1 위치 관계
1.사면체 ABCD 의 면 ABC, ACD 의 무게중심을 각각 P , Q 라고 하자. <보기>에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것을 모두 고르면?
[3점][2004(가) 9월/평가원 9]
ㄱ. 직선 CD 와 직선 BQ ㄴ. 직선 AD 와 직선 BC ㄷ. 직선 PQ 와 직선 BD
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2.정사면체 ABCD 에서 두 모서리 AC , AD 의 중점을 각각 M , N 이 라 하자. 직선 BM 과 직선 CN 이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연
수이다.)
[4점][2011(가) 10월/교육청 30]
3.정각기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를
이라 하자. 예를 들어 , 이다.
정삼각기둥 정사각기둥 이때,
의 값을 구하시오.[4점][2007(가) 10월/교육청 20]
4.그림은 AC AE BE 이고 ∠DAC ∠CAB °인 사면체의 전개도이다.
이 전개도로 사면체를 만들 때, 세 점 D E F가 합쳐지는 점을 P 라 하자. 사면체 PABC에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. CP
⋅BPㄴ. 직선 AB와 직선 CP 는 꼬인 위치에 있다.
ㄷ. 선분 AB의 중점을 M이라 할 때, 직선 PM과 직선 BC는 서 로 수직이다.
[ 보 기 ]
[4점][2011(가) 9월/평가원 15]
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
5.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD EFGH 에 내접하 는 구가 있다. 변 AE, CG를 으로 내분하는 점을 각각 P , R라 하 고 변 BF의 중점을 Q 라 한다. 네 점 D , P , Q , R를 지나는 평면으로 내 접하는 구를 자를 때 생기는 원의 넓 이는?
[4점][2005(가) 10월/교육청 15]
① ② ③
④ ⑤
6.그림과 같이 반지름의 길이가 모두
이고 높이가 서로 다른 세 원 기둥이 서로 외접하며 한 평면 위에 놓여 있다. 평면 와 만나지 않 는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 P Q R라 할 때, 삼각형 QPR는 이등변삼각형이고, 평면 QPR와 평면 가 이루는 각의 크기는 °이 다. 세 원기둥의 높이를 각각 , , 라 할 때, 의 값을 구하시오.(단, ＜＜ )
[4점][2009(가) /수능 24]
P Q
R
7.그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 이고 높이가 인 원뿔이 평면 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑 면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 와 만나는 원기 둥의 밑면의 중심을 O, 원뿔의 꼭짓점을 A라 하자. 중심이 B이고 반지 름의 길이가 인 구
가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 구 S는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.
(나) 두 점 A, B의 평면 위로의 정사영이 각각 A′, B′일 때, ∠A′OB′ 이다.
직선 AB와 평면 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때,
tan 이다. 의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′은 일치한다.)
[4점][2012(가) /수능 29]
8.그림과 같이 좌표공간에서 서로 수직인 두 평면 가 있다. 평면 위의 삼각형 ABC와 평면 위의 삼각형 BDC에 대하여
∠CAB ∠DCB
이고 AC BC CD 이다. 점 A와
직선 BD 사이의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 8월/영남권 27]
9.그림과 같이 평면 위에 있는 서로 다른 두 점 A B에 대하여 평면
위에 있지 않은 점 P 를 AP , AB⊥AP 가 되도록 잡는다. 점 P 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 할 때, PH , BH
이 다. 선분 AB의 길이는?[3점][2016(가) 10월/경남교육청파이널 11]
①
② ③
④
⑤
10.좌표공간의 점 P 에서 평면에 내린 수선의 발을 H 라 하 자. 평면 위의 한 직선 과 점 P 사이의 거리가
일 때, 점 H 와 직선 사이의 거리는?[3점][2014(B) 10월/교육청 9]
① ②
③
④
⑤ 11.평면 위에 ∠A ° 이고 BC 인 직각이등변삼각형 ABC가 있다. 평면 밖의 한 점 P 에서 이 평면까지의 거리가 이고, 점 P 에 서 평면 에 내린 수선의 발이 점 A일 때, 점 P 에서 직선 BC 까지의 거리는?
[3점][2010(가) /수능 5]
①
② ③
④
⑤ 12.평면 위에 있는 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선을 이라 하 고, 평면 위에 있지 않은 점 P 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하자. AB PA PB , PH 일 때, 점 H와 직선 사이의 거리 는?
[3점][2015(B) /수능 12]
①
②
③
④
⑤
13.그림과 같이 AB AC , BC
인 삼각형 ABC가 평면 위에 있고, 점 P 의 평면 위로의 정사영 Q 는 삼각형 ABC 의 무게중심과 일치한다. 점 P 에서 직선 BC까지의 거리는?[4점][2015(B) 7월/교육청 15]
A
C B
Q
평면
P
①
②
③
④
⑤
14.중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 구와, 점 O 로부터 같은 거리에 있고 서로 수직인 두 평면 , 가 있다. 그림과 같이 두 평면 , 의 교선이 구와 만나는 점을 각각 A , B 라 하자.
삼각형 OAB 가 정삼각형일 때, 점 O 와 평면 사이의 거리는?
[4점][2008(가) 삼사 12]
O
A B
①
②
③
④
⑤
15.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD EFGH가 있다. 모서리 AB를 로 내분하는 점을 L, 모서리 HG 의 중점을 M이라 하자. 점 M에서 선분 LD 에 내린 수선의 발을 N이라 할 때, 선분 MN의 길이는?
[4점][2013(B) 10월/교육청 18]
①
②
③
④
⑤
16.좌표공간에 서로 수직인 두 평면 와 가 있다. 평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 AB
이고 직선 AB 는 평면 에 평행하다. 점 A 와 평면 사이의 거리가 이고, 평면 위의 점 P 와 평면 사이 의 거리는 일 때, 삼각형 PAB 의 넓이를 구하시오.[4점][2016(B) /수능 27]
17.공간에서 평면 위에 세 변의 길이가 AB AC BC 인 삼각형 ABC 가 있다. 점 A 를 지나고 평면 에 수직인 직선 위의 점 D 에 대하여 AD 이 되도록 점 D 를 잡을 때 ∆DBC 의 넓이를 구하시오.
[4점][2006(가) 10월/교육청 24]
18.사면체 ABCD 에서 변 AB 의 길 이는 , 삼각형 ABC 의 넓이는 , 삼각형 ABD 의 넓이는 이다. 삼 각형 ABC 와 삼각형 ABD 가 이루 는 각의 크기가 ﾟ일 때, 사면체 ABCD 의 부피를 구하시오.
[3점][2003(자) 9월/평가원 28]
19.길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 구 위에 점 C 가 있다. 점 A 를 지나고 직선 AB 에 수직인 직선 이 직선 BC 에 수직이다. 직선 위의 점 D 에 대하여 BD , CD 일 때, 선분 AC 의 길이는?
(단, 점 C 는 선분 AB 위에 있지 않다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 15]
①
② ③
④
⑤
20.평면 위에 거리가 인 두 점 A , C 와 중심이 C 이고 반지름의 길 이가 인 원이 있다. 점 A 에서 이 원에 그은 접선의 접점을 B 라 하자.
점 B 를 지나고 평면 와 수직인 직선 위에 BP 가 되는 점을 P 라 할 때, 점 C 와 직선 AP 사이의 거리는?
[4점][2012(가) 10월/교육청 18]
①
②
③
④ ⑤
21.그림과 같이 직선 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가
인 두 평
면 와 가 있고, 평면 위의 점 A와 평면 위의 점 B가 있다. 두 점 A B에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 C D 라 하자.
AB AD
이고 직선 AB와 평면 가 이루는 각의 크기가
일 때, 사면체 ABCD 의 부피는
이다. 의 값을구하시오. (단, 는 유리수이다.)
[4점][2016(가) 9월/평가원 29]
22.정팔면체 ABCDEF 에서 두 모서리 AC 와 DE 가 이루는 각의 크기 를 라 할 때, cos 의 값은?
단 ≤ ≤
[3점][2012(가) 10월/교육청 7]
① ②
③
④
⑤
23.그림과 같이 AB AD AE 인 직육면체
ABCD EFGH 에서 평면 AFGD 와 평면 BEG 의 교선을 이라 하자. 직선 과 평면 EFGH 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[4점][2013(B) 7월/교육청 19]
①
②
③
④
⑤
24.그림과 같이 AB BF AD 인 직육면체 ABCD EFGH 에서 대각선 AG 가 세 면 ABCD BFGC ABFE 와 이루는 각의 크기를 각각 , , 라고 할 때, cos cos cos 의 값은?
[3점][2006(가) 10월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
25.사면체 ABCD 에서 모서리 CD 의 길이는 , 면 ACD 의 넓이는
이고, 면 BCD 와 면 ACD 가 이루는 각의 크기는 ° 이다. 점 A 에서 평면 BCD 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 AH 의 길이는?
[3점][2009(가) 9월/평가원 5]
①
② ③ ④
⑤
26.그림과 같이 사면체 ABCD 의 각 모서리의 길이는 AB AC ,
BD CD , BC ,
AD 이다. 평면 ABC와 평면 BCD 가 이루는 이면각의 크기를 라 할 때, cos의 값은? (단, 는 예각)
[4점][2005(가) 10월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
27.한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 선분 AD 를 으 로 내분하는 점을 P , 로 내분하는 점을 Q 라 하자. 두 평면 PBC 와 QBC 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos
이다.
의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2015(B) 10월/교육청 26]
28.그림의 정사면체에서 모서리 OA 를 로 내분하는 점을 P 라 하고, 모서리 OB 와 OC 를 로 내분하는 점을 각각 Q 와 R 라 하 자. ∆PQR 와 ∆ABC 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값 은?
[4점][2003예비(가) 12월/평가원 11]
①
②
③
④
⑤
29.정육면체 ABCD EFGH에서 평면 AFG 와 평면 AGH가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos의 값은?
[3점][2007(가) /수능(홀) 6]
E
①
②
③
④
⑤
30.그림과 같은 정육면체 ABCD EFGH에서 네 모서리 AD
CD EF EH의 중점을 각각 P Q R S라 하고, 두 선분 RS와 EG 의 교점을 M이라 하자. 평면 PMQ 와 평면 EFGH가 이루는 예각 의 크기를 라 할 때, tan sec의 값을 구하여라.
[4점][2013(가) 삼사 28]
31.그림은 어떤 사면체의 전개도이다. 삼각형 BEC는 한 변의 길이가 인 정삼각형이고, ∠ABC ∠CFA °, AC 이다. 이 전개도로 사면체를 만들 때, 두 면 ACF, ABC가 이루는 예각의 크기를 라 하 자. cos의 값은?
[4점][2015(B) 삼사 20]
①
②
③
④
⑤
32.같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 , , 이 있다. 직 선 위의 두 점
,
, 직선 위의 점
, 직선 위의 점
가 다 음 조건을 만족시킨다.(가) AB
, CD (나) AC ⊥, AC (다) BD ⊥, BD
두 직선 , 을 포함하는 평면과 세 점 A, C, D 를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 라 할 때, tan의 값을 구하시오.
단
[4점][2010(가) 9월/평가원 25]
33.그림과 같이 AB AD 인 직사각형 ABCD 모양의 종이가 있다. 선분 AB 위의 점 E와 선분 DC 위의 점 F를 연결하는 선을 접 는 선으로 하여, 점 B의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D 가 되도록 종이를 접었다. AE 일 때, 두 평면 AEFD 와 EFCB가 이루는 각 의 크기가 이다. cos의 값을 구하시오. (단,
이고, 종 이의 두께는 고려하지 않는다.)
[4점][2013(가) /수능 28]
34.반지름의 길이가 인 구의 중심 O 를 지나는 평면을 라 하고, 평 면 와 이루는 각이 인 평면을 라 하자. 평면 와 구가 만나서 생기는 원을
, 평면 와 구가 만나서 생기는 원을
라 하자. 원
의 중심 A 와 평면 사이의 거리가
일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원
위에 점 P , 원
위에 두 점 Q , R 를 잡 는다.(가) ∠QAR °
(나) 직선 OP 와 직선 AQ 는 서로 평행이다.
평면 PQR 와 평면 AQPO 가 이루는 각을 라 할 때, cos
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 30]
2 정사영
35.밑면의 지름의 길이가 cm, 높이가 cm인 원기둥 모양의 컵에 높 이가 cm만큼 물이 채워져 있다. 이 컵의 물이 쏟아지기 직전까지 컵을 최대로 기울였을 때, 수면의 넓이는 몇 cm인가?
[3점][2003(자) 10월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
36.다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체가 있다. CG 의 중점을 I 라 할 때, △FGH 의 △FIH 위로의 정사영의 넓이는?
[3점][2002(자) 7월/부산 12]
A
E F
H G
I
D C
B
①
②
③
④
⑤
37.그림과 같이 좌표공간에 세 점 A , B , C
이 있다. 선분 AB 위의 한 점 P 에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, PH 이다. 삼각형 PBH 의 평면 위로의 정사영의 넓 이는?
[4점][2013(B) 10월/교육청 15]
①
②
③
④ ⑤
38.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD EFGH에 대하 여 모서리 DH의 중점을 M이라 하자.
삼각형 EGM 의 세 점 A, F, C 를 포함하는 평면 위로의 정사영의 넓 이가
일 때,
의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 10월/대전 26]
39.그림과 같이 정사면체 ABCD 의 모서리 CD 를 로 내분하는 점 을 P 라 하자. 삼각형 ABP 와 삼각형 BCD 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
단,
[4점][2012(가) 7월/교육청 21]
A
D
C B
P
①
②
③
④
⑤
40.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정팔면체 ABCDEF 가 있다. 두 삼각형 ABC , CBF 의 평면 BEF 위로의 정사영의 넓이를 각각
,
라 할 때,
의 값은?[4점][2015(B) 10월/교육청 19]
①
②
③
④
⑤
41.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD EFGH 의 내부에 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥이 있다. 원기둥의 밑면의 중 심은 두 정사각형 ABCD , EFGH 의 두 대각선의 교점과 각각 일치한 다.
이 원기둥이 세 점 A F H 를 지나는 평면에 의하여 잘린 단면의 넓이 는?
[4점][2007(가) 10월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
42.그림과 같이 AB BC cos∠ABC
인 사면체 ABCD 에 대하여 점 A의 평면 BCD 위로의 정사영을 P 라 하고 점 A 에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 Q 라 하자.
cos∠AQP
일 때, 삼각형 BCP 의 넓이는 이다. 의 값 을 구하시오.
[4점][2015(B) 9월/평가원 26]
43.그림과 같이 평면 와 한 점 A에서 만나는 정삼각형 ABC가 있다.
두 점 B C의 평면 위로의 정사영을 각각 B′ C′이라 하자.
AB′
B′C′ C′A
일 때, 정삼각형 ABC의 넓이는?[4점][2014(B) 삼사 19]
①
②
③
④
⑤
44.한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD EFGH 와 밑면의 반지름의 길이가
이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥의 밑면이 평면 ABCD 에 포함되고 사각형 ABCD 의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 ABCD 에 포함되어 있는 원기둥의 밑면을 , 다른 밑면을 라 하자.평면 AEGC가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 MN , 평면 BFHD 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 PQ 라 할 때, 삼각형 MPQ 의 평면 DEG 위로의 정사영의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오.(단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 7월/교육청 30]
A
B
E
F
D
C
H
G Q P
M N
45.그림과 같이 평면 위에 점 A가 있고, 로부터의 거리가 각각
인 두 점 B C가 있다. 선분 AC를 로 내분하는 점 P 에 대하 여 BP 이다. 삼각형 ABC의 넓이가 9일 때, 삼각형 ABC의 평면
위로의 정사영의 넓이를
라 하자.
의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 9월/평가원 29]
46.오른쪽 그림과 같이 정육면체 위에 정사각 뿔을 올려놓은 도형이 있다. 이 도형의 모든 모서리의 길이가 이고, 면 PAB와 면 AEFB가 이루는 각의 크기가 일 때, cos
의 값은?
단, ＜＜
[3점][2004(자) /수능(홀) 7]
①
②
③
④
⑤
47.그림과 같이 평면 위에 넓이가 인 삼각형 ABC 가 있고, 평면
위에 넓이가 인 삼각형 ABD 가 있다. 선분 BC 를 로 내분 하는 점을 P 라 하고 선분 AP 를 로 내분하는 점을 Q 라 하자.
점 D 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 Q 는 선분 BH 의 중점이다. 두 평면 , 가 이루는 각을 라 할 때, cos
이다.
의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 27]
48.그림과 같이 반지름의 길이가 인 구
와 서로 다른 두 직선 , 이 있다. 구
와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B , 구
와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P , Q 라 하자.삼각형 APQ 는 한 변의 길이가
인 정삼각형이고 AB
,∠ABQ
일 때 평면 APB 와 평면 APQ 가 이루는 각의 크기
에 대하여 cos 의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 7월/교육청 29]
A
B
P Q
49.오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가
인 정육면체 ABCD EFGH의 세 모 서리 AD BC FG 위에
DP BQ GR 인 세 점 P Q R 이 있다. 평면 PQR와 평면 CGHD 가 이 루는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값 은?
단, ＜＜
[3점][2005(가) /수능(홀) 7]
①
②
③
④
⑤
50.그림과 같이 반지름의 길이가 인 반구가 평평한 지면 위에 떠 있다.
반구의 밑면이 지면과 평행하고 태양광선이 지면과 °의 각을 이룰 때, 지면에 나타나는 반구의 그림자의 넓이는? (단, 태양광선은 평행하게 비 춘다.)
[4점][2007(가) 삼사 22]
지면
°
태양광선
①
②
③
④
⑤
51.그림과 같이 지면과 이루는 각의 크기가 인 평평한 유리판 위에 반 구가 엎어져있다. 햇빛이 유리판에 수직인 방향으로 비출 때 지면 위에 생기는 반구의 그림자의 넓이를
, 햇빛이 유리판과 평행한 방향으로 비출 때 지면 위에 생기는 반구의 그림자의 넓이를
라 하자.
일 때, tan 의 값은? (단, 는 예각이다.)[4점][2011(가) 삼사 14]
↙ ↙ ↙
평행한 빛
지면
↘ ↘ ↘
수직인 빛
유리판
①
②
③
④
⑤
52.그림과 같이 평면 위에 ∠A
, AB AC
인 삼각형ABC가 있다. 중심이 점 O 이고 반지름의 길이가 인 구가 평면 와 점 A에서 접한다. 세 직선 OA, OB, OC와 구의 교점 중 평면 까지 의 거리가 보다 큰 점을 각각 D , E, F라 하자. 삼각형 DEF의 평면 OBC 위로의 정사영의 넓이를
라 할 때,
의 값을 구하시오.[4점][2015(B) 7월/교육청 30]
A
B
C O
D F E
53.반지름의 길이가 , 중심이 O 인 원을 밑면으로 하고 높이가
인 원뿔이 평면 위에 놓여있다. 그림과 같이 태양광선이 평면 에 수직 인 방향으로 비출 때, 원뿔의 밑면에 의해 평면 에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원뿔의 한 모선이 평면 에 포함된다.)[3점][2013(B) 7월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
54.반지름의 길이가 인 반구가 평면 위에 놓여 있다. 반구와 평면 가 만나서 생기는 원의 중심을 O 라 하자. 그림과 같이 중심 O 로부터 거 리가
이고 평면 와 °의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면 위로의 정사영의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 자연수이다.)[4점][2007(가) 9월/평가원 24]
55.서로 수직인 두 평면 의 교선을 이라 하자. 반지름의 길이가 인 원판이 두 평면 와 각각 한 점에서 만나고 교선 에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면 와 °의 각을 이루면서 원판의 면에 수 직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 에 나타나는 원판의 그림자의 넓이 를
라 하자.
의 값을
라 할 때, 의 값을 구하시오.(단, 는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.)
[4점][2006(가) 9월/평가원 25]
56.그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽면 과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선이 벽면 과 지면의 교선 과 수직으로 만난다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점 에서 교선 까지 거리의 최댓값을 라하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 까지 거리의 최댓값을 라 하자. 옳은 것만을 <보 기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2009(가) 9월/평가원 15]
ㄱ. 그림자와 교선 의 공통부분의 길이는 이다.
ㄴ. ° 이면 이다.
ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
57.한 변의 길이가 인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가
인 직육면체 ABCD EFGH가 있다. 그림과 같이 이 직육면체의 바닥에∠EPF °인 삼각기둥 EFP HGQ 가 놓여있고 그 위에 구를 삼 각기둥과 한 점에서 만나도록 올려놓았더니 이 구가 밑면 ABCD 와 직 육면체의 네 옆면에 모두 접하였다. 태양광선이 밑면과 수직인 방향으로 구를 비출 때, 삼각기둥의 두 옆면 PFGQ , EPQH에 생기는 구의 그 림자의 넓이를 각각
라 하자.
의 값은?[4점][2016(B) 삼사 20]
①
②
③
④
⑤
58.그림과 같이 태양광선이 지면과 °의 각을 이루면서 비추고 있다.
한 변의 길이가 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고 태양광선 과 °의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를
라 하자.
의 값을
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 정수이고 판의 두께는 무시한다.)
[4점][2008(가) 9월/평가원 25]
59.그림과 같이 중심 사이의 거리가
이고 반지름의 길이가 인 두 원판과 평면 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 은 두 원판의 면 과 각각 수직이고, 평면 와 이루는 각의 크기가 이다. 태양광선이 그림과 같이 평면 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.)
[4점][2011(가) /수능 11]
①
②
③
④
⑤
60.그림과 같이 검은 종이로 만든 정사면체 ABCD 에 면 ABC 와 수직 인 방향으로 빛을 비추고 있다. 빛이 밑면 BCD 의 위에만 비치도록 면 ABC에 정사각형 모양의 구멍을 뚫었다. 이 정사각형의 한 변의 길이가 2일 때, 빛이 비추어져 밑면에 생긴 부분의 넓이를 구하시오.
[2점][2001(자) 10월/교육청 26]
61.그림과 같이 직육면체 ABCDEFGH 와 한 변의 길이가 인 정사면체 PQRS 가 평면 위에 놓여있다. 변 GH 와 변 RS 가 평행할 때, 삼각형 PRS 의 평면 CGHD 위로의 정사영의 넓이는?
[3점][2003(자) 6월/평가원 15]
①
②
③
④
⑤
62.그림은 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABC DEF의 밑면 ABC와 모든 모서리의 길이가 인 정사면체 OABC의 밑면 ABC를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 OB, BE의 중점을 각 각 M, N이라 하고, 두 평면 MCA, NCA가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos의 값은?
[4점][2014(B) 10월/교육청 21]
①
②
③
④
⑤
63.한 변의 길이가 인 정사면체 OABC가 있다.
세 삼각형 ∆OAB ∆OBC ∆OCA에 각각 내접하는 세 원의 평면 ABC 위로의 정사영을 각각
,
,
이라 하자.그림과 같이 세 도형
,
,
으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를
라 할 때,
의 값을 구하시오.[4점][2008(가) /수능(홀) 24]
64.중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 구에 내접하는 정사면체 ABCD 가 있다. 두 삼각형 BCD , ACD 의 무게중심을 각각 F, G 라 할 때,
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2008(가) 9월/평가원 12]
ㄱ. 직선 AF와 직선 BG 는 꼬인 위치에 있다.
ㄴ. 삼각형 ABC의 넓이는
보다 작다.
ㄷ. ∠AOG 일 때, cos
이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1 공간좌표
65.좌표공간에 두 점 A , C 가 있다. 그림과 같이 각 면이 평면 또는 평면 또는 평면에 평행한 직육면체 ABBA DCCD들 만든다.
면 ABCD들 공유하고 CC CC가 되도록 그림과 같이 직 육면체 ABBA DCCD을 만든다.
면 ABCD을 공유하고 CC CC이 되도록 그림과 같이 직 육면체 ABBA DCCD들 만든다.
이와 같은 과정을 계속하여 직육면체
ABB A DCC D 을 만들 때, 의 값이 한없이 커 지면 점 D은 점 에 한없이 가까워진다. 의 값을 구하시 오.
[3점][2007(가) 삼사 27]
B
D D A
B
C D
A B
C
D A
C
A B
C
O
⋯⋯
66.보트가 남쪽에서 북쪽으로 m/초의 등속도로 호수 위를 지나가고 있다. 수면 위 m 의 높이에 동서로 놓인 다리 위를 자동차가 서쪽에 서 동쪽으로 m/초의 등속도로 달리고 있다.
아래 그림과 같이 지금 보트는 수면 위의 점 P 에서 남쪽 m , 자동차 는 다리 위의 점 Q 에서 서쪽 m 지점에 각각 위치해 있다. 보트와 자동차 사이의 거리가 최소가 될 때의 거리는? (단, 자동차와 보트의 크 기는 무시하고, 선분 PQ 는 보트와 자동차의 경로에 각각 수직이다.)
[1.5점][1996(자) 수능(홀) 27]
① m ② m ③ m
④ m ⑤ m
67.좌표공간에서 점 P 과 점 A 사이의 거리는 점 P 와 점 B 사이의 거리의 배이다. 양수 의 값은?
[2점][2011(가) /수능 3]
①
②
③
④ ⑤
68.좌표공간의 점 P 을 평면에 대하여 대칭이동시킨 점을 Q 라 하자. 두 점 P 와 Q 사이의 거리는?
[3점][2015(B) 9월/평가원 4]
① ② ③
④ ⑤
69.좌표공간에 두 점 과 을 지나는 직선 이 있다.
점 와 직선 사이의 거리가 5일 때, 의 값은?
[4점][2014(B) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
70.좌표공간에서 점 A 를 축에 대하여 대칭이동한 점을 B 라 하고, 점 A 를 평면에 대하여 대칭이동한 점을 C 라 하자. 세 점 A , B , C 를 지나는 원의 반지름의 길이는?
[3점][2011(가) 10월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤ 71.좌표공간에서 두 점 A , B
을 지나는 직선 이 있다. 점 P
로부터 직선 에 이르는 거리는?[3점][2005(가) 9월/평가원 8]
① ②
③
④ ⑤
72.좌표공간에서 평면 과 평면 의 교선을 이라 하자. 점 P 가 직선 위를 움직일 때, 선분 OP 의 길이의 최솟값은? (단, O 는 원 점이다.)
[3점][2008(가) /수능(홀) 7]
①
②
③
④
⑤
73.좌표공간에 점 A 가 있고, 평면 위에 타원
이 있다. 타원 위의 점 P 에 대하여 AP 의 최댓값을 구하시오.
[3점][2012(가) /수능 24]
74.좌표공간에 두 점 O , A 이 있고, 점 P
는 ∆OAP 의 넓이가 가 되도록 움직인다. ≤ ≤ 일 때, 점 P 의 자취가 만드는 도형을 평면 위에 펼쳤을 때의 넓이는?
[1.5점][1995(자) 수능(홀) 15]
① ② ③
④ ⑤
75.한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD EFGH를 다음 두 조건 을 만족시키도록 좌표공간에 놓는다.
(가) 꼭짓점 A 는 원점에 놓이도록 한다.
(나) 꼭짓점 G 는 축 위에 놓이도록 한다.
위의 조건을 만족시키는 상태에서 이 정육면체를 축의 둘레로 회전시킬 때, 점 B 가 그리는 도형은 점 을 중심으로 하고 반지름의 길이 가 인 원이다. 이때, 의 곱 의 값은? (단, 점 G 의 좌표는 양 수이다.)
[4점][2011(가) /삼사 19]
A B
D C
E H
F G
①
②
③
④
⑤
76.좌표공간에 개의 점 A , B , C , D , E 을 꼭짓점으로 하는 사각뿔 A BCDE 가 있다. 일 때, 이 사각뿔의 부피가 최대가 되도록 하는 실수 의 값은?
[4점][2011(가) /삼사 18]
①
②
③
④
⑤
77.좌표공간의 세 점 A , B , C 에 대하여
일 때, 삼각형 ABC 의 넓이의 최솟값은? (단, ＞ 이고
＞ 이다.)
[3점][2006(가) 9월/평가원 5]
①
②
③ ④
⑤ 78.좌표공간에서 축을 포함하는 평면 에 대하여 평면 위의 원
의 평면 위로의 정사영의 넓이와 평면 위의 원
의 평면 위로의 정사영의 넓이가
로 같을 때,
의 값은?[4점][2013(B) 9월/평가원 19]
①
②
③
④
⑤
79.[그림 ]과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체 모양의 블록 개를 직육면체 모양으로 쌓은 후, 가운데 블록을 없애고 [그림 ]와 같이 반 지름의 길이가
인 구를 정사각형 ABCD 의 네 변에 모두 접하도록 올려놓았다.구의 중심으로부터 꼭짓점 P 까지의 거리를 이라 할 때, 의 값은?
[4점][2011(가) 10월/대전 19]
① ② ③
④ ⑤
80.좌표공간에 네 점 A , B , C , D 이 있다. 그림과 같이 점 P 는 원점 O 에서 출발하여 사각형 OABC 의 둘레를 O→A→B→C→O→A→B→ ⋯ 의 방향으로 움직 이며, 점 Q 는 원점 O 에서 출발하여 삼각형 OAD 의 둘레를 O→A→D→O→A→D→ ⋯ 의 방향으로 움직인다.
두 점 P , Q 가 원점 O 에서 동시에 출발하여 각각 매초 의 일정한 속력으로 움직인다고 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것 은?
[4점][2010(가) /삼사 22]
O A
B
C
D
∙
∙Q
P
ㄱ. 두 점 P , Q 가 출발 후 원점에서 다시 만나는 경우는 없다.
ㄴ. 출발 후 초가 되는 순간 두 점 P , Q 사이의 거리는
이다.ㄷ. 출발 후 초가 되는 순간 두 점 P , Q 사이의 거리는
이다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
81.오른쪽 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다.
A 지점을 출발하여 산을 한 바퀴 돌아 B 지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막길이지만 나중에는 내리 막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?
[4점][1997(자) 수능(홀) 24]
①
②
③
④
⑤
2 선분의 내분점과 외분점
82.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB의 중점의 좌표가 이다. 의 값은?
[2점][2016(가) 10월/경남교육청파이널 3]
① ② ③
④ ⑤
83.좌표공간의 두 점 A B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점 P 의 좌표가 일 때, 의 값은?
[2점][2016(가) 8월/영남권 3]
① ② ③
④ ⑤
84.좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값은?
[2점][2016(B) 삼사 3]
① ② ③
④ ⑤
85.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은?
[3점][2015(B) /수능 5]
① ② ③
④ ⑤
86.좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점의 좌표가 이다. 의 값은?
[점][2014(B) /수능 3]
① ② ③
④ ⑤
87.좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점의 좌표가 이다. 의 값은?
[2점][2013(가) /수능 3]
① ② ③
④ ⑤
88.좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점의 좌표가 이다. 의 값은?
[2점][2016(가) 9월/평가원 3]
① ② ③
④ ⑤
89.좌표공간에서 두 점
,
를 이은 선분
를 로 외분하는 점의 좌표가 일 때, 의 값은?
[2점][2012예비(B) 5월/평가원 3]
① ② ③
④ ⑤
90.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점이 평면 위에 있을 때, 의 값은?
[2점][2013(B) 7월/교육청 3]
① ② ③
④ ⑤
91.좌표공간의 두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 외분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은?
[3점][2017(가) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
92.좌표공간에서 점 P 를 평면에 대하여 대칭이동한 점을 Q 라 하자. 선분 PQ 를 로 내분하는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) 9월/평가원 18]
93.그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABCDEF가 있 다. 변 DE의 중점 M에 대하여 선분 BM을 로 내분하는 점을 P 라 하자. CP 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 27]
E C
P
M
B A
D
F
94.좌표공간의 세 점 A B C 에 대하여 선 분 BC 를 로 내분하는 점을 P , 선분 AC를 로 내분하는 점 을 Q 라 하자. 점 P , Q 의 평면 위로의 정사영을 각각 P′, Q′이라 할 때, 삼각형 OP ′Q ′ 의 넓이는? (단, O 는 원점이다.)
[3점][2005(가) 9월/평가원 14]
① ② ③
④ ⑤
95.좌표공간에서 세 점 A , B , C 을 꼭짓 점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표가 일 때, 의 값 은?
[2점][2016(B) /수능 3]
① ② ③
④ ⑤
96.그림과 같이 반지름의 길이가 각각 , , 이고 서로 외접하는 세 개의 구가 평면 위에 놓여 있다. 세 구의 중심을 각각 A, B, C라 할 때, △ABC의 무게중심으로부터 평면 까지의 거리를 구하시오.
[3점][2003예비(가) 12월/평가원 23]
97.그림과 같이 좌표공간에서 한 변의 길이가 인 정육면체를 한 변의 길이가 인 개의 정육면체로 나누었다. 이 중 그림의 세 정육면체 A, B, C 안에 반지름의 길이가 인 구가 각각 내접하고 있다. 개의 구의 중심을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표를 라 할 때,
의 값은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 8]
① ②
③
④ ⑤
98.그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 ABCD EFGH 에서 A , E , F , H 이다.
점 M 과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점 P 에 대하여 직선 MP 가 평면과 만나는 점을 Q 라 하자. 이때, 선분 MQ 의 길이의 최댓값은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
3 구의 방정식
99.구 을 평면으로 자른 단면을 밑면으로 하고, 구에 내접하는 원뿔의 부피의 최댓값은?
[3점][2012(가) 7월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
100.거리가 인 두 평행한 평면으로 반지름의 길이가 인 구를 잘라서 얻어진 두 단면의 넓이의 합의 최댓 값은?
[3점][2001(자) 수능(홀) 5]
①
②
③
④
⑤
101.좌표공간에서 구 과 구 이 원점에서 서로 접할 때,
의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[4점][2013(B) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
102.좌표공간에서 중심의 좌표, 좌표, 좌표가 모두 양수인 구
가 축과 축에 각각 접하고 축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 구
가 평면과 만나서 생기는 원의 넓이가 이고 축과 만나는 두 점 사이의 거리가 일 때, 구
의 반지름의 길이는?[4점][2014(B) /수능 19]
① ② ③
④ ⑤
103.좌표공간에서 평면, 평면, 평면은 공간을 개의 부분으로 나눈다. 이 개의 부분 중에서
구 가 지나는 부분의 개수는?
[4점][2006(가) /수능(홀) 10]
① ② ③
④ ⑤
104.구 과 그 내부를 포함하는 입체 를 평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 남아있는 부분을 다시 평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부 분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 이때, 마지막에 남아있는 부분에서 두 평면에 의해 잘린 단면의 넓이는 이다. 두 자연수 , 의 합
의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) /삼사 30]
105.좌표공간에 구
과 점 P 가 있다.다음 조건을 만족시키는 모든 원
에 대하여
의 평면 위로의 정사 영의 넓이의 최댓값을 라 하자. 의 값을 구하시오. (단, 와
는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2015(B) /수능 29]
(가) 원
는 점 P 를 지나는 평면과 구
가 만나서 생긴다.(나) 원
의 반지름의 길이는 이다.106.다음 조건을 만족하는 점 P 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레의 길이는?
[3점][2008(가) 9월/평가원 9]
좌표공간에서 점 P 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구가 두 개의 구
에 동시에 외접한다.
①
②
③
④
⑤
107.평면 에 수직인 직선 을 경계로 하는 세 반평면 , , 가 있다.
, 가 이루는 각의 크기와 , 가 이루는 각의 크기는 모두 이 다. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접하고, 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접한다.
두 구의 중심 사이의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 두 구는 평면 의 같은 쪽에 있다.)
[4점][2009(가) 10월/교육청 24]
108.그림과 같이 평면 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구
,
,
,
이 다음 조건을 만족시킨다.(가)
의 반지름의 길이는 3이고,
,
,
의 반지름의 길 이는 1이다.(나)
,
,
은 모두
에 접한다.(다)
은
와 접하고,
는
과 접한다.
,
,
의 중심을 각각 O, O, O이라 하자. 두 점 O, O 를 지나고 평면 에 수직인 평면을 , 두 점 O, O을 지나고 평면 에 수직인 평면이
과 만나서 생기는 단면을 D 라 하자. 단면 D 의 평면 위로의 정사영의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 9월/평가원 29]
109.좌표공간에서 평면 위의 원 을
라 하고, 원
위 의 점 P 와 점 A 을 잇는 선분이 구 과 만나는 점을 Q 라 하자. 점 P 가 원
위를 한 바퀴 돌 때, 점 Q 가 나 타내는 도형 전체의 길이는 이다. 의 값을 구하시오. (단, 점
Q 는 점 A가 아니고, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2007(가) 9월/평가원 23]
110.좌표공간에 축, 축 및 축에 접하는 구
가 있다. 점 A 에서 구
에 그은 접선들과 평면의 교점으로 이루어진 도형에서 두 점 P Q 를 잡는다. 두 점 P Q 사이의 거리의 최댓값을
이라 할 때,
의 값을 구하시오.[4점][2010(가) 11월/대전 25]
111.좌표공간에서 구 위의 점 P 와
평면 위에 있는 원 위의 점 Q 사이의 거리 의 최댓값을 구하시오.
[4점][2015(B) /삼사 28]
112.좌표공간에서 구
위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 에서 구
에 접하는 평면이 구 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 자연수이다.)[4점][2012(가) 9월/평가원 27]
113.좌표공간에서 축을 포함하고 평면과 이루는 각의 크기가
인 평면을 라 하자.평면 가 구 과 만나서 생기는 도형의 평면 위로 의 정사영이 영역 ∣ ≤ 에 포함되도록 하는 에 대하여 cos 의 최댓값을
이라 하자.
의 값을 구하시오.[4점][2010(가) /수능 25]
114.좌표공간에 반구 , ≥ 가 있다. 축을 포함하는 평면 가 반구와 접할 때, 와 평면이 이루는 각을
라 하자. 이때, cos 의 값을 구하시오.
단,
[4점][2004(가) 9월/평가원 23]
115.두 구 , 을 각각
라 하자. 두 구
,
가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 P 라 하고, 점 P 의 평면 위로의 정사영을 P′이라 하자. 구
과 축이 만나 는 점을 각각 Q R 라 할 때, 사면체 PQP′R의 부피의 최댓값을 구하 시오.[4점][2006(가) 수능(홀) 21]
