1 집합의 뜻과 표현
집합의 연산 01
1.1.두 집합 , 에 대하여 ∪ 의 값은?
[2점][2016(나) 6월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
2.2.전체집합 는 이하의 자연수의 두 부분집합
, 에 대하여 집합 c c의 모든 원소의 합은?
[3점][2016(나) 6월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
3.3.전체집합 의 두 부분집합 ,
에 대하여 집합 C∪ 의 원소의 개수는?
[2점][2015(가) 6월/교육청(고2) 2]
① ② ③
④ ⑤
4.4.실수 전체의 집합 의 두 부분집합
≤ , 또는
가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ∪
(나) ≤ ≤
두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오.
[3점][2016(나) 3월/교육청 25]
5.5.그림과 같이 에서 까지 개의 전등의 점등을 이용하여 입력값을 나타내는 고정된 숫자판이 있다.
입력값의 전체집합 에 대하여, 다음은 입력값에 따른 숫자판의 점등상태를 나타낸 것으로 어둡게 색칠된 부분은 점등된 전등 이다.
입력값
점등 상태
전체집합 의 두 부분집합 가
는 소수 , 는 홀수
일 때, 전등이 점등되는 모든 입력값의 집합을 옳게 나타낸 것은?
[3점][2013년 9월/교육청(고1) 9]
① ② ③ ∪
④ ∪ ⑤ ∩
6.6.전체집합 는 이하의 자연수의 세 부분집합
, , 에 대하여 ⊂ 이고 ∪ 이다.
, , 일 때, 집합 ∩∪는?
[4점][2016(나) 4월/교육청 19]
① ② ③
④ ⑤
7.7.전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여
∪ C ,
∩ C
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2011 6월/교육청(고1) 8]
ㄱ. ㄴ. ∩
ㄷ. 집합 C∩ 의 원소의 개수는 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
8.8.전체집합 의 두 부분집합 가 다음 두 조건 을 만족한다.
(가) ∩
(나) ∪
이 때, 두 집합 의 순서쌍 의 개수는?
[3점][2011 3월/교육청(고2) 5]
① ② ③
④ ⑤
집합의 표현 방법 02
9.9.두 집합 , 에 대하여 집합
│ ∈ ∈ 라 할 때, 이 되도록 하는 자연수 의 최댓값을 구하시오.
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 26]
10.10.두 집합 은 자연수, 은 자연수에 대하여 집합 ∩ 의 모든 원소를 작은 수부터 순서대로 모두 나열하 여 만든 수열을 이라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 27]
2 집합의 포함 관계
서로소인 집합 01
11.11.집합 의 부분집합 중에서 집합 와 서로 소인 집합의 개수는?
[3점][2012 6월/교육청(고1) 4]
① ② ③
④ ⑤
12.12.전체집합 의 공집합이 아닌 두 부분집합 , 에 대하여 ,
이 서로소일 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것 은?
[3점][2009 11월/교육청(고1) 13]
ㄱ.
∅ㄴ.
∩ ㄷ.
∪∩ < 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
13.13.두 집합
, ≤ 에 대하여 ∩ ∅이 되도록 하는 정수 의 개수는?
[3점][2012 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
부분집합의 성질 02
14.14.두 집합 , 에 대하 여 집합 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ∩ (나) ∅
(다) 집합 의 모든 원소의 합은 이다.
집합 의 모든 원소의 곱을 구하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 29]
15.15.두 집합 , 에 대하여
∪ 를 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은?
[4점][2012 3월/교육청(고2) 12]
①
② ③
④ ⑤
부분집합의 개수 03
16.16.전체집합 는 자연수의 두 부분집합 , 에 대하여
는 의 약수, 는 의 약수
일 때, ⊂ ⊂ 를 만족시키는 집합 의 개수를 구하시오.
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 23]
17.17.집합 의 부분집합 중에서 홀수가 한 개 이상 속 해 있는 집합의 개수는?
[3점][2013년 6월/교육청(고1) 7]
① ② ③
④ ⑤
18.18.전체집합 의 두 부분집합
에 대하여
∪ ∩c
를 만족시키는 의 모든 부분집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(나) 9월/평가원 27]
19.19.집합 의 부분집합 중 원소의 개수가 개 이 상인 모든 집합에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값은?
[3점][2012 9월/교육청(고1) 12]
① ② ③
④ ⑤
20.20.전체집합 의 두 부분집합 ,
에 대하여 ∪ 를 만족시키는 집합 의 부분 집합 의 개수는?
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 15]
① ② ③
④ ⑤
21.21.집합 는 이하의 자연수 의 원소 에 대하여 의 부분집합 중 을 최소의 원소로 갖는 모든 집합의 개수를 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 20]
ㄱ.
ㄴ. ∈ , ∈ 일 때, 이면 ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
22.22.전체집합 ≤ ≤ 는 자연수 의 두 부분집합
, 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 의 부분집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2011 6월/교육청(고1) 27]
(가) ∪
(나) ∩
3 집합의 연산법칙
집합의 연산법칙 01
23.23.전체집합 는 이하의 자연수 의 두 부분집합
, 에 대하여 집합 ∩의 원소의 개수는?
[3점][2016(나) 3월/교육청 4]
① ② ③
④ ⑤
24.24.전체집합 의 공집합이 아닌 서로 다른 두 부분집합 , 가
∩ ∪ ∩ 를 만족시킬 때, 항상 옳은 것만으로
<보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2010 11월/교육청(고1) 6]
ㄱ. ⊂ ㄴ. ㄷ. ∪C
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
25.25.전체집합 의 세 부분집합 , , 에 대하여 옳은 것만을 <보 기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2011 11월/교육청(고1) 7]
ㄱ. ∩
ㄴ. ∪ ㄷ. ∩ ∪ ∩
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
색칠한 부분이 나타내는 집합 02
26.26.두 집합 , 에 대한 세 연산 , , 을 다음과 같이 정의한 다.
, , 가 자연수를 원소로 갖는 집합일 때, 아래 그림에서 집합 의 모든 원소의 합을 라 하자. 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2011 6월/교육청(고1) 30]
약수와 배수의 집합에서의 연산 03
27.27.자연수 에 대하여
∣ 는 과 서로소인 자연수
∣ 는 의 배수인 자연수
일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?
[4점][2005 6월/교육청(고1) 17]
ㄱ. ∪ ∣ 는 자연수
ㄴ. ∪
ㄷ. ∩
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
28.28.자연수 에 대하여
는 이하의 소수
는 의 양의 약수
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2013년 6월/교육청(고1) 12]
ㄱ. ∩
ㄴ. 모든 자연수 에 대하여 ⊂ 이다.
ㄷ. 두 자연수 , 에 대하여 ⊂이면 은 의 배수 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
29.29.자연수 에 대하여 의 양의 약수 전체의 집합을 이라 하자.
예를 들면, 일 때 이다. 두 자연수 에 대 하여 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2004 9월/교육청(고1) 10]
ㄱ. 이 서로소이면 ∩ ∅ ㄴ. 이 의 배수이면 ⊂ ㄷ. ∩⊂
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
집합의 원소의 개수 04
30.30.어느 고등학교 학년 반 학생 명을 대상으로 책 A , 책 B 를 읽었는지 조사하였다. 책 A 를 읽지 않고 책 B 만 읽은 학생이 명일 때, 책 A 와 책 B 를 모두 읽은 학생 수의 최댓값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
31.31.전체집합 의 두 부분집합 에 대하여
, ∩ 일 때, ∪의 값을 구하시오.
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 24]
32.32.어느 고등학교의 학년 학생 명을 대상으로 문학 체험, 역사 체험, 과학 체험의 신청자 수를 조사한 결과 다음과 같은 사실을 알게 되었다.
(가) 문학 체험을 신청한 학생은 명, 역사 체험을 신청한 학 생은 명이다.
(나) 문학 체험과 역사 체험을 모두 신청한 학생은 명이다.
(다) 세 가지 체험 중 어느 것도 신청하지 않은 학생은 명이 다.
과학 체험만 신청한 학생의 수를 구하시오.
[4점][2015(가) 3월/교육청(고2) 26]
33.33.어느 고등학교
학년
반 학생
명을 대상으로 세 종류의 책A B C
를 읽었는지를 조사하였더니A
를 읽은 학생이
명,B
를 읽은 학생이
명,C
를 읽은 학생이
명이었다. 또,A
와B
중 적 어도 하나를 읽은 학생이
명이고A
와C
를 모두 읽은 학생은 한 명도 없었으며,A B C
중에서 어느 책도 읽지 않은 학생이
명이었 다. 이때A B C
중 두 종류의 책만 읽은 학생의 수를 구하시오.[4점][2008 3월/교육청(고2) 30]
34.34. 명의 학생을 대상으로 세 문제 , , 를 풀게 하였다. 문제
를 맞힌 학생의 집합을 , 문제 를 맞힌 학생의 집합을 , 문제
를 맞힌 학생의 집합을 라 할 때, , ,
, ∩ , ∩ ,
∩∩ 이다. 세 문제 중 두 문제 이상을 맞힌 학생 수의 최솟값은?
[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 17]
① ② ③
④ ⑤
35.35.어느 나라의 축구선수 명 중 대표팀에 소속된 선수는 명 이다. 대표팀은 월드컵대표, 올림픽대표, 청소년대표의 세 종류로 각각
명으로 구성되어 있다. 월드컵대표이면서 올림픽대표인 선수는
명, 올림픽대표이면서 청소년대표인 선수는 명, 청소년대표이면서 월 드컵대표인 선수는 명이다. 월드컵대표에만 소속되어 있는 선수는 모 두 몇 명인가?
[4점][2008 6월/교육청(고1) 20]
① ② ③
④ ⑤
1 명제와 조건
명제가 참이 되도록 하는 미지수 구하기 01
36.36.실수 전체의 집합 의 두 부분집합 는
≤ ≤ ≤ ≤
이다. 두 집합 가 각각 두 조건 의 진리집합일 때, 명제
→ 가 참이 되게 하는 실수 의 최솟값을 구하시오.
[3점][2013(A) 3월/교육청(고2) 22]
37.37.다음은 편지 내용의 일부분이다.
안녕하세요?
저는 제주도에 사는 희망이라고 해요.
ㄱ. 제주도는 섬이랍니다.
제가 자랑하고 싶은 곳은 한라산이에요.
ㄴ. 한라산은 아시아에서 가장 높은 산이랍니다.
ㄷ. 한라산에는 예쁜 꽃들이 많아요.
날씨가 맑은 날에는 산 정상까지 보인답니다.
ㄹ. 오늘은 날씨가 참 좋군요.
위의 밑줄 친 문장 중에서 명제인 것을 모두 고른 것은?
[3점][2007 6월/교육청(고1) 6]
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ
38.38.전체집합 가 실수 전체의 집합일 때, 실수 에 대한 두 조건 , 가
,
이다. 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때, 옳은 것만을
<보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, , 는 실수이다.)
[3점][2015(가) 6월/교육청(고2) 11]
ㄱ. 일 때, ∅ 이다.
ㄴ. , 일 때, ⊂ 이다.
ㄷ. , 일 때, 명제 ‘∼ 이면 이다.’는 참이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
39.39.실수 에 대하여 두 조건 , 가
≥
≤ ≤ 또는 ≥
이다. 명제 → 가 참이 되도록 하는 상수 의 최솟값은?
[3점][2016(나) 7월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
40.40.자연수 에 대한 조건
‘모든 양의 실수 에 대하여 이다.’
가 참인 명제가 되도록 하는 의 개수는?
[3점][2016(나) 6월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
41.41.실수 에 대하여 두 조건 , 가 ≥
또는 ≥
일 때, 명제 → 가 참이 되도록 하는 양수 의 최솟값은?
[3점][2015년 9월/교육청(고1) 10]
① ② ③
④ ⑤
42.42.실수 에 대한 두 조건 ≥
에 대하여, 명제 → 가 참이 되도록 하는 의 최댓값을 구하시오.
[3점][2011 3월/교육청(고2) 23]
43.43.두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하고
≤ , 일 때, 명제 ∼ → 가 참이기 위한 자연수 의 개수는?
[3점][2015(나) 9월/교육청(고2) 11]
① ② ③
④ ⑤
명제의 참과 집합의 포함 관계 02
44.44.전체집합 ∣ 는 이하의 자연수에서의 두 조건 는 의 약수이다 , ≤
의 진리집합을 각각 라 할 때, ⊂ ⊂ 를 만족시키는 집합
의 개수는?
[3점][2010 6월/교육청(고1) 17]
① ② ③
④ ⑤
45.45.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이라 하자.
∩ , ∪ 일 때, 참인 명제만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 17]
ㄱ. → ㄴ. → ㄷ. → ∼
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
46.46.실수 에 대한 세 조건
, ≤ , ≤ 에 대하여 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(나) 6월/평가원 16]
ㄱ. → ㄴ. → ∼ ㄷ. → ∼
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
47.47.전체집합 는 이하의 자연수 에 대하여 두 조건
의 진리집합을 각각 라 하자. 조건 가
는 소수이다.
일 때, 명제 ∼ → 가 참이 되게 하는 집합 의 개수를 구하시오.
2 명제의 역과 대우
명제의 역, 대우의 참 거짓 01
명제의 대우와 삼단논법 02
48.48.세 조건 , , 에 대하여 두 명제 → ∼ 와 → 가 모두 참일 때, 다음 명제 중 항상 참인 것은?
[3점][2016(나) 4월/교육청 8]
① → ∼ ② → ③ →
④ → ∼ ⑤ ∼ →
49.49.전체집합 에서 세 조건 , , 의 진리집합을 각각 , ,
라 하자. ⇒ ∼ 이고, ∼ ⇒ 일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
(단, , , 는 모두 공집합이 아니다.)
[3점][2010 3월/교육청(고2) 11]
① ⊂ ② ⊂ ③ ⊂ ∩
④ ⊂ ⑤ ⊂
50.50.어느 휴대폰 제조 회사에서 휴대폰 판매량과 사용자 선호도에 대한 시장 조사를 하여 다음과 같은 결과를 얻었다.
(가) 대, 대에게 선호도가 높은 제품은 판매량이 많다.
(나) 가격이 싼 제품은 판매량이 많다.
(다) 기능이 많은 제품은 대, 대에게 선호도가 높다.
위의 결과로부터 추론한 내용으로 항상 옳은 것은?
[3점][2011 6월/교육청(고1) 13]
① 기능이 많은 제품은 가격이 싸지 않다.
② 가격이 싸지 않은 제품은 판매량이 많지 않다.
③ 판매량이 많지 않은 제품은 기능이 많지 않다.
④ 대, 대에게 선호도가 높은 제품은 기능이 많다.
⑤ 대, 대에게 선호도가 높은 제품은 가격이 싸지 않다.
51.51.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이라 하자. 세 명제
∼ → , → ∼ , ∼ →
가 모두 참일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015년 11월/교육청(고1) 17]
ㄱ. ⊂ ㄴ. ⊂ ㄷ. ∩
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
52.52.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이고, 세 명제 → , ∼ → , ∼ → 가 모두 참일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2012 11월/교육청(고1) 14]
ㄱ. ⊂ ㄴ. ∅ ㄷ. ∪⊂
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
｢모든｣과 ｢어떤｣을 포함한 명제 03
53.53.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 에 대하여 다 음은 , , 의 관계를 나타낸 명제이다.
(가) 어떤 ∈ 에 대하여 ∉ 이다.
(나) 모든 ∈ 에 대하여 ∉ 이다.
세 집합 , , 의 포함관계를 나타낸 다음 벤다이어그램 중 위의 두 명제가 항상 참이 되도록 하는 것은?
[3점][2011 9월/교육청(고1) 8]
① ②
③ ④
⑤
54.54.집합 의 공집합이 아닌 부분집합 에 대하여 명 제 ‘집합 의 어떤 원소 에 대하여 는 의 배수이다.’가 참이 되도 록 하는 집합 의 개수를 구하시오.
[3점][2015년 9월/교육청(고1) 25]
55.55.두 실수 , 에 대하여 조건 , 가
≤
≤
일 때, 명제 ‘어떤 , 에 대하여 이면 이다.’가 참이 되도록 하는 정수 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 29]
3 필요조건과 충분조건
필요조건과 충분조건 01
56.56.정수 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 필요조건이지만 충분 조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2012 6월/교육청(고1) 9]
ㄱ. : : ㄴ. : 는 의 양의 약수 : 는 의 양의 약수 ㄷ. : :
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
57.57.실수 , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2012 9월/교육청(고1) 11]
ㄱ. ㄴ. ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
58.58.조건 가 조건 이기 위한 필요충분조건인 것만을 <보기> 에서 있 는 대로 고른 것은? (단, 는 이 아닌 실수)
[3점][2010 9월/교육청(고1) 9]
ㄱ. : :
ㄴ. : :
ㄷ. : :
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
59.59.두 실수 에 대하여 세 조건 , , 는
이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2013년 9월/교육청(고1) 13]
ㄱ. 는 이기 위한 충분조건이다.
ㄴ. ∼ 는 ∼ 이기 위한 필요조건이다.
ㄷ. 이고 은 이기 위한 필요충분조건이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
60.60.세 실수 , , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 충분조건이 지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2011 9월/교육청(고1) 10]
ㄱ. : 이고 : ㄴ. : : ㄷ. : :
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
61.61.전체집합 가 유한집합일 때 의 두 부분집합 , 에 대하여
<보기>에서 가 이기 위한 충분조건인 것을 있는 대로 고른 것은?
(단, , 는 공집합이 아니고, 는 집합 의 원소의 개수이다.) [3점][2008 9월/교육청(고1) 8]
ㄱ. ≤ ⊂ ㄴ.
ㄷ. ∪
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ，ㄷ ⑤ ㄴ，ㄷ
필요조건, 충분조건과 방정식․부등식 02
62.62.두 조건 와 가 다음과 같이 주어졌다.
≤ ≤
가 이기 위한 충분조건일 때, 의 최댓값과 의 최솟값의 합은?
[3점][2010 11월/교육청(고1) 7]
① ② ③
④ ⑤
63.63.실수 에 대하여 두 조건 , 가 다음과 같다.
≥
가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은?
[3점][2015(가) 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
64.64.실수 에 대하여 두 조건 , 가
≤ ≤
또는
이다. ∼ 는 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 의 값의 합은?
[3점][2016(나) 4월/교육청 12]
① ② ③
④ ⑤
65.65.실수 에 대한 두 조건
≤
≤
에 대하여 가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 자연수 의 최솟값 은?
[3점][2017(나) 수능 7]
① ② ③
④ ⑤
66.66.실수 에 대하여 두 조건 , 가 다음과 같다.
≥
가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은?
[3점][2015(나) 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
67.67.두 조건
≤
에 대하여 가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 정수 의 개수는?
[3점][2013년 6월/교육청(고1) 11]
① ② ③
④ ⑤
68.68.자연수 에 대하여 세 조건 , , 를 각각
≥
≥
≥
이라 하자. 는 이기 위한 충분조건이고, 는 이기 위한 필요조건 일 때, 자연수 의 개수를 구하시오.
[3점][2010 3월/교육청(고2) 24]
69.69.실수 에 대한 두 조건
: ≤ , : ≤
에 대하여 는 이기 위한 충분조건이 되는 모든 정수 의 합을 구하 시오.
[4점][2010 6월/교육청(고1) 28]
4 절대부등식
절대부등식 01
70.70.<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2009 9월/교육청(고1) 19]
ㄱ. 실수 , 에 대하여 ≥ ㄴ. ≥ ≥ 이면
≥
ㄷ. , , 가 양수이면
≥
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
산술평균과 기하평균 02
71.71.두 실수 , 에 대하여 , 일 때,
의 최솟
값은?
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 7]
① ②
③
④ ⑤
72.72. 일 때,
의 최솟값을 구하시오.
[4점][2012 9월/교육청(고1) 26]
73.73. , 일 때,
의 최솟값은?4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 16]
① ② ③
④ ⑤
74.74.[그림1]과 같이 세 모서리의 길이가 각각 , , 인 직육면체 모 양의 나무토막이 있다.
[그림1]
[그림1]의 나무토막의 한 모퉁이에서 모서리의 길이가 인 정육면체 모 양의 나무토막을 잘라내었더니 [그림2]와 같이 나무토막 와 나무토막
로 나누어졌다.
[그림2]
의 부피가 일 때, 의 겉넓이의 최솟값을 구하시오. (단, ,
)
[4점][2012 11월/교육청(고1) 28]
75.75.다음은 실수 , 에 대하여 , 일 때,
의 최솟값을 구하는 과정으로, 어떤 학생의 오답에 대한 선생님의 첨삭지도 일부이다.<학생풀이> 2009년 ○○월 ○○일 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 적용하면
≥
⋯ ㉠
≥
⋯ ㉡
㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면
≥
⋅
⋯㉢
그러므로 구하는 최솟값은 이다.
<첨삭내용> ○ ○ ○ (인)
㉠의 등호가 성립할 때는 (가) 이고
㉡의 등호가 성립할 때는 (나) 이다.
따라서 (가)와 (나)를 동시에 만족하는 양수 , 는 존재 하지 않으므로 최솟값은 8이 될 수 없다.
(가), (나)에 알맞은 것과 최솟값을 바르게 구한 것은?
[4점][2009 9월/교육청(고1) 13]
(가) (나) 최솟값
①
②
③
④
⑤
코시-슈바르츠의 부등식(교과 외) 03
76.76.[그림 ]과 같이 길이가 인 직사각형 모양의 종이띠 ABCD 를 변 AB 와 변 D C 가 서로 맞닿도록 [그림 ]와 같은 모양으로 접어 붙 였다.
[그림 ]
[그림 ]
[그림 ]에서 꼭짓점 P 와 꼭짓점 Q 사이의 거리를 이라 할 때, 의 최솟값을 구하시오. (단, [그림 ]의 모든 면은 서로 수직이거나 평 행이다.)
[4점][2011 9월/교육청(고1) 29]
1 대응과 함수
여러 가지 함수 01
77.77.집합 에 대하여 집합 에서 로의 일대일 대응, 항등함수, 상수함수를 각각 , , 라 하자. 세 함수 ,
, 가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은?
[3점][2009 11월/교육청(고1) 7]
(가)
(나)
① ② ③
④ ⑤
일대일 대응이 되기 위한 조건 02
78.78.실수 전체의 집합 에 대하여 함수 → 가
로 정의될 때, 이 함수가 일대일대응이 되도록 하는 정수 의 개수를 구하시오.
[4점][2015년 11월/교육청(고1) 28]
2 합성함수와 역함수
01 합성함수
79.79.그림은 함수 → 를 나타낸 것이다. ∘ 의 값 은?
[3점][2016(나) 6월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
80.80.함수 의 그래프가 그림과 같다. ∘ 의 값은?
[3점][2015(나) 11월/교육청(고2) 13]
O
① ② ③
④ ⑤
81.81.집합 의 모든 원소 에 대하여 에서 로의 함수 는 ‘를 로 나눈 나머지’로 정의하고, 에서 로의 함수
는 ∘ ∘ 를 만족시킨다.
일 때, 의 값은?
[4점][2016(나) 4월/교육청 17]
① ② ③
④ ⑤
82.82.두 집합 는 자연수 , 에 대하여 두 함수 → , → 가
를 로 나눈 나머지
이다. 합성함수 ∘ 의 치역의 원소의 개수가 이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
83.83.두 함수
≥ ,
에 대하여 합성함수 ∘ 의 치역이 ≥ 일 때, 상수 의 값을 구하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 28]
합성함수의 그래프 02
합성함수의 추정 03
84.84.함수 에 대하여 의 값은?
[3점][2016(나) 6월/평가원 4]
① ② ③
④ ⑤
85.85.집합 에 대하여 함수 → 가 그림과 같이 주 어져 있다.
, ⋯ 이라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2010 11월/교육청(고1) 25]
역함수의 계산 04
86.86.일차함수 가 을 만족시킬 때,
의 값은?
[3점][2016(나) 10월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
87.87.두 함수 에 대하여
, 일 때, 의 값은?
[3점][2009(가) 6월/교육청(고2) 4]
① ②
③
④
⑤
88.88.집합 에 대하여 집합 에서 로의 두 함수 , 의 그래프가 각각 그림과 같을 때,
∘ ∘ 의 값은?
[3점][2009 11월/교육청(고1) 5]
O
O
① ② ③
④ ⑤
89.89.집합 에 대하여 함수 → 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 는 일대일대응이다.
(나) 집합 의 모든 원소 에 대하여 ≠ 이다.
일 때, 의 값은?
[3점][2016(나) 7월/교육청 10]
① ② ③
④ ⑤
90.90.두 일차함수 , 에 대하여
∘ 의 값은?
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
91.91.자연수 에 대하여 좌표가 인 점을 P, 함수
≥ 이라 하자. 점 P을 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 와 만나는 점을 Q이라 할 때, 점 Q의 좌표를
이라 할 때, ⋅ 의 값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 13]
①
② ③
④
⑤ 92.92.집합 에서 집합 로의 두 함수 , 를 각각
(의 일의 자릿수)
(의 일의 자릿수)
로 정의할 때 ∘ ∘ 의 값은?
[3점][2010 3월/교육청(고2) 10]
① ② ③
④ ⑤
93.93.집합 에 대하여 에서 로의 두 함수 와 가 그림과 같을 때, ∘ ∘ 의 값은?
[3점][2011 11월/교육청(고1) 5]
① ② ③
④ ⑤
94.94.집합 에 대하여 에서 로의 함수 가
는 상수 이고, 함수 의 역함수 가 존재한다.
, ( ⋯)라 할 때,
의 값은?
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 19]
① ② ③
④ ⑤
95.95.실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수
≥ 에 대하여 의 값을 구하시오.
(단, 는 각각 의 역함수이다.)
[3점][2007 3월/교육청(고2) 25]
그래프를 이용한 역함수의 함숫값 05
96.96.그림은 ≥ 에서 정의된 두 함수 , 의 그래프 와 직선 를 나타낸 것이다. 의 값은? (단, 는 역함 수가 존재하는 함수이다.)
[3점][2009 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
97.97.집합 에 대하여 두 함수 → , → 가 있다.
함수 는 를 만족시키고 함수 의 그래프는 그 림과 같다.
O
두 함수 , 에 대하여 함수 → 를
≥ 라 정의하자. 함수 가 일대일대응일 때, 의 값을 구 하시오.
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 28]
역함수의 교점 06
98.98.함수 ≥ 의 그래프와 그 역함수
의 그래프의 교점이 일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010 11월/교육청(고1) 27]
1 유리함수
01 유리함수
99.99.자연수 에 대하여 함수 가 다음과 같다.
일 때, 곡선 의 점근선의 방정식이 , 이다.
의 값은?
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 13]
① ② ③
④ ⑤
100.100.세 상수 에 대하여 분수함수
의 그래프가 점 을 지나고 점근선이 두 직선 일 때, 의 값은?
[3점][2013(B) 3월/교육청(고2) 5]
① ② ③
④ ⑤
101.101. 는 상수이고, 유리함수
에 대하여 직선
가 곡선 의 두 점근선의 교점을 지날 때, 상수 의 값 은?
[3점][2015(가) 6월/교육청(고2) 13]
O
①
②
③
102.102.유리함수
의 그래프의 점근선의 방정식이 ,
일 때, 두 상수 , 에 대하여 의 값은?
[3점][2015(나) 11월/교육청(고2) 5]
① ② ③
④ ⑤
103.103.함수
의 그래프의 점근선은 두 직선 , 이다. 두 상수 의 곱 의 값을 구하시오.
[4점][2016(나) 6월/평가원 26]
104.104.유리함수
의 그래프에서 점근선의 방정식이 ,
일 때, 의 값은?
[3점][2015(나) 3월 교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
105.105.유리함수
의 그래프가 제 사분면을 지나지 않도록 하는 정수 의 최솟값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
106.106.유리함수
≠ 의 그래프의 점근선은 두 직선
, 이다. 의 값은? (단, , 은 상수이다.)
[3점][2014년 11월/교육청(고1) 9]
①
②
③
④
⑤
107.107.유리함수
의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을
<보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2009 11월/교육청(고1) 6]
ㄱ. 점근선의 방정식은 , 이다.
ㄴ. 그래프는 제사분면을 지난다.
ㄷ. 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
유리함수의 평행이동과 대칭이동 02
108.108.유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방 향으로 만큼 평행이동한 그래프가 점 를 지날 때, 상수 의 값 은?
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 8]
① ② ③
④ ⑤
109.109.분수함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동하면
의 그래프와 일치한 다. 의 값은?
[3점][2012 3월/교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
110.110.유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선을 라 하자. 곡선
의 두 점근선의 교점이 곡선 위의 점일 때, 상수 의 값은?
[4점][2015(가) 3월 교육청(고2) 16]
① ② ③
④ ⑤
111.111.유리함수
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2016(나) 10월/교육청 10]
ㄱ. 함수 의 정의역과 치역이 서로 같다.
ㄴ. 함수 의 그래프는
의 그래프를 평행이동한 것이다.
ㄷ. 함수 의 그래프는 제 사분면을 지나지 않는다.
< 보 기 >
유리함수의 그래프의 대칭성 03
112.112.좌표평면에서 함수
의 그래프가 직선 에 대하 여 대칭일 때, 상수 의 값은?
[3점][2017(나) 수능 10]
① ② ③
④ ⑤
113.113.유리함수
의 그래프는 두 직선 와
에 대하여 각각 대칭이다. 이 때, 의 값은?
[ 점][2009(가) 6월/교육청(고2) 16]
① ② ③
④ ⑤
유리함수의 역함수 04
114.114.유리함수
의 그래프와 그 역함수의 그래프가 일치할 때, 상수 의 값은?
[3점][2015년 11월/교육청(고1) 12]
① ② ③
④ ⑤
115.115.두 분수함수
,
의 그래프가 직선
에 대하여 대칭일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)
[3점][2006 3월/교육청(고2) 28]
유리함수의 산술평균과 기하평균 05
116.116.그림과 같이 곡선
위의 점 중에서 제 사분면에 있는 점 을 P , 제 사분면에 있는 점을 Q 라 하자. 점 P 에서 축, 축에 내린 수선의 발을 각각 A , B 라 하고, 점 Q 에서 축, 축에 내린 수선의 발을 각각 C , D 라 할 때, 육각형 AP BCQ D 의 넓이의 최솟값은?
[4점][2014(B) 3월/교육청(고2) 15]
① ② ③
④ ⑤
117.117.그림과 같이 함수
의 그래프 위의 한 점 P 에서 이 함수의 그래프의 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 Q , R 라 하고, 두 점근선의 교점을 S라 하자. 사각형 P RSQ 의 둘레의 길이의 최솟값 은? (단, 점 P 는 제사분면 위의 점이다.)
[4점][2013년 11월/교육청(고1) 16]
O
R P
Q S
①
② ③
118.118. 는 상수이고, 유리함수
에 대하여
일 때, 유리함수 의 그래프 위를 움직이는 점 P 와 직선
사이의 거리의 최솟값은?
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 14]
O
① ②
③
④ ⑤
유리함수의 활용 06
119.119.유리함수
의 그래프 위의 점 P 와 직선
사이의 거리가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 26]
120.120.그림과 같이 함수
의 제 사분면 위의 점 A 에서 축과
축에 평행한 직선을 그어
와 만나는 점을 각각 B C 라 하자. ∆ABC 의 넓이가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2006(가) 6월/교육청(고2) 27]
A C
B
O
121.121.자연수 에 대하여 함수 가 다음과 같다.
, , ⋯ 일 때, 곡선 의 제사분면 위의 점 중에서 축, 축까지의 거리가 같게 되는 점을 P라 하고, 점 P에서
축, 축에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라 하자.
사각형 O QPR의 넓이를 라 할 때,
의 값은?[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 14]
P
O Q
R
① ② ③
④ ⑤
2 무리함수
무리함수의 그래프 01
122.122.세 함수
,
, 의 그 래프가 그림과 같다. 함수 의 그래프는 함수 의 그래 프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향 으로 만큼 평행이동한 것이다. 두 상수 , 의 합 의 값은?[3점][2016(나) 4월/교육청 13]
O
① ② ③
④ ⑤
123.123.함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하였더니 함수
의 그래프와 일 치하였다. 의 값은? (단, 은 상수이다.)[4점][2016(나) 6월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
124.124.꼭짓점의 좌표가
인 이차함수 의 그 래프가 점 를 지날 때, 무리함수
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2011 11월/교육청(고1) 20]
ㄱ. 정의역은 ≥ 이고 치역은 ≤ 이다.
ㄴ. 함수 의 그래프는 제사분면을 지난다.
ㄷ. 방정식 의 두 근을 , 라 할 때,
≤ ≤ 에서 함수 의 최댓값은 이다.
< 보 기 >
무리함수의 그래프와 미정계수 구하기 02
125.125.무리함수
의 그래프가 그림과 같다.
O
이때 의 값을 구하시오. (단, 는 실수이다.)
[3점][2013(A) 3월/교육청(고2) 23]
126.126.두 일차함수 의 그래프의 개형이 그림과 같을 때, 무리함수
의 그래프의 개형은?[3점][2006(가) 6월/교육청(고2) 10]
O
① ②
O
O
③ ④
O
O
⑤
127.127.함수
의 그래프가 그림과 같을 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.)[3점][2011 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
128.128.이차함수 의 그 래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 무리함수
의 그래프의 개형은? (단, , , 는 상 수이다.)[3점][2008 3월/교육청(고2) 10]
① ②
③ ④
⑤
무리함수와 역함수의 교점 03
129.129. ≥ 에서 정의된 두 함수
, 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만난다. 두 점 사이의 거리는?
[3점][2011 11월/교육청(고1) 12]
① ②
③ ④
⑤ 130.130.그림은 무리함수
의 그래프이다.
O
함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프의 교점이
일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[3점][2012 11월/교육청(고1) 10]
①
②
③
④
⑤
131.131.그림과 같이 함수
의 그래프와 함수 ≥ 의 그래프가 만나는 점을 A 라 하자.
함수 위의 점 B
를 지나고 기울기가 인 직선 이 함수 의 그래프와 만나는 점을 C 라 할 때, 삼각형ABC 의 넓 이는?[4점][2014년 11월/교육청(고1) 20]
O
A
B
C
①
②
③
④
⑤
무리함수의 활용 04
132.132.자연수 에 대하여 직선 이 무리함수
의 그래프와 만나는 점을 A, 축과 만나는 점을 B이라 할 때, 삼각형 O AB의 넓이는? (단, O O 는 원점이다.)[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 13]
A
B
O
①
②
③
④
⑤
133.133.좌표평면에서 곡선
이 두 직선 ,
와 만나는 점을 각각 A , B 라 할 때, 삼각형 O AB 의 넓이는? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 15]
① ② ③
④ ⑤
