도형(기하)
박성선
춘천교육대학교
ⓒ Chuncheon National University of Education
- 네델란드의 부부(Pierre van Hiele과 Dina van Hiele) - 기하학적 사고를 5수준으로 구분
- 교사의 지도가 아동의 학습수준에 부합하지 못하면 부조화를 이룰 수 있음
• 각 수준별로 적용 가능한 활동 및 발문을 고려해야 한다.
• 교사는 학생의 수준을 파악하고 학생의 수준에서 지도해 야 한다.
Van Hieles의 수학 학습이론
기하학적 사고의 수준 모델
*제 1수준(시각화, Visualization)
-주변대상을 형(모양)이란 인식수단에 의해 파악하는 단계 -전체적인 모양으로 도형 인식
-세모꼴, 네모꼴, 상자모양 등으로 도형의 이름을 말할 수 있으나, 그 성질을 명확히 말하지 못함
-추론에 의하여 도형을 판단하는 것이 아니라 지각에 의하여 판단
기하학적 사고의 수준 모델
*제 2수준(분석적 인식, Analysis)
-도형의 구성요소와 성질에 대한 분석을 통해 도형을 파악
-도형의 성질을 통하여 시각적 형태가 아닌 성질의 집합으로 인식 “마름모는 네 변의 길이가 같은 도형”
-도형들 간의 관계를 인식하지 못함 “정사각형도 마름모이다”(
×)
기하학적 사고의 수준 모델
*제 3수준(추상적/관계적 인식, Abstraction/Relation)
-도형의 성질과 도형 사이의 관계를 인식 “정사각형은 마름모”
(O)
-도형의 개념에 대한 추상적 정의
-도형들의 성질을 통하여 도형을 위계적으로 분류 -비형식적 논증(귀납적 논증)을 통하여 기하적 증명 “삼각형의 내각의 합은 180도”
-연역적 논증의 역할 및 중요성은 아직 이해되지 않음
기하학적 사고의 수준 모델
*제 4수준(연역적 수준, Deduction)
- 연역적 논증을 이해하고 형식적 증명이 가능 - 공리체계를 이해
“무정의 용어, 정의, 공리, 정리, 증명의 의미와 역할 이해”
*유클리드 기하학의 공리체계 <공준>
1. 임의의 점으로부터 임의의 점에 대하여 하나의 직선을 긋는다.
2. 유한의 직선은 계속 직선으로 연장된다.
3. 임의 중심과 거리(반지름)를 갖는 원을 그린다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 하나의 직선이 두 개의 직선과 만날 때 같은 쪽에서 2직각보다 작은 내각을 만든다면, 이들 두 직선을 한없이 연장하 면 2직각보다 작은 각이 있는 쪽에서 만난다.
기하학적 사고의 수준 모델
*제 5수준(엄밀한 수학적 수준, Rigor)
-여러 가지 공리체계를 이해하고 비교
*비유클리드 기하학
- Riemann: 타원기하학
“한 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행인 직선은 한 개도 없다”
“삼각형의 내각의 합은 2직각보다 크다”
- Lobachevski, Bolyai : 쌍곡선기하학
“한 직선 밖의 한 점을 지나서 그 직선에 평행인 직선은 무한 개다”
“삼각형의 내각의 합은 2직각보다 작다”
입체도형
1. 대상의 묘사와 분류(반힐의 1수준과 2수준)
초급활동
-나는 누구인가?
-쌓을 수 있는 것은 무엇인가?
-두 도형이 어떻게 비슷한가? 또는 다른가?
-속하지 않은 도형은 어느 것인가?
-몇 개의 면이 있는가?
중급활동
-모서리, 꼭짓점, 면: 나는 누구인가?
-입체 도형 분류하기 -입체 도형 찾기
고급활동
-평행인 면 -수직인 모서리 -각기둥
2. 탐구하고 발견하기 위해 구성하기
-면 모델 -모서리 모델
1. 종이 튜브 만들기
두꺼운 종이를 접거나 잘라서 밑면과 윗면이 없는 각기둥 또는 원기둥
*오일러(Euler)공식 V+F=2+E
2. 막대 모델
빨대, 이쑤시개 등의 막대로 모델 만들기
3. 전개도
어떤 입체가 전개도로부터 구성될 수 있는지 확인 입체도형
(구성)
면의 자국을 입체와 짝짓기
입체도형의 수직단면 및 평행
단면을 알아볼 수 있는 활동
입체에 대한 여러 겨냥도를 찾기
다음 중 원기둥에 대한 겨냥도는?
→ 3차원 도형을 2차원 평면에 옮겨보는 활동
A X D C
B
Q : X면이 밑면에 오면 제일 윗면에는 무슨 글자가 올 것인가
입체 단면의 시각화
다음 도형을 ‘ㄱ’방향으로 자른 단면은?
다음과 같이 원뿔을 자른 단면은?
평면도형
1. 도형의 성질
-기하판, 패턴 블록과 같은 구체물을 포함하는 활동을 통해 제시 -평면도형을 조사할 때 1차원적인 변이나 꼭지점에 주목하게 됨.
-도형 사이의 관계, 분류, 구조 등이 고려될 것 -예와 예가 아닌 것을 통해서 도형의 분류
2. 고려되어야 개념
변과 꼭짓점의 개수
대칭 (거울이나 Miras 활용) 변의 길이
각의 크기
평행인 변과 수직인 변 오목과 볼록
높이
도형의 분류: 삼각형, 사각형, 다각형
도형의 개념
• 아동은 정의를 통해서가 아니라, 예와 예가 아닌 것 을 통해 도형의 유형을 인식해야 한다.
개념학습을 통한 도형의 정의 과정을 학습하고 이를 적용할 수 있는 지도안을 구성할 수 있어야 한다. (이등변 삼각형, 각기둥, 등)
위치와 위치 나타내기(좌표기하학)
1. 좌표 체계의 이해
-특정한 지점이나 이동한 경로를 거리와 방향으로 나타내기
2. 로고(Logo) 프로그램 활용
*교과서에 LOGO 프로그램 활동이 제시되어 있 으므로 반드시 공부해야 하며, Piaget와 Dienes 의 활동주의 수학학습이론과 관련지을 수 있어야 한다
도형의 변환
1. 도형의 변환
-합동변환: 변환해도 합동인 변환(평행이동, 대칭이동, 회전이동) 비합동 변환: 변환해서 합동이 아닌 변환(닮음이동)
-초등에서는 밀기, 뒤집기, 돌리기 -Geometer’s Sketchpad 활용
2. 합동과 닮음
1 ) 합동
:두 도형이 같은 크기와 같은 모양을 가진 것.
합동 넓이가 같음 합동 넓이가 같음
2) 닮음
:두 도형의 대응하는 각의 크기가 같고, 대응하는 변의 길이의 비가 같음 많은 아동들이 어려움을 느낌.
합동이라는 단어를 먼저 가르치지 말고 두 도 형을 먼저 맞추어 보도록 하고 점차 합동이라 는 단어를 소개하고 사용해야 함.
기하판을 이용하여 모양을 작고 크게 그리거나 만드는 활동을 도입
변의 개수
1.변이 몇 개일까요?
꼭지점의 수
• 꼭지점의 수는 변의 수와 밀접하게 관련됨
변의 수 = 꼭지점의 수
• 변의 수를 세기 위한 활동이 꼭지점
을 세기 위한 것으로 수정될 수 있다.
대칭
• 선대칭
- 중심에서 접는 법.
- 시각적 지각
- 대칭축으로 접어보기
- 주변 물건에서 대칭을 찾아보도록 하기.
4) 변의 길이
• 도형에 대한 분류 구조뿐만 아니라 도형의 정의
중 많은 부분이 변의 길이에 달려있음
5) 각의 크기
• 아동이 발견할 수 있는 성질
1. 삼각형 내각의 합은 180도 2. 사각형 내각의 합은 360도
3. 이등변삼각형의 밑각의 크기는 같다 4. 평행사변형의 대각의 크기는 같다
5. 변이 네 개 이상인 다각형은 각의 크기가 같지 않아도 변 의 길이가 같을 수 있다
6. 삼각형의 가장 긴 변이 대각이 가장 크다
6)평행인 변과 수직인 변
• 평행
- 평면에서 두 직선이 서로 만나지 않으면 평행 - 두 직선의 수직 거리가 항상 같은 거리이면 평행 평행선
- 책의 대변
- 알파벳 E에서 가로선 - 칠판의 위와 아래
수직선
- 책의 인접한 변
- 알파벳 E에서 세로선과 가로선
7)볼록과 오목
• 볼록 도형(내각이 180도 미만인 다각형)
변이 네 개이고 오목인 도형을 그릴 수 있는가?
변이 다섯 개이고 두 곳에서 오목인 도형을 그릴 수 있는가?
7) 볼록과 오목
8) 높이
• 밑변이 무엇인가에 따라 높이가 결정됨.
• 높이는 도형의 넓이를 구할 때 필수적.
4. 분류 구조
1 ) 삼각형
변 각
정삼각형: 세 개의 변이 합동 예각삼각형: 모든 각이 90˚보다 작다.
이등변삼각형: 적어도 두 개의 변이 합동 직각삼각형: 한 각이 90˚
부등변삼각형: 합동인 변이 없다. 둔각삼각형: 한 각이 90˚보다 크다.
2 ) 사각형
정사각형
도형의 예를 인식하는 수준을 넘어, 도형을 정의하는 성질에 대한 이해가 필요.
평행사변형
직사각형 마름모