1.1 1.1 1.1
1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 확률의 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 뜻과 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 성질 1.1 확률의 뜻과 성질
교재 : 사범대생을 위한 확률과 통계, 장세경 지음, 경문사, 2012
1.1.1 확률의 기본 용어
예 : 한 개의 동전을 던지는 것 한 개의 주사위를 던지는 것 정의 1
동일한 조건 아래에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰을 시행이라고 하다.
예 : 한 개의 동전을 던지는 시행에서 앞면이 나오는 사건을 라 할 때, 표본공간 앞면 뒷면, 사건 앞면
정의 2
어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합을 표본공간이라 하고, 표본공간의 부분 집합을 사건이라고 한다.
기호 : 표본공간 = 또는
사건 = , , , ⋯ 또는 , , , ⋯
참고 : 근원사건은 더 이상 나눌 수 없는 사건 근원사건 전체의 합집합 = 표본공간 예 : 한 개의 동전을 던지는 시행에서
표본점 = ‘앞면’, ‘뒷면’
근원사건 = {앞면}, {뒷면}
정의 3
표본공간의 각각의 원소들, 즉 어떤 시행에서 발생한 각각의 결과들을 표본점이라고 한다.
한편, 표본공간의 한 원소로만 이루어진 사건, 즉 한 개의 표본점만을 결과로 갖는 사건을 근원사건이라 한다.
기호 : 표본점 = , , , ⋯ 또는 , , , ⋯
정의 4
어떤 사건을 구성하는 표본점들의 개수를 빈도라 하고, 표본공간의 빈도에 대한 그 사건의 빈도의 비를 상대빈도라고 한다.
기호 : 사건 의 빈도 = 또는 사건 의 상대빈도 =
또는
정의 5
반드시 일어나는 사건, 즉 어떤 시행에서 표본공간 전체를 전사건이라 하고, 절대로 일어나지 않는 사건을 공사건이라고 한다.
기호 : 전사건 = 또는 공사건 = ∅
정의 6
어떤 시행에서 발생한 사건에 대하여, 그 사건에 포함되지 않은 결과들을 갖는 사건 을 여사건이라고 한다.
기호 : 사건 의 여사건 =
정의 7
어떤 시행에서 발생한 두 사건을 와 라 할 때, 또는 가 발생하는 사건을 합사건이라 하고, 와 가 동시에 발생하는 사건을 곱사건이라고 한다.
기호 : 두 사건 와 의 합사건 = ∪ 두 사건 와 의 곱사건 = ∩
정의 8
어떤 시행에서 발생한 두 사건을 와 라 할 때, 두 사건 와 가 동시에 발생 하지 않는, 즉 ∩ ∅인 경우의 두 사건 와 를 상호배반사건이라고 한다.
참고 : 사건 와 여사건 는 상호배반사건이다.
예제 1. 어떤 주머니에 부터 까지 숫자가 한 개씩 적힌 개의 공이 들어 있다. 한 개의 공을 꺼내는 시행에서 다음을 구하시오.
(1) 표본공간 (2) 근원사건
(3) 꺼낸 공의 숫자가 의 배수인 사건 (4) 꺼낸 공의 숫자가 의 약수인 사건 (5) (3)의 빈도와 상대빈도
(6) (4)의 빈도와 상대빈도 (7) (3)과 (4)의 합사건 (8) (3)과 (4)의 곱사건
예제 2. 서로 다른 두 개의 동전을 던지는 시행에서 다음을 구하시오.
(1) 표본공간 (2) 근원사건
(3) 서로 다른 면이 나오는 사건 (4) 서로 같은 면이 나오는 사건 (5) (3)의 빈도와 상대빈도
(6) (4)의 빈도와 상대빈도 (7) (3)과 (4)의 합사건 (8) (3)과 (4)의 곱사건
예제 3. 서로 다른 두 개의 주사위를 던지는 시행에서 다음을 구하시오.
(1) 표본공간 (2) 근원사건
(3) 두 눈이 모두 의 배수가 나오는 사건 (4) 두 눈이 모두 의 배수가 나오는 사건 (5) (3)의 빈도와 상대빈도
(6) (4)의 빈도와 상대빈도 (7) (3)과 (4)의 합사건 (8) (3)과 (4)의 곱사건
참고. 확률과 집합의 용어 비교
확률 집합
표본공간, 전사건 전체집합
사건 부분집합
근원사건 단일집합
공사건 공집합
합사건 합집합
곱사건 교집합
여사건 여집합
상호배반사건 서로소
1.1.2 확률의 뜻
정의 9
어떤 시행의 결과가 유한개이고 각 근원사건이 같은 정도로 발생할 것이 기대될 때, 표본공간 에서 사건 가 발생할 수학적 확률은
표본공간 의 빈도 사건 의 빈도 이다.
수학적 확률을 라플라스 확률이라고도 한다.
수학적 확률 = 상대빈도
예제 4. 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 이하의 눈이 나올 확률을 구하시오.
풀이. 표본공간 =
이하의 눈이 나올 사건 =
예제 5. 12의 양의 약수 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 그 수가 의 양의 약수일 확률 을 구하시오.
풀이. 표본공간 =
의 양의 약수를 선택할 사건 =
예제 6. 한 개의 동전을 세 번 던지는 시행에서 다음을 구하시오.
(1) 첫 번째 결과가 뒷면일 확률 (2) 뒷면이 한 번 나올 확률
풀이. 앞면 = , 뒷면 =
예제 7. 태희, 혜교, 지현이가 m 달리기 시합을 할 때, 다음을 구하시오. (단, 어느 두 명도 동시에 들어오지 않는다.)
(1) 태희가 등으로 들어올 확률
(2) 혜교가 태희보다 먼저 들어올 때, 지현이가 태희보다 먼저 들어올 확률
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
1등 태희 태희 혜교 혜교 지현 지현
2등 혜교 지현 태희 지현 태희 혜교
3등 지현 혜교 지현 태희 혜교 태희
정의 10
같은 시행을 번 반복한 사건 의 빈도가 이라 할 때, 이 한없이 커짐에 따라 비율
이 일정한 값 에 가까워지면, 즉
lim
→∞
이면,
를 사건 의 통계적 확률이라고 한다.
실험에 대한 자료가 주어지는 확률 = 통계적 확률
예제 8. 한 개의 윷가락을 번 반복하여 던지는 시행을 하여 윗면이 나온 횟수의 결과를 다음과 같이 조사하였다. 이 윷가락의 윗면이 나올 확률을 구하여라.
시행 횟수(회) 100 200 400 800 윗면이 나온 횟수(회) 29 54 128 248 풀이.
예제 9. 어떤 대학교 내에 마련된 헌혈버스에서는 한 달 동안 학생들의 헌혈 참여도를 다음 과 같이 조사하였다. 이 중에서 한 명의 학생을 임의로 선택할 때, 이 학생이 3학년 학생일 확률을 구하시오.
학년 1학년 2학년 3학년 4학년 합계
학생 수(명) 210 185 140 165 700 풀이.
예제 10. 어떤 보건소에서는 금연을 희망하는 100명의 성인을 대상으로 금연기간에 대한 금연에 성공한 대상자의 수를 다음과 같이 조사하였다. 이때, 7일 동안 금연에 성공한 대상 자가 3일 이내에 흡연을 하게 될 확률을 구하시오.
기간(일) 7 8 9 10 11 12
금연 성공 대상자 수(명) 85 61 48 34 22 10 풀이.
정의 11
표본공간 에 대한 사건 , , ⋯, , ⋯에 대하여 (공리 1) ≤ ≤
(공리 2)
(공리 3) ≠ 일 때, ∩ ∅이면
∪∪ ⋯ ∪∪ ⋯
∞
를 만족하는 확률을 공리적 확률이라고 한다.
예제 11. 한 변의 길이가 2인 정사각형의 내부에 임의로 한 점을 찍을 때, 정사각형의 밑 변과 이루는 삼각형이 둔각삼각형이 될 확률을 구하시오.
풀이.
1.1.3 확률의 기본 성질
정의 12
어떤 사건이 발생할 수 있는 각각의 방법을 경우라 하고, 그 방법의 총 개수를 경우 의 수라고 한다.
기호 : 사건 의 경우의 수 = 또는
참고. 합의 법칙
표본공간 의 두 사건 와 에 대하여, 사건 의 경우의 수가 이고 사건 의 경우의 수가 라고 하자.
(1) 두 사건 와 가 상호배반사건이 아닐 때, 사건 또는 사건 가 발생할 경우의 수는
∪ ∩ 이다.
(2) 두 사건 와 가 상호배반사건일 때, 사건 또는 사건 가 발생할 경우의 수는
∪ 이다.
예제 12. 어떤 분식점의 메뉴에 다섯 가지 종류의 김밥과 네 가지 종류의 라면이 있다. 이 중에서 어떤 것이든 한 가지 메뉴를 주문한다고 할 때, 선택할 수 있는 경우의 수를 구하시 오.
풀이.
예제 13. 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 두 눈의 합이 5의 배수가 되는 경우의 수를 구 하시오.
풀이.
정리 1 확률의 덧셈정리
표본공간 의 두 사건 와 에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 두 사건 와 가 상호배반사건이 아닐 때, 사건 또는 사건 가 발생할 확률 은
∪ ∩ 이다.
(2) 두 사건 와 가 상호배반사건일 때, 사건 또는 사건 가 발생할 확률은
∪ 이다.
증명. 생략
예제 14. 과수원이 밀집되어 있는 어떤 마을의 재배 유형을 조사하였더니 사과를 재배하는 농가는 전체의
이고 배를 재배하는 농가는 전체의
이며 사과와 배를 모두 재배하는 농
가는 전체의
이다. 이 마을에서 임의로 한 농가를 선택할 때, 이 농가가 사과 또는 배를 재배할 확률을 구하시오.
풀이.
예제 15. 어떤 백화점에서 추석 명절의 선물 구매 유형을 조사하였더니 갈비를 구입한 사 람은 전체의
이고 과일을 구입한 사람은 전체의
이며 갈비와 과일을 모두 구입한 사람
은 전체의
이었다. 이 구매자 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 구매자가 갈비 또는 과일을 구입한 사람일 확률을 구하시오.
풀이.
정리 2 확률의 기본 성질
표본공간 의 두 사건 , 와 공사건 ∅에 대하여 다음이 성립한다.
(1) ≤ ≤ (2) ∅
(3)
(4) 또는 (5) ∩
증명. 생략
예제 16. 어떤 대학교에서는 일반화학 수강생 60명의 실험에 대한 보고서에 다음과 같이 등급을 나누어 각 등급에 각각 20점, 15점, 10점, 5점, 0점의 점수를 배점한다고 한다. 이 중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 이 보고서의 점수가 적어도 5점일 확률을 구하시오.
등급 A B C D F 합계
학생 수(명) 12 18 18 9 3 60
풀이.
예제 17. 서로 다른 두 개의 주사위를 던질 때, 나온 두 눈의 합이 적어도 5일 확률을 구 하시오.
풀이.
예제 18. 어떤 대학교 내에 마련된 헌혈버스에서는 한 달 동안 학생들의 헌혈 참여도를 다 음과 같이 조사하였다. 이 중에서 한 명의 학생을 임의로 선택할 때, 이 학생이 적어도 3학 년 학생일 확률을 구하시오.
학년 1학년 2학년 3학년 4학년 합계
학생 수(명) 210 185 140 165 700 풀이.
확률의 덧셈 정리는 세 개의 사건에 대해서도 비슷하게 성립한다.
교재 p.22의 참고와 예제 19~20 각자 확인
정리 3 불의 부등식
표본공간 의 사건 , , ⋯, 에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.
(1) ∪ ≤
(2) ∪∪ ⋯ ∪ ≤ ⋯ , 즉
≤
.
증명. 수학적 귀납법 이용.
정리 4 본페로니의 부등식
표본공간 의 사건 , , ⋯, 에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.
(1) ∩ ≥
(2) ∩∩ ⋯ ∩ ≥ ⋯ , 즉
≥
증명. (1)
(2) 생략.
예제 20. 어떤 전자회사에서 생산하는 전자렌지는 90개의 주요 부품으로 구성되어 있다고 한다. 각 부품이 5년 안에 고장 나지 않을 확률이 0.999로 동일할 때, 이 기계가 적어도 5 년 안에 고장 나지 않을 확률을 구하시오.
풀이. 각 부품이 고장 나지 않을 경우의 사건 = , ⋯ 이라 하자.
