제 6장. 연속 확률분포

(1)

1

제 6장. 연속 확률분포

(

Continuous Probability Distribution

⁾

확률변수

x

^{가 두 값}

x

₁

 a

와

x

₂

 b

사이의 가능한 모든 값을 취할 수 있을 때, 확률은 어느 구간의 누적확률로 표시된다. 여기에는 정규분포, 정규분포의 파생인

t

분포,



²^분포,

F

^{분포, 기}

타 지수분포, 베타분포, 와이블분포, 감마분포, 균등분포, 코시분포 등이 있다.

6.1 확률 밀도함수(

Probability Density Function

)

그래프를 그리는 함수

f x ( )

를 확률 밀도함수 또는 단순히 밀도 함수라 한다. 확률은 구간의 적분 값으로 나타난다.

확률밀도 함수의 성질 (1)

f x ( )  0

(2) ^a ( ) 0

a

f x dx 



(3) ^

f x dx

( ) 1







(4) ( ) ^b ( )

a

P a   x b   f x dx

누적 분포함수(Cumulative Distribution Function)

연속 확률변수의 누적 확률함수이며

F x ( )

^{로 표시한다.}

F x ( )

^는



^로부터

x

^까지

f x ( )

^{를 적분}

한 면적에 해당한다.

누적분포함수의 성질 (1)

F x

( ) ^x

f t dt

( )

 



(2)

F (   ) 0

^,

F ( ) 1  

(3)

F x '( )  f x ( )

(4) ( ) ( ) ( ) ^b ( )

P a   x b  F b  F a  

a

f x dx

[보기 6_1]

x

의 확률밀도 함수가 다음과 같을 때

x

의 누적 분포함수와

P (0   x 1)

^{를 각각 구}

하여라.

(2)

2

, 1 2

( ) 3

0. others

x x

f x

   

  



(풀이)

2 3 3

1 1

( ) [ ] 1

3 9 9

x

t t

x

F x dt

_



    

2 3

1 1

0 0

(0 1) [ ] 1

3 9 9

x x

P    x  dx  

6.2 균등분포(

Uniform Distribution

)

확률변수

x

가 일정한 구간만 정의 되고 확률밀도는 균등하며, 이것을 직사각형분포 (Rectangular Distribution)라고도 한다. 균등분포의 표시는

x ~ U a b ( , )

^{로 표시한다.}

확률밀도 함수:

1 ( ) , ( )

f x a x b

 b a  



누적분포 함수: 0, ( ) 1,

x a

F x b x

 

 

 a   x b

구간에서

( )

^x

( )

^x

1 [ ]

_a^x

a a

t x a

F x f t dt dt

b a b a b a

    

  

 

[보기 6_2] 버스가 정류장에 15분 간격으로 도착한다. 한 사람이 버스를 기다리는 시간은 균등 분포에 따른다고 할 때 (1) 확률밀도 함수와 (2) 10분 이상을 기다릴 확률을 구하여라.

(풀이) 구간은 [0, 15] 이므로

(1)

1 1 1

( ) 15 0 15

f x  b a  

 

(2) ¹⁵ ¹⁵₁₀

10

1 1 1

(10 15) [ ]

15 15 3

P   x   dx  x 

균등분포의 성질 (1) 평균:

( )

2 b a

E x 



(2) 분산:

( )2

( ) 12

Var x b a 



※

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

2 2 2

b b

a a

x b a b a

E x x dx

b a b a b a

 

   

  



※

Var x

( )

 E x

[

 E x

( )]²

 E x

( ²) [ ( )]

 E x

²

 E x

( ²)

 

²을 이용하여

3

2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

2 3 2

b b

a a

b a x b a

Var x x dx

b a b a

 

   

 



3 3 2 2 2 2

1 2 2

( )( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 4

b a a b b ab a b ab a

b a

     

   



(3)

3

2 2 2

2 ( )

12 12

b  ab a  b a 

 

[보기 6_3] 다음과 같은 균등분포 함수가 있을 때 (1) 분포함수 (2) 평균 (3) 분산을 각각 구하여 라.

1, 2 8

( ) 4

0, others

f x x

  

  



(풀이) (1) 2

  x

8구간에서 ₂

2

( ) ( ) [ ] 2

4 4

x

t

x

F x   f t dt   

0, 2

( ) 2 , 2 8

4 1, 8

x

F x x x

x

 

  

   

 



(2)

2 8

( ) 5

2 2

E x a b  

  

(3)

2 2

( ) (8 2)

( ) 3

12 12

Var x b a  

  

[보기 6_4] 철판을 생산하는 회사가 두께

230 ~ 280 mm

사이의 값을 갖는 균등확률 변수이다.

240 mm

미만의 두께는 불량으로 처분한다고 한다. (1) 철판 두께인

x

의 평균 (2) 표준편차 (3) 폐기되는 확률을 구하여라.

(풀이) 구간 [230, 280]

(1)

230 280 2 255

  ^ 

(2)

(280 230)2 280 230 50

( ) 12 12 12

Var x  ^    ^ 

(3)

1 1

( ) 280 230 50

f x  



240 240

230 230

1 1 10 1

( 240) [ ]

50 50 50 5

P x    dx  x  

6.3 정규분포(

Normal Distribution

)

가우스(Gauss)분포라고도 하며 확률분포에서 가장 대표적이고 중요한 연속 확률분포이다.

정규분포의 확률밀도 함수

1 2

( )2

( ) 1

2

x

f x e



 

 



평균:

E x

( ) ^

x f x dx

( )

 



(4)

4

1 1 2

exp[ ( ) ] 2 2

x x  dx 

  





    

분산: 1 ² 1 ² ²

( ) ( ) exp[ ( )

2 2

Var x x  x  dx 

  





     

정규분포는 중심 위치가



^{이고 표준편차}



에 따라 달라지는 그림으로



가 작으면 뾰족하고 크면 낮아지는 그래프이다. 정규분포의 확률은

( )

P   k     x  k 

^{로 주어질 때}

k

의 값에 따라 일정한 값을 갖는다. 확률은 구간 사이의 면적이므로 우측 그림에서

( ) 0.6827

P       x   

( 2 2 ) 0.9545

P       x   

( 3 3 ) 0.9973

P       x   

수식의 치환(표준화):

x

z 



 

로 놓으면 위의 정규분포 확률밀도 함수는

1 2

( ) 2

f z e

z





 ,

    z

이 되며 이것을 표준정규분포의 확률 밀도함수라 하고, 평균은

  0

^{, 표준편차는}

 

1인 정규 분포로

z ~ N (0, 1)

^{로 표기한다.}

※

2 2 2 2

1 1 1

( )

2 2x 2y 2 2 x y

I   Ae

^

dx  Ae

^

dy  A   e

^ ^

dxdy

cos

x  r 

,

y  r sin 

2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 ( 1 ) 2 [ ]

2

r r r

I  A 

^

e

^

rdrd     A 

^

e

^

d  r    A e

^ ^

2 2

2

 A

(0 1) 2

 A

1

    

^: 1

2

A  

a x b

       

인 곳에서의 확률은

( )

^b

( )

^b

( ) ( )

a a

P a x b

^{ }

f x dx f z dz P a z b

   

 ^

     



    

[보기 6_5]

x

^{가 정규분포}

x

~

N

( ,

 

²)



(30, 8 )² ^{일 때,}26

  x

46인 확률은 얼마인가?

(풀이)

30 8

z  x 

으로 표준화 하면, 확률은

z ~ N (0,1)

에서 계산한 값과 같다.

26

x 

일 때

26 30 8 0.5 z    

46

x 

^{일 때}

^{46 30} 2 z  8  

(26 46) ( 0.5 2) ( 2) ( 0.5)

P   x  P    z  P z   P z   ( 2) ( 0.5) ( 2) [1 ( 0.5)]

P z P z P z P z

        

(5)

5 표준 정규분포표에서 이들에 대한 값을 찾아 보면

( 2) 0.9772

P z  

^,

P z (  0.5)  0.6915

(26 46) ( 0.5 2) 0.9972 (1 0.6915) P   x  P    z   

0.9972 0.3085 0.6688

  

※

z

^-분포:

http://www.statdistributions.com/normal/

이 internet site는 normal(정규),

t 

,

F

^-,



²-분포의 확률을 계산하거나 또는 역으로 확률을 검정통계량으로 환산시킬 수 있는 calculator를 갖고 있다.

www.google.com의 검색창에 t-distributioncalculator 또는 F-distributioncalculator로 검색하면 다양한 site에서 다양한 분포의 확률을 계산할 수 있다.

(1)

z  2

의 확률계산 방법 (a) [z-value] box에 2 입력 (b) [mean] box^{에 0 입력}

(c) [std dev:] box에 1 입력 (d) [right tail] 선택

[p-value] box에 0.023을 읽을 수 있다.

(2)

z  2

의 확률계산 방법 (a) [z-value] box에 2 입력 (b) [mean] box에 0 입력 (c) [std dev:] box에 1 입력 (d) [left tail] 선택

※ 누적표준 정규분포에서 확률을 계산하는 방법

(1)

P z (  0.5)

는 표의 값을 그대로 읽음.

(2)

P z (  0.5)   1 P z (  0.5)

^:

P z (  0.5)

^{를 읽어 계산}

(3)

P z (   0.5)  P z (  0.5) 1   P z (  0.5)

(6)

6 (4)

P z (   0.5)  P z (  0.5)

정규분포는 다음과 같은 확률을 주로 많이 구한다.

(1)

x

^{가 평균}



^에서



의 특정 배의 범위 내에 포함되는 확률

( )

P   k     x  k 

(2)

x

^{가 평균}



^에서



의 특정 배의 범위 외에 포함되는 확률

1  P (   k     x  k  ) 1, 2,3

k 

^{에 따른 확률}

(1)

k 

1, 즉

x

^가



^에서



^의

1

배의 범위 내에 포함되는 확률.

( ) (| | )

P       x    P x    

표준으로부터

z x 



 

^{의 표준화로부터}

x    

^{일 때:}

z   1 x    

일 때:

z  1

(| | ) ( 1 1) ( 1) ( 1)

P x      P     z P z   P z  

표준정규분포표에서

( 1) 0.8413

P z  

^,

P z (     1) 1 0.8413  0.1587

(| | ) ( 1 1) ( 1) ( 1)

P x      P     z P z   P z  

0.8413 0.1587 0.6826

  

(2)

k 

2, 즉

x

^가



^에서



^의

2

배의 범위 내에 포함되는 확률.

2 x    

^{일 때:}

z   2 2

x    

^{일 때:}

z  2

(| | 2 ) ( 2 2) ( 2) ( 2)

P x      P    z  P z   P z  

표준정규분포표에서

( 2) 0.9772

P z  

^,

P z (     2) 1 0.9772  0.0228

(| | 2 ) ( 2 2) ( 2) ( 2)

P x      P    z  P z   P z  

0.9772 0.0228 0.9544

  

(3)

k 

3, 즉

x

^가



^에서



^의3배의 범위 내에 포함되는 확률.

같은 논리로

(| | 3 ) ( 3 3) ( 3) ( 3)

P x      P     z P z   P z  

0.9987 0.0013 0.9974

  

(7)

7

[보기 6_6] 확률변수

x

^{가 평균}

  12.8

^{, 표준편차}

 

5.0인 정규분포를 따를 때 다음의 확률 을 구하여라.

(1)

P x (  12.0)

(2)

P x (  11.0)

(3)

P (13.1   x 15.5)

(풀이)

x

z 



 

^{의 표준화로부터} 12.0

x 

:

12.0 12.8 5.0 0.16

z    

^,

x 

11.0:

11.0 12.8 5.0 0.36

z    

13.1

x 

^:

^{13.1 12.8} 0.06

z  5.0  

^,

x 

15.5^:

^{15.5 12.8} 0.54 z  5.0  

(1)

P x (  12.0)  P z (   0.16)  P z (  0.16) 1 0.5636    0.4364

(2)

P x (  11.0)  P z (   0.36)  P z (  0.36)  0.6406

(3)

P (13.1   x 15.5)  P (0.06   z 0.54)  P z (  0.54)  P z (  0.06)

0.7054 0.5239 0.1815

  

※

z

^-분포:http://www.statdistributions.com/normal/

(1)

z 

0.16의 확률계산 방법 (a) [z-value] box에 0.16 입력 (b) [mean] box^{에 0 입력}

(c) [std dev:] box^{에 1 입력}

(d) [right tail]^선택

(2)

z 

0.36의 확률계산 방법 (a) [z-value] box에 0.36 입력 (b) [mean] box^{에 0 입력}

(d) [left tail]^선택

[보기 6_7] 어느 공정에서 생산되는 제품의 길이는 평균

370 mm

^{, 표준편차}

3mm

^{의 정규분포}

를 하고 있다. 이 제품의 길이가

376 mm

이상이 되는 확률을 구하여라.

(풀이)

376 370

3 2 z x 



 

  

( 376) ( 2) 1 ( 2) 1 0.9772 0.0228 P x   P z    P z    

[보기 6_8] 수행평가 시험은 평균이 330^{, 표준편차는}40인 정규분포를 이룬다고 한다. 380^이

(8)

8 상인 확률을 구하여라.

(풀이)

380 330

40 1.25 z x 



 

  

( 380) ( 1.25) 1 ( 1.25) 1 0.8944 0.1056 P x   P z    P z    

※

z

1.25

z 

의 확률계산 방법 (a) [z-value] box에 1.25 입력 (b) [mean] box에 0 입력 (c) [std dev:] box에 1 입력 (d) [right tail] 선택

[보기 6_9] 입사 시험에 합격할 체중은

50 ~ 74 kg

이다. 일반인의 평균 체중은

62 kg

^{, 표준편차}

는

8 kg

인 정규분포라고 할 때 일반인의 불합격할 확률을 구하여라.

(풀이)

50 62

8 1.5 z x 



 

   

^,

74 62

8 1.5

z 

 

합격할 확률:

P (50   x 74)  P ( 1.5    z 1.5)  P z (  1.5)  P z (   1.5) ( 1.5) [1 ( 1.5)] 2 ( 1.5) 1

P z P z P z

       

2(0.9332) 1 0.8664

  

불합격할 확률:

P x (  50)  P x (  74)  P z (   1.5)  P z (  1.5)

1 0.8664 0.1336

  

※

z

1.5

z

1.5

  

의 확률계산 방법 (a) [z-value] box에 1.5 입력 (b) [mean] box에 0 입력 (c) [std dev:] box에 1 입력 (d) [2- sided mean to z] 선택

만일 [two tails]를 선택하면 [p-value] box에 0.134가 나올 것이다. 구하는 답은 1-0.134=0.866 이다.

정규분포의 성질

(1)

x  

에서 좌우 대칭이다.

(2)

x    

^{에서 변곡점}

(9)

9

(3)

x

~

N

( ,

 

²)^{일 때 상수}

a b ,

에 대하여 다음이 성립한다.

2 2

~ ( , )

ax b  N a   b a 

(4) 서로 독립인 확률변수

x

_i가 정규분포

N (  

_i

,

_i²

)

^{을 따르면}

1 n

i i i

y a x b



  

로 계산된 확률변수

y

도 다음과 같은 정규분포를 따른다.

2 2

1 1

~ ( , )

n n

i i i i

i i

y N a  b a 

 

  

[보기 6_10] 어느 학생의 통계학 성적은

N

(80, 3 )² 을 따르고, 전산학의 성적은

(85, 42

N

)을 따른다고 할 때 두 과목의 성적의 합이 150점 이하의 확률은 얼마인가?

(풀이)

y   x

₁

x

₂

~ N (165, 5 )

²

150 165

5 3 z y 



 

   

( 150) ( 3) 1 ( 3) 0.001

P y   P z     P z  

※

z

(1)

z  

3의 확률은

z 

3과 같다.

(a) [z-value] box^{에 3 입력}

(b) [mean] box^{에 0 입력}

(d) [right tail]^선택

이산형 확률분포의 정규분포 근사

이산형 확률분포도 정규분포를 따르는 것이 일반적이다. 예로서 오전

9^{시부터 오후} 5시까지 하루 동안에 전화가 걸려오는 전화수가 380^,

표준편차가 25인 정규분포를 따르는 확률변수라 할 때, 어느 날 오 전 9^{시에서 오후}5시 까지 전화가 400회 이상 걸려올 확률은 연속 형 자료로 만든 후 계산한다. 즉 400^은399.5 ~ 400.5^{의 구간으로}

표시된다.

400회 보다 많은 확률은

400.5 380 25 0.82

z   

^,

( 0.82) 1 ( 0.82) 1 0.7939 0.2061

P z    P z    

[보기 6_11]

315g

들어가는 통조림을 제조할 때 표준편차는

2 g

인 정규분포를 따른다.

(10)

10

315g

^{미만의 것이}1000^{개 중에}3개만 되도록 하려면 통조림의 평균은 어느 정도로 하면 좋겠 는가?

(풀이)

3 ( ) 0.003 1 ( )

i

1000

i

P z  z     P z  z

( _i) 1 0.003 0.9970

P z  z   

z

i를 정규분포표에서 찾으면

z

_i

 

2.75

2.75 315 320.5

2  

    

Tables of the Normal Distribution

Probability Content from -00 to Z

Z | 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

----+--- 0.0 | 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 | 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 | 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 | 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 | 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 | 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 | 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 | 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 | 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 | 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 | 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 | 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 | 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 | 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 | 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 | 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 | 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 | 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 | 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 | 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 | 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 | 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 | 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 | 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 | 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 | 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 | 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 | 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 | 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 | 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 | 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

(11)

11 이항분포의 정규분포 근사

x

^{가 이항분포}

b x n p ( ; , )

인 확률변수라 할 때

n

이 충분히 크면

x

^{는 평균}

  np

^{, 분산}

2

npq

 

^{인 정규분포}

N np npq ( , )

에 근접한다. 이러한 경우 이항분포를 따르는 확률변수

x

^를

표준화하면

z x np npq

 

n  

의 분포는 극한분포로 표준정규분포

N (0,1)

^{을 갖는다.}

10

n 

인 이항분포를 생각하면

10 10

1 1

( ) ( ) ( )

2 2

x x

b x  C

x ^ ^가는

0

x 

^:

( 0) (1)( ) ( ) ¹

⁰

¹

¹⁰

0.0010

2 2

b x   

1

x 

:

1 1

⁹

( 1) (10)( )( ) 0.0098 b x   2 2 

2

x 

:

1

²

1

⁸

( 2) (45)( ) ( ) 0.0439

2 2

b x   

5

x 

:

10! 1

⁵

1

⁵

10 9 8 7 6 1

¹⁰

1

¹⁰

( 5) ( ) ( ) ( )( ) (252)( ) 0.2461

5! 5! 2 2 5 4 3 2 2 2

b x         

   

9

x 

:

1

⁹

1

¹

( 9) (10)( ) ( ) 0.0098

2 2

b x   

10

x 

^:

( 10) (1)( ) ( ) ¹

¹⁰

¹

⁰

0.0010

2 2

b x   

이것을 그래프로 그려보면 아래 그림처럼 정규분포의 형태를 따르며,

n

이 크면 클수록 더욱더 정 규분포에 가까워 진다.

이항분포는 이산형이므로 연속형인 정규분포로 바꾸려면 다음의 수정 수식을 적용한다.

(12)

12 이항분포의 정규근사 공식

( 0.5) ( 0.5)

( ; , ) [

x np x np

]

b x n p P z

npq npq

   

  

단,

n

^{이 크고}

p

^가0^나

1

에 가깝지 않을 때.

p

^가0에 가까우면 포아송분포를 적용한다.

포아송분포는

  

즉

x

z 



 

일 때 표준 정규분포에 접근한다.

[보기 6_12] 부품 5000개를 운반 도중에 파손하는 확률은 0.001이라 한다. 운반 후 부품 중에

2

^{개 이상}5개 이하의 불량을 포함하고 있을 확률을 구하여라.

(풀이)

n 

5000은 대단히 큰 수이므로 정규분포로 계산하면

(5000)(0.001) 5.0

  np  

^,

  npq 

(5000)(0.001)(0.999)



2.2349

~ (5, 2.2349 )2

x N

(2 5) (1.5 5.5)

P   x P   x 1.5 5

1.5 : 1.5660

2.2349

x  z    

^,

5.5 5

5.5 : 0.2237

2.2349

x  z   

( 1.566 0.224) ( 0.224) [1 ( 1.566)]

P    z  P z    P z  0.5887 (1 0.9413) 0.53

   

[보기 6_13] 혈액 암에 걸려 사망하는 확률이 0.4라 한다. 만일 이 병에 걸린 환자 100^{명을 임}

의로 추출하여 반수 이상이 사망할 확률을 구하여라.

(100)(0.4) 40

  np  

^,

  npq 

(40)(0.6)



4.90^:

x

~

N

(40, 4.90 )²

( 50) ( 50.5)

P x  P x 

^:

50.5 40

2.143 z 4.90 

 

( 50) ( 2.143) 1 0.9839 0.0161

P x  P z    

[보기 6_14] 어떤 백신의 효능은 0.9라 한다. 임의로 100명을 조사했을 때 (1) 면역성을 갖는 사람이 84^명에서95명 사이인 확률을 구하여라. (2) 면역성을 갖는 사람이 86명 이하일 확률을 구하여라.

(풀이)

  np  (100)(0.9)  90

^,

  npq 

(90)(0.1)



3:

x

~

N

(90, 3 )²

(1)

P (84   x 95) P (83.5   x 95.5) 83.5 90

2.167 z 3 

  

^,

95.5 90

1.833 z 3 

 

(84 95) ( 2.167 1.833) ( 1.833) [1 ( 2.167) P   x P    z  P z    P z 

0.9666 (1 0.9848) 0.9514

   

(2)

P x (  86) P x (  85.5)

(13)

13

85.5 90 3 1.50 z    

( 85) ( 1.50) ( 1.50) 1 0.9332 0.0668

P x  P z    P z    

6.4 지수분포(

Exponential Distribution

)

포아송분포는 이산분포로써 특정한 시간이나 공간에서 사건의 발생 수와 관련된 문제를 취급하는 데 반해, 지수분포는 연속분포로써 한 사건에서 다음 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간 간격(대 기 시간)에 관련이 있다. 평균 사건 발생건수가 단위 시간당 모수



인 포아송 분포라면 한 사건 이 일어난 후 다음 사건이 일어날 때까지의 시간은 평균이 1/



인 지수분포이다. 제품의 수명시 간, 상점에서 고객이 한 사람 나간 후에 새로운 고객이 들어올 때까지의 시간, 은행창구 직원의 고객당 서비스 시간과 같이 발생시간을 확률변수로 정의하면 이 발생시간의 분포는 지수분포를 따른다.

지수분포의 확률밀도 함수

( ) ^x, 0, 0

f x   e

^^

x   

지수분포는 감마분포의 특수한 경우로

 

1인 감마밀도 함수이다.

지수분포의 성질 (1) 평균:

1 ( ) E x ^ 

(2) 분산:

2

( ) 1 Var x

 

(3) 분포의 최빈값은 0^이고

x

가 증가하면 함수는 감소하고 오른쪽으로 비대칭.

누적분포 지수함수(Cumulative Exponential Distribution Function⁾ ( ) 1 ^x, 0

F x   e

^^

   x

[보기 6_15] 전자제품 회사가 부품의 보증기간을 결정하고자 한다. 조사결과 부품의 수명 기간인

x

^는

 

0.15인 지수분포를 따른다고 한다.

(1)

x

에 대한 평균과 표준편차를 구하여라.

(2) 만일 보증 기간이 5년 이라면 수명이 5년 이상일 확률은 얼마인가?

(3) 부품의 수명이 구간

  2 

^에서

  2 

사이의 구간에 있을 확률을 구하여라.

(풀이) (1)

1 1 0.15 6.67

 ^{ }  ^

^,

2 2

1 1

  6.67

 

   

(2) ₅ ^(0.15)(5) ^0.75

( 5) 5 ^x [ ^x] 0.4724

P x   

^

 e

^^

dx   e

^^ ^

 e

^

 e

^



(3)

P (   2     x  2 )   P ( 6.67    x 20.01)  P (0   x 20.01)

(14)

14

x

^{는 항상}

x 

0이어야 한다.

20.01

20.01 0 0

(0 20.01) ^x [ ^x]

P   x    e

^^

dx   e

^^

(0.15)(20.01) 3.00

1 e

^

1 e

^

1 0.0498 0.9502

      

[보기 6_16] 모 회사의 전기밥솥은 평균수명이 3년이나, 품질의 보증기간은

1

년으로 하고 있다.

보증기간

1

년 이내에 고장이 날 확률을 구하여라.

(풀이)

1 3 0.333

      3

1 1 (0.333)(1)

0 0

( 1) [ ^x] 1 1 0.7165 0.2834

P x     e dx

^^

  e

^^

  e

^

  

[보기 6_17] 어떤 전구의 수명시간

x

가 평균 수명이 1000시간인 지수분포를 따른다고 한다. 이 때 100시간 이내에 고장이 날 확률을 구하여라.

(풀이) 1

1000 0.001

 

    

100 100 (0.001)(100) 0.1

0 0

( 100) [ ^x] 1 1 0.0952

P x     e dx

^^

  e

^^

  e

^

  e

^



6.5 감마분포

감마분포는



회의 사건이 발생할 때까지 소요되는 시간의 분포이며

x ~ ( , )  

^{로 표기된다.}

감마분포의 확률밀도 함수

1 1

( ) ( ) ( 1)!

x x

f x x e x e

 

   

 

 

   

 

 

^,

^x ^,   ^,  ⁰

감마함수의 정의: ¹

( )



0^

x

^^{ }

e dx

^x

  

0 0

(1) ^{ }

e dx

^x [

e

^^x]^ 1

     

0 0

(2) ^

x e dx

^^x [

xe

^^x]^ ^(

e

^^x)

dx

[

e

^^x]^ 1

         

※ 부분적분:

u  x

^,

dv  e dx

^^x

 v   e

^^x

2 2

0 0

(3) ^

x e dx

^^x [

x e

^^x]^ ^(2 )(

x e

^^x)

dx

2 [

e

^^x]^ 2!

          

3 3 2

0 0

(4) ^

x e dx

^^x [

x e

^^x]^ ^(3 )(

x e

^^x)

dx

3 2 [

e

^^x]^ 3!

           

( )  (  1)! (  1) (  1)

       (  1)    ! ( )

    

1 2 0

( )1 2

x e dx

x



  

   

(15)

15 감마분포의 성질

(1) 평균:

E x ( )  

(2) 분산:

Var x

( )

 

²

(3)

 

1일 때는 지수분포.

 

1로 커지면 대칭을 이루며 최빈수는

(   1) / 

^{가 된다.}

(4)

 

1인 경우 역 J모양의 형태를 취한다.

연습 문제

1. 통조림의 무게는 평균이

  240g

^{, 표준편차는}

  6 g

의 정규분포를 따른다. 하나의 통조림 을 임의로 뽑았을 때 다음의 확률을 구하여라.

(1)

250 g

^이상

(2)

238g

^이하

(3)

235 ~ 245g

2. 확률변수

x

가 구간 [234, 272]에서 균등분포를 따를 때

P (250   x 260)

의 확률을 구하라.

3. 이항분포

b x n p ( ; , )

^에서

n 

100,

p  1/ 5

^{일 때}

(1) 정규분포에 근사하는 수식을 써라.

(2)

P x (  25)

일 확률을 구하여라.

(3)

P (18   x 22)

일 확률을 구하여라.

4. 버스가 10분 간격으로 도착한다. 도착 시간간격은 지수분포를 따른다고 할 때 (1) 버스가 도착한 후 다음 버스가 5분 이내에 도착할 확률.

(2) 다음 버스가 15분 이내에 도착할 확률.

(3) 다음 버스를 기다리는 시간이 8 ~ 12분 사이일 확률을 각각 구하여라.

5. 어떤 제품이

A B ,

두 부품을 붙여서 용접하여 만들어 진다.

A

^{의 길이는}

N

(12cm, 4cm )² ,

B

^{의 길이는}

N

(30cm, 9cm )² 의 분포를 하고 있음을 알고 있다.

A B ,

^{의 두}lot로부터 각각 임 의로 한 개씩 취하여 용접해 제품을 만들었을 때 제조 길이의 평균과 분산을 구하여라.

6.어느 시험에 응시자가 3200명이 지원하여 응시한 결과 평균이 54점이고 분산이 25이라 한다.

평균이 60점 이상이면 합격하는 데 합격자 수는 얼마인가?

7. 어느 제품의 측정치가 정규분포

N

(135,8 )² 을 따른다고 한다. 제품이130 ~ 140^{사이에 있을}

확률을 구하여라.

8. 어떤 제품의 강도가 평균 80파운드이고 분산이 16파운드인 정규분포를 따른다고 할 때 다음의 물음에 답하여라.

(16)

16

(1) 이 제품의 강도를 78파운드에 상당하는 물체로 유지한다고 한다. 이때 실패할 확률.

(2) 위의 (1)에서 제품의 강도를 10번 할 경우에 2번 이상 실패할 확률.

(3) 강도가 우수한 10%를

A

등급으로 판매하고자 한다면

A

등급의 제품은 강도를 얼마 이상 하 여야 하는가?

9. 형광등의 수명은 1200시간의 지수분포를 따른다.

(1) 어떤 형광등이 1500시간 이상 수명을 유지할 확률

(2) 100개의 형광등을 선택하여 5^{개 이상이}1800시간 이상 수명을 유지할 확률.

(3) 위 (2)의 확률을 Poisson분포로 근사하여 구하고자 한다. 확률을 구하여라.

(4) 위 (2)의 확률을 정규분포로 근사하여 구할 수 있는가? 만일 구할 수 있다면 그 확률을 구하 여라.