수리 영역
“가”형 정답
1 ② 2 ⑤ 3 ④ 4 ① 5 ②
6 ① 7 ④ 8 ③ 9 ⑤ 10 ⑤
11 ③ 12 ④ 13 ③ 14 ① 15 ② 16 ① 17 ⑤ 18
19
20
21
22
23
24
25
해설
1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기 log
log log
log
2. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 계산 하기
3. [출제의도] 역행렬을 이용하여 행렬의 곱셈 의 성질 이해하기
이므로
이므로
∴ 성분의 합은
4. [출제의도] 미분계수의 정의 이해하기
lim
→
lim
→
′ ∴ 5. [출제의도] 삼차부등식 계산하기
≦
≦
≦ 또는 ≦ ≦ 이므로 자연수 의 개수는 개
6. [출제의도] 정규분포의 표준화 이해하기 모평균 g, 모표준편차 g 임의추출한 농구공 무게의 평균
는 정규분포 N
을 따른다.P ≦
≦ P
≦
≦
∴
이므로
7. [출제의도] 등차중항과 정적분의 개념 이해
하기
이 등차수열을 이루므로
8. [출제의도] 미분을 이용한 부등식의 수학내 적 문제해결하기
sin
′ 이므로
의 최솟값은 일 때,
≦ sin
≦ 이므로
는 의 최댓값이다.
따라서 ≦ 이므로 의 최댓값은
9. [출제의도] 연속성과 미분가능성의 개념 이해하기 ㄱ.
lim
→
(참) ㄴ. ,
lim
→ (참) ㄷ.
≦ ≦ ≦ ,
≦ ≦
≦ ≦ ≦
lim
→
lim
→
(참) 10. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학내
적 문제해결하기
의 그래프는
함수 는
1) 가 정수이면 이므로
2) 는정수 이면
≦ 이므로 3) 는정수 이면
≦ 이므로 따라서 의 그래프는
11. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 주어 진 식 증명하기
(1) 일 때,
(좌변)
(우변)
이므로 (★)이 성립한다.(2) 일 때, (★)이 성립한다고 가정하면
이다.
일 때, (★)이 성립함을 보이자.
×
12. [출제의도] 확률을 이용한 수학외적 문제해 결하기
임의로 한 상자를 택하는 확률 :
상자에서 구슬 2개 꺼낼 때, 흰 구슬이 나올 확률 [상자1] 확률 :
[상자2] 확률 :
C
C
[상자3] 확률 :
C
C
⋮ [상자] 확률 :
C
C
P
×
C
CC ⋯ C
․C
C
P
13. [출제의도] 두 곡선의 관계 추론하기
ㄱ. (참) ㄴ.
(거짓)
ㄷ.
․
․
․
․
․
(참)14. [출제의도] 도형의 규칙성을 추론하여 수학 내적 문제해결하기
S
×
×
×
S
×
×
×
×
⋮ S
⋯
15. [출제의도] 상용로그의 가수의 성질을 이용 한 수학내적 문제해결하기
× 은 개의 양의 약수를 갖는다.
약수들의 곱 A × ×
A
는 A 의 최고자리의 숫자이고 logA log log 이다.log log이므로
A
16. [출제의도] 정적분을 이용하여 회전체의 부 피 추론하기
그래프는 이므로
≦ 이면
≦ 이면
≦ 이면
≦ 이면 ⋮
.
V
V
∴
lim
→ ∞
V
17. [출제의도] 역행렬의 존재성 추론하기 ㄱ. 두 직선이 만나지 않으면 , ≠
∴ ≠ (참)
ㄴ. 두 직선이 일치하면 ,
∴ (참)
ㄷ. 두 직선이 축 위에서 만나면
∴ (참)
18. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기
lim
→
의 분자, 분모에
을 곱하여 정리하면lim
→
19. [출제의도] 함수의 극대, 극소의 개념 이해 하기
이면
′
′
이므로 정수의 개수는 개 20. [출제의도] 두 곡선의 관계를 이해하여 부
등식의 해를 구하기
≧ (단, ≠ ≠ )
≧ 이므로 1) 이면 ≧
∴ 해는
2) 이면 ≦
∴ 해는
은 무연근이므로 모든 근들의 곱은
21. [출제의도] 로그함수의 밑의 성질을 이용한 그래프 이해하기
log 가 를 항상 지나므로 직사각형과 만나려면
따라서 log 는 증가함수이므로 B 을 지날 때, 의 최댓값
D 를 지날 때, 의 최솟값
22. [출제의도] 분수방정식을 이용하여 수학외 적 문제해결하기
C : A 가 선회하여 B 와 만나는 지점
: 배 B 의 최대 속력
… ①
… ②
①, ②를 연립하면
따라서, 최대 속력의 합은
23. [출제의도] 정적분을 이용한 수학내적 문제 직선을 이라 두면해결하기
이므로 직선
이고 에 관한 항등식 이므로 점 D 의 좌표는 따라 서 넓이는
24. [출제의도] 무한등비급수를 이용한 수학내 적 문제해결하기
∆O AA=∆OOA ∆O OA ∆OAA
× ×
× ×
∴
∆O AA=∆OOA ∆O OA ∆OAA
× ×
× ×
∴
따라서
이다.
∞
이므로 25. [출제의도] 확률을 이용한 수학외적 문제해 전구가 개 켜져 있을 경우 열, 열, 열, 열결하기 은 각각 의 수를 나타내고, 전 광판이 나타내는 수가 짝수일 사건은 홀수인 사건
의 여사건이다.
홀수일 확률은 열에서 개, 나머지 열 중에서 개 켜질 때이므로
∴ C
C․C
따라서, 구하는 확률은
미분과 적분 정답 26 ④ 27 ⑤ 28 ③ 29 ④ 30
26. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기
→일 때, →이므로
lim
→ ln
lim
→ ln
×
ln ln
∴ 이므로
27. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기 sin
,sin
두 근의 합
∴ 두 근의 곱
∴
따라서,
28. [출제의도] 삼각함수의 합성과 미분을 이용 하여 그래프의 성질 추론하기
sin cos
sin
라 놓으면
≦ ≦
ㄱ.
일 때, 최솟값
(참) ㄴ. 일 때,
에서 최솟값 (거짓) ㄷ.
sin
이다.
′
sin
cos
이므로
(은 정수)에서 극솟값을 갖고
(은 정수)에서 극댓값을 갖는다.(참) 29. [출제의도] 미분을 이용하여 수학내적 문제 직선 와 가 수직이다.해결하기
직선 와 두 함수 와
가 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 되려면 직선 가 , 와 만나는 점에서 접선의 기울기가 일 때이다.
′
∴
′ ∴
을 지나는 직선의 방정식은
이므로 의 값은 이다.
30. [출제의도] 미분을 이용하여 수학외적 문제 해결하기
날개의 끝을 점 라 하면
⋯㉠
일 때,
시간에 따른 각의 변화율을 라 하면
si n cos
를 ㉠에 대입하면
따라서 sin
cos를 에 대하여 미분하면
sin ∴
따라서 한 바퀴 도는데 걸리는 시간은
∴
∴
확률과 통계 정답 26 ⑤ 27 ④ 28 ③ 29 ③ 30
26. [출제의도] 줄기와 잎 그림에서 평균 구하기
∴
27. [출제의도] 기댓값을 이용하여 수학외적 문 제해결하기
가지 제품을 구입할 때의 금액은 원, 원,
원, 원으로 각각 경우의 수는 가지, 가 지, 가지, 가지이다. 따라서, 평균은
・ ・ (원) 28. [출제의도] 이산확률변수의 확률질량함수
성질 이해하기
∴
29. [출제의도] 정규분포의 표준화 성질 추론하기 확률변수
는 각각 정규분포
,N 을 따른다.
ㄱ. P
≦ P
≦
P
≧
P
≧
(참)ㄴ. P ≦
≦ P
≦
≦
P ≦
≦
P
≦
≦
P ≦
≦ ≠
P ≦
≦ (거짓)ㄷ. P
≧
P
≦
이 되려면
이다.
∴
(참)
30. [출제의도] 이항분포의 평균과 분산을 이용 한 수학내적 문제해결하기
확률변수
는 B 인 이항분포를 따르므로 E
, V
E
E
․ P
․ P
E
E
따라서
이산수학 정답 26 ⑤ 27 ⑤ 28 ③ 29 ② 30
26. [출제의도] 경우의 수 계산하기
× 가지
27. [출제의도] 수형도의 구성 원리 이해하기
개
28. [출제의도] 여러 가지 그래프의 성질에 관 한 수학내적 문제해결하기
ㄱ. 평면그래프이다.(참)
ㄴ. A B C A D E A 인 오일러회로가 있다. (참)
ㄷ. B C A D E , B C A E D C B A D E, C B A E D 해밀턴경로는 개가 있다. (거짓)
29. [출제의도] 세 항 사이의 관계를 이용하여 항의 규칙성 추론하기
각 항의 일의 자리의 수를 부터 나열하면 2, 3, 6, 8, 8, 4, 2, 8, 6, 8, 8, 4, 2, 8, …이므로
(일의 자리의 수) (일의 자리의 수) (은 자연수)
의 일의 자리의 수는
30. [출제의도] 수의 규칙성을 이용한 수학외적 문제해결하기
