할 때 필수적.

(27)

4. 분류 구조

1 ) 삼각형

정삼각형: 세 개의 변이 합동 예각삼각형: 모든 각이 90˚보다 작다.

이등변삼각형: 적어도 두 개의 변이 합동 직각삼각형: 한 각이 90˚

부등변삼각형: 합동인 변이 없다. 둔각삼각형: 한 각이 90˚보다 크다.

(28)

2 ) 사각형

정사각형

도형의 예를 인식하는 수준을 넘어, 도형을 정의하는 성질에 대한 이해가 필요.

평행사변형

직사각형 마름모

참조

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