우력 모멘트

우력 모멘트

a) 우력(couple: 짝힘)을 정의하고,

b) 우력의 모멘트를 구한다. 강의 내용:

• 예습확인 퀴즈

• 응용 예

• 우력 모멘트

• 개념 확립 퀴즈

• 집단 문제해결 능력배양

• 주의환기 퀴즈

예습확인 퀴즈

1. 정역학에서, 우력은 어떤 수직거리가 떨어져 있는 _??_ 이다.

A) 같은 방향의 두 힘.

B) 같은 크기의 두 힘.

C) 같은 방향으로 작용하는 같은 크기의 두 힘.

D) 반대 방향으로 작용하는 같은 크기의 두 힘.

2. 우력의 모멘트는 _________ 벡터로 불린다.

A) 자유(free) B) 스핀(spin)

C) 로맨틱(romanatic) D) 미끄럼(sliding)

응용 예

핸들을 돌리기 위해서는 12 N · m의 토크 또는 모멘트가 요구된다. 핸들을 잡은 2가지 중 어느 쪽이 핸들을

돌리는데 작은 힘을 필요로 할까?

응용 예

(계속)

러그너트를 풀기위하여 십자형 러그 렌치를 사용하고 있다.

길이 a, b 혹은 c를 변화시킬 때 작용하는 힘에 영향을 미치는 것은 어느 것인가?

우력의 모멘트 (4.6절)

우력은 같은 크기를

가지면서 방향이 반대인 수직거리 d만큼 떨어진 두 평행한 힘으로 정의된다.

우력의 모멘트는 아래와 같이 정의된다.

M_O = F d (스칼라 해석을 사용하면) 또는 M_O

= r  F (벡터 해석을 사용하면).

여기서 r 은 –F 의 작용선으로부터 F의

작용선까지 임의의

우력의 모멘트 (계속)

위치벡터 r_A와 r_B는 점

O로부터 –F와 F의 작용선 위의 점 A, B로 향한다. 점 O에 대한 우력 모멘트는

M_O

= r

(왜냐하면, r_A + r = r_B)

즉 모멘트 M은 임의의 점 O로부터 힘까지의 위치 벡터 r_A와 r_B에 의존하지 않고, 두 힘 사이의 위치벡터 r에 만 의존하므로 우력 모멘트는 어느 점에나 작용할 수 있다.

우력에 의해 나타나는 순 외부 효과는 힘의 합은 0이고,

순 모멘트의 크기는 Fd와 같다.

우력에 의한 모멘트는 임의 벡터의 합과 같은 법칙을 사용하여 더할 수 있다.

합 우력 모멘트 M_R= M₁ + M₂ M_R = Σ(r  F)

우력의 모멘트는 두 힘 사이 거리에만

의존하므로, 우력의 모멘트는 자유벡터 (free

vector)이다. 그것은 물체상의 어디로든 이동할

우력의 모멘트 (계속)

등가우력: 두 개의 우력이 같은 모멘트를 발생할 때 등가이다.

예제 4-10

기어 이에 우력이 작용하고 있다.

이 우력을 점 A와 B에 작용하는

한 쌍의 힘을 갖는 우력으로 바꾸어라.

M_O = F d = 40(0.6)= 24 Nm 24 = F (0.2)

F= 120 N

예제- 벡터

1) 우력의 모멘트를 구하기 위해 M = r  F 를 사용하라.

2) r = r_AB, F = {14 i – 8 j – 6 k} N로 두라.

3) M 을 구하기 위하여 벡터외적을 계산하라.

주어진 값: 한 쌍의 짝 힘이 봉에 작용한다.

목표: 직교 좌표계로 봉에 작용하는 우력

모멘트를 구하라.

계획 (풀이):

해법 :

r_AB = {0.8 i + 1.5 j – 1 k} m F = {14 i – 8 j – 6 k} N

M = r_AB  F

= {i (-9 – (-8)) – j (- 4.8 – (-14)) + k (-4.8 – -14(1.5))} N·m

= {-17 i – 9.2 j – 21 k} N·m

= N·m

i j k 0.8 1.5 -1 14 -8 -6

Created with the Trial Edition of SmartDraw 5.

개념 확립 퀴즈

1. 힘 F₁ 과 F₂ 가 하나의 우력을

형성한다. 우력 모멘트는 __?__ . A) r₁  F₁ B) r₂  F₁

C) F₂  r1 D) r₂  F₂

2.

A) 순 힘은 0과 같지 않다.

B) 순 힘과 순 모멘트는 0과 같다.

C) 순 모멘트는 0이지만 순 힘은 반드시 0과 같지 않다.

D) 순 힘은 0이지만 순 모멘트는 반드시 0과 같지 않다.

F1 r1

F2

r2

1) P 와 F 를 구하기 위해 우력의 정의를 사용하라.

2) x와 y 방향으로 300 N의 힘을 분해하라.

3) 순 모멘트를 구하라.

4) d를 구하기 위해 순 모멘트(모멘트의 합)를 0으로 두라.

집단 문제해결 능력 배양 - 스칼라

주어진 값: 두 우력이 보에 작용하고 있다.

우력의 합은 0이다.

목표: 힘 P와 F의 크기와 거리 d를 구하라.

계획 (풀이):

해법:

우력의 정의로 부터 P = 500 N,

F = 300 N.

300 N의 힘을 수직 및 수평성분으로 분해하라.

수직성분은 (300 cos 30º) N이고 수평성분은 (300 sin 30º) N이다.

d에 관해 풀면,

d = (1000 – 60 sin 30º) / (300 cos 30º) = 3.96 m 순 모멘트가 0이므로

+ M = - (500)(2) + (300 cos 30º)(d) + (300 sin 30º)(0.2) = 0

집단 문제해결 능력 배양 - 벡터

주어진 값: F = {25 k} N - F = {- 25 k} N

목표: 직교 좌표계로 파이프 조립체에 작용하는 우력 모멘트를 구하라.

계획 (풀이):

1) 우력의 모멘트를 구하기 위해 M = r  F 를 사용하라.

2) r = r_AB, F = {25 k} N로 두라.

3) M 을 구하기 위하여 벡터 외적을 계산하라.

해 법

r

F = {25 k} N

=

M = r

 F

= { i ( - 5 – 0 ) – j (- 8.75 – 0) + k (0) } N · m

= { -5 i + 8.75 j } N · m

i j k

-0.35 -0.2 0 0 0 25

N · m

주의 환기 퀴즈

1. 그림과 같이 어떤 우력이 보에 작용하고 있다.

그 모멘트의 크기는 _____ N·m.

A) 50 B) 60 C) 80 D) 100

3 4 1m 2m 5

50 N

등가 힘 – 우력 계

교육 목표:

1) 힘을 이동하는 경우의 효과에 대하여 알아본다.

2) 임의의 힘과 우력 계에 대한 등가 힘- 우력 계를 구한다.

학습 내용 :

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등가하중( Equivalent

변하지 않고 작용하는 두 세트의 하중

예습 확인 퀴즈

1. 어떤 강체에 여러 개의 힘과 우력 모멘트가 작용하는 일반 계는 ___ 로 단순화할 수 있다.

A) 단일 힘.

B) 단일 모멘트.

C) 단일 힘과 두 개의 모멘트.

D) 단일 힘과 단일 모멘트.

2. 원래의 힘 및 우력 계와 등가인 힘-우력 계는 물체에 대하여 같은 _____ 효과를 나타낸다.

A) 내부 B) 외부

C) 내부 및 외부 D) 미시적

응용 예

힘이 네 가지 다른 방식으로 작용할 때 사람의 손에 미치는 최종 효과(resultant effects)는

무엇인가?

응 용 (계속)

여러 개의 힘과 하나의

우력이 I-빔의 수직 단면에 작용하고 있다.

여러분은 이들을 같은 외부 효과를 갖는 O점에 작용하는 하나의 힘과 하나의 우력으로 바꾸어 놓을 수 있을까?

만약 가능하다면, 그것을 어떻게 하면 할 수 있을까?

등가 계 (4.7절)

여러 개의 힘과 우력 모멘트가 물체에 작용할 때, 만약 그것이 같은 외부 효과를 갖는 단일 힘과 우력으로 나타낼 수 있다면, 물체에 작용하는 그 전체적인 효과를 이해하는 것이 보다

쉬울 것이다.

이때 두 힘 및 우력 계는 물체에 같은 외부 효과를 나타내므로 등가계(equivalent systems)라 부른다.

=

힘의 작용선 상에서 힘의 이동

A에서 O로 힘을 옮기더라도, 두 점이 동일 작용선상에 있다면, 외부효과(external effect)는 변하지 않는다

(전달성의 원리). 그래서, 힘 벡터를 미끄럼벡터(sliding vector)라 부른다. (그러나 물체내에서 힘의 내부효과 (internal effect)는 힘이 작용하는 장소에 의존한다.).

힘의 작용선을 벗어난 힘의 이동

A점에서 O점으로 힘의 이동은(위에 보인 바와 같이)

부가적인 우력 모멘트의 생성을 (힘 + 우력으로)가져온다.

이때 새로 생성된 우력 모멘트는 자유벡터(free vector)이므로, 물체상 임의의 점 P에 작용할 수 있다.

힘과 우력 계의 합력 (4.8절)

여러 개의 힘과 우력 모멘트가 물체에 작용할 때, 각 힘과 공통점 O에 관한 그 모멘트로 각 힘을 이동할 수 있다.

그리고 나서 모든 힘과 우력 모멘트 들을 더하여, 한 쌍의 힘-우력

모멘트를 구할 수 있다.

1) 계의 합력은 모든 힘의 합과 같다.

2) 계의 합 우력 모멘트는 모든 우력 모멘트의 합에 점 O에 대한 모든 힘의 모멘트를 더한 것과 같음

M

F

만약 힘 계가 x-y 평면에 놓여 있는 2-D 경우, 그러면 단순화된 등가 계는 아래의 세 스칼라 방정식을

사용하여 얻을 수 있다.

힘과 우력 계의 합력 (계속)

예 제 4.14

o

그림과 같은 부재에 작용하는 힘을 점 A에 작용하는 등가 합력과 합 우력으로 대체하라.

+  F_Rx = F_Rx ; F_Rx= -100-400cos45= - 382.8 N

 F_Ry = F_Ry ; F_Ry= -600-400sin45= - 882.8 N

+ M_RA = 551 N.m

예 제 4.15

o

그림과 같은 부재가 우력모멘트 M과 힘 F1 및 F2를 받고 있다. 이 계를 부재의 기저에 작용하는 등가 합력과 합 우력으로

대체하라.

힘-모멘트 계를 단일 합력으로 단순화

(4.9절)

만약 F_R 과 M_RO 가 서로 수직관계에 있으면, 그 힘-모멘트 계는 추가적으로 단일 힘 F_R 로 더 단순화할 수 있다.

단순히 O점에서 d만큼 떨어진 P점으로

F

= =

세 개의 특별한 경우, 공점력계(concurrent), 동일

평면력계(coplanar), 그리고 평형력계(parallel)에서, 그 계들은 언제나 단일 힘으로 단순화할 수 있다.

힘-모멘트 계를 단일 합력으로 단순화

= =

세 개의 특별한 경우, 공점력계(concurrent), 동일 평면력계(coplanar), 그리고 평형력계(parallel)에서, 그 계들은 언제나 단일 힘으로 단순화할 수 있다.

1) 공점력계(concurrent), 합우력=0

2) 동일 평면력계(coplanar)

3) 평형력계(parallel)

힘-모멘트 계를 단 하나의 힘으로 단순화

평행력계(paralell force system)

F_R=F₁ + F₂ + F₃

F_R d = F₁d₁ + F₂d₂ + F₃d₃

예 제 1

1) 합력 F_RA를 구하기 위하여 모든 힘의 x와 y성분을 더하라.

2) A점으로 각 힘을 이동시킴으로 인해 생기는 모든 모멘트의 합을 구하라.

3) d = M_RA/F_ry 관계를 사용하여 거리 d만큼 F_RA 를 이동시켜라 주어진 값: 2차원 힘과 우력

계

목표: (a) A점에 작용하는 등가 합력과 우력.

(b) 보AB를 따라서 작용하는 등가 단일 힘의 위치.

계획 (풀이):

F_R = ( 42.5² + 50.31² )^1/2 = 65.9 kN

 = tan

+  F_Rx = 25 + 35 sin 30° = 42.5 kN +  F_Ry = 20 + 35 cos 30° = 50.31 kN + M_RA = 35 cos30° (0.2) + 20(0.6) – 25(0.3) = 10.56 kN.m

예제 (계속)

등가 단일 힘 F_R 을 보 AB상에서 A점으로 d 만큼의 거리에 위치시킬 수 있다.

d = M_RA/F_Ry = 10.56/50.31 = 0.210 m.

F

예 제 2

1) 합력 F_RO

= F

k 를 구하라.

2) 합 우력 M_RO =  (r_i

 F

3) 단일 등가 합력의 위치는 x = -M_RyO/F_RzO 와 y = M_RxO/F_RzO 로 주어진다.

o

주어진 값: 건물 슬라브가 4대의 기둥을 갖는다.

F₁과 F₂=0

목 표: 원점 O점에서 등가 합력과 우력모멘트를 구하라. 단일 등가

합력의 위치(x,y)의 위치를 구하라.

계획 (풀이):

F

M

= {-150 i + 400 j } kN·m

단일 등가 합력의 위치는 아래와 같다.

x = -M_Ryo/F_Rzo = -400/(-70) = 5.71 m y = M_Rxo/F_Rzo = (-150)/(-70) = 2.14 m

o

예 제 2(계속)

개념 확인 퀴즈

1. 장대에 작용하는 힘들은 점 ____ 에 대한 단일 힘과 단일 모멘트로

단순화할 수 있다.

A) P B) Q C) R D) S E) 위의 모든 점.

2. 물체에 작용하는 두 개의 우력을 생각하자.그 물체의 임의 점에서 나타낼 수 있는 가장 단순한 등가 계는 다음 중

어느 것 인가?

A) 하나의 힘과 하나의 우력 모멘트.

B) 하나의 힘.

C) 하나의 우력 모멘트.

D) 두 개의 우력 모멘트.

R Z S

Q P X

•

Y

•

•

•

집단 문제 해결 능력배양 (계속)

a) F_RO =  F_i 를 구하라.

b) M_RO =  M_C +  ( r_i  F_i )를 여기서,

F

는 직교 벡터로 표시(CVN)한 개별 힘 .

M

R

O점으로부터 F

주어진 값: 전동드릴의 핸들에 힘 F₁과 F₂가 작용하고 있다.

목 표: 원점 O점에서 등가 합력과 우력 모멘트를 구하라.

계획 (풀이):

해 법

F

F

F

r

r

M



F

= {0.9 i + 3.3 j – 0.45 k + 0.4 i + 0 j + 0 k} N·m

= {1.3 i + 3.3 j – 0.45 k} N·m

i j k

0.15 0 0.3 6 -3 -10

+ i j k

0 - 0.25 0.3 0 2 -4

M

= { } N·m

예 제 4.16

o

그림과 같이 보 AB에

동일평면력계가 작용하고 있다. 이 힘계와 등가인 합력의 크기, 방향 그리고 보위에서의 위치를 구하라.

d = 5.07 m

힘의 합: 힘을

직각성분으로 분해한 후 x방향과 y방향 성분의 합력을 구한다.

모멘트의 합: 합력 F

모멘트와 각 힘의 E점에 대한 모멘트의 합은

등가가 되어야 하고, 이때 d 를 구하면 된다.

예 제 4.17

o

그림과 같이 지브 크레인에 세 개의 동일 평면력이 작용하고 있다. 이 힘들을 하나의 등가 합력으로 대체하고, 이 합력의 작용선과 기둥 AB 및 붐BC 와의교차점을 구하라.

힘의 전달성의 원리를

사용하여 기둥 AB와 만나는 경우의 모멘트아암 y, BC와 만나는 경우의 모멘트 아암 x를 구하면 된다.

1. 아래 힘 계에 대하여, P점에서 등가 계는 ___________ . A) F_RP = 40 N (+ x방향을 따르는) 그리고 M_RP = +60 N.m B) F_RP = 0 N 그리고 M_RP = +30 N.m

C) F_RP = 30 N (+y방향을 따르는) 그리고 M_RP = -30 N.m D) F_RP = 40 N (+x방향을 따르는) 그리고 M_RP = +30 N.m

P

1m 1m 30 N

40 N 30 N

• x

y

주의 환기 퀴즈

주의 환기 퀴즈

2. 어떤 물체에 작용하는 세 개의 우력을 생각하자. 등가 계는 물체 상의 다른 점에 위치하였을 때 _______

것이다.

A) 다를 것.

B) 같을 것.

C) 0이 될 것

D) 위의 어느 것도 아니다.

분포하중의 단순화

분포하중에 대한 등가력을 구하는 법.

학습내용 :

• 예습 확인 퀴즈

• 적용 예

• 등가력

• 개념확인 퀴즈

• 집단문제 해결능력

• 주의 환기퀴즈

예습확인 퀴즈

1. 분포하중에 의한 합력(F_R)은 분포하중선도, w = w(x)

아래의 _____에 상당한다.

A) 도심(centroid) B) 현 길이 C) 면적 D) 체적

2. 분포하중의 등가력의 작용선은 분포하중의 ______ 을 통과한다.

A) 도심 B) 중간 점 C) 왼쪽 단 D) 오른쪽 단

x w

F

분포하중 선도

응용 예

보에 걸리는 분포하중은 은 목재의 무게에

기인한다.

이러한 힘 계를 같은 외부 효과를 갖는 하나의 힘 (집중력)으로 단순화할 수 있을까?

가능하다면, 어떻게?

응용 예(계속)

보 위의 모래주머니는 분포하중으로 작용한다.

어떻게 하면 단일 등가 합력의 크기와 그 작용위치를 구할 수 있을까?

분포하중

여러 가지 상황에서 물체의 표면은 분포하중을 받는다.

그러한 분포하중은 바람, 유체, 혹은 물체의 표면상 작용하는 무게에 의해 야기된다.

분포 압력 하중이 작용하는 가장 흔한 경우를 해석해 보자. 이

경우 평면사면체의 깊이 방향을 따라서 하중은 균일하다.

이 경우, w 는 x의 함수, w(x)이고, 단위길이당 힘의 차원을 갖는다.

합력의 크기

길이 dx인 미소요소를 생각해 보자.

그 요소에 작용하는 힘의 크기 dF는 다음과 같이 주어진다.

dF = w(x) dx

보에 작용하는 순 힘은

+  F_R = _L dF = _L w(x) dx = A 여기서 A는 하중선도w(x) 아래의 면적이다.

합력의 작용위치

미소요소에 작용하는 힘 dF는 O점에 관하여 모멘트xdF를 발생시킨다.

O점에 관한 전체 모멘트는 아래와 같다.

+ M_RO = _L x dF = _L x w(x) dx 합력 F_R가 x 만큼 떨어진 거리에 작용한다면, O점에 관한 모멘트는 + M_RO = ( ) (F_R) = _L w(x) dx

x

x x

여기서 dF=w(x)dx

앞의 두 방정식으로부터 합력의 작용점까지의 위치를 구한다.

나중에 합력 F_R은 기하학적 중심 혹은 하중선도w(x) 아래 면적의

도심

지난다는 것을 알게 된다.

합력의 작용위치(계속)

개념 확인 퀴즈

1. 분포력의 합력 F_R, 의 작용위치, 즉 거리 d는 얼마인가?

A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 6 m

2. 만일 F₁ = 1 N, x₁ = 1 m, F₂ = 2 N 그리고 x₂ = 2 m이라면, 합력 F_R의 작용위치, 즉 거리 x는 얼마인가?

A) 1 m B) 1.33 m C) 1.5 m D) 1.67 m E) 2 m

F _R F ₂ x

F ₁

x ₁ x ₂

F

A B

d A B

3 m 3 m

집단문제 해결능력 배양

1) 사다리꼴 하중을 두 개의 별도의 하중(하나의 직사각형과 하나의 삼각형)으로 나누어서 생각하라.

2) 이들 두 분포 하중에 대하여 합력 F_R 과 작용위치 x를 구하라.

3) 전 합력 F_R 과 세 개의 집중하중에 대한 작용위치를 구하라.

주어진 값: 그림과 같이 보에 하중이 작용한다.

목 표: 등가력과 점 A로부터 작용위치를 구하라.

계획 (풀이):

세 힘의 복합하중에 대하여,

F_R = 1.5 kN + 3 kN + 1.5 kN = 6 kN

+ M_RA = (1.5) (1.5) + 3 (1) + (1.5) 4 = 11.25 kN • m 따라서, F_R = 11.25 kN • m

그래서, = (11.25) / (6) = 1.88 m from A.

x x

높이 0.5 kN/m와 폭 3 m의 직사각형 하중에 대하여,

F_R1 =0.5 kN/m 3 m =1.5 kN

= 1.5 m from A

x ₁

그 작용선은 A로부터 = 1 m

x ₂

집단문제 해결능력 배양(계속)

예제 4.20

옆 그림과 같이 샤프트에 작용하는 분포력과 등가인 합력의 크기와 위치를 구하라

dA = w(x) dx=60x² dx

 F

=1.5 m

교과서 뒤편 안쪽페이지에 있는 도표사용 가능

예제 4.21

옆 그림과 같이 보의 윗면에 p=800x Pa의 분포하중이 작용하고 있다. 등가합력의 크기와 작용위치를 구하라

w = (800x)(0.2)=160x N/m

 F

도심C를 통과한다.

강도는 보의 폭을 따라서 균일하므로 하중을 2차원적으로 표시할 수 있다.

예제 4.22

옆 그림과 같이 보가 과립상의 재료에 의해 분포하중을 받고 있다. 등가인 합력의 크기와 작용위치를 구하라

 F

F_R의 작용점 위치를 구하면,

하중선도가 사다리꼴이어서 삼각형과

직사각형으로 나누어서 계산한다. 해당하중 선도 면적의 도심을 구하여 합력을 나타낸다.

또 다른 방법으로 분포하중을 2개의 삼각형으로 나누어서 풀 수도 있다.

주의 환기 퀴즈

1. F_R = ____________

A) 12 N B) 100 N C) 600 N D) 1200 N

2. x = __________.

A) 3 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m

F _R

100 N/m

12 m x