2 2

- 67 -

정적분

물체의 변위, 이동거리, 면적, 질량중심, 모멘트, 관성 등을 구하는 실제 문제들은 유한합 리만합( ) 의 극한으로 정의되는 정적분으로 해결될 수 있다.

함수 # 는 닫힌구간 a:- R b 에서 정의된 연속한 양수 함수라고 하자.

% % , #&$'

uTF: ,면적

6 : R $

곡선 % , #&$' 직선 , $ ,:- $ , R 그리고 , $ 축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하려고 한다.

%

% , #&$'

#

&

$_D^∗

'

#

&

$_;^∗

'

#

&

$₀^∗

'

. . . . . .

$₀ $_{D 30}$_D $_{;3 0}

:, $₆ R , $_;

단계1. R 3 : 를 ; 등분 하고 2; R 3 :

, ∆$ 라 놓자.

단계2. 각 소구간

a

^$D 30- $_D

b

에서 적당한 수 $_D^∗ 를 뽑고 그리고 함수값 #

&

$_D^∗

'

구한다 이 때 가로가

, ∆$ 이고 세로가 #

&

$_D^∗

'

, ( D, 0-4- ⋯ - ;) 인 ; 개의 직사각형의 면적 의 합은

}

D , 0

;

#

&

$_D^∗

'

∆$ 리만합 이다 ( ) .

일반적으로

$_D^∗, $_D30- $_D- 또는 2$_D , 24

$_{D 30}/$_D

로 선택된다.

단계3: 곡선 %, #&$', 직선 $ , :- $ , R, 그리고 $ 축으로 둘러싸인 영역의 면적을 u 라 놓으 면

u ,

lim

;→∞

}

D ,0

;

#

&

$_D^∗

'

^{∆$ 이다}.

이 극한값이 존재하면

# 는 구간 a:- R b 에서 적분가능하다고 말하고 우리는 이 극한값을 , 다음처럼 표현한다

.

lim

;→∞_{D , 0}

}

^{; #}

^&

^$D∗

^'

^{∆$ ,}

{

_:^R#&$' i$

그리고

{

_:^R#&$' i$ 를 구간 a:- Rb 에서 함수 # 의 정적분이라고 부른다. 분석: 만일 $_D^∗, $_D 로 선택하면

{

_:^R#&$' i$ ,

lim

;→∞

}

D , 0

;

#

&

^$D

'

^{∆$ ,}

lim

;→∞

}

D , 0

;

#&: / D2; R 3 :

'2; R 3 :

그러므로

lim

;→∞_{D ,0}

}

^{; ⇔}

{

_:^{R- : / D 2R 3 :}_; ^{⇔ $- 2R 3 :}_; ⇔ i$ 로 대응된다.

정적분의 정의로부터 다음의 정적분의 성질이 성립함을 보일 수 있다.

(1)

{

: :

#&$' i$ ,6

(2)

{

R :

#&$'i$ , 3

{

: R

#&$' i$

(3)

{

_:^RA#&$' i$, A

{

_:^R#&$' i$ &A는 상수' (4)

{

: R

a#&$' ± J&$' b i$,

{

: R

#&$' i$ ±

{

: R

J&$' i$

{

^A

{

^R

{

^R

- 69 -

문제: 정적분의 정의를 이용하여, 포물선 % , $⁴ 과 $ 축 상의 구간 a6- 4b 로 둘러싸인 영역의 면적 넓이 를 구하시오

( ) .

문제: 부등식

{

₆^{2.lCD;Q$i$ ≤}

{

₆^2.lCD;Z$i$ 이 성립함을 보이시오.

문제: #- J 는 연속함수이고

{

₀⁴#&$' i$ , 3 [-

{

₀^W#&$' i$ , Z-

{

₀^WJ&$' i$, ] 일 때 다음 정 적분값을 구하시오

.

(1)

{

_W⁰J&$' i$

(2)

{

0 4

Q#&$'i$

(3)

{

₄^W460W #&$'i$

미분적분학의 기본정리

함수 # 는 닫힌구간 a:- R b 에서 연속이라고 하자.

닫힌구간

(1) a:- R b 에서 q′&$' , #&$' 이면

{

_:^R#&$' i$, aq&$' b_:^R ,q&R' 3 q&:' 이다. 증명: 구간 a:- R b 를 ; 등분 하자.

: , $₆ $₀ $_D30$_D $_{;3 0} $_;, R

2;

R 3 : ,∆$

이제,

q&R' 3 q&:' , q

&

^$;

'

^{3 q}

&

^$6

'

,q

&

^$;

'

^{3 q}

&

^$;30

'

^{/ q}

&

^$;30

'

^{3 q}

&

^$; 34

'

^{/ ⋯ /q}

&

^$0

'

^{3 q}

&

^$6

'

,

}

D , 0

;

a

^q

&

^$D

'

^{3 q}

&

^$D3 0

'b

,_{D , 0}

}

^{; q ′}

^&

^$D∗

^{' &}

^{$D 3 $D30}

^'

&평균값 정리' ,

}

D, 0

;

#

&

$_D^∗

'

∆$

위의 양변에 극한을 취하면 q&R' 3 q&:' ,

lim

;→∞

aq&R' 3 q&:' b ,

lim

;→∞

}

D , 0

;

#

&

$_D^∗

'

∆$,

{

: R

#&$' i$ (증명끝)

(2) J&$' ,

{

:

$

#&E' iE 이면 J′&$' , #&$' 이다. 증명

J′&$' ,

lim

₂J&$/U' 3 J&$'_U

, 2U

{

_:^{$ /U}#&E' iE 3

{

_:^$#&E'iE

- 71 - 일반적으로, 2i$

i

{

_~

0&$'

~₄&$'

#&E'iE , #

&

^~4&$'

'

^~4′&$' 3 #

&

^~0&$'

'

^~0′&$'

주목: 미적분학의 기본정리를 이용하면 정적분의 정의를 이용하여 정적분값을 계산하는 것 보다 효 과적으로 정적분값을 계산할 수 있다

.

문제: 한 입자가 시각 E 에서 속도 •&E' , E⁴3 E 3 Z &속도는매 초당 미터로 측정된다'로 직선 운동을 하고 있다

.

시간

(1) 0 ≤ E ≤ [ 동안 이 입자의 변위를 구하시오.

시간

(2) 0 ≤ E ≤ [ 동안 이동안 거리를 구하시오.

문제: 다음 적분을 계산하시오.

(1)

{

6 2[ l

2ABC⁴x 0 / ABC⁴x

ix

(2)

{

₆^2.l2CD;$ / CD;$E:;_CFA⁴_$ ⁴$ i$

문제: #&$' ,

{

₆^{CD;$120 / E4 iE 이고 J&%' ,}

{

_.^%#&$' i$ 일 때 J′′

&

²Z

l

'

의 값을 구하시오.

문제: 곡선 % ,

{

₆^$2_E⁴_{/ E /4}^E4 iE 가 아래로 오목한 구간, 위로 오목한 구간을 구하고 그리고 그 래프의 개형을 그리시오

.

- 73 -

문제: 매개방정식 $,

{

₆^{E120 / ~.}i~- %, 0 / 4E 3 E^. 으로 곡선 위의 점 &6- 0' 에서 접선의 방정식을 구하시오

.

문제: $ ≥6 인 모든 $ 에 대하여

Z /

{

:

$

2E⁴

#&E'

iE , 41²$ 를 만족시키는 함수 # 와 수 : 를 구하시오.

문제: 정적분의 정의를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.

(1)

lim

;→∞_{D , 0}

}

^{; 2}_;^D4.

(2)

lim

;→∞2; 4 c

d

e

1

²²;

0 /

1

²²;

4 / ⋯ /

1

²²;

; f g

h

(3)

lim

;→∞2; .

}

D , 0

;

2

0 /

&

²_;^D

'

⁴

0

- 75 -

적분 기술

부정적분에 대한 치환법

1. : ~, J&$' 가 미분가능한 함수이고, 치역이 구간 7 이며 # 가 7 위에 서 연속함수이면 다음이 성립한다

.

{

#&J&$''J′&$' i$ ,

{

#&~' i~

문제: 다음 부정적분값을 구하시오.

(1)

{

²₁20 / W$⁴

$ i$

(2)

{

^{ABC.$ i$}

(3)

{

^{$12$ 3 4 i$}

(4)

{

²_{0 / ABC}^{CD; 4$4}_$^i$

정적분에 대한 치환법

2. : ~ ,J&$' 가 미분가능한 함수이고, 치역이 구간 7 이며 # 가 7 위에 서 연속함수이면 다음이 성립한다

.

{

_:^R#&J&$'' J′&$'i$ ,

{

_J&:'^J&R'#&~' i~

문제: 다음 정적분값을 구하시오.

(1)

{

6 24 l

2ABC $ / CD; $ ABC $

i$

(2)

{

6 0

2&0 / 1²$'^[ i$

(3)

{

₆²⁴

0

21²0 3 $⁴ CD;^{3 0}$

i$

(4)

{

^F.2₁2 i$

- 77 - 문제: (1) # 가 연속함수일 때 다음을 증명하시오.

{

₆²⁴

l

#&ABC$' i$ ,

{

₆²⁴

l

#&CD; $'i$

을 이용하여

(2) (1)

{

₆^{24lABC4$ i$ 와}

{

₆^24lCD;4$ i$ 의 값을 구하시오.

대칭성 함수

3. : # 가 구간 a3 :- : b 위에서 연속함수라고 하자.

만일

(1) # 가 우함수 즉( , #&3 $' , #&$' 이면) ,

{

_{3 :}^: #&$' i$ , 4

{

₆^:#&$' i$ 이다. 만일

(2) # 가 기함수 즉( , #&3 $' ,3 #&$' 이면) ,

{

_{3 :}^: #&$' i$ , 6 이다. 증명:

문제: 다음 정적분값을 계산하시오.

{

_{3 066}^{066 2}_{0 / $}E:;$ / CD;$^Z _{/ $}^460[

i$

- 79 -

문제: # 가 연속함수이고

{

₆^[#&$'i$ , 06 일 때,

{

₆⁴#&4$' i$ 의 값을 구하시오.

문제: # 가 연속함수이고

{

6 r

#&$'i$ , [ 일 때,

{

6 .

$#

&

$⁴

'

i$ 의 값을 구하시오.

문제: 함수 # 가 수직선 R 위에서 연속이라고 하자.

{

_:^R#&3 $'i$ ,

{

_{3 R}^3:#&$' i$ 임을 증명하시 오

.

부분적분법

4. :

(1)

{

#′&$'J&$' i$ , #&$'J&$' 3

{

#&$'J′&$' i$ (부정적분에 대한 부분적분)

(2)

{

: R

#′&$' J&$' i$, a#&$' J&$'b_:^R 3

{

: R

#&$' J′&$'i$ (정적분에 대한 부분적분)

문제: 다음 부정적분값을 계산하시오.

(1)

{

^CFA$i$

(2)

{

^CFA.$i$

(3)

{

^CFAW$i$

- 81 - (4)

{

^{F$CD; $i$}

(5)

{

ABC&I;$' i$

(6)

{

^{$I; $ i$}

(7)

{

₆^0E:;30$i$

(8)

{

0 4

&I;$'⁴i$

- 83 - 문제: 정적분을 이용하여 다음 극한값을 구하시오.

(1)

lim

;→∞_{D , 0}

}

^{; I;}

&

^{0 / 2}; 0

'

^2;4

(2)

lim

;→∞2; 0 c

d

eABC&I;&0 / 2;

0'' / ABC&I;&0 / 2;

4'' / ⋯ / ABC&I;&0 / 2;

;''f g h

삼각치환법 5.

피적분함수가 1²_$⁴ 3 :⁴- 1²_:⁴ 3 $⁴- 1²_:⁴ / $⁴ 과 같은 항을 포함한 경우 우리는 다음처럼 치환할 수 있다.

주목: ABC⁴x / CD;⁴x , 0 ⇒ 0 / E:;⁴x , CFA⁴x

(1) 1²:⁴ 3 $⁴ &: 9 6'

$ , :CD;x

&

^{3 2}4

l ≤ x ≤ 24

l

'

^{- 12:4 3 $4} ,: ABC x- i$ , : ABCx ix

(2) 1²:⁴/ $⁴ &: 9 6'

$ , :E:; x

&

^{3 2}₄^{l8x 8 2}₄^l

'

^{- 12:4 / $4} , : CFA x- i$ , :CFA⁴x ix

(3) 1²_$⁴ _{3 :}⁴ _{&: 96'}

$ ,: CFA x &6 ≤ x 8 24

l 또는 l ≤x 8 24

.l'- 1²:⁴ 3 $⁴ , : E:; x- i$ ,: CFAx E:;xix἟῿἟῿἟῿἟῿἟῿἟῿἟

문제: 반지름이 : 인 원의 넓이가 l:⁴ 임을 증명하시오.

- 85 - 문제: 다음 부정적분값을 구하시오.

(1)

{

²

$⁴1²_$⁴ / [

0 i$

(2)

{

^212$4_$^{[3 0 i$}

(3)

{

^{212r 3 $}_$^{4 4 i$}

문제: 다음 정적분값을 구하시오.

(1)

{

₁⁴₂₄²_E.1²E⁴ 3 0

0 iE

(2)

{

6 41².

21²0Z 3 $⁴

$^.

i$

- 87 - 부분분수를 통한 유리함수의 적분

6.

유리함수

, >&$' , 26이 아닌 다항함수

다항함수 , 2?&$'

@&$'

정의: #&$' ,:_;$^;/ :_{; 30}$^;30/ ⋯ / :₀$ / :₆ &:_;≠6' 이면

다항함수

# 의 차수, iFJ#&$' ,; 이다 .

{

>&$' i$ 를 적분하는 법

(1) iFJ@&$' ≥ iFJ?&$' 이면 ?&$' 로 @&$' 를 나눈다 그러면.

>&$' ,다항함수 / 2?&$' u&$'

&iFJu&$' 8 iFJ?&$''

(2) ?&$' 를 인수분해할 수 있으면 인수분해하고 그것을 부분분수화하라, .

?&$', y&$' z&$' 이면

2?&$'

u&$'

, 2y&$' z&$' u&$'

, 2y&$'

y&$'보다차수가 0차 적은다항함수

/ 2z&$'

z&$'보다차수가0차적은다항함수 부분분수화

( )

(3)

{

^2J′&$'_J&$' i$ , I;)J&$') /€ 또는 다른 적절한 적분 기술을 통하여 주어진 유리함수의 적분을 실행한다

.

문제: 다음 부정적분값을 구하시오.

(1)

{

^2$._$^{43 [$ 3 06}_{3 $ 3 Z} ^i$

(2)

{

²_$⁴_{/ $ / 0}^i$

- 89 - (3)

{

²₁2. 3 4$ 3 $⁴

$ i$

이상적분 또는 부적절한 적분 또는 특이적분( )

미분적분학의 기본정리에 나오는 유한구간 a:- Rb 에서 정의된 연속한 함수 # 이외의 모든 적분을 우리는 이상적분이라고 부른다. 우리는 다음 가지 경우의 이상적분을 주로 다룬다6 .

함수

(1) # 가 구간 &:- ∞' &: 는 어떤 실수' 에서 연속인 경우

{

_:^∞#&$' i$,

lim

E→∞

{

_:^E#&$' i$ (정의) 함수

(2) # 가 구간 &3 ∞- :' &: 는 어떤 실수' 에서 연속인 경우

{

_{3 ∞}^: #&$' i$,

lim

E→ 3∞

{

_E^{:#&$'i$ (정의)}

함수

(3) # 가 구간 &3 ∞- ∞' 에서 연속인 경우

{

_{3 ∞}^∞#&$' i$,

{

_{3 ∞}^: #&$' i$ /

{

_:^∞#&$' i$ &:는 어떤실수' (정의) 함수

(4) # 가 구간 a:- R' 에서 연속이고,

lim

$→R³

#&$' , ±∞ 인 경우

{

_:^R#&$' i$,

lim

E→R³

{

_:^E#&$' i$ (정의) 함수

(5) # 가 구간 &:- Rb 에서 연속이고,

lim

$→:^/

#&$' , ±∞ 인 경우

{

_:^R#&$' i$ ,

lim

E→:^/

{

_E^R#&$' i$ (정의) 함수

(6) # 가 구간 a:- A' ∪&A- Rb 에서 연속이고,

lim

$→A^/

#&$' , ±∞- 또는

lim

$→A³

#&$' , ±∞

- 91 - 문제: 다음 이상적분값을 구하시오.

(1)

{

_{3 ∞}^{6 $F$i$}

(2)

{

0

∞

2$⁴ I;$i$

(3)

{

₆⁰²₁2$ I; $i$

(4)

{

4 [

21². 3 $

0 i$

문제: 아래 이상적분이 수렴하도록 하는 상수 z 의 값을 구하시오.

{

₆^∞

&

²1²$⁴ / [

0 3 2$ / 4 z

'

^i$

- 93 -

문제: 아래 이상적분이 수렴하도록 하는 상수 z 의 값을 구하시오.

{

₆^∞

&

²_$⁴/ 0

$ 3 2.$ / 0 z

'

^i$

정리: (‚ 적분)

‚ 90 이면 이상적분

{

₀^∞2_$^{0‚i$ 는 수렴하고}, ‚ ≤ 0 이면 이상적분

{

₀^∞2_$^{0‚i$ 는 발산한다.}

증명:

- 95 -

이상적분의 비교판정법

#- J 가 $ ≥: 인 $ 에 대하여 6 ≤#&$' ≤ J&$' 를 만족하는 연속함수라고 하자.

이 때,

(1)

{

_:^∞J&$' i$ 가 수렴하면

{

_:^∞#&$' i$ 도 역시 수렴한다.

(2)

{

_:^∞#&$'i$ 가 발산하면

{

_:^∞J&$'i$ 도 역시 발한다.

이상적분의 극한비교판정법

#- J 가 $ ≥: 인 $ 에 대하여 연속한 양수함수이고,

lim

$→∞2J&$'

#&$'

, X 또는

lim

$→∞2#&$' J&$'

, X &X ≥ 6' 이라 하자.

만일 6 8 X 8 ∞ 이면 두 이상적분

{

_:^∞#&$'i$ 와

{

₆^∞J&$' i$ 는 동시에 수렴하거나 동시에 발산 한다.

문제: 다음 이상적분이 수렴하는지, 발산하는지 결정하시오.

(1)

{

₆^∞2_$^460W$_{/ 0} ^i$

(2)

{

₀^{∞24 / F}_$ ^{3$ i$}

(3)

{

₆^∞2E:;_{4 / F}^{30$$ i$}

(4)

{

₀^∞2₁2$^[ 3 $

$ / 0 i$

- 97 -

문제: 다음 이상적분이 수렴하기 위한 ‚ 의 값을 구하고, 값을 계산하시오.

(1)

{

_F^∞2_$&I;$'^{0 ‚i$}

(2)

{

₆⁰²_$^{0‚ i$}

- 99 -

적분의 응용

넓이 면적( )

닫힌구간

(1) a:- Rb 의 모든 $ 에 대하여 #- J 가 연속이고 #&$' ≥ J&$' 일 때 곡선 #- J 와 직 선

$ , :- $, R 로 둘러싸인 영역의 넓이 u 는 다음처럼 정의된다.

% ,#&$'

u u ,

{

: R

a#&$' 3 J&$' b i$

#&$' 3 J&$' % , J&$'

: $ R

닫힌구간

(2) aA- i b 의 모든 % 에 대하여 #- J 가 연속이고 #&%' ≥ J&%' 일 때 곡선 #- J 와 직 선

% , A- %, i 로 둘러싸인 영역의 넓이 u 는 다음처럼 정의된다.

$ , #&%' $ , J&%' i

u #&%'3J&%' u ,

{

A i

a#&%' 3 J&%' b i%

%

문제: 구간 a6 4lb 위에서 두 곡선 % , ABC$- % , CD;$ 에 의해서 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시 오

.

문제: 직선 % , $ 3 0 과 포물선 %⁴,4$ / Z 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

닫힌구간

(3) a:- Rb 의 모든 $ 에 대하여 # 가 연속 양수함수이고, 곡선 % , #&$' 가 매개변수 곡선

$, U&E'- % , J&E'- &m≤ E ≤ n' 으로 주어질 때 곡선 % ,#&$' 직선 $ , :- $ , R 그리 고

$ 축으로 둘러싸인 영역의 넓이 u 는 다음처럼 정의된다.

u ,

{

: R

#&$' i$ ,

{

: R

%i$ ,

{

m n

J&E' U′&E' iE

문제: 다음 식으로 주어지는 사이클로이드 굴렁쇠선 의 한 아치와 ( ) $ 축으로 둘러싸인 영역의 넓이 를 구하시오

.

- 101 -

문제: 매개변수 방정식 $ ,E⁴- % , E^. 3 .E 에 의해서 형성된 영역의 넓이를 구하시오.

문제: $ 축과 곡선 $ , 0 / F^E- % , E 3 E⁴ 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

부피

부피의 정의

(1) : ƒ 를 평면 $ , : 와 $ , R 사이에 놓인 연속한 입체도형이라 하자. $ 를 지나고 $ 축에 수직인 평면 @_$ 에 있는 ƒ 의 절단면의 넓이가 u&$' 라 놓으면, ƒ 의 부피는 다음처

럼 정의된다

.

„ ,

lim

;→∞_{D , 0}

}

^{; u}

^&

^$D∗

^'

^{∆$ ,}

{

_:^Ru&$'i$

단

, u&$' 는 a:- Rb 위에서 연속함수이다.

문제: 반지름이 : 인 구의 부피는 „ , 2.

[l:^. 임을 증명하시오.

- 103 -

문제: 밑면의 반지름이 . 이고, 밑면에 수직인 평행한 절단면은 정삼각형인 입체의 부피를 구하시 오

.

문제: 반지름이 : 인 두 개의 원기둥을 $ 축을 중심으로 직각으로 교차시켰을 때 생성되는 입체의 부피를 구하시오

.

회전체의 부피 (2)

원판방법

닫힌구간

( ) ㄱ a:- R b 의 모든 $ 에 대하여 연속한 양수함수 # 와 직선 $, :- $, R 그리고 $ 축 으로 둘러싸인 영역을

$ 축 둘레로 회전시 생성되는 입체의 부피는 다음처럼 정의된다.

„ ,

{

: R

u&$' i$ ,

{

: R

la#&$'b⁴i$

닫힌구간

( ) ㄴ aA- i b 의 모든 % 에 대하여 연속한 양수함수 # 와 직선 % ,A- % , i 그리고 % 축 으로 둘러싸인 영역을

% 축 둘레로 회전시 생성되는 입체의 부피는 다음처럼 정의된다.

„ ,

{

A i

u&%' i% ,

{

A i

la#&%'b⁴i%

문제: 밑면의 반지름이 : 이고 높이가 U 인 직원뿔의 부피를 구하시오.

- 105 -

문제: 구간 a6- ]b 에서 정의된 곡선 $ ,1^{. 2}% 과 % 축으로 둘러싸인 영역을 % 축 둘레로 회전시 생기는 입체의 부피를 구하시오

.

환형 세탁기 방법( )

닫힌구간

( ) ㄱ a:- Rb 의 모든 $ 에 대하여 연속한 두 양수함수 #- J &#&$' ≥ J&$''와 직선 $ , :- $ , R 로 둘러싸인 영역을 $ 축 둘레로 회전시 생성되는 입체의 부피는 다음처럼 정의

된다 .

„ ,

{

_:^Ru&$' i$ ,

{

_:^Rl&a#&$'b⁴ 3 aJ&$'b⁴'i$

닫힌구간

( ) ㄴ aA- i b 의 모든 % 에 대하여 연속한 두 양수함수 #- J &#&%' ≥ J&%''와 직선 % , A- % , i 로 둘러싸인 영역을 % 축 둘레로 회전시 생성되는 입체의 부피는 다음처럼 정의

된다 .

„ ,

{

_Aⁱu&%' i% ,

{

_Aⁱl&a#&%'b⁴ 3 aJ&%'b⁴'i%

문제: 직선 %, $ 와 포물선 % ,$⁴ 으로 둘러싸인 영역을 $ 축 둘레로 회전시 생성되는 회전체의 부피를 구하시오

.

문제: 직선 % , $ 와 포물선 % , $⁴ 으로 둘러싸인 영역을 % , . 축 둘레로 회전시 생성되는 회전체 의 부피를 구하시오

.

문제: 직선 %, $ 와 포물선 % , $⁴ 으로 둘러싸인 영역을 $ , 3 0 축 둘레로 회전시 생성되는 회 전체의 부피를 구하시오

.

- 107 - 원주각 원통쉘( ) 방법

닫힌구간

( ) ㄱ a:- Rb &6 ≤ : 8 R' 의 모든 $ 에 대하여 연속한 양수함수 # 와 직선 $, :- $, R 그리고

$ 축으로 둘러싸인 영역을 % 축 둘레로 회전시 생성되는 입체의 부피는 다음처럼 정 의된다

.

„ ,

{

_:^Ru&$' i$ ,

{

_:^R4l$#&$'i$

여기서

$ 는 회전축으로부터의 거리를 의미한다.

닫힌구간

( ) ㄴ a:- R b &6 ≤ : 8 R' 의 모든 $ 에 대하여 연속한 양수함수 # 와 직선 $ , :- $ , R 그리고

$ 축으로 둘러싸인 영역을 직선 $ , I &I 8 6' 을 회전축으로하여 회전시 생성되는 입체의 부피는 다음처럼 정의 된다

.

„ ,

{

: R

u&$' i$ ,

{

: R

4l&$ 3 I'#&$'i$

여기서

$ 3 I 은 회전축으로부터의 거리를 의미한다.

닫힌구간

( ) ㄷ aA- i b &6 ≤ A 8 i' 의 모든 % 에 대하여 연속한 양수함수 # 와 직선 % , A- %, i 그리고

% 축으로 둘러싸인 영역을 $ 축 둘레로 회전시 생성되는 입체의 부피는 다음처럼 정의된 다

.

„ ,

{

_Aⁱu&$' i$ ,

{

_Aⁱ4l%#&%'i%

여기서

% 는 회전축으로부터의 거리를 의미한다.

닫힌구간

( ) ㄹ aA- i b &6 ≤ A 8 i' 의 모든 % 에 대하여 연속한 양수함수 # 와 직선 %, A- % , i 그리고

% 축으로 둘러싸인 영역을 직선 % , I &I 86' 을 회전축으로하여 회전시 생성되는 입 체의 부피는 다음처럼 정의 된다

.

„ ,

{

A i

u&$' i$ ,

{

A i

4l&% 3 I'#&%'i%

여기서

% 3 I 은 회전축으로부터의 거리를 의미한다.

문제: 곡선 %, $&$ 3 0'⁴ 와 $ 축으로 둘러싸인 영역을 % 축 둘레로 회전시 생기는 회전체의 부 피를 구하시오

.

문제: 곡선 % , $&$ 3 0'⁴ 와 $ 축으로 둘러싸인 영역을 직선 $ , 3 0 을 회전축으로하여 회전시 생기는 회전체의 부피를 구하시오

.

문제: 곡선 % , $&$ 3 0'⁴ 와 $ 축으로 둘러싸인 영역을 직선 $, 4 을 회전축으로하여 회전시 생 기는 회전체의 부피를 구하시오

.

- 109 -

문제: 원주각방법을 이용하여 곡선 %, E:;³⁰$ 와 직선 $ ,4 그리고 $ 축으로 둘러싸인 영역을 % 축 둘레로 회전시 생성되는 입체의 부피를 구하시오

.

문제: 원주각방법을 이용하여 구간 a6- 0 b 에서 곡선 % ,1²$ 아래의 영역을 $ 축 둘레로 회전시 생성된 입체의 부피를 구하소서

.

곡선의 길이

닫힌구간

(1) a:- R b 에서 정의된 미분가능함수 # 에 의해서 생성된 곡선 % , #&$'의 길이 X 은 다음처럼 정의 된다

.

X ,

{

:

R1²0 / a#′&$'b⁴i$ ,

{

:

R

1

^{20 /c}de 2i$

i% f

gh⁴_i$ (도함수의 평균값 정리)

특히 # 가 1 : 1 함수일 경우 % , #&$' &: ≤ $≤ R' 는 $ , #³⁰&%' , J&%' &A ≤ % ≤ i' 로 표현할 수 있으므로

X ,

{

_:^R120 / a#′&$'b⁴i$ ,

{

_:^R

1

^{20 /c}de 2i$

i% f g

h⁴_{i$ ,}

{

_Aⁱ

1

^{20 /c}de 2i%

i$ f g h⁴_i%

,

{

_Aⁱ¹²0 / aJ′&%'b⁴i%

부드러운 곡선

(2) % , #&$' &: ≤ $ ≤ R' 가 매개변수방정식 $ , J&E'- % ,U&E' &m ≤ E ≤ n' 로 표현되는 경우 곡선의 길이

X 은 다음처럼 정의된다.

X ,

{

:

R1²0 / a#′&$'b⁴i$ ,

{

:

R

1

^{20 / c}de 2i$

i% f

gh⁴_{i$ ,}

{

m

n

1

^2cde

2iE i$ f

gh⁴ _/^c de

2iE i% f

gh⁴ _iE

단 매개곡선이 기껏해야 한번만 교차하는 경우 ( , )

문제: 점 &6- 6' 에서 &0- 0' 까지 포물선 %⁴,$ 의 곡선의 길이를 구하시오.

- 111 -

문제: 사이클로이드 굴렁쇠선( ) $ , T&x 3 CD;x'- %, T&0 3 ABC x' &6 ≤x ≤ 4l' 의 한 곡선의 길이 호의 길이 를 구하시오

( ) .

문제: 다음 곡선의 길이를 구하시오.

(1) % , 2[

0 $⁴ 3 24

0I;$- 0 ≤ $ ≤4

(2) $, E 3 ABC E- % , 0 / CD;E- &3 l≤ E ≤ l'

(3) $ , I;E- % ,1²E / 4 - &0 ≤ E ≤ ['