공리적 확률 3가지 조건을 만족할 때,

(1)

제 5장 확률( Probability)

5.1 표본공간 및 사건 5.2 확률의 정의

5.2.1 확률의 고전적 이론 5.2.2 확률의 상대도수적 이론 5.2.3 확률의 주관적 이론 5.3 확률의 계산

5.4 조건부 확률 5.4.1 확률의 덧셈법칙 5.4.2 조건부확률

5.4.3 결합확률과 확률의 곱셈정리 5.4.4 여사건(Complement)

5.5 전확률 공식

(2)

수리정보과학과

5.1 표본공간 및 사건

 확률은 집합(set)의 개념을 이용

– 유한집합 : 집합의 원소들의 개수를 정확하게 셀 수 있는 집합 – 무한집합 : 원소들의 개수가 무한이거나 셀 수 없는 집합

 공집합(null set) = 원소가 하나도 없는 집합, ∅ 또는 { }

 𝐴는 𝐵의 부분집합(A ⊆ 𝐵)

: 집합 𝐴의 모든 원소들이 집합 𝐵에 포함되는 원소

 𝐴, 𝐵가 서로 공통원소를 가지고 있지 않을 때,

𝐴와 𝐵는 상호배반집합(mutually exclusive sets)이라고 함

기초통계학 - 김대학 2

(3)

 𝐴에 대한 𝐵의 차집합 (𝐴 − 𝐵)

 𝐴의 여집합(complement) (𝐴^′ 또는 𝐴^𝑐)

 합집합(union) (A ∪ 𝐵)

 교집합(intersection) (A ∩ 𝐵)

(4)

 확률을 말하기 위해서는 먼저 실험이나 관측을 한 대상이 있어야 하며, 어떤 일이 일어난 확률을 정의하기 위해서는 먼저 표본공간과 사건을 정의하여야 한다.

 표본공간(sample space, 𝑆) : 출현 가능한 모든 결과의 집합

 표본공간의 원소(element) : 나타낼 수 있는 개개의 결과들

 사건(event, 𝐴, 𝐵) = 표본공간의 한 부분집합. 어떤 특성을 갖는 결과들의 모임

(5)

[예 5.1] 한 개의 동전을 던지는 실험

표본공간 : 𝑆, 동전의 앞면 : 𝐻, 동전의 뒷면 : 𝑇 사건 𝐴 : 동전의 앞면이 나오는 사건

𝑆 = {𝐻, 𝑇} 𝐴 = {𝐻}

(6)

 이산형 표본공간(countably infinite)

 연속형 표본공간(uncountably infinite)

[예 5.2] 동전을 세 번 던지는 실험에서

앞면이 2회 나올 사건𝐴와 뒷면이 2회 나올 사건 𝐵를 나타내면?

(7)

5.2 확률의 정의

 확률(probability) : 어떤 사건이 일어날 가능성을 0과 1사이의 실수로 표시한 것 예) 내일 비가 올 가능성

확률 0 = 그 사건이 발생할 가능성 전혀 없음 확률 1 = 그 사건이 반드시 발생

(8)

5.2.1 확률의 고전적 이론

 특별한 이유가 없다면 표본공간을 이루는 각 실험결과 발생 가능성은 동일하 다고 보는 것

 선험적 확률(a priori probability)

 모든 원소가 일어날 가능성이 같은 경우

이산형 표본공간 𝑃 𝐴 = 사건𝐴에속하는원소의개수 표본공간의전체원소의개수

연속형 표본공간 𝑃 𝐴 = 사건𝐴에속하는원소에대한측도 표본공간의전체원소에대한측도

(9)

5.2.2 확률의 상대도수적 이론

 확률을 결정할 수 있는 절차는 반복적 실험(repetitive experiments)밖에 없다는 이론

 상대도수(relative frequency) : 특정 사건의 발생횟수를 전체의 시행수로 나눈 값

– 𝑛(𝐴) : 𝑛번 시행에서 사건 𝐴가 일어난 횟수 – 상대도수 = 𝑛(𝐴) /𝑛 = 확률

상대도수

^사건발생_전체시행^횟수_횟수

(10)

 반복적 실험에 의해 실제확률(true probability)을 구해 낼 수는 없지만, 실험의 횟수를 증가시켜 실제확률에 가까운 값을 얻을 수 있다.

 어떤 사건이 장기적으로 일어나는 비율로 확률을 정의

 반복적 실험에 의해 확률이 평가된다. 경험적 확률(empirical probability)

(11)

5.2.3 확률의 주관적 이론

 객관적 확률(objective probability) : 쉽게 동의할 수 있는 확률

 주관적 이론(subjective theory) : 개인이 갖고 있는 믿음의 정도를 이용하여 불 확실한 사건의 확률을 평가하는 것

(12)

 개인의 주관적 믿음(subjective probability)은 생각하는 관점의 차이의 문제점이 있다. (개인적인 확신의 정도를 나타내기 때문에)

(13)

공리적 확률(axiomatic probability)

1) 표본공간 𝑆에서 임의의 사건 𝐴에 대하여 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 2) 𝑃 𝑆 = 1

3) 서로 배반인 사건 𝐴_1, 𝐴₂, ⋯ 에 대하여 𝑃 𝐴₁ ∪ 𝐴₂ ∪ ⋯ = 𝑃(𝐴₁) + 𝑃(𝐴₂) ⋯

공리적 확률 3가지 조건을 만족할 때,

P(A)를 가진 사건 A의 확률이라 함

(14)

확률의 계산 예

[예 5.3] 동전을 두 번 던져 앞면이 한번만 나올 사건 𝐴의 확률을 구하여 보자.

(풀이)

표본공간 𝑆 = { 𝐻, 𝐻 𝐻, 𝑇 𝑇, 𝐻 (𝑇, 𝑇)}

사건 𝐴 = {(𝐻, 𝑇) (𝑇, 𝐻)}

사건 𝐴 의 확률 : 𝑃(𝐴) = ²₄ = ¹

2

사건 𝐴 의 확률의 근사값 : 𝑃 𝐴 ≈ 𝑓_𝐴/𝑛 (𝑓_𝐴 : 사건 𝐴의 𝑛번 반복실험에서의 발생빈도)

(15)

5.3 확률의 계산

 검은 공(𝐵) 8개와 붉은 공(𝑅) 6개가 들어 있는 주머니에서 한 번에 하나씩 반복 하여 공을 꺼내는 실험에서 처음 두 개의 공이 모두 검은 공일 확률은?

복원추출법

(sampling with replacement)

• 한번 꺼낸 공을 관찰한 후 다 시 주머니에 넣고 섞은 후 다시 공을 꺼내는 방법

비복원추출법

(sampling without replacement)

• 한 번 꺼낸 공을 다시 주머니 에 넣지 낳고 다시 주머니에 서 공을 꺼내는 방법

(16)

5.3.1 복원 추출법과 비복원추출법

(1) 복원추출의 경우

– 처음 꺼낸 공이 검은 공일 확률 ⁸

14 = ⁴₇ – 두 번째 꺼낸 공이 검은 공일 확률 ⁴

7

– 처음 두 공이 모두 검은 공일 확률

𝑃(1

^𝑠𝑠

= 𝐵, 2

^𝑛𝑛

= 𝐵)

= 𝑃(1

^𝑠𝑠

= 𝐵)× 𝑃(2

^𝑛𝑛

= 𝐵) =

⁴₇

×

⁴₇

=

¹⁶

49

(17)

 (2) 비복원추출법

– 처음 꺼낸 공이 검은 공일 확률 ⁸

14 = ⁴₇

– 두 번째 꺼낸 공이 검은 공일 확률 𝑃(2^𝑛𝑛 = 𝐵) | 1^𝑠𝑠 = 𝐵) = ₁₃⁷ – 처음 꺼낸 공이 검은 공일 때 두 번째 꺼낸 공이 검은 공일 확률 𝑃(2^𝑛𝑛 = 𝐵) | 1^𝑠𝑠 = 𝑅) = ₁₃⁸

- 두 개의 공이 모두 다 검은 공일 확률 ⁷

13 × ⁴₇ = ⁴

13

(18)

5.3.2 경우의 수를 이용한 확률 계산

 경우의 수에 의한 실험에 있어서 특정 조건을 만족하는 사건이 일어날 확률

 확률 = 주어진조건을만족하는경우의수 모든가능한경우의수

 경우의 수에 대한 계산

– 순열(permutation)과 조합(combination) 이용

(19)

(1) 순열(Permutation)

 𝑛개의 서로 다른 원소로 구성된 집합으로부터 그 중에서 𝑟개의 원소를 선택하 여 이들 간에 순서를 정하여 늘어놓는 방법

𝑛 𝑟

𝑃 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯ 𝑛 − 𝑟 + 1 =

^𝑛!

𝑛−𝑟 !

𝑛개를 모두 나열하는 방법의 순열

𝑛 𝑛

𝑃 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯1 = 𝑛!

(20)

(2) 조합(combination)

 𝑛개의 서로 다른 원소로 구성된 집합으로부터 𝑟개의 원소를 순서에 관계없이 비복원으로 선택하는 방법

[예 5.4] 8권의 책 중에서 3권의 책을 순서에 상관없이 뽑는 방법의 수

8 3

𝐶 =

^{8 3}_3!^𝑃

=

^8!

3! 8−3 !

= 56

𝐶

_{𝑛 𝑟}

=

^{𝑛 𝑟}^𝑃

𝑟!

=

^𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !

(21)

(3) 중복순열

 𝑛개의 원소들 중에서 동일한 것이 각각 𝑛₁, 𝑛₂, ⋯, 𝑛_𝑘 (단, 𝑛 = 𝑛₁+𝑛₂+ ⋯ + 𝑛_𝑘) 개가 있을 때, 𝑛개를 순서대로 세우는 경우의 수

= ^𝑛!

𝑛₁!×𝑛₂!×⋯×𝑛_𝑘!

(22)

5.4 조건부 확률

5.4.1 확률의 덧셈법칙

 표본공간 𝑆에서 정의된 2개의 사건𝐴와 𝐵에 대하여 두 사건의 합사건 𝐴 ∩ 𝐵에 대한 확률계산

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 이면 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)이고, 이때 𝐴와 𝐵를 서로 배반사건 (mutually exclusive events)이라 한다.

(23)

예제

[예 5.5] 한 수험생이 수학, 영어 시험을 보는 입학시험에서 수학시험에 합격할 사 건을 𝐴, 영어시험에 합격할 사건을 𝐵 라 할 때 𝑃(𝐴) = ²₃ , 𝑃(𝐵) = ⁴₉ 라 두자.

이때 수학과 영어 두 과목 중 적어도 한 과목에서 합격할 확률을 구하면 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = ⁴₅.

두 과목 모두 합격할 확률은

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = ¹⁴₄₅ .

(24)

5.4.2 조건부확률

 사건 𝐴가 주어졌을 때 사건 𝐵가 일어날 확률

 사건 𝐵가 주어졌을 때 사건 𝐴가 일어날 확률

𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐴) (단, 𝑃(𝐴) > 0), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐵) (단, 𝑃(𝐵) > 0),

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐵)

(25)

예제

[예 5.6] 5명의 남자와 6명의 여자가 회원으로 가입한 어느 모임에서 남자회원 중 2명은 안경을 끼고 여자회원 가운데 4명이 안경을 끼고 있다. 이 중 한 명을 선출 하는데 뽑힌 사람이 안경을 끼고 있다는 사실을 알고 있을 때 그 사람이 남자회원 일 확률?

(풀이)

𝐴 : 뽑힌 사람이 남자 회원이라는 사건

𝐵 : 뽑힌 사람이 안경을 쓰고 있는 사람이라는 사건

𝑃 𝐴 𝐵 = ^{𝑃(𝐴∩𝐵)}_𝑃(𝐵) = ¹¹²6 = ¹

3.

(26)

예제

[예 5.7] 어느 지역에 거주하는 학생들의 주사 접종에 대한 태도를 조사한 결과가 다음 표와 같다.

초등학생 중학생 고등학생 합계 두려워함 0.12 0.08 0.05 0.25 두려워하

지 않음 0.28 0.25 0.22 0.75 합계 0.4 0.33 0.27 1.00

(27)

𝐴=[임의로 뽑힌 학생이 주사 접종을 두려워 하는 사건]

𝐵=[임의로 뽑힌 학생이 중학생일 사건]

일때 다음 확률을 구하면?

(a) 𝐴=[임의로 뽑힌 학생이 주사 접종을 두려워 하는 사건]

𝑃(𝐴) = 0.25

(b) 이 지역의 학생들 중에서 임의로 뽑힌 학생이 중학생임(𝐵)을 알았을 때 이 중학생이 주사 접종을 두려워하는 학생일 확률(𝐴|𝐵)은?

𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐵) = 0.08/0.33 = 0.24

(28)

5.4.3 결합확률과 확률의 곱셈정리

 결합확률(joint probability) : 사건이 동시에 일어나는 확률

 결합확률을 나타내는 식 : 확률의 곱셈법칙

 𝑃(𝐴) > 0, 𝑃(𝐵) > 0 이면, 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 𝐴, 𝐵가 서로 독립사건이면 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)

(29)

곱셈법칙

 조건부 확률 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐵) 에서

∴ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)

 조건부 확률 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐴) 에서

∴ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)

(30)

예제

[예 5.8] 불량품 20개와 양품 80개로 구성된 로트에서 2개의 제품을 랜덤 추출할 때 2개 모두 불량품일 확률을 구하여라.

(풀이)

𝐴 : 첫 번째 꺼낸 제품이 불량품일 사건 𝐵 : 두 번째 꺼낸 제품이 불량품일 사건

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴

= ¹⁹₉₉ × ₁₀₀²⁰ = ₄₉₅¹⁹ .

(31)

예제

[에 5.9] 한 자문기업에서 두 사립대학(𝐴, 𝐵)의 장기발전 계획안을 수립하는 용역을 얻기 위해 공개입찰에 응했다. 𝐴 대학으로부터 용역을 얻어낼 확률은 0.45이고 𝐴 대학으로부터 용역을 얻어내면 𝐵 대학의 용역을 얻어낼 확률 𝑃(𝐵|𝐴)은 0.90로 알 려져 있다. 이때 이 자문기업이 두 대학으로부터 용역을 얻어낼 확률을 구하면?

(풀이)

𝑃(𝐴) = 0.45 𝑃(𝐵|𝐴) = 0.90

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) × 𝑃(𝐴) = 0.90 × 0.45 = 0.405.

(32)

5.4.4 여사건(Complement)

 여사건 : 사건 𝐴에 대하여, 𝐴에 포함되어 있지 않은 표본공간 𝑆의 모든 기본 결 과들로 구성된 사건

[예 5.10] 주사위를 한 번 던질 때 짝수가 나올 사건의 여사건은 홀수가 나올 사건이다.

``` 𝐴를 짝수가 나올 사건이라 두면

𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴^𝑐 = 𝑃 짝수 + 𝑃 홀수 = ¹₂ + ¹₂ = 1.

𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴

^𝑐

= 1

𝑃 𝐴

^𝑐

= 1 − 𝑃(𝐴)

(33)

확률의 분할법칙

𝑃 𝐵

= 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃 𝐴

^𝑐

∩ 𝐵

= 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 𝐴

^𝑐

𝑃(𝐴

^𝑐

)

(34)

5.5 전확률 공식

[예 5.11] 어느 회사의 종업원의 직무별, 학력별 분포가 다음과 같이 조사되었다.

 주변확률(marginal probability)은 행과 열의 가장자리에 있는 사건의 확률을 의 미한다.

 주변확률 = 결합 확률의 합

고졸 이하 대졸 이상 합계

판매직 192 70 262

관리직 8 30 38

합계 200 100 300

(35)

이 회사워들 중 다음에 해당되는 확률을 구하면?

(풀이)

𝐴 : 판매직일 사건, 𝐴^𝑐 : 관리직일 사건

𝐵 : 고졸 이하일 사건, 𝐵^𝑐 : 대졸 이상일 사건으로 두면

𝑃(𝐴) : 판매직이 될 주변확률, 𝑃(𝐵) : 고졸 이하가 될 주변확률이므로

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵^𝑐) = ¹⁹²₃₀₀ + ⁷⁰

300 = ²⁶²

300 = 0.87 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴^𝑐) = ¹⁹²₃₀₀ + ⁸

300 = ²⁰⁰

300 = 0.67.

(36)

전확률정리

 표본공간이 𝑛개의 서로 배반적인 사건 𝐵₁, 𝐵₂, ⋯, 𝐵_𝑛으로 분할되었고, 𝐵_𝑖의 확 률이 0이 아니면 임의의 사건 𝐴에 대해,

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵₁ 𝑃 𝐴 𝐵₁ + ⋯ + 𝑃 𝐵_𝑛 + 𝑃(𝐴|𝐵_𝑛).

전확률정리

(theorem of total probability) 결합확률의 합으로 주변확률 구하는 방법

(37)

5.6 베이즈(Bayes) 정리

[예 5.12] 위와 같은 구조에서 출고된 제품 중에서 하나가 불량품으로 반품되 어 왔을 때 그 불량품을 𝐴가 생산하였을 확률 ?

풀이 𝐹 : 생산된 제품이 불량품일 사건이라 하면

생산율 불량률

𝐴 40% 5%

𝐵 30% 10%

𝐶 30% 5%

< 동일 품목에 대한 각 종업원의 생산율과 불량률 >

(38)

𝑃 𝐴 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐹 𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐹 𝐵 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐹 𝐶 𝑃 𝐶

𝐹 = (𝐴 ∩ 𝐹) ∪ (𝐵 ∩ 𝐹) ∪ 𝐶 ∩ 𝐹

로 된다. 따라서 불량품을 𝐴가 생산하였을 확률은

𝑃 𝐴 𝐹 = ^{𝑃(𝐴∩𝐹)}_𝑃(𝐹)

= 𝑃 𝐹 𝐴 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐹 𝐵 𝑃 𝐵 +𝑃 𝐹 𝐶 𝑃(𝐶)^{𝑃 𝐹 𝐴 𝑃(𝐴)} = _0.245^0.2 = 0.82.

𝐴 𝐵 𝐶

𝐹

𝐵 ∩ 𝐹 𝐶 ∩ 𝐹 𝐴 ∩ 𝐹

(39)

예제

[예 5.13] 어떤 사람이 혈액검사에서 양성결과(𝐴)가 나왔을 때 실제로 그 사람이 그 질병에 걸릴 확률 𝑃(𝐵|𝐴)를 구해보자. 질병에 걸릴 가능성은 1%이고 질병에 걸렸 을 때 양성반응이 나올 가능성은 97%로 알려져 있다고 하자.

(풀이)

𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) =

조건부확률 총확률법칙

𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 +𝑃 𝐵^{𝑃 𝐵 𝑃(𝐴|𝐵)}^𝑐 𝑃(𝐴|𝐵^𝑐) 로 부터 𝑃 𝐵 𝐴 = ^0.01×0.97 = 0.14.

(40)

베이즈(Bayes) 정리의 활용

 한 사건이 일어났을 때, 그 사건이 특정조건하에서 일어났을 확률을 계산

 서로 배반인 사건 𝐵₁, 𝐵₂, 𝐵₃, ⋯, 𝐵_𝑛 중 하나는 반드시 일어날 때, 𝑃 𝐴 > 0이면

𝑃 𝐵

_𝑖

𝐴 =

^{𝑃 𝐵}^𝑖_𝑃(𝐴)^{𝑃(𝐴|𝐵}^𝑖⁾