(1)급수

전체 글

(1)급수. 나뭇가지, 구름, 번개, 해안선의 모양 등은 언뜻 보기에는 불규칙한 모양으로 보이지 만 그 모양 속에서 신비로운 규칙을 발견할 수도 있다. 즉, 작은 부분이 전체와 비슷한 형태로 나타나는 것이다. 이런 특징을 가진 구조를 프랙털 GSBDUBM 구조라고 하고, 이 러한 프랙털 구조를 이해하는 데에는 급수가 활용된다. 출처 남현우 외 17인, 『숫자와 과학 쉬운 이야기』. 준비 학습 ●수열의 합 자신 있음 복습 필요. 1 다음을 구하시오. O. ⑴ L L O. ⑶ L L L

(2) . ●등비수열의 극한. 28 │Ⅰ. 수열의 극한. L O. ⑷ . L. L

(3)

(4) L

(5) . 2 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.. 자신 있음 복습 필요. O. ⑵ L. O. ⑴ \O^. ⑵ <[Å] =. ⑶ \ O^. ⑷ <[Å] =. O.

(6) 급수 학습 목표 •급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다.. 개념. 1. ɰᙿᮿᙿಛţႃᔗᯛ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 오른쪽 그림과 같이 넓이가 인 직각이등변삼각형 모양의 종이를 반을 잘라 내고 다시 남은 부분의 반을 잘라 내는 과정을 한없이 반복할 때, 물음에 답해 보자.. U. 1. 잘라 낸 삼각형의 넓이를 크기순으로 각각 구해 보자.. 2. 위의 그림을 보고, 잘라 낸 삼각형의 넓이의 총합은 어떤 값에 가까워질지 추측해 측해 보자. 보자 자.. 수열 \BO^의 각 항을 덧셈 기호

(7) 로 연결한 식 B

(8) B

(9) B

(10) U

(11) BO

(12) U b. 을 급수라고 하고, 기호 를 사용하여 BO과 같이 나타낸다. O. 4B 4B

(13) B 4B

(14) B

(15) B ⋮ 4OB

(16) B

(17) B

(18) U

(19) BO. b. 또, 급수 BO에서 첫째항부터 제 O 항까지의 합 4O, 즉 O. O. 4OB

(20) B

(21) B

(22) U

(23) BO BL L. 를 이 급수의 제 O 항까지의 부분합이라고 한다. b. 급수 BO의 부분합으로 이루어진 수열 \4O^이 일정한 값 4에 수렴할 때, 즉 O. O. MJN 4OMJN BL4. OAZb. 수열 \BO^의 수렴, 발산은 MJN BO을 조사하는 것이고,. OAZb. OAZb L. b. 이면 급수 BO은 4에 수렴한다고 한다. O. b. 급수 BO의 수렴, 발산은 O. MJN 4O을 조사하는 것이다.. OAZb. 이때 4를 이 급수의 합이라고 하며, 이것을 B

(24) B

(25) B

(26) U

(27) BO

(28) U 4. 또는. b. BO4. O. 와 같이 나타낸다.. 2. 급수 │. 29.

(29) b. 한편, 부분합의 수열 \4O^이 발산할 때, 급수 BO은 발산한다고 하며 발산하는 O. 급수에 대해서는 그 합을 생각하지 않는다.. ⑴ 급수

(30)

(31)

(32) U

(33) O

(34) U의 제 O 항까지의 부분합을 4O이라고 하면. 보기. 배웠어요!. 수I. 4O. 등차수열의 합 첫째항이 B, 공차가 E인 등차수열의 제 O 항까지 의 합 4O은. 이때 MJN 4OMJN O O

(35) b이므로 주어진 급수는 발산한다. OAZb. O. Å<[Å] =. 등비수열의 합 첫째항이 B, 공비가 S S

(36) 인 등비수열의 제 O 항까지의 합 4O은. Å 이때 MJN 4OMJN Å<[Å]OA=Å이므로 주어진 급수는 Å에 수렴한다. OAZb. B S. S. 1. Å<[Å]OA=. 4O. O. 예제. OAZb. ⑵ 급수 Å

(37) [Å]A

(38) [Å]A

(39) U

(40) [Å]OA

(41) U의 제 O 항까지의 부분합을 4O이라고 하면. O\B

(42) O E^ 4O . 4O. O\@

(43) O @^ O O

(44) . . OAZb. 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오. b. ⑴ . O. 풀이. O O

(45) . b. ⑵ O

(46) O. O. ⑴ 주어진 급수의 제 O 항까지의 부분합을 4O이라고 하면 O. [ ] "# #" " #. 4O . L. ("

(47) #)임을 이용한다.. O ] [ L L

(48) L L L

(49) . [Å]

(50) [ÅÅ]

(51) [ÅÅ]

(52) U

(53) [. ] O O

(54) O

(55) . 이므로 MJN 4OMJN [. OAZb. OAZb. ] O

(56) . 따라서 주어진 급수는 에 수렴한다. ⑵ 주어진 급수의 제 O 항까지의 부분합을 4O이라고 하면 O. 4O L

(57) L. L.

(58)

(59) U

(60) O

(61) O O

(62) 이므로 MJN 4OMJN O

(63) b. OAZb. OAZb. ⑴ 수렴, ⑵ 발산. 따라서 주어진 급수는 발산한다.. 문제. 1. 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오. b. O O

(64) O

(65) . ⑴ . 30 │Ⅰ. 수열의 극한. b. ⑵ . O. O

(66)

(67) O.

(68) 개념. 2. ɰᙿᪧᙿᩛᮿɠ⧃yᔓᯛᨷ‫ۻ‬ᨛ਋ŧīgᯯ᮫ʳ" b. 급수 BO의 수렴, 발산과 수열의 극한값 MJN BO 사이의 관계를 알아보자. OAZb. O. b. 급수 BO이 4에 수렴할 때, 제 O 항까지의 부분합을 4O이라고 하면 O. MJN 4O4, MJN 4O4. 수열 \BO^이 수렴하면. OAZb. MJN BOMJN BO O Zb. OAZb. O Zb. 이고, BO4O4O Oy 이므로 MJN BOAMJN 4O4O A. OAZb. OAZb. MJN 4OMJN 4OA OAZb. OAZb. 44 b. 이다. 따라서 급수 BO이 수렴하면 MJN BO이다. OAZb. O. b. 또, 이 명제의 대우 ‘MJN BO

(69) 이면 급수 BO은 발산한다.’도 성립한다. OAZb. O. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 급수와 수열의 극한값 사이의 관계 b. 2를 이용하면 MJN 4O을 구하지 않고도 O Zb. 급수의 발산을 판별할 수 있다.. BO이 수렴하면 MJN BO이다. 1. 급수 O OAZb b. MJN BO

(70) 이면 급수 BO은 발산한다. 2. OAZb O. 한편, 위의 1에서 역은 일반적으로 성립하지 않는다. b. 예를 들어 급수 . O. MJN. OAZb. 에서 O

(71)

(72) O. O

(73)

(74) O. 이지만, 제 O 항까지의 부분합을 4O이라고 할 때, O. O L

(75) L. L L

(76)

(77) L L. 4O . O

(78) 이므로 MJN 4OMJN O

(79) b. OAZb. OAZb. b. 이다. 즉, MJN BO이라고 해서 급수 BO이 반드시 수렴하는 것은 아니다. OAZb. O. 2. 급수 │. 31.

(80) 예제. b. 2. O 이 발산함을 보이시오. O. 급수 . O. b. 풀이. 급수 O. O O 의 제 O 항을 BO이라고 하면 BO 이므로 O O. MJN BOMJN. OAZb. OAZb. O MJN O OAZb. . Å. MÅ. 따라서 MJN BO

(81) 이므로 이 급수는 발산한다. OAZb. 문제. 2. 다음 급수가 발산함을 보이시오.. O O O

(82) . b. b. O O O

(83) . ⑴ . ⑵ . . 수열의 극한에 대한 기본 성질로부터 급수에서도 다음 성질이 성립함을 알 수 있다. 급수의 성질 b. b. O. O. 급수 BO, CO이 각각 수렴하면 b. b. DBOD BO 단, D는 상수. 1. O O b. b. b. b. b. b. BO

(84) CO BO

(85) CO 2. O O O BOCO BO CO 3. O O O. b. b. BO,A CO일 때,. 보기. O. O. b. b. b. b. b. O. O. O. O. O. BOCO BO CO BO CO@. 문제. 3. b. b. O. O. BO, CO일 때, 다음 급수의 합을 구하시오. b. ⑴ BO

(86) CO. O. 32 │Ⅰ. 수열의 극한. b. ⑵ BOCO. O.

(87) 공학 도구. 수학 들여다 보기. b. O. ɰᙿ . O. 개념 탐구 하. ᮧᙿಛ⧇ʳ"ႃᔗ⧇ʳ". 중. 상. 난이도. b. 급수 O의 수렴, 발산에 대해서는 옛 수학자들 사이에서도 논란이 있었다고 한다. O. b. 이 단원을 배우면 MJ . O

(88) .

(89) 이므로 이므 이므로 이므 로 급수 수 O이 발산함을 발산함 발산 산함 쉽게 알 수 MMJN JN OAZ ZAb b. O . b. 있다. 그러나 급수에 대한 이론이 정립되기 이전에는 급수 O의 수렴, 발산을 판별 O. 하는 데 어려움이 있었다고 한다.. 그랜디 (Grandi, G., 1671~1742). ೠⷽᶹᏆṄ᦬₥ሼⷨጄ b. O

(90)

(91) U O. ᑐწ ‫ڙ‬᪨ତṠ᪨Ⴤⷨ≐ἤ. ‫ڙ‬᪨Ῠ≭᪨ⷽۜ≐Ῠᘐᘔⷹῐ

(92)

(93) U

(94) հ ⻐᪨ⷽۜ≐Ῠᘐᘔⷹῐ

(95)

(96) U

(97) ᑐწ b O ῨҢῐೠⷹῨⱙٰ Å―୘୴ O 라이프니츠 (Leibniz, G. W., 1646 ~1716). b. 이처럼 수학자들 사이에서도 급수 O의 수렴, 발산에 대해서는 의견이 분분했었다. O. 급수를 다루는 방법은 많은 노력 끝에 세기 말에 이르러서야 정립되었다.. 출처 •K. Devlin, 『수학: 양식의 과학』, 허민, 오혜영 역. •박세희, 『수학의 세계』. 2. 급수 │. 33.

(98) 등비급수 학습 목표 •등비급수의 뜻을 알고, 그 합을 구할 수 있다. •등비급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.. 1. 개념. क़ካɰᙿᮿᙿಛţႃᔗᯛ௧ྛᨮᯣʳ". 탐구하기 등비수열의 극한처럼 공비 S의 값에 따라 수렴, 발산이 정해질까?. 등비수열 \BO^, \CO^의 일반항이 각각 아래와 같을 때, 물음에 답해 보자.. 1. O. 4O BL라고 할 때, 수열 \4O^의 수렴, 발산을 산을 조사해 L. 보자.. 2. O. 5O CL라고 할 때, 수열 \5O^의 수렴, L. O. BO[Å]. 발산을 조사해 보자.. COO. 첫째항이 B, 공비가 S인 등비수열 \BSO^의 각 항을 덧셈 기호

(99) 로 연결한 급수 b. BSOB

(100) BS

(101) BS

(102) U

(103) BSO

(104) U. O. 을 첫째항이 B, 공비가 S인 등비급수라고 한다. b. 등비급수 BSO B

(105) 의 수렴, 발산을 알아보자. O. b. 등비급수 BSO의 제 O 항까지의 부분합 4O은 O. 4OB

(106) BS

(107) BS

(108) U

(109) BSO 에서 S

(110) 일 때, 4O. B SO. S. S일 때, 4OB

(111) B

(112) B

(113) U

(114) BOB b. 이므로 수열 \4O^의 수렴과 발산, 즉 등비급수 BSO B

(115) 의 수렴과 발산은 O. S의 값에 따라 다음과 같이 결정된다.. 34 │Ⅰ. 수열의 극한.

(116) ] ]S]일 S] 일 때 MJN SO이므로. OAZb. MJN 4OMJN. OAZb. OAZb. B SO. B S S. b. 이다. 따라서 BSO은 O. MJN BO

(117) 이면 급수 ● OAZAb. B 에 수렴 수렴한다. 렴한 S S. ]S ]S]y일 S]y일 때 b. b. MJN BSO

(118) 이므로 BSO은 발산 발산한다. 산. BO은 발산한다. O. OAZb. O. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 등비급수의 수렴과 발산 B일 때 b. 첫째항이 B B

(119) 이고 공비가 S인 등비급수. O. BS. b.

(120)

(121)

(122) U. BSOB

(123) BS

(124) BS

(125) U

(126) BSO

(127) U은. O. O. b. 이므로 급수 BSO은. B 1. ]S]일 때, 수렴하고 그 합은 S 이다.. O. 에 수렴한다.. 2. ]S]y일 때, 발산한다. b. 참고. 등비급수 BSO은 B 또는 ]S]일 때 수렴한다. O. 예제. 1. 다음 등비급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.. ⑴

(128) Å

(129). 풀이.

(130)

(131) U . ⑵

(132)

(133) U. ⑴ 주어진 등비급수는 첫째항이 , 공비가 Å이다. 이때 \Å\이므로 이 등비급수는 수렴하고, 그 합은 . Ä. Å ⑵ 주어진 등비급수는 첫째항이 , 공비가 이다. 이때 ]]y이므로 이 등비급수는 발산한다. ⑴ 수렴, ⑵ 발산. 2. 급수 │. 35.

(134) 문제. 1. 다음 등비급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.. ⑴ Å

(135) tÅ

(136) U. ⑵

(137)

(138)

(139)

(140) U. b. b. ⑷

(141) O. ⑶ [Ä]OA O. 문제. 2. O. 다음 등비급수가 수렴하도록 실수 Y의 값의 범위를 정하시오.. Y

(142) YY

(143) U

(144) Y O

(145) U. 급수의 성질을 이용하여 여러 가지 급수의 합을 구할 수 있다.. 예제. 2. O O b 급수

(146) 의 합을 구하시오. O O . 풀이 b. O. b. O. O. b. b. 두 등비급수 [Ä] , []OA이 각각 수렴하므로. [] , [] 에서 O. O O O

(147) O [Ä]

(148) [] 이고, O. O. O. O. O O b O

(149) O <[Ä]

(150) [] = O O O b. \\, \\이므로 두 등비급수는 각각 수렴 한다.. O. b. b. O. [Ä]

(151) [] A O. O. Ä .

(152). Ä. . Ä

(153) tt tt. 문제. 3. 다음 급수의 합을 구하시오. b. ⑴ . O. 36 │Ⅰ. 수열의 극한. O O. O

(154) O O O b. ⑵ .

(155) 2. 개념. क़ካɰᙿ‫ۻ‬ᨛਢó⫃ᬐࢇʳ" 등비급수를 활용하면 동일한 모양이 한없이 반복되는 도형 문제를 해결할 수 있다.. 예제. 3. ". 오른쪽 그림과 같이 넓이가 인 삼각형 "#$의 각 변의 중점을 이어서 삼각형 "#$을 만든다. 또, 삼각형 "#$의 각 변의 중점을 이어서 삼. "m #f U #m "f $m. $. $f. 각형 "#$를 만든다. 이와 같은 과정을 한없 이 반복한다고 할 때, 삼각형 "# $ , 삼각형 "#$, 삼각형 "#$, U의 넓이의 합을 구. #. #. $. ". 하시오.. 풀이. 삼각형 "#$와 삼각형 "#$에서 . "#Å@"#, #$Å@#$, $"Å@$". 이므로 삼각형 "#$과 삼각형 "#$는 닮음비가 : 인 닮은 삼각형이다. 마찬가지로 삼각형 "#$와 삼각형 "#$, 삼각형 "#$과 삼각형 "#$, U, 삼각형 "O

(156) #O

(157) $O

(158) 과 삼각형 "O#O$O은 닮음비가 : 인 닮은 삼각형이므로 삼각형 "O#O$O의 넓이를 BO이라고 하면 닮음비가 : 인 두 도형 의 넓이의 비는 : 이다.. B@ÅÅ BÅB[Å]A. . U. BÅB[Å]A. 따라서 구하는 넓이의 합은 Å . Å

(159) [Å]A

(160) [Å]A

(161) U. Å. Å. Å. 문제. 4. . 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 "#$% 의 각 변의 중점을 이어서 정사각형 "#$%을 만든다. 또, 정사각형 " # $ % 의 각 변의 중점을 이어서 정사각형 "#$%를 만든다. 이와 같은 과정을 한없이 반복한다고 할 때, 정사각형 "#$%, 정사각형 "#$%, 정사각형. %. ". ". "#$%, U의 둘레의 길이의 합을 구하시오. #. %. "m. %f. %m. "f. U. $f. #m. #f. $m. #. $. $. 2. 급수 │. 37.

(162) 배웠어요!. 중3. 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 "#$가 있. U. 5. #f #m. 다. "#, "$의 중점을 각각 #, $이라고 하고, "#, "$의 중점을 각각 #, $라고 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복한. ". U. 문제. $f $m $. #. 다고 할 때, $#

(163) #$

(164) $#

(165) #$

(166) $#

(167) #$

(168) U B. I. 의 값을 구하시오.. #. $. . 한 변의 길이가 B인 정삼 각형의 높이 I는 I. B . 빨간 선분의 길이의 합과 파란 선분의 길이의 합을 각각 구해 보면 ….. 문제 해결. 생각과 표현. 추론. 창의・융합. 등비급수를 이용하여 순환소수 .(를 분수로 나타내 보고, 그 과정을 친구들에게 설명해 보자.. ↡ⷩ‫נ‬ොᓀὄᒹᔥῌწन⥐ॄᖄ† ↡ⷩ ⷩ ὄ ᒹᔥ ᒹ Y.Uဌհⷨጄ YU. UUИ. YU. UUЙ. ИṠ᦬Й῔ᜌጄ Y. වဌ᦬Y!Å>. 38 │Ⅰ. 수열의 극한. ୸ὠṠ᦬ᓀὄॄἹ῔ Ἱ⸄ᖄ† ὄ Ἱ῔ ῔ Ἱ Ἱ .(.

(169) .

(170) .

(171) U ᑐწ. 의사소통.

(172) 공학 도구. 수학 들여다 보기. 개념 탐구 하. ࠫ⩼ᮣೃᦳᦫᅛ‫ۻ‬ɰᙿᮿ⧐. 중. 상. 난이도. 도형을 이용하여 급수를 표현하면 급수의 합을 보다 직관적으로 확인할 수 있다. 여러 가지 급수의 합을 도형으로 확인해 보자.. 활동 ❶. Å

(173) [Å]A

(174) [Å]A

(175) UÅ 확인하기 f [] . f [] m [] . m [] . . 활동 ❷. 첫째항이 양수 B이고 공비가 S인 등비급수의 합 ". B. B S 확인하기 S. # S $. S %. 위의 그림에서 따라서. 탐구. B. S BS. "%&v $#"이므로. S BS. & BS U. %& #" 이다. "% $#. B

(176) BS

(177) BS

(178) BS

(179) U B 가 성립한다. S. 넓이가 인 정사각형을 다음과 같이 나눌 때, 다음 도형이 나타내는 급수와 그 합이 무엇인지 설명해 보자.. ⑴. ⑵. 출처 클라우디 알시나, 로저 넬센, 『눈으로 보며 이해하는 아름다운 수학』, 권창욱 역. 2. 급수 │. 39.

(180) 자신감을 키우는. 급수. 바탕 다지기 1 급수의 수렴과 발산 b. 급수 BO의 제 O 항까지의 부분합을 4O이라고 할 때. 01. 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.. O. b. ⑴ 수열 \4O^이 수렴하면 급수 BO은 수렴한다.. b. ⑴ . O. O. b. ⑵ 수열 \4O^이 발산하면 급수 BO은 발산한다.. O O

(181) . b. O. ⑵ O

(182) O

(183) . O. 2 급수와 수열의 극한값 사이의 관계 b. ⑴ 급수 BO이 수렴하면 MJN BO이다. OAZb. O. b. ⑵ MJN BO

(184) 이면 급수 BO은 발산한다. OAZb. 02. 다음 급수가 발산함을 보이시오.. O. b. ⑴ . O. O O

(185) . b. ⑵ O. O. 3 급수의 성질 b. b. O. O. 급수 BO, CO이 각각 수렴하면 b. b. O. O. 03. ⑴ DBOD BO (단, D는 상수) b. b. b. O. O. O. b. b. b. O. O. O. b. b. O. O. BO, CO일 때, 다음 급수의 합을 구. 하시오.. ⑵ BO

(186) CO BO

(187) CO. b. ⑴ BO

(188) CO. ⑶ BOCO BO CO. O. b. ⑵ BOCO. O. 4 등비급수의 수렴과 발산. 첫째항이 B B

(189) 이고 공비가 S인 등비급수 b. BSOB

(190) BS

(191) BS

(192) U

(193) BSO

(194) U은. 04. 다음 등비급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하 면 그 합을 구하시오.. O. ⑴ ]S]일 때, 수렴하고 그 합은 ⑵ ]S]y일 때, 발산한다.. 40 │Ⅰ. 수열의 극한. B 이다. S. ⑴

(195) Å

(196)

(197)

(198) U ⑵

(199)

(200)

(201) U.

(202) 정답 및 해설 177쪽. 09. 기본 익히기. 공비가 Å인 등비수열 \BO^에 대하여 b. 05. 수열 \BO^의 첫째항부터 제 O 항까지의 합 4O이 4O. 06. BO일 때, 첫째항 B의 값을 구하시오.. O. b O 일 때, 급수 BO의 합을 구하시오. O

(203) O. b. O O ]

(204) [ ] =의 합을 구하시오. . 10. 급수 <[. 11. 낙하한 거리의. O. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 \BO^에 대 b. 하여 급수 [ O. ]의 합을 구하시오. BO BO

(205) . 만큼 튀어 . 오르는 공을 지상 N 높. 07. 수열 \BO^에 대하여 급수. 이의 지점에서 수직으로 떨. [B ]

(206) [B ]

(207) [B ]

(208) U . 어뜨렸다. 이 공이 상하운동. O ]

(209) U

(210) [BO O. 움직인 거리의 극한값을 구. AN. 을 계속한다고 할 때, 공이 하시오.. 이 수렴할 때, MJN BO의 값을 구하시오. OAZb. 08. BO

(211) 가 수렴할 때, 이 급수 O O

(212) O

(213) . b. 급수 . 의 합을 구하시오. (단, B는 상수). 12. b. 등비급수 [!Y]OAA이 수렴하기 위한 정수 Y의 O. 개수를 구하시오.. 확인 학습 문제 │. 41.

(214) 자신감을 키우는. 13. 정답 및 해설 178쪽. 다음 그림은 높이가 인 직각이등변삼각형 ". 15. 이차함수 ZY

(215) Y의 그래프가 Y축과 만. 에서 시작하여 각 변의 길이를 반으로 줄인 직각. 나는 두 점의 Y좌표를 각각 =, >라고 할 때, 급. 이등변삼각형을 계속 그려 나간 것이다. 직각이. b O 수 [

(216) ] 의 합을 구하시오. > O =. b. 등변삼각형 "O의 넓이를 BO이라고 할 때, BO O. 의 값을 구하시오.. "m. ". "f "e. U 생각 톡!톡!. 16. 실력 키우기. \BO^이 등비수열일 때, 가인이와 찬열이가 한 말이 맞는지 확인해 보자.. 14. Z. 오른쪽 그림과 같이 좌. "f. 표평면 위의 점 "O이 0",. "e. "m. U. b. ඁᛔ‫ڙ‬᪨ BO ᪨Ⴤⷨጄ. "s. O. b. BO౔᪨Ⴤⷬ୴. ""!, " Y. 0. . O. ""[!] , . . ""[!] , ""[!] , U 을 만족시킬 때, 점 "O의 좌표의 극한을 구하는 과정이다. ㈎, ㈏에 알맞은 수를 써넣으시오. 점 "O의 좌표를 YO, ZO 이라고 하면 Y0" , YY,. b. . YY"" [!] , YY, . . [!]

(217) [!] , U YY

(218) "" 즉, MJN YO ㈎ OAZb. 마찬가지 방법으로 MJN ZO ㈏ OAZb. 따라서 점 "O의 좌표의 극한은 ㈎ , ㈏ 이다.. 42 │Ⅰ. 수열의 극한. ඁᛔ‫ڙ‬᪨ BO ᒬ᥀ⷨጄ O. b. BO౔ᒬ᥀ⷬ୴. O.

(219) ●코흐 눈송이와 수열의 극한. 생각을 넓히는 수학. 창의. 융합. 다음은 수진이네 모둠이 코흐 눈송이의 둘레의 길이와 넓이를 조사하여 발표한 자료이다.. 코흐눈송이란? 스웨덴의 수학자 코흐 WPO,PDI ) _ 의 이름을 딴 도형으로 다음과 같이 그린다. 0 단계. ① 정삼각형을 그린다.. 코흐 눈송이의 둘레의 길이는 어떻게 변할까? 0 단계. 에서 도형의 둘레의 길이를 B라고 하면. O 단계. 에서 도형의 둘레의 길이는 B@[]OA이므로 MJN B[]OAb. OAZb. 1 단계. ② 정삼각형의 각 변을 삼등분 하여 가운데 부분 위에 그것 을 한 변으로 하는 정삼각형 을 그린 후, 가운데 부분을 지운다.. 2 단계. ③ 그려진 도형의 각 변에 대하 여 ②의 과정을 반복한다.. 코흐 눈송이의 넓이는 어떻게 변할까? 0 단계. 에서 도형의 넓이를 4라고 하면. O 단계. 에서 추가되는 도형의 넓이는 @[]OA4이므로 4

(220) @4

(221) @[]A4

(222) U 4. ④ 이와 같은 과정을 계속 반 복하면 코흐 눈송이가 만들 어진다.. 코흐 눈송이의 넓이는 유한하지만 둘레의 길이는 무한하다. 출처 이정례, 『수학의 오솔길』. 탐구. 수열의 극한을 이용하는 다른 도형을 조사하여 발표해 보자.. 생각을 넓히는 수학 │. 43.

(223) 실력을 쌓는. 01. I . 수열의 극한. 다음 수열의 수렴과 발산에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?. 05. 두 등차수열 \BO^, \CO^의 공차가 각각 , 일 CO 때, MJN 의 값은? OAZb BO

(224) CO. O. ① 수열 <[] =은 수렴한다.. ① Å. ② !. ④ . ⑤ . ③ . ② 수열 \

(225) O^은 발산한다. ③ 수열 <[. O ] =은 발산한다. . O =은 수렴한다. O

(226) O ⑤ 수열 \OO^은 발산한다. ④ 수열 <. 02. . 두 수열 \BO^, \CO^의 일반항이 각각 BO. O

(227) , CO O O. 일 때, MJN BO BOCO 의 값은?. 06. 03. ② . ④ . ⑤ . SO

(228) =이 수렴할 때, 다음 중 그 극한 SO

(229) . 값이 될 수 없는 것은? (단, S는 상수). OAZb. ①. 수열 <. ③ . ① . ② . ④ !. ⑤ !. ③. BOCO

(230) 가 성립하도록 상수 B, C O

(231) OAZb MJN. 의 값을 정할 때, B

(232) C의 값은?. ① . ② . ④ . ⑤ . ③ . 07 04. MJN ÃO

(233) BO

(234) >ÃOBO

(235) > 일 때,. OAZb. 상수 B의 값은?. ①. ②. ④. ⑤. 44 │Ⅰ. 수열의 극한. 수열 \BO^의 첫째항부터 제O항까지의 합 4O이 B 4OO일 때, MJN O O 의 값은? OAZb . ① Å. ② !. ④ . ⑤. ③. ③ .

(236) 정답 및 해설 178쪽. 08. 수열 \BO^이 모든 자연수 O에 대하여 B ]BOO]을 만족시킬 때, MJN O 의 값은? OAZb O. 11. b. b. O. O. 등비수열 \BO^에 대하여 BO, BO b. 일 때, BO의 값을 구하시오. O. ① >. ② . ④. ⑤. ③. 12 09. b. 수열 \BO^에 대하여 BO 일 때, O. O

(237) 의 값은? MJN OAZb OBO

(238) . ① Å. ② Å. ④ Å. ⑤ Å. 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.. ② . ④. ⑤ y. b. ㄱ. 급수 BO이 수렴하면 수열 \BO^은 O. 수렴한다.. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 0" # $ 의 내부에 점 0를 중심으로 하고 0"을 반지름으로 하는 사분원을 그린 후, 그. b. 급수 . O b. 은 수렴한다. BO b. ㄷ. 급수 BO, CO이 각각 수렴하면 O. O b. b. 다. 이와 같은 과정을 한없이 반복한다고 할 때, 색칠한 부분의 넓이의 합을 구하시오.. "e. "f "m. BOCO BO@ CO이다. O. $e $f. 0. $m. $. U. ㄴ. 수열 \BO^이 양의 무한대로 발산하면. O. ③ . 사분원에 내접하는 정사각형 0"#$를 그린. 보기. b. ① . ③ Å. 13 10.

(239)

(240)

(241) U

(242) O 의 합은? O O b. 급수 . #e #f #m. O. ". #. 마무리 문제 │. 45.

(243) 서술. 실력을 쌓는. 정답 및 해설 180쪽. 형. 14. O이 자연수일 때, 이차방정식. 문제 해결. YY

(244) OÃO

(245) O>의 두 근을 =O, >O이 라고 하자. MJN [ OAZb. 16.

(246) ]의 값을 구하시오. =O >O. 수열 \BO^에 대하여 이차함수 ZY O

(247) Y

(248) BO의 그래프는 Y축과 만 나고, 이차함수 ZYOY

(249) BO의 그래프는 Y B 축과 만나지 않는다. MJN O 의 값을 구하시오. OAZb O. (풀이 과정을 자세히 쓰시오.). 서술. ⑴ 구하려고 하는 것은 무엇인가? 형. 15. ⑵ 문제의 조건을 이용하여 BO의 값의 범위. 직선 위에 "#인 두 점 ", #이 있다.. 를 구하시오.. 선분 "#을 삼등분하는 점을 차례로 ", #라 고 하고, 선분 "#를 삼등분하는 점을 차례로. ⑶ MJN. ", #이라고 하자. 이와 같은 방법으로 점 ",. OAZb. BO 의 값을 구하시오. OA. b. #, ", #, U를 정할 때, 급수 "O#O의 합. ⑷ 구한 답이 문제의 뜻에 맞는지 확인하시오.. O. 을 구하시오. (풀이 과정을 자세히 쓰시오.) . U#f #m "m "f. ". #. 이 단원에서 나의 학습을 되돌아보며 스스로 평가해 보세요.. 40 %. 60 %. 20 %. 40 % 80 %. 학습 계획 실천. 60 %. 20 %. 40 % 80 %. 교과서 내용 이해. 100 %. 20 %. 100 %. 나의 모습 ✽수열의 수렴, 발산과 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해한다.. 내용 이해. ✽수열의 극한을 구할 수 있다. ✽급수의 수렴, 발산과 급수의 성질을 이해한다. ✽수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 수열의 극한값을 구하는 것에 자신감이 생겼다.. 태도 및 실천 ✽등비급수의 수렴과 발산을 명확하게 이해하려고 노력하였다. ✽등비급수가 여러 가지 문제 해결에 유용하게 활용되는 것에 흥미를 갖게 되었다.. 이 단원을 복습하며 흥미로웠던 내용과 내가 더 공부해야 할 내용을 써 보세요.. 46 │Ⅰ. 수열의 극한. 60 % 80 %. 흥미와 자신감. 만족. 100 %. 보통. 부족.

(250) 꿈을 키우는 수학. 생물 정보 분석가란 어떤 직업인가요?. 어떤 일을 하나요?. 생물 정보 분석가는 생물의 비밀을 간직한 유전자 정보를. 생물 정보 분석이란 ‘생명의 암호’를 해독하는 작업입니. 수집하여 수학, 통계적으로 분석하는 직업입니다. 인간을. 다. 즉, %/"나 3/"의 방대한 유전자 정보를 분석하는. 포함한 동식물 및 미생물의 유전자 안에 있는 정보를 수집,. 일을 합니다. 유전자 서열과 지도를 얻어 방대한 양의 데이. 분석하지요.. 터를 만들고 축적하지요.. 생물 정보 분석 결과는 어디에 활용되나요?. 어떤 준비가 필요한가요?. 농업 분야에 활용하여 좋은 품종의 식물을 개량할 수도. 화학, 생명 과학, 유전 공학 등의 이공 계열 학문을 공부. 있고, 의료 산업 분야에 활용하여 인류의 삶을 보다 풍요롭. 해야 하므로 수학과 기초 과학에 대한 탄탄한 지식이 요구. 게 할 수도 있지요. 동식물과 미생물의 유전자 정보는 검찰. 됩니다. 또, 생물 정보를 통계적 방법으로 분석하므로 통계. 과학 수사에도 활용될 수 있습니다. 범죄 현장에서 발견된. 학의 전문 지식도 필요합니다. 한편, 연구 분야의 특성상. 생물의 %/"염기 서열 정보를 분석하면 생물의 종류와. 분석력, 관찰력, 통찰력, 의사소통 능력 등의 소양을 갖추. 주요 성분을 밝힐 수 있게 되는 것이지요.. 어야 합니다. 출처 고용노동부 워크넷, 2016. 꿈을 키우는 수학 │. 47.

(251)