Applied Fluid Machinery

Lecture 16

Applied Fluid Machinery

Wang-Hee Lee

Chungnam National University Biosystems Machinery Engineering

Designing pump

회전차의 설계

 원심펌프의 회전차의 설계에 쓰이는 계산식은 깃수 무한인 경우의 이론식이기 때문에, 실제 회전차에 대해서는 여러가지 요소에 대하여 수정을 가해야 한다. 실제 회전차에서는 깃의 매수에 제한이 있고, 깃은 두께를 가지기 때문에 유체의 통로가 그만큼 좁아져서 각종 손실을 초래한다.

이와 같은 손실은 회전차의 형상에 따라 크게 영향을 미치게 된다. 따라서 설계할 때에는 다음 사항을 고려하여야 한다.

 마찰손실을 적게 하려면

1. 깃의 길이(통로의 길이)를 짧게 2. 깃의 매수를 적게 3. 회전차 내외면을 매끈하게

 손실헤드를 적게 하려면

1. 통로의 단면적이 급변하지 않도록

2. 깃곡선을 완만하게 (이 때 깃의 길이는 필연적으로 길어진다) 3. 깃의 매수를 많도록 하여 곡률 반지름을 크게

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회전차의 설계: 설계양수량

 회전차 속을 흐르는 유량 Q는 회전차 입구의 바깥둘레와 라이너 링 등의 틈으로부터 새는 유량 q, 회전차 회벽이나 깃 자체를 순환하는 순환유량 q’등의 손실을 생각하면

𝑄^′= 𝑄 + 𝑞 + 𝑞′

설계 양수량: 설계계산에 사용

일반 펌프에서 𝑞 = (0.01~0.08)𝑄, 𝑞’ = (0.01~0.07)𝑄 정도이다.

⟹ 𝑞 + 𝑞’ = (0.02~0.15)𝑄가 되므로

𝑄’ = (1.02~1.15)𝑄

단위는 계산의 편의상 m³/s를 쓰는 경우가 많다

 현재 설계중인 펌프의 설계양수량

손실수량을 5%로 가정하면 𝑄’ = 1.05𝑄 = 1.05 ×1

60= 0.0175 𝑚³/𝑠

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회전차의 설계: 회전차 보스부의 축지름

 회전차 보스부의 축지름은 전달토크와 축의 극단면계수를 이용하여 유도한 다음의 식을 이용하여 계산할 수 있다.

𝑑1= 16 𝜋𝜏∙ 𝑇

3 ≈ 1.72 𝑇 𝜏

3

축지름을 계산하기 위해서는 전달토크와 축재료의 허용 비틀림 응력의 계산이 필요

전달토크 (T)

회전수(rpm), 각속도(ω rad/s)인 회전축의 비틀림 모멘트와 전달동력의 관계로부터 다음과 같은 식을 유도하여 구함

𝑇 =𝐿 𝜔=60𝑃

2𝜋𝑁

참고) 마력을 이용하여, kg∙cm의 단위로 전달토크를 나타낼 경우 다음과 같은 식을 이용

𝑇 = 71,620𝐿 𝑁

축의 허용 비틀림 응력

축재료에 따른 비틀림 모멘트와 키홈의 영향을 고려하여 계산

회전차를 축에 고정하기 위하여 키를 쓰는데, 키홈을 파게 되면 축이 약해지므로 그 영향을 고려해야 한다. 키 홈이 있는 축의 강도 A와 없는 축의 강도 B의 관계는 그 비를 S라 하면

S =𝐵

𝐴= 1.0 − 0.2𝑏 𝑑1− 1.1𝑡

𝑑1= 0.75 τ = 0.75 × 재료의 비틀림 응력

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회전차의 설계: 보스부 축지름 및 지름

 현재 설계중인 펌프의 보스부의 축지름 전달토크 (T) 𝑇 =60𝑃

2𝜋𝑁=60 × 4.69 × 10³ 2𝜋 × 1750 = 25.6 N ∙ m

축의 허용 비틀림 응력 축재료의 비틀림 모멘트 τ = 190 kg/cm² (SM25C) + 키홈의 영향 τ = 0.75 × 190 = 142.5 kg/cm²= 1398 × 10⁴𝑁 𝑚²

𝑑1= 1.72 𝑇 𝜏

3 = 1.72 25.6 1398 × 10⁴

3 = 0.021 𝑚 = 21 𝑚𝑚

참고) 소형 원심펌프의 규격에 의한 최소 축지름은 동력이 마력으로 주어진 경우 다음과 같이 구할 수 있다.

𝑑𝑚𝑖𝑛= 13.5 𝐿 𝑁

3 = 13.5 6.39 1750

3 = 20.8 𝑚𝑚

구한 축지름은 21 mm이므로 여기에서는 25 mm로 정한다.

 회전차의 보스부의 지름은 축지름을 이용하여 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.

𝑑𝑏= 1.8𝑑1= 1.8 × 21 = 45 𝑚𝑚

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회전차의 설계: 회전차의 안지름 (D)

 회전차의 안지름은 주축이 관통하지 않을 때와 주축이 관통할 때로 나누어 생각 주축이 관통하지 않을 때

회전차 입구의 면적 A A =𝜋 4𝐷²=𝑄′

𝑣𝑒 D = 4𝑄′

𝜋𝑣𝑒

𝑣𝑒는 회전차 입구의 평균유속으로서,

흡입구 유속 𝑣𝑠의 10~20%를 추가하여 잡는다 𝑣𝑒= (1.1~1.2)𝑣𝑠

주축이 관통할 때

보스부의 단면적이 입구의 면적을 감소시키므로 ^𝜋₄𝐷²− 𝑑𝑏2 =𝑄′

𝑣𝑒 D = 4𝑄′

𝜋𝑣𝑒+ 𝑑𝑏2

 현재 설계중인 펌프의 회전차의 안지름 (D)

주축이 관통하는 것으로 하고 회전차 입구의 평균 유속을 10%증가하는 것으로 하면, 𝑣𝑒= 1.1 × 2 = 2.2 𝑚/𝑠

D = 4𝑄′

𝜋𝑣𝑒+ 𝑑𝑏2= 4 × 0.0175

𝜋 × 2.2 + 0.045²= 0.11 𝑚 D=110 mm로 정한다

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회전차의 설계: 깃의 입구경 (D ₁ )

 원심펌프에서 깃의 입구경은 보통 다음 비율로 잡는다 𝐷1= 1.0~1.2 𝐷

 깃입구의 평균지름 𝐷1𝑚은 다음과 같이 결정한다.

𝐷1𝑚= 0.9~1.0 𝐷

 현재 설계중인 펌프의 회전차의 입구경 (D1)

입구경의 비율을 1.1로 잡으면 𝐷1= 1.1𝐷 = 1.1 × 110 = 121 𝑚𝑚

깃 입구의 평균지름은 0.9를 비율로 정하면 𝐷1= 0.9𝐷 = 0.9 × 110 = 99 𝑚𝑚

𝐷1= 120 𝑚𝑚로 정한다

𝐷1𝑚= 100 𝑚𝑚로 정한다

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회전차의 설계: 회전차의 바깥지름 (D ₂ )

 회전차의 바깥지름은 바깥지름의 원주속도 𝑢2를 구하여 다음 식으로 계산할 수 있다.

𝐷2=60𝑢2

𝜋𝑁 𝑢2의 값은 이론식에서 계산하는 방법과 실험계수를 써서 구하는 두 가지 방법이 있다.

이론식에 의한 방법 회전차의 출구에서의 속도삼각형을 이용하여 원주속도를 유도한다

𝑢2= 𝑔𝐻𝑡ℎ∞ 1 +tan 𝛼2 tan 𝛽2

실험계수에서 구하는 방법

𝑢2= 𝐾𝑢 2𝑔𝐻

비속도에서 계수 𝐾𝑢를 구하여 회전차의 원주속도를 구하는 방법이다.

계수 𝐾𝑢는 도표를 통하여 구할 수 있다

(예시: Stepanoff의 깃의 각도 𝛽2= 22° 30′에서 한 실험 도표)

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회전차의 설계: 회전차의 바깥지름 (D ₂ )

 현재 펌프에서의 회전차 바깥지름의 설계

𝑢2= 𝑔𝐻𝑡ℎ∞ 1 +tan 𝛼2

tan 𝛽2 깃수 무한인 이론양정 Hth∞의 값

α2, β2 (유출각과 출구각)

비율 𝜙는 경험치로서 보통 0.5~.0.68 정도의 값으로서, 효율이 좋은 보통의 펌프에서는 𝜙 = 0.6 이다.

깃수무한이론양정 대 실제양정의 비율 𝜙 𝜙 = 0.6 이라 하면

𝐻𝑡ℎ∞=𝐻 0.6=20.5

0.6= 33.5 m

D2= 240 mm 로 정한다 𝛼2= 10°, 𝛽2= 22.5°라 가정하면

𝑢2= 𝑔𝐻𝑡ℎ∞ 1 +tan 𝛼2

tan 𝛽2 = 9.8 × 33.5 1 +tan 10°

tan 22.5° = 21.67 𝑚/𝑠

회전차의 바깥지름 𝐷2=60𝑢2 𝜋𝑁=60 × 21.67

𝜋 × 1750= 0.237 m

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회전차의 설계: 깃수의 결정 (z)

 깃의 매수는 펌프의 형식, 회전차의 크기 등에 의하여 정해지고, 비속도에 대한 혹은 펌프의 크기에 대해 표를 이용하여 값을 구한다.

원심펌프의 깃수 (비속도에 대한)

비속도 100~150 200~350 400~500 600~800

깃의 매수 5~6 6~7 7~8 8~9

원심펌프의 깃수 (크기에 대한)

크기 소 중 대

깃의 매수 4~6 6~8 8~12

 혹은, Pfleiderer의 실험식을 통하여 구할 수 있다. ^{𝑧 = 6.5𝐷}_𝐷²₂^{+ 𝐷}_{− 𝐷}¹₁^{sin𝛽1+ 𝛽}₂ ²

 현재 설계중인 펌프의 깃수 비속도가 184 rpm이고 이에 해당하는 깃수는 6이므로 𝑧 = 6으로 정한다.

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회전차의 설계: 깃의 두께

 깃의 두께는 회전차의 재료에 의하여 제한되고, 최소의 살 두께는 표를 통해 알 수 있다.

회전차의 깃의 최소두께 (mm)

 현재 설계중인 펌프의 깃의 두께

깃 입구의 두께는 S1= 4 𝑚𝑚, 깃 출구의 두께는 S2= 6 𝑚𝑚로 결정

회전차 외경 재질 제작한도 일반 사용처

200 이하 주철 2.5 3~5

청동 2.0 3~4

200 이상 주철 3.0 4~8

청동 2.5 4~6

현재 설계에서 회전차의 재료는 청동 주물, 외경은 200 이상에 해당

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회전차의 설계: 깃의 입구각도

 깃 입구의 원주피치 𝑡1=𝜋𝐷1

𝑧 𝐷1: 깃의 입구경

 입구면적의 감소율

깃의 매수에 따라 회전차 입구의 면적이 감소하는데, 그 비율의 크기τ1는 깃의 두께와 깃의 입구각도에 따라 다르다 𝜏1= 𝑡1

𝑡1− 𝜎1 𝜎1= 𝑆1

sin 𝛽1

𝜎1: 깃 입구의 원주방향의 두께 (m) 𝑆1: 깃 입구의 살 두께 (m) 𝛽1: 깃의 입구각도

일반적으로, 위의 식에서 𝑡1과 𝑆1만 아는 값이므로, 다음과 같이 𝜏1를 가정하여, 𝛽1및 다른 치수를 계산해 나간다.

• 소형 펌프에서는 𝜏1= 1.2~1.25

• 대형 펌프에서는 𝜏1= 1.1~1.15

가정한 𝜏1의 값이 적당한가의 여부는 앞선 𝜏1에 관한 식을 통하여 검토한다.

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회전차의 설계: 깃의 입구각도

 속도 삼각형에 의한 깃의 입구각도 계산

𝑉𝑚= 𝑉 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑊 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑉𝑚1= 𝑉1𝑠𝑖𝑛 𝛼1= 𝑊 𝑠𝑖𝑛 𝛽1

𝛽: 깃 입구의 직전 입구각 𝛽1: 깃 입구의 직후 입구각 tan 𝛽1= 𝑉𝑚1

𝑢1− 𝑉𝑢1= 𝑉1sin 𝛼1 𝑢1− 𝑉1cos 𝛼1

𝛼1은 유체가 입구직전에서 회전차에 의하여 말리기 때문에 일반적으로 90°

보단 작지만, 𝛼1= 90°으로 가정하여 𝛽1을 구하고, 설계값은 계산값보다 조금 크게 잡으면 된다

𝛼1= 90°이면 𝑉𝑚= 𝑉, 𝑉𝑚1= 𝑉1 ⟹ 𝑉𝑚1= 𝑉𝑚= 𝑉 = 𝑉𝑒 (회전차 입구의 평균유속)

∴ tan 𝛽1=𝑉1

𝑢1 𝛽1= tan⁻¹ 𝑉1 𝑢1

실제로는 회전차의 두께가 있기 때문에 입구면적은 감소한다 입구면적의 감소율 고려 𝑉𝑚1= 𝜏1𝑉𝑚= 𝜏1𝑉 = 𝜏1𝑉𝑒

𝑢1=𝜋𝐷1𝑁 60

∴ 𝛽1= tan⁻¹ 60𝜏1𝑉𝑒 𝜋𝐷1𝑁

𝑉𝑚1의 값은 도표를 통해 비속도에 대한 𝐾𝑚1을 정하여 다음과 같이 계산할 수도 있다. 𝑉𝑚1= 𝐾𝑚1 2𝑔𝐻

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회전차의 설계: 깃의 입구각도 계산

깃 입구의 원주 피치 입구면적 감소율

입구각도 계산식  현재 펌프에서의 회전차 깃의 입구각도 계산

입구면적의 감소율과 속도삼각형에서 얻는 식을 이용하여 trial and error 방식을 통해 입구각도 결정

깃 입구의 원주피치는 𝑡1=𝜋𝐷1 𝑧 =𝜋 × 0.12

6 = 0.0628 𝑚

입구면적의 감소율을 𝜏1= 1.25로 가정하면,

∴ 𝛽1= tan⁻¹ 60𝜏1𝑉𝑒

𝜋𝐷1𝑁 = tan⁻¹ 60 × 1.25 × 2.2 𝜋 × 0.12 × 1750 = 14°22′

𝜏1= 1.25의 가정이 적당한지의 여부를 조사해보면 𝜎1= 𝑆1

sin 𝛽1= 0.004 sin 14°22′=0.004

0.2425= 0.0165 𝜏1= 𝑡1

𝑡1− 𝜎1= 0.0628 0.0628 − 0.0165= 1.36

그러므로 가정이 옳지 않다. 다시 𝜏1= 1.36을 이용하여 위의 식을 반복하여 𝛽1을 구하고 1.36의 가정이 옳은지를 테스트 한다. 만약 옳지 않다면 다시 얻은 𝜏1을 이용하여 𝛽1을 구한다. 이와 같은 과정을 𝜏1의 가정이 일치할 때까지 반복하여 최종 𝜏1과 𝛽1을 구한다.

현재 설계중인 펌프의 경우 𝜏1= 1.33, 𝛽1= 14°55′을 깃 입구의 유입각도로 정한다.

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회전차의 설계: 깃의 입구폭 (b ₁ )

𝑄^′= 𝑏1𝜋𝐷1𝑉1sin 𝛼1

 깃의 입구폭 계산

𝑏1= 𝑄′

𝜋𝐷1𝑉1sin 𝛼1 𝛽1의 경우와 마찬가지로 𝛼1= 90°로 잡으면, 𝑉𝑚1= 𝑉1 이므로,

𝑏1= 𝑄′

𝜋𝐷1𝑉𝑚

깃의 두께를 고려하지 않은 경우 깃의 두께를 고려

𝑉𝑚=𝑉𝑚1 𝜏1 =𝑉𝑒

𝜏1

∴ 𝑏1= 𝜏1𝑄′

𝜋𝐷1𝑉𝑒

 현재 설계중인 펌프의 깃의 입구폭 𝑏1= 𝜏1𝑄′

𝜋𝐷1𝑉𝑒=1.33 × 0.0175

𝜋 × 0.12 × 2.2= 0.281 m 𝑏1= 28 𝑚𝑚로 정한다

𝑏2= 10 𝑚𝑚로 정한다

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회전차의 설계: 깃의 출구폭 (b ₂ )

 깃 출구의 원주피치 𝑡2=𝜋𝐷2

𝑧 𝐷2: 깃의 출입구경

 깃 출구 면적의 감소율

입구측과 마찬가지로, 감소율의 크기 𝜏2는 깃의 두께와 깃의 출구각 𝛽2에 의하여 달라진다.

𝜏2= 𝑡2 𝑡2− 𝜎2 𝜎2= 𝑆2

sin 𝛽2

𝜎2: 깃 출구의 원주방향의 두께 (m) 𝑆2: 깃 입구의 살 두께 (m) 𝛽2: 깃의 출구각도

 깃의 출구폭

깃 입구의 경우와 같이 하여 ^𝑏2= 𝑄^′

𝜋𝐷2𝑉2𝑚 출구의 속도삼각형에서 𝑢2= 𝑉2𝑚cot 𝛼2+ 𝑉2𝑚cot 𝛽2 𝑉2𝑚= 𝑢2 cot 𝛼2+ cot 𝛽2

깃 두께를 고려한 식을 이용하면, ^{𝑏2= 𝜏2𝑄}

′ 𝜋𝐷2𝑉2𝑚

𝑉𝑚2의 값은 도표를 통해 비속도에 대한 𝐾𝑚1을 정하여 다음과 같이 계산할 수도 있다.

𝑉𝑚2= 𝐾𝑚2 2𝑔𝐻

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회전차의 설계: 깃의 출구폭 (b ₂ )

 현재 펌프에서의 회전차 깃의 출구폭 계산 깃 출구의 원주피치는

깃 출구의 원주방향 두께는

깃 출구의 반지름 방향의 유속은 앞서 회전차의 바깥지름을 구할 때 가정한 𝛼2, 𝛽2의 값을 이용하여 𝑡2=𝜋𝐷2

𝑧 =𝜋 × 0.24 6 = 0.126 m

𝜎2= 𝑆2 sin 𝛽2= 0.006

sin 22°30′= 0.0157 𝑚

𝑉2𝑚= 𝑢2

cot 𝛼2+ cot 𝛽2= 21.67

cot 10° + cot 22°30′= 2.68 𝑚/𝑠

깃 출구폭은 𝑏2= 𝜏2𝑄^′

𝜋𝐷2𝑉2𝑚=1.15 × 0.0175

𝜋 × 0.24 × 2.68= 0.00996 𝑚 𝑏2= 10 𝑚𝑚로 정한다

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회전차의 설계: 회전차의 치수 비율

회전차의 각 치수는 거의 대부분 계산에 의해 정해진다. 좌측은 치수를 통한 기본적인 지침으로서 유체통로에서의 손실을 초래하기 쉽기 때문에 우측 그림과 같이 매끈한 둥근 단면변화를 고려하여 유동저항을 감소시킨다. R1과 R2는 계산으로 구하기가 쉽지 않기 때문에 b₁과 b₂를 기준으로 하여 적당한 원호를 선택하면 된다.