117. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 성질 이해하기
일 때
이므로 점근선의 방정식은 , 따라서
118. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 분수함수의 그래프 이해하기 함수
의 그래프의 점근선이 두 직선
이므로
( ≠ )이다.
에서
∴
119. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기
O
곡선 의 두 점근선의 교점은 이다.
직선 가 이 교점을 지나므로
이다.
∴
120. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기 유리함수
의 그래프의 점근선의 방정식은 ,
이므로
,
∴
121. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선을 구할 수 있는가?
이므로
유리함수
의 그래프는 유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
따라서 유리함수
의 그래프의 점근선의 방정식은 ,
이므로 ,
∴
123. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.
주어진 함수의 그래프는 함수
의 그래프를 축의 방향으로 ,
축의 방향으로 만큼 평행 이동한 그래프이므로 점근선의 방정식은
, 이다.
≤ 이면 곡선
는 반드시 제 사분면을 지나므로
이다.
인 범위에서 함수의 그래프는 제 사분면만을 지난다.
일 때 주어진 함수의 그래프가 제 사분면을 지나지 않기 위해서는
일 때 의 값은 0이상이 되어야 한다.
그러므로
≥ 이다.
따라서 조건을 만족시키는 최소의 정수 는 이다.
124. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 점근선 이해하기
이므로 점근선은 두 직선
,
이므로
∴ 따라서
125. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기
의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동하면
의 그래프이다.
이 그래프가 원점을 지나므로
이다.
의 그래프를 지난다.
그러므로
이다.
따라서 이다.
126. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 평행이동 이해하기 유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 그래프는 유리함수
의 그래프와 같다.
유리함수
의 그래프가 점 를 지나므로
이다. ∴
127. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 분수함수의 평행이동 계산하기
이므로
의 그래프를 축의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
따라서 이고, 이다.
128. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선을 구하여 상수의 값을 구한 다.
이고
곡선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선은
이므로
곡선 의 점근선의 방정식은 , 이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 이다.
점 이 곡선 위의 점이므로
×
∴
[다른풀이]
에서
곡선 의 점근선의 방정식이 , 이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 이다.
곡선 는 곡선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선이므로 곡선 의 두 점근선의 교점은 점 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점 과 같다.
점 이 곡선 위의 점이므로
×
∴
축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프이다. (참) ㄷ. 그림과 같이 제 사분면을 지나지 않는다. (참)
130. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 특징을 이용하여 함수식을 구할 수 있는가?
유리함수
의 점근선은 , 이므로 유리함수
의 그래프는 점 에 대하여 대칭이다.
따라서 점 는 직선 위에 있어야 하므로
131. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선 이해하기 유리함수
의 그래프와 그 역함수의 그래프가 일치하려면 두 점근선의 교점이 직선 위에 있어야 한다.
이므로 점근선은 두 직선 , 따라서
[다른풀이]
함수
( ≠ , ≠ )의 역함수를 구하면
( ≠ , ≠ )
과
의 그래프가 일치하므로
132. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 분수함수의 그래프에서 절대부등식을 이용하여 넓이의 최 솟값을 구한다.
점 P, Q의 좌표를 각각 P
, Q
( , ) 이라 하면 점 A, B , C , D의 좌표는 A , B
, C , D
≥
×
(등호는 일 때 성립한다.)
∴
≥ × 따라서 육각형 APBCQD의 넓이의 최솟값은 이다.
133. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 절대부등식의 의미를 이해하여 문제 해결하기 점 P의 좌표를 라 하자.
이므로
직사각형 PRSQ의 둘레의 길이
PR PQ
는 ≥ ×
×
단, 등호는 일 때 성립하므로
, 이다.
따라서 직사각형 PRSQ의 둘레의 길이의 최솟값은
134. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 최대, 최소 문제 해결하기
O
P
이므로 유리함수
의 그래프의 점근선은 ,
이다.
직선 은 두 점근선의 교점 를 지나므로 이 유리함수의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
따라서 인 경우만 생각해도 된다.
유리함수 그래프 위를 움직이는 한 점을 P
라 하면점 P 와 직선 사이의 거리는
이다.
이므로
≥ 이다.
따라서 구하는 거리의 최솟값은 이다.
135. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기
≥
×
단, 등호는 일 때 성립
따라서 선분 PQ의 길이의 최솟값은
136. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 점 P의 의 좌표를 라 하자.
ⅰ 일 때,
O
P
R Q
P
, Q , R
이므로PQ
, QR
∴ PQ× QR
≥
×
등호가 성립하는 경우는
, 즉 일 때이다.
그러므로 일 때, PQ× QR는 최솟값 을 갖는다.
ⅱ 일 때, P
, Q , R
이므로ⅰ에서와 같이
일 때, PQ× QR는 최솟값 을 갖는다.
따라서 ⅰ, ⅱ에 의하여 PQ× QR의 최솟값은
137. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 문 제를 해결한다.
점 P 는 유리함수
의 그래프 위의 점이므로
에서 ( , )
점 P 와 직선 사이의 거리가 이므로
에서
따라서 ×
138. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수를 이용하여 수학내적문제 해결하기 함수
의 그래프와 직선 의 제사분면 위의 교점
139. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 추론하기 삼각형 AFD와 삼각형 EFC 는 닮음이므로
AD EC DF CF
≤ ≤
따라서 함수 의 그래프의 모양은
O
140. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 두 함수의 그래프의 교점의 개 수를 추론한다.
함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.
이므로 함수
의 점근선의 방정식은
, (ⅰ) 일 때
따라서 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 유한개이다.
(ⅱ) 일 때
그림과 같이 두 함수 ,
의 그래프의 교점의 개수가 무수히 많게 되는 의 값의 범위는
≤ ≤
따라서 조건을 만족시키는 정수 의 값은
곡선
의 그래프는 그림과 같다.
곡선 의 그래프는 점
에 대해 대칭이므로 , ,
, ,
, ,
에서
⋯
또,
×
이므로
이다.
따라서 의 최댓값은 이다.
142. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 점의 대칭이동과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구한다.
점 B 가 곡선
위의 점이므로
, 즉 ⋯⋯ ㉠
이므로 , 즉
두 점 B C 가 직선 에 대하여 서로 대칭이므로 C
∴ BC
(∵ )직선 BC 와 직선 가 서로 수직이므로 직선 BC 의 기울기는
이다. 또한 이 직선이 점 B 를 지나므로 직선 BC 의 방정식은
, 즉 점 A와 직선 BC 사이의 거리를 라 하면
(∵ , ) 삼각형 ABC 의 넓이가 이므로
∆ABC
× BC ×
× ×
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
×
이므로
O
≤ ≤ 에서 함수 는
일 때 최솟값 을 가지므로
따라서
144. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수의 정의역 이해하기
무리함수 의 정의역이 ≤ 이므로 함수 의 그래프가 점 을 지나므로 따라서
145. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 무리함수 그래프의 평행이동 이해하기 함수 의 그래프는
함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭 이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이다.
그러므로 , 따라서
146. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프를 평행이동할 수 있는가?
함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는
이 함수의 그래프와 함수 즉, 의 그래프와 일치하므로
, ,
따라서
147. [정답]
[풀이]
[출제의도] 무리함수 이해하기
이므로
148. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프의 성질 이해하기
O
≥1
그림에서 , 이므로 이고 의 역함수
≥1이다.
함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프의 교점은 역함수 의 그래프와 직선 의 교점과 같다.
,
∴
(∵ ≥ )
∴
따라서
149. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 역함수의 성질 활용하여 문제 해결하기 함수 와 는 역함수의 관계이므로
함수
의 그래프와 직선 가 만나는 점 A
점 C 는 점 B 를 직선 에 대하여 대칭이동한 점이므로 C
점 B
를 지나고 기울기가 인 직선은
∴
점 A 에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하면
AH
BC
따라서 삼각형 ABC 의 넓이는
× AH× BC
150. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기 함수
≥ 의 역함수는
이고 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 직선 위에 있다.
은 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로
≥ ,
×
이다. 따라서 A , B 이다.
따라서 삼각형 OAB의 넓이는
× ×
이다.
152. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 그림과 같이 함수 의 그래프는
함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고 두 점 A , B 을 지난다.
직선
는 원점 O와 점 B 를 지난다.
O
A
B
∴ ∆OAB
× ×
153. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수와 무리함수 이해하기 함수 는 닫힌구간 에서 증가하므로
≤ ≤
이므로 함수 는 닫힌구간 에서 감소하고
이므로 ,
, 이므로 , 따라서
154. [정답]
[풀이]
[출제의도] 무리함수와 역함수 문제 해결하기
구하고자 하는 넓이를 라 하자. 함수 의 그래프는 함수
≤ 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치하고 점 A 는 같은 방법의 대칭이동으로 점
B로 이동한다. 따라서 그림과 같이 ′의 영역과 ″의 영역의 넓이는 서로 같다.
O A
B
′
′′
따라서 의 값은 삼각형 OAB 의 넓이와 같다.
삼각형 OAB 에서 밑변을 AB라 하면, 높이는 원점과 직선
A
B
O C′ H
′
″ C
직선 이 축과 만나는 점은 C
이다. 점 C 를 에 대하여 대칭이동한 점을 C′
이라 하고 점 B 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 하자.그림과 같이 ′의 영역과 ″의 영역의 넓이는 서로 같기 때문에 의 값은 사다리꼴 COHB 의 넓이에서 삼각형 BC′H의 넓이를 뺀 것과 같다.
(사다리꼴 COHB 의 넓이)
×
×
(삼각형 BC′H 의 넓이)
×
×
따라서
이다.
155. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수와 무리함수의 그래프의 성질을 알고 문제해결하 기
(가)에서 치역이 이고,
(나)에서 함수 는 일대일함수이므로 주어진 함수의 그래프는 그림과 같다.
O
이므로
∴
따라서
156. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 평행이동한 무리함수의 역함수의 그래프를 추측하여 문제 를 해결한다.
또, 의 역함수를 구하면 ( ≥ )이다.
의 값이 증가하면 곡선 가 점 A 를 지난 이후 삼각형과 만나 지 않고 곡선 가 점 A 를 지날 때 이므로 는 이 다.
즉, 이면 곡선 와 삼각형은 만나지 않는다.
따라서 함수 의 그래프와 역함수의 그래프가 삼각형과 동시에 만나도록 하는 실수 의 최댓값은 이다.
157. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수와 수열 문제 해결하기 선분 AB의 길이가 이므로
은 보다 크지 않은 최대의 정수이다.
ⅰ) 인 경우
≤ 이므로 이다.
ⅱ) 인 경우
이므로 이다.
ⅲ) 인 경우
≤ 이므로 이다.
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해
× × × 이다.
158. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합 추론하기
함수
의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고,
함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로
두 함수의 그래프와 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계는
<그림1>과 같다.
O
<그림1>
O
㉠ ㉡
㉢
<그림2>
이 때, 함수 의 그래프는
함수
의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향 으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이 함수
의 그래프와 축, 축으로 둘러싸인 영역 ㉠의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는함수 의 그래프와 두 직선 , 으로 둘러싸인 영 역 ㉢의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.
그러므로 영역 ㉠과 영역 ㉡의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개
×
× ×
×
[다른풀이]
<그림1>에서 의 값에 대한 점의 개수는 아래의 표와 같다.
합
159. [정답]
[풀이]
[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구할 수 있는가?
(은 자연수)라 하면
, 에서
이므로 ≥ 에서 곡선
은 그림과 같다.
(ⅰ) 일 때
주어진 조건을 만족시키는 정사각형은 존재하지 않는다.
(ⅱ) ( ≤ 인 자연수)일 때
주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수는
이므로
(ⅲ) ( ≤ 인 자연수)일 때
① 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수는
② 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형은 그림과 같다.
따라서 정사각형의 개수는 ( ≤ 인 자연수)
③ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형은 그림과 같다.