확률및통계 (2)
제 6장 적률생성함수
분포의 특성을 나타내는 적률과 적률생성함수 를 정의한다.
각 확률모형의 적률생성함수를 구한다.
적률과 관계된 몇가지 정리
제 1절 적률
( ) ( )
) (
)
(
) (
.
moment) th
(
] [
연속형 는
이산형 는
정의한다 같이
다음과 은
적률 차
대한 원점에
의 확률변수
적률 정의
X dx
x f x
X x
p x X E k
k X
k x
k k k
k
1차 적률이란?
기대값은 1차 적률을 말한다.
( ) ( ) ( )
)
( )
( )
(
] ) [(
.
] [
연속형 는
이산형 는
정의한다 같이
다음과 를
적률 차
관한 에
평균 의
확률변수
적률 대한
평균에 정의
X dx
x f
x
X x
p x
X E
k X
k x
k k k
k
.
] )
[(
2
2 2
있다 수
알 분산임을
의 는
차적률 대한
에 평균
X
X
E
제 2절 적률생성함수
적률생성함수의 정의
적률생성함수를 이용한 확률변수의 기대값과 분산을 구하시
-
i
) (
)
(
) (
)
( )
(
.
. . .
,
.
)
( function)
generating
(moment
] [
연속형 이산형 한다
나타내기도 로
약자로 적률생성함수를
때 이 정의한다
같이 다음과
는 의
확률변수
적률생성함수 정의
dx x
f e
p e
e E t
M
f g m
t M
X
tx i
tx tX
X
X
i
적률생성함수
a x
. )
( 쉽다
구하기 a 는
f
어렵다
는 구하기 )
(x
f
15 ??
sin 2
2 1
sin
,
15 2
2
sin
) (
이지만 때
일
이고
이고 a x
x x
f
??
??
1
2
15 2
sin
2 15
??
n n
n n
n x f
f x f x
f x
f
a n x
a f
a a x
a f a x
a f f x
f
! ) 0 (
! 2
) 0 (
! 1
) 0 ) (
0 ( )
( ) 2 (
)
! ( ) (
)
! ( 2
) ) (
! ( 1
) ) (
( )
(
) 1 (
Expansion) s
' (Maclaurin
*
*
*
) (
2 )
(
2
매크로린전개 전개 테일러
매크로린전개
4 2
3
2
15
! 4 0 1
) 15 2 ( 1 0
1
15
! 3 cos 2
15
! 2 sin 2 15
! 1 cos 2 sin 2
15 sin 2
15
2 2 ,
라 놓으면
이용하면 전개를
이런
x a
0.97815
) 00008
. 0 ( 0
) 02193
. 0 ( 0
1
15
! 4 0 1
) 15 2 ( 1 0
1
4 2
1
2
15 2
sin
2 15
97815 .
0
.
,
! ) (
! 2
) (
! 1 1
) expansion
s ' (Maclaurin
2
같다 다음과
있으므로 수
표시할 같이
와
식은
매크로린전개 대한
에 함수인
의
n
tX tX
e tX
e X
n tX
tX
n n
n n
tX X
n t t
t
n t X t E
X t E
X E
e E t
M
!
! 2
! 1 1
! ) (
! 2
) (
1!
) 1 (
) (
) (
2 2 1
2 2
.
0
) (
) (
) ) (
(
1
) (
얻는다 식을
다음 두면
으로 이므로
미분하면 회
로 를
t
Xe E
t e E
e t E
t t M
t t
M
tX tX X tX
X
) (
) | (
) 3 (
) (
) | (
) 2 (
) (
) | (
) 1 (
0 t
2 0
2 t 2
0 t
k k
X k
X X
X t E
t M
X t E
t M
X t E
t M
)]2
0 ( [
) 0 ( )
(
) 0 ( )
(
.
) (
) (
X X
X
M M
X Var
M X
E
X Var
X E
있다 수
구할 를
분산 와
평균 이용해서
적률생성함수를
