1. 등차수열
161. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항을 구할 수 있는가?
수열 의 공차를 d라 하면 에서
이므로 에서
∴
163. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 등차수열에서 두 항의 차를 구할 수 있는가?
등차수열
의 공차를 라 하면
∴
×
164. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열 이해하기 수열
의 공차를 라 하면
에서 따라서
165. [정답] [풀이]
[출제의도] 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?
공차를 라 하면
, ,
이므로
∴
166. [정답] ④ [풀이]
등차수열
의 공차를 라 하면
∴
∴ ×
∴ [다른풀이]
등차수열
의 성질에 의해
167. [정답]
[풀이]
∴
168. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 등차수열의 성질을 이해하고 주어진 항의 값을 구한다.
( , : 공차)에서
, 이므로 위의 두 식을 연립하면
이고 이므로
[다른풀이2]
는 제 항이고, 은 제 항이다.
또, 은 제 항이고, 은 제 항이다.
이므로 따라서
169. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 등차수열 이해하기
등차수열
의 첫째항을 , 공차를 라 하면 ⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
,
따라서 ×
170. [정답] [풀이]
[출제의도] 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?
등차수열
의 공차를 라 하면
∴
171. [정답]
[풀이]
이므로
∴
[다른풀이1]
공차를 라 하면
에서
∴
∴
[다른풀이2]
이므로
∴
, 이므로 공차는 이다.
∴
172. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열의 성질을 이해한다.
⋅ 에서
, 이므로
173. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항을 계산한다.
수열
의 공차를 라 하면 이고
∴
∴ ×
㉠에 대입하면 이다.
∴ ×
175. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열 - 등차수열 등차수열
의 첫째항이 이므로
에서
이므로
∴
176. [정답]
[풀이]
∴ 따라서 ·
177. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 등차수열의 뜻을 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가?
등차수열의 첫째항을 , 공차를 라 하면 조건 (가)에서
··· ㉠
조건 (나)에서
이므로 ㉠을 대입하면 이므로 따라서
178. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 성질을 이해하여 값을 구한다.
,
공차를 라 하면 에서
따라서
179. [정답]
[풀이]
, 이므로
∴
180. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열 이해하기
등차수열
의 첫째항을 , 공차를 라 하자.
∴ ,
따라서
181. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기
등차수열
의 공차를 라 하면 이 수열의 일반항182. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열 계산하기
·
183. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 등차수열의 항의 값을 구할 수 있는가?
등차수열
의 첫째항을 , 공차를 라 하면 에서
에서
이므로
따라서 ×
184. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열 이해하기
수열
은 공차가 인 등차수열이므로 주어진 조건에 의하여
따라서
185. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 등차수열과 로그의 성질을 이해하여 미지수의 값을 구한 다.
log, log , log 는 이 순서대로 등차수열을 이루므로 log
log log
log
log
, 따라서
186. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 등차수열 이해하기 두 점 A, B 의 좌표는 각각 ,
세 수 이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
, 따라서
187. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기 수열
의 첫째항을 라 하면 × ×
이므로
∴
따라서 의 최솟값은
188. [정답] ③ [풀이]
⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서
따라서
189. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하고 등차수열의 합이 최대가 되는 항을 구한다.
등차수열
의 첫째항을 , 공차를 라 하면
이므로 ,
따라서
수열
의 첫째항부터 제항까지의 합이 최대가 되도록 하는 자연수은 을 만족시켜야 하므로
따라서 구하는 자연수 의 값은 이다.
[다른풀이]
등차수열
의 첫째항을 , 공차를 라 하면 ,
이므로
따라서
에 가장 가까운 자연수는 이므로 일 때 은 최댓값을 갖는다.
190. [정답]
[풀이]
등차수열
의 첫째항을 공차를 라 하면
이므로
⋯
×
191. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항, 합과 일반항 상이의 관계를 이용하여 공차를 구할 수 있는가?
등차수열
은 첫째항이 이고 공차가 이므로
× ×
193. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열을 활용하여 문제 해결하기
등차수열
의 공차를 라 하면 일반항은 이므로
×
×
이므로 따라서
194. [정답]
[풀이]
⋅ 에서
∴
195. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항과 합의 성질을 이용하여 문제를 해결 한다.
에
, , , ⋯ , 을 대입하면
⋯
변끼리 더하면
⋯ ⋯
×
∴
에서
196. [정답] ③ [풀이]
수열
이 공차가 인 등차수열이므로 이다.따라서 주어진 부등식에서
≥
이므로
이다.
ㄱ.
(참)
ㄴ.
이므로 수열
은 공차가 인 등차수열이다. (거짓) ㄷ.
× ×
(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
모든 자연수 에 대하여 이므로
⋯ ㉠ 이때 이므로
≥
×
(단, 등호는 일 때 성립)
따라서 모든 자연수 에 대하여 ㉠이 성립하려면 이어야 하므 로 자연수 의 최댓값은 이다.
[다른풀이]
에서 모든 자연수 에 대하여 이므로
이라 하면
이때 는 자연수이므로 이 최소가 되게 하는 은
,
,
,
중의 하나이다. 따라서 모든 자연수 에 대하여
이 성립하려면 네 부등식
,
,
,
이 모두 성립해야 한다.
×
에서
⋯ ㉠
×
에서
⋯ ㉡
에서
⋯ ㉢
×
에서
⋯ ㉣
㉠, ㉡, ㉢, ㉣이 모두 성립하려면 이어야 한다.
∴
따라서 자연수 의 최댓값은 이다.
198. [정답]
[풀이]
[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 수열의 합 구하는 문제를 해결한 다.
(가)에서 ≤
일 때 ≤ 그런데
≤
(나)에서
이므로
( … )
≥ 이므로
수열
은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이므로 ( ≥ ) 이때
⋯
이므로
이를 만족하는 자연수 , 이 존재하기 위해서는 가 의 약수이어야 한다.
× × 이므로 의 개수는 × ×
[다른풀이]
등차수열의 연속된 개의 항의 합이 이기 위한 수열의 조건은 다음과 같다.
ⅰ) 이 홀수일 때
⋯ ⋯
이때 는 의 양의 약수가 되어야 하므로
ⅱ) 이 짝수일 때
⋯
⋯
이때
에서
은 자연수이므로
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 의 개수는 이다.
200. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열의 합과 이차함수의 성질을 이용하여 문제를 해 결한다.
수열
의 공차를 ( 는 정수)라 하자., 이 성립하므로
,
에서
에서
따라서
이므로
∴
이때
라 하면 함수 의 그래프는 다음과 같다.
따라서 을 만족시키는 은
, , , ⋯,
이므로 구하는 의 최댓값은 이다.
201. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열의 합에 대한 성질을 이용하여 조건에 맞는 자연 수를 추측한다.
수열
의 공차를 라 하면
이므로
(ⅰ)
일 때
이때 조건 이 성립한다.
(ⅱ)
일 때
이때 조건이 성립하지 않는다.
따라서
이다.
라 하면 함수 의 그래프는 다음과 같다.위 그래프에서 이므로
그러므로 ⋯ ,
따라서 을 만족시키는 의 값은 , , , ⋯, 이다.
그러므로 최솟값과 최댓값의 합은
202. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 수열
이므로
203. [정답] ④ [풀이]
이고
≥
∴ (단, ≥
⋅ ⋅⋅
205. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 활용하여 추론하기
≥
따라서
206. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이해하여 제 항의 값 을 계산한다.
[다른풀이]
( ≥ )
따라서
207. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기
따라서
208. [정답]
[풀이]
≥ , 이므로
≥
209. [정답] [풀이]
[출제의도] 시그마의 정의를 이해하여 일반항을 구한다.
따라서 210. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 직각이등변삼각형을 이용하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.
수열
은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이므로
× ×
211. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수학내적문제 해결하기
O
(ⅰ) ≤ 또는 ≥ 일 때,
(ⅱ) ≤ ≤ 일 때,
따라서 자연수 의 최댓값은
2. 등비수열 212. [정답] ③ [풀이]
× ×
213. [정답] 20 [풀이]
공비가 이므로
∴ ×
214. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 수열
수열
의 공비를 라 하면 는 공비가 인 등비수열이므로 × 즉, × 이므로
215. [정답] ③ [풀이]
∴
∴
⋅
216. [정답] ① [풀이]
,
∴
이므로 주어진 조건에서
∴
∴ ×
218. [정답] ① [풀이]
등비수열
의 공비를 라 하면 × ⋯ ㉠
× ⋯ ㉡
㉡ ÷ ㉠에서
∴ (∵ )
㉠에서
∴ ×
×
× ×
×
219. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열
등비수열
의 공비를 이라 하면 으로부터 × ∴
⋅
220. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 등비수열의 항을 구할 수 있는가?
등비수열
의 공비를 라 하면
따라서 이므로
즉,
221. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 항의 값을 구한다.
등비수열
의 공비를 라 하면
에서
이때
이므로
∴
222. [정답] ① [풀이]
log log log
∴ ≥
수열
은 공비가 인 등비수열이므로 ⋅
[출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 첫째항을 구할 수 있는가?
등비수열
의 공비를 라 하면 에서 이므로
에서
따라서 이므로
×
∴
224. [정답] ⑤ [풀이]
, ⋅
∴
⋅
⋅
225. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 등비수열의 성질을 이해하고 일반항을 구한다.
, 이므로 공비는 ∴
226. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기 등비수열
의 첫째항을 , 공비를 라 하면
에서
이므로
∵ ⋯⋯㉠
에서
⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서
,
따라서
227. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 등비수열 이해하기
등비수열
의 첫째항을 , 공비를 라 할 때,
에서
이므로 따라서
228. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기 등비수열의 첫째항을 , 공비를 라 하면
, 이므로 따라서 × ×
230. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등비수열의 항을 구할 수 있는가?
등비수열
의 첫째항이 이므로 공비를 이라 하면
이때, 에서 이고 모든 항이 양수이므로 따라서 ×
231. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 등비중항의 성질을 이용하여 특정 항을 계산한다.
수열
이 등비수열이므로 ⋅ 즉, 따라서
232. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 등비수열 이해하기
세 수 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
×
×
이므로
233. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등비중항의 뜻 이해하기
세 수 , , 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
는 과 의 등비중항이다.
따라서 ×
234. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 세 수가 등비수열을 이룰 조건을 구할 수 있는가?
세 수
가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
×
이때, 이므로
235. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 등비중항의 성질을 이해한다.
수열
은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이므로
≥ 세 수 , , 이 이 순서대로 등비수열을 이루므로
×
×
∴ (∵ )
따라서 (∵ )
237. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제 해결하기
OP , OR , QR
OP, OR, QR가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
×
따라서
(∵ )
238. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 수열의 합 이해하기
첫째항이 이고 공비가 인 등비수열
의 일반항 이다. 이므로
×
239. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 지수방정식을 해결한다.
첫째항을 , 공비를 라 하면
에서 × 이므로
이다.
,
이므로
에서
이다.
이므로
240. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 문제 해결하기 등비수열
의 첫째항을 , 공비를 라 하면 에서 ⋅
, 이므로 …… ㉠
에서 …… ㉡
㉠, ㉡에서 ,
이므로 (∵ )
㉠에 를 대입하면 , 이고
×
⋅
·
×
241. [정답]
[풀이]
×
242. [정답] ① [풀이]
이고, 은 ∆PQQ 의 넓이이므로
×
×
이다.따라서
243. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등비수열과 등비수열의 합의 관계를 이해하고 수열의 합 을 구한다.
모든 항이 양의 실수인 등비수열
의 첫째항을 , 공비를 이라 하면
에서
이므로
이므로
따라서
이므로
[다른풀이]
모든 항이 양의 실수인 등비수열
의 첫째항을 , 공비를 이라 하면
ⅰ) 일 때
에서
에서
이므로 조건을 만족하지 않는다.
ⅱ) ≠ 일 때
에서
≠ 이므로 이므로
244. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기
245. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기
( ≥ )이므로
( ≥ )
∴ ( ≥ ) 따라서
246. [정답]
[풀이]
,
≥ ,
∴
247. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열을 이해하고 주어진 조건의 값을 계산한다.
가 등차수열이므로 공차는 그러므로 ,
가 등비수열이므로
248. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 수열 – 등차중항과 등비중항의 적용 수열
이 공차가 인 등차수열이므로
이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 따라
⋅
∴
가 순서대로 등비수열을 이루므로 등비중항의 성질에 따라
×
∴ 따라서
249. [정답] ⑤ [풀이]
,
, 에서
∵ , 따라서
∴
≥
⋅
(단, 등호는
,
일 때 성립한다.)
∴ 의 최솟값은
251. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하여 조건을 만족하는 값을 구한다.
수열
은 등차수열이므로 수열
은 등비수열이므로 이때 이므로 ,
, 가 두 이차방정식의 근이라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 이차방정식 의 두 근이다.
따라서 , (∵ , , ) 수열
은 공차가 인 등차수열이므로 × 따라서
252. [정답]
[풀이]
[출제의도] 두 수열의 일반항 사이의 관계를 추측하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다.
수열
의 일반항은 수열
의 일반항은 수열
의 모든 항이 수열
의 항이 되려면 모든 자연수 에 대하여 인 자연수 이 존재한다.
( ≥ )과 은 모두 자연수이므로
도 자연수이다. 따라서 는
의 약수이다.
∴ , , (∵ )
그러므로 모든 자연수 의 합은 이다.
[다른풀이]
인 자연수 이 존재하므로
에서
이 자연수이어야 하므로 는 의 약수이다.
(ⅰ) 일 때
, ․ (ⅱ) 일 때
, ․ (ⅲ) 일 때
,
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 모든 경우 임의의 자연수 에 대하여 을 만족시키는 이 존재하므로 수열
의 모든 항은 수열
의 항이 된다.∴ , , 이고 모든 자연수 의 합은 이다.
253. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 합의 기호의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는 가?
이므로
×
254. [정답]
[풀이]
등차수열
의 첫째항을 공차를 라고 하면,
두 식을 연립하면
∴
∴
×
×
×
255. [정답]
[풀이]
[출제의도] 거듭제곱의 합을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는 가?
×
×
∴
256. [정답] ① [풀이]
[출제의도] ∑의 성질을 이용하여 수열의 항을 구할 수 있는가?
에서
⋯ ⋯
⋯ 이므로
257. [정답]
[풀이]
[출제의도] 합성함수의 정의를 이해하고 거듭제곱의 합과 시그마의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는가?
이므로
×
×
258. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합 이해하기