내신대비 모의고사

(1)

객관식 [ ]

1.

^1._곡선  ^  위의 점 ^{  }에서의 접선의 방정식이

   일 때 두 상수, ^{ }의 합 ^{ }의 값은?

① ^{ } ②^{ } ③^{ }

④   ⑤ 

2.

^2._다항함수 에 대하여       일 때 함수,

를    로 정의한다 함수. ^에 대하여 닫힌 구간 ^{  }에서 평균값 정리를 만족시키는 실수의 값을^라고 할 때, ^{ ′}의 값은?

① ^{ } ②^ ③^

④  ⑤

3.

^3.함수^{  }^ ^  가 ^ _인 임의의 두 실수

_ _에 대하여 ^^^{ }^가 되도록 상수 ^의 값을 정할 때 ^의 최댓값은?

① ^ ②^ ③^

④ ^ ⑤^

4.

^4._함수   의 도함수 ^{   ′}의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

단

( , ^{  })

보기

| | .

ㄱ lim→   ′   .

ㄴ ^{   } 열린 구간 .

ㄷ ^{  }에서 함수 ^는 오직 ^개의 극값을 가진다.

용문아수학방

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

,

④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄴ ㄷ,

5.

^5._닫힌구간  에서 함수^{  }^^{ }^^{  }의 최댓값을 ^, 최솟값을^이라 할 때, ^{ }의 값은?

①  ②  ③^

④^ ⑤^

(2)

용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용

6.

^6.에 대한 방정식 ^^^{ }^^{   }^^이 서로 다른 두 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 갖도록 하는 정수^의 개수는?

① ^ ②^ ③^

④ ^ ⑤^

7.

^7.두 함수

  ^ ^    ^ 

가 있다 모든 실수. ^에 대하여 부등식 ≥ 가 성립하도록 하는 실수 ^의 최댓값은?

① ^{ } ②^{ } ③^{ }

④ ^{ } ⑤^{ }

8.

^8._함수   ^ ^  과 실수인 상수^에 대하여 함수

를   로 정의할 때 함수, ^가^{  }에서만 미분가능하지 않도록 하는^의 값과 그때의 ^의 값의 합 ^는?

①^ ②^ ③^

④^ ⑤^

9.

^9.그림과 같이 반지름의 길이가 ^인 구를 구의 중심을 지나는 평면으로 자른 입체가 있다 구의 중심을 꼭짓점으로 하고 밑면이. 단면에 평행하면서 구에 내접하도록 원뿔을 만든다 이 원뿔의 부피의. 최댓값이 ^일 때, ^의 값은?

①^^ ②^^ ③^^

④^^ ⑤^^

(3)

10.

^10._{미분가능한 함수}의 도함수가  ′  ^ 이고

     일 때 상수, ^의 값은?

① ^ ②^ ③^

④ ^ ⑤^

11.

^11._다항함수 의 한 부정적분을 ^라고 하면

   ^^의 관계가 성립한다. ^{  }일 때, 방정식 ^{  }의 모든 근의 곱은?

① ^{ } ②^{ } ③^{ }

④ ^{ } ⑤^{ }

12.

^12._lim

→



^^^

^

  

  

^ 



^{의 값은?}

① ^ ②^ ③^

④ ^ ⑤^

13.

^13._{두 연속함수}  가 다음 조건을 만족시킨다.

조건

| | 가

( ) ^{ }



^{}

나

( )



^^^{ }^^{  }^{을 만족하는 실수} ^^{의 값은 하나이다.}

용문아수학방

     일 때,



^^^{}^^^{의 값은?}

①^{ } ②^{ } ③^

④^ ⑤^

14.

^14._{미분가능한 함수} 가 임의의 실수^, ^에 대하여

    를 만족한다.  ′  을 만족할 때, 함수^와^축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① __^ ② __^ ③ __^

④ __^ ⑤ __^

(4)

15.

^15._{그림은 두 곡선}  ^, _{  }_^^^과 꼭짓점의 좌표가^{ },

 ,  ^,  ^인 직사각형 를 나타낸 것이다.

두 곡선 ^{  }^, _{  }_^^과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이를

_라 할 때, lim

→∞

^ ^^⋯^

_

의 값은? ( ,단 ^은 상수이다.)

① __^ ② __^ ③ __^

④ __^ ⑤ __^

16.

^16._{수직선 위의 좌표가}인 점에서 출발하여 수직선 위를 ^초 동안 움직이는 점 P의 시각 에서의 속도 의 그래프가 그림과 같을 때 점, ^P의 운동에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

운동 방향을

① 번 바꿨다.

② ^{  }일 때 위치는, ^이다.

출발 후 원점을

③ ^번 지난다.

④ ^{  }에서^{  }까지 움직인 거리는 ^이다.

⑤ ^{  }일 때와 ^{  }일 때의 속력은 서로 같다.

주관식 [ ]

17.

^17.다음 정적분을 구하시오.

(1)



^{ }^^^^^{ }^^

(2)



^^^^^^{ }^^{ }^^



^^^^^^{ }^^{ }^^

(3)



_{ }^ ^_{  }^^ ^{ }



_{ }^ ^_{  }^ ^

(4)



^^^{ }^^{ }



^^^{ }^^

18.

^18.그림과 같이 편평한 바닥에 ^로 기울어진 경사면과 반지름의 길이가^{ m}인 공이 있다 이 공의 중심은 경사면과 바닥이 만나는. 점에서 바닥에 수직으로 높이가^{ m}인 위치에 있다.

이 공을 자유낙하 시킬 때, ^초 후 공의 중심의 높이^는

    ^(m)라고 한다 공이 경사면과 처음으로 충돌하는. 순간 공의 속도를 구하시오 단 경사면의 두께와 공기의 저항은, . ( , 무시한다.)

 m

(5)

19.

^19._사차함수 의 도함수 ^{ ′}가

 ′   ^ 이다 함수. ^{  }가 구간

 ∞  에서 감소하고 구간 ^{  ∞}에서 증가하도록 하는 실수 ^,

의 순서쌍 에 대하여 ^^의 최댓값을 , 최솟값을 ^이라 할 때,  의 값을 구하시오.

20.

^20._{모든 실수}에 대하여



_^    ^ ^ 

가 성립할 때, ^{}의 값을 구하여라.

21.

^21._곡선   ^에 대하여 다음에 답하여라.

점 (1)



^

  



^{에서 곡선} ^{  }^^{에 그은 두 접선을} ^{ }^{이라 할}

때,^{ }의 방정식을 구하시오.

에서

(2) (1) ^{  }^과 두 접선^{ }의 접점을 ^P, ^Q라 하자 직선. PQ와 곡선 ^{  }^으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

22.

^22.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 , 의 시각^에서의 속도가 각각

_  ^  _  ^ 

이다 두 점.  가 출발 후 처음으로 만날 때까지 두 점   사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

(6)

1. ⑤

  ^ 라 하면

 ′  ^ 이므로 점 ^{  }에서의 접선의 기울기는

 ′  이고 접선의 방정식은

    이다.

∴      

따라서 ^{   }

2. ③

다항함수 ^가 실수 전체에서 미분가능하고, ^{ }도 실수 전체에서 미분가능하므로 함수    는 닫힌 구간 ^{  }에서 연속이고 열린 구간, ^{  }에서 미분가능하다.

      이고    이므로 평균값 정리에 의하여

   

  

 

 

 

 ×  ×

 

    ′

를 만족시키는 ^가 열린 구간   에 적어도 하나 존재한다.

따라서 평균값 정리를 만족시키는 ^의 값 ^에 대하여^{ ′}의 값은

이다.

3. ⑤

_ _인 임의의 두 실수 ^_ _에 대하여 ^^^{ }^^이므로

는 증가 함수이다 따라서.

 ′  ^  ≥ 가 모든 실수 ^에 대해 성립해야 한다.

이차부등식이 항상 성립할 조건에 의해



 ^ ≤  이므로   ≤  ≤ 

∴ 의 최댓값은^

4. ⑤ . ㄱ lim

→ 

 ′   거짓

함수 .

ㄴ ^의 증가 감소를 표로 나타내면 다음과 같다, .

열린 구간 ^{  }에서 함수 ^가 증가하고^{  }이므로

      참

함수 .

ㄷ ^는 열린 구간 ^{  }에서^{  }일 때 극소,

  일 때 극대,   일 때 극소로 개의 극값을 가진다.

   ⋯   ⋯  ⋯  ⋯  ⋯ 

 ′        

 ↘ ↗ ^ ↗ ↘ ↗

따라서 옳은 것은ㄴ ㄷ, 이다.

5. ③

  ^ ^ 에서

 ′  ^        

 ′  에서 ^{  } 또는^{  }

닫힌 구간 ^{ }에서 함수^의 증감표는 다음과 같다.

따라서^의 최댓값은^ 최솟값은 ^{ }이므로

       

  ⋯  ⋯ 

 ′   

   ↗ ^ ↘ ^

6. ④

^ ^   ^ 에서 ^ ^   

  ^ ^ 로 놓으면

 ′  ^        

 ′  에서 _{  }_^ 또는^{  } 이 때 함수, ^의 증감표는 다음과 같다.

따라서 함수 ^{  }의 그래프는 다음 그림과 같고 방정식,

  가 서로 다른 두 개의 양근과 한 개의 음의 근을 가지려면

     이어야 하므로 정수^는    ⋯  의 ^개다.

 ⋯  

 ⋯  ⋯

 ′     

 ↗ __^ ↘ ^{ } ↗

7. ③

   로 놓으면

  ^ ^   ^  

 ^ ^   

모든 실수^에 대하여 ^{ ≥ }이려면 함수 ^의 최솟값이 ^ 이상이어야 한다.

′  ^ ^ ^ 

′  에서 ^{  } 또는^{  }

이 때 함수, 의 증감표는 다음과 같다.

(7)

함수 ^의 최솟값은

  ^  ×^      

이고 함수, ^의 최솟값이 ^ 이상이어야 하므로

    ≥   ≤ 

따라서 ^의 최댓값은 ^{ }이다.

 ⋯  ⋯  ⋯

 ′     

 ↘ ↘ 극소 ↗

8. ⑤

  ^ ^  에서

 ′  ^     ^  

 ′  에서^{  } 또는 ^{  }

함수 의 증가 감소를 나타내면 다음 표와 같다, .

  일 때 극솟값이, ^{  }

이때 ^{ }가 한 점에서만 미분가능하지 않으므로 그림 와[ 2]

같이 극소가 아니면서 접선의 기울기가 ^이 되는 점을 ^축이 지나야 한다.

곡선 ^{  }의 점 ^{A  }이^축의 방향으로  만큼 평행이동하여야 하므로 ^{  }

또한 이때 미분가능하지 않은 점의 ^좌표 ^는

   ≠ 에서

^ ^     ^   

∴   ∵≠ 

따라서       

 ⋯   ⋯  ⋯

 ′     

 ↘ ^ ↘ 극소 ↗

그림

[ 1] [그림2]

9. ③

원뿔의 높이를 ^라 하면 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는^^ ^ 이때 원뿔의 부피를라 하면

  





^^ ^



^×

 

^  ^     

∴ ′  

^ ^

 ′  에서^^_{ }^_



이므로 _{  }

^



    ^

 에서  ′  이고

^

    에서 ′  이므로

는_{  }

^

 에서 극댓값이면서 최댓값을 갖는다.

즉, __^^



^^^{× }^

  ^

^



^{ }



 × ^

 ^ 

^ ^

∴  ^

10. ④

  ^이므로

  ^ _{  }



^ ( ,단 ^는 적분상수)

  에서   

  에서 __^    

∴  

11. ①

   ^^의 양변을에 대하여 미분하면

′  ′ ^

  ′ ^

′  ^ 

∴′    

 



^{′ }



^{  }

 ^   ( ,단 ^는 적분상수)

(8)

  이므로

       

∴  

즉, ^{  }^^{   }이므로 방정식 ^^    의 모든 근의 곱은 근과 계수의 관계에 의하여 _^{ }_  

12. ④

 ^ _{로 놓고} 의 한 부정적분을 라 하면 lim

→





^{  }^^^^^{ }^^

lim

→









_{  }^{  }

lim

→

    

lim_{→}     _

lim_{→}  _ lim

→ 

   

  ′ ′   ′

이때  ′  이므로

 ′     ×  

13. ⑤

 ^ ^^  이므로



^^^{ }^^{  }^



^^^{}^^{ }



^^^{ }



^^^

 ^



^^^{}^^{ }



^^   

의 값이 하나이므로 중근을 가져야한다.







^



^^^



^^{ }



^^^{}^^{  }

∴

 

^^^{}



^^{ }



^^^{}^^

조건 가 에 의하여( )

 

^^^{}



^^ ^ 이므로



^^^{}^^{  }

14. ④

     을 주어진 식에 대입하면

    ∴  

∴ ′ lim

→

  

lim

→

   

lim

→

 

lim

→

 

lim

→

 

 

  ′     

 



     

^   ( ,단 ^는 적분상수)

  이므로 _{∴  }_^^^^{ }

함수^{  }의 그래프의 ^절편은      

이고 닫힌구간



_{ }



 

_에서 _{ ≥ }_이므로



 







^{ }

^ 



^{ }^ _{ }



^ ^



 





 



15. ③

_



_^



^^^{ }

^



^{ }^



^













^

^ 



^{ }

^

lim

→∞^^^⋯ ^

_

lim

→∞

  





^



^

lim

→∞



 



^

lim

→∞^^

^

 



16. ④

①^{  }의 좌우에서 ^의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 ^번 바꿨다 참. ( )

②^{  }일 때 위치는,

 



^^    

×  ×  ( )참

③^{  }일 때 점 ^P의 위치는

 



^^    

× ×  

  일 때 점 ^P의 위치는

 



^^    

× ×  

× ×  이고,

  일 때 점 ^P는^축의 양의 방향으로 움직이므로 원점을^번

(9)

지난다 참. ( )

④ ^{  }에서^{  }까지 움직인 거리는



^^  

× ×  

× ×   ×  이다 거짓. ( )

⑤ ^{  }일 때와 ^{  }일 때의 속력은 ^로 서로 같다 참. ( )

17. (1) ^ (2) ^{ } (3) _^_ (4) ^

(1) ^{  }^^   _{ }^ 





^^ 



^^

     

(2)



^^^^^^{ }^^{ }^^



^^^^^^{ }^^{ }^^





^^^^^^{ }^^{ }^^



^^^^^^{ }^^^^





^^^^^^{ }^^{ }^^^^^^{ }^^{ }^^





_{ }^^^^^{ }^^^





^ ^





 



     

(3)



_{ }^ ^_{  }^^ ^{ }



_{ }^ ^_{  }^ ^{ }



_{ }^ ^^_{  }^^{ }^





_{ }^ ^^^{  }^_{  }^^^{ }^^





_{ }^^^^^{ }^^

 



_^^^^^{ }^^

 





^ 









 



^





^{ }



^{ }



(4)



_^^{ }^^{ }



_^^{ }^^{ }



_^^{ }^^





_^^^^^{  }^^







^ ^ 







     

18. ^{ }^ 

공이 빗면과 충돌할 때의 공의 중심과 바닥 사이의 거리를 ^라 하면 다음 그림에서

_sin°  



∴_ 

구와 빗면이 만나는 시각을 ^라 하면 ^{  }에서 ^{  }^ 

∴ ^ ∵  

초 후의 공의 중심의 속도   ′이므로

  

∴^ ^ 

19. ^

 ′  ^  _{이고 함수}  가 구간

 ∞  에서 감소하고 ^{ ∞}에서 증가하므로 ^{   ′}의 그래프의 개형은 다음과 같아야 한다.

즉,

 ^        ⋯⋯ ㉠

 ′       ≤ ,  ≤   ⋯⋯ ㉡

 ′     ≥   ≥   ⋯⋯ ㉢

따라서, ㉠㉡㉢, , 을 만족시키는 실수 의 순서쌍을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림의 실선 부분과 같다.

(10)

이때, ^^ ^ ⋯⋯㉣

라 하면 ㉣이 직선^{   }에 접할 때 ^^는 최소가 되고, ㉣이 점

  를 지날 때, ^^은 최대가 된다.

  ^ ^ 

 



^^

 



^^{ }



따라서 ^



^{  }





^{ }

20. ^



^^    ^ ^의 양변에 ^{  }을 대입하면

     ∴    ⋯⋯㉠



^^    ^ ^에서





^^^{ }



^^  ^ ^

이 식의 양변을^에 대하여 미분하면



^^     ^  

∴



^^  ^   ⋯⋯㉡ 이 식의 양변에^{  }을 대입하면

     ∴    ⋯⋯㉢ 에서

,

㉠㉢       이것을㉡에 대입하면



^^  ^  

이 식의 양변을 미분하면

    

∴       

21. (1) ^{    }, ^{   } (2) __^

곡선

(1) ^{  }^위의 한 점  ^에서의 접선의 방정식은

  ^    ⋯⋯㉠ 이 점

㉠



^

  



^{를 지나므로}

   ^ 



^

 



^     

      ⋯⋯㉡

∴   또는 ^{  } 이를㉠에 대입하면

∴         

의 에서 두 접점의 좌표는 각각 (2) (1) ㉡

    이므로

직선^PQ의 방정식은 _{    }_^      따라서 구하는 넓이는



^^{ }^{   }^^{ }^_

^

^_^^^^{   }^_^^_

^

^^^{ }_^

(11)

22. ^

두 점  의 시각에서의 위치를 각각_ _라 하면

_ 



_^{}^^{ }



^^^^^^{ }^^







^ ^

_

 

^ ^ 

^  

_ 



^^^^^{ }



^^^^{ }^^^^





_{ }



^^



_

 

^ ^ 

^  

따라서 ^{ ≥ }에서 두 함수 ^{  }   _의 그래프는 그림과 같다.

출발 후 처음으로 두 점  가 만나는 시각은



^    

^  에서      

   즉_{  }^일 때이므로_{ ≤  ≤ }^에서 두 점  사이의 거리를 ^라 하면

  _ _  

^   

^  

 

^  

′  

   

^ ^    

따라서 ^{  }일 때^는 극대이면서 최대이므로 ^의 최댓값은

  

×^× ×    