EBS 올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 수학2 답지 정답

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(1)올림포스 전국연합학력평가 기출문제집. 수학 II. 정답 과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 1. 2020-10-14 오후 3:05:59.

(2) 정답 과 풀이 07. 01 함수의 극한. lim (xÛ`+3x+1)=1Û`+3+1=5 x Ú1. . . 개념. 확인 문제. 01 3 07 0. 본문 7 쪽 . 02 3 08 0. 03 ∞ 09 1. 14 3. 15 -;2!; 16 0. 13 ;3@;. 04 0 10 -4. 05 -1 11 3. 17 17. 06 2 12 8. 답. 08. x Ú -2+일 때, f(x) Ú 4이므로 lim f(x)=4 . &. . . . x Ú -2+. 본문 8~26 쪽. 유형 연습. 02 ① 08 ⑤ 14 ⑤ 20 ③ 26 ① 32 ③ 38 20 44 ② 50 ⑤ 56 14 62 ③ 68 ②. . 03 ③ 09 ② 15 ③ 21 ③ 27 ② 33 ② 39 ④ 45 ④ 51 14 57 ⑤ 63 512 69 ④. 04 ④ 10 ④ 16 ⑤ 22 ③ 28 ② 34 ④ 40 ③ 46 ① 52 66 58 ① 64 ③ 70 ③. 05 ③ 11 ③ 17 ③ 23 ⑤ 29 ③ 35 16 41 ③ 47 27 53 36 59 10 65 ② 71 ①. x Ú 2-. . . . 답. ⑤. 답. ②. 답. ④. 답. ③. 답. ②. 답. ⑤. 답. ⑤. 답. ③. 09 lim f(x)=1, lim f(x)=-2이므로. x Ú 0-. 06 26 12 ② 18 ④ 24 ④ 30 ③ 36 5 42 ① 48 ② 54 22 60 ① 66 ① 72 2. . . x Ú2. . . lim f(x)+lim f(x)=1+(-2)=-1. x Ú 0-. . . x Ú2. . . 10 lim f(x)=1, lim f(x)=3이므로. x Ú 1-. . . x Ú 2+. . . lim f(x)+ lim f(x)=1+3=4. x Ú 1-. . . x Ú 2+. . . 11 lim f(x)=2, lim f(x)=3이므로. x Ú 1-. . . x Ú 4+. . . lim f(x)+ lim f(x)=2+3=5. x Ú 1-. 01. . . lim (xÛ`+5)=2Û`+5=9 . . 답. 9. x Ú 4+. . . 12 lim f(x)=-1, lim f(x)=1이므로. x Ú 0-. 02. x Ú 1+. . . . . lim f(x)+ lim f(x)=-1+1=0. x Ú 0-. lim (3xÛ`+2)=3_1Û`+2=5 x Ú1. x Ú 2-. . 따라서 lim f(x)+ lim f(x)=4+2=6. 01 9 07 5 13 ⑤ 19 ③ 25 ③ 31 ④ 37 ⑤ 43 ④ 49 15 55 ⑤ 61 ③ 67 ②. x Ú2. . x Ú 2-일 때, f(x) Ú 2이므로 lim f(x)=2. 18 2. . 학평. x Ú -2+. . . 19 3. 내신. . . . x Ú 1+. . . . 답. ①. 03. lim f(x)=3, lim f(x)=3이므로. 답. ③. 04 . 답. ④. 05. lim f(x)+ lim f(x)=3+3=6. x Ú 0-. x Ú 1+. . . x Ú 2+. . . . 답. ③. x Ú 0-. . . lim f(x)+ lim f(x)=0+2=2 . . . x Ú 0-. . . 15 lim f(x)=1, lim f(x)=3이므로. 06. x Ú 1-. lim (xÛ`+1)=5Û`+1=26. x Ú 1-. . . x Ú 2+. . . lim f(x)+ lim f(x)=1+3=4 . . . 답. . . . x Ú 2+. lim (xÛ`+x+3)=0+0+3=3. 2 올림포스. . . lim f(x)=0, lim f(x)=2이므로. . x Ú5. x Ú 1+. 14. lim (xÛ`-4x+9)=0-0+9=9. x Ú0. . . . . x Ú0. 13 x Ú 0-. lim (xÛ`-3x+5)=1Û`-3+5=3 x Ú1. 5. 26. . x Ú 2+. . . 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 2. 2020-10-14 오후 3:06:00.

(3) 16. lim f(5-x)= lim f(t)=1. x Ú 2+. t Ú 3-. . . lim f(x)=1, lim f(x)=2이므로. x Ú -1-. x Ú 1+. . . 따라서 lim f(x)+ lim f(5-x)=3+1=4 x Ú 1-. . . x Ú 1+. . . 답. . ⑤. 17. 25 x Ú a-. x Ú 0+. . . . . . 연속이어야 한다.. . . Ú a=-1일 때. lim f(x)+ lim f(x)=2+(-1)=1. x Ú -1-. x Ú 0+. . . . lim f(x)=0, lim f(x)=3이므로. . 답. x Ú -1-. ③. x Ú -1+. . . . . lim f(x)< lim f(x). 18. x Ú -1-. x Ú 1-+. . . x Ú 2-. . . . lim f(x)=2, lim f(x)=0이므로 lim f(x)> lim f(x). . x Ú 0-. lim f(x)+ lim f(x)=1+3=4 x Ú 2-. . . x Ú 0+. . . . . 답. ④. 19 x Ú 1+. x Ú 1+. . x Ú a-. . x Ú 1+. . . x Ú a+. . . . x Ú 1+. x Ú 1-. . . . . . . . 답. ③. 20. x Ú2. x Ú 0-. . . . 답. ③. 답. ①. 답. ②. 답. ②. 26 lim. f(1)=1, lim f(x)=-1이므로. . . . 0이다.. lim f(x)+ lim f(x)=-1+2=1 . . . Ú~Ü 에서 부등식 lim f(x)> lim f(x)를 만족시키는 a의 값은. lim f(x)=-1, lim f(x)=2이므로 . x Ú 0+. . . lim f(x)=-1, lim f(x)=1이므로 lim f(x)< lim f(x) . . x Ú 0-. . . Ü a=1일 때 x Ú 1-. . . . Û a=0일 때. lim f(x)=1, lim f(x)=3이므로. x Ú 0-. x Ú a+. . . lim f(x)=2, lim f(x)=-1이므로. x Ú 0-. ④. lim f(x)> lim f(x)를 만족시키려면 x=a에서 함수 f(x)는 불. x Ú -1-. x Ú 0+. . . . 답. x Ú 0+. x Ú 2+. . . lim f(x)+ lim f(x)=1+2=3. x Ú -1-. . . 2xf(x-2) 2xf(x-2) =lim x Ú 2 (x+3)(x-2) xÛ`+x-6 . . . f(1)+ lim f(x)=1+(-1)=0 x Ú 0-. . . . =lim x Ú2. . 답. ③. 21. . f(0)=1, lim f(x)=-1이므로 x Ú 1+. . f(0)+ lim f(x)=1+(-1)=0 x Ú 1+. . . =;5$;_15=12. 27. . . . f(x-2) 2x _lim x+3 x Ú 2 x-2 . . . lim (x-1) f(x)=3이고 lim (x+1)=1+1=2이므로. . . x Ú1. . x Ú1. . . 답. ③. lim (xÛ`-1) f(x)=lim (x+1)(x-1) f(x) x Ú1. 22. . x Ú1. . . . x Ú 1+. x Ú1. x Ú1. . . . f(0)+ lim f(x)=1+2=3 x Ú 1+. . =lim (x+1)_lim (x-1) f(x). . . . . . . f(0)=1, lim f(x)=2이므로. . . . . . . =2_3=6. . . . 답. ③. 23. lim x Ú2. f(3)=1, lim f(x)=1이므로 x Ú 1-. . 28 . . . f(x)-f(2) f(x)-f(2) =lim [ _(x+2)] x Ú2 x-2 (x-2)(x+2) . . . f(3)+ lim f(x)=1+1=2 x Ú 1-. . . . =lim. . 답. 24 lim f(x)=3이고. x Ú 1-. x Ú2 . . . . 5-x=t라 하면 x Ú 2+일 때, t Ú 3-이므로 . . ⑤. . . f(x)-f(2) _lim (x+2) x Ú2 xÛ`-4 . . =3_4=12. . 29 lim 2f(x)=2_lim f(x)=2이므로 x Ú2 . . x Ú2. . . 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 3. 3. 2020-10-14 오후 3:06:01.

(4) 정답 과 풀이. 38. lim g(x)=lim {2f(x)+g(x)-2f(x)} x Ú2. x Ú2. . . . . =lim {2f(x)+g(x)}-lim 2f(x) x Ú2. . x Ú2. . . lim. . x Ú2. . . . =8-2=6. xÛ`+x-6 (xÛ`+x-6)('Äx+2+2) =lim 'Äx+2-2 x Ú 2 ('Äx+2-2)('Äx+2+2) . . . ③. 답. 30 lim x Ú1. . . (x-1)(x+2) =lim (x+2)=1+2=3 x Ú1 x-1. . . ③. . . ④. . ③. x(x+2) =lim (x+2)=0+2=2 x Ú0 x . . ②. 답. . lim. n Ú¦. . "ÃnÛ`-n+2n = lim n Ú¦ "ÃnÛ`+1. n Ú¦. . . (x-1)(x+3) =lim (x+3)=1+3=4 x Ú1 x-1. . ④. (x-4)(x+12) =lim (x+12)=4+12=16 x Ú4 x-4 . . 16. n Ú¦. 2. . . = lim. xÛ`+3x-4 (x+4)(x-1) =lim x Ú1 x-1 x-1. n Ú¦. ®É1+;n~@;+1. =. 답. ③. 2 =1 1+1. . . . . x Ú1. = lim. n Ú¦. . . . . 답. = lim. n Ú¦. . . 3x-6 (3x-6)('Äx+2+2) =lim 'Äx+2-2 x Ú 2 ('Äx+2-2)('Äx+2+2). 4n+2 "Ã4nÛ`+2n+1+"Ã4nÛ`-2n-1. 1 1 +¾Ð4-;n@;¾Ð4+;n@;+ nÛ` nÛ`. =. =lim. . x Ú2. . . . x Ú2. lim {"Ãf(-x)-"Ãf(x)}. x Ú¦. . . . = lim {"Ãa(-x-1)Û`+1-"Ãa(x-1)Û`+1 }. . . ①. 43. 3(x-2)('Äx+2+2) x-2. =lim 3('Äx+2+2). . 4 =1 2+2 답. . . . x Ú¦. =3_('Ä2+2+2)=12. . . . . 답. ⑤. = lim. x Ú¦ . 4 올림포스. ("Ã4nÛ`+2n+1-"Ã4nÛ`-2n-1)("Ã4nÛ`+2n+1+"Ã4nÛ`-2n-1) "Ã4nÛ`+2n+1+"Ã4nÛ`-2n-1. 4+;n~@;. 5. 37. . = lim. . 2n "ÃnÛ`+2n+n. lim ("Ã4nÛ`+2n+1-"Ã4nÛ`-2n-1 ). . . . ("ÃnÛ`+2n-n)("ÃnÛ`+2n+n) "ÃnÛ`+2n+n. . =lim (x+4)=1+4=5. . ③. 42 n Ú¦. . x Ú2. n Ú¦. . . . . . 36. lim. = lim. . . 답. x Ú1. 답. 1+2 =3 1. =. 1 ¾Ð1+ nÛ`. . 35. . ④. 41 n Ú¦. 답. . ®É1-;n~!;+2 . . . . 답. . lim ("ÃnÛ`+2n-n)= lim. 34 . 20. . . . 답. 3 88nÛ`-3 nÛ` = lim =;2*;=4 lim n Ú ¦ 2nÛ`+7n-9 n Ú¦ 9 2+;n&;nÛ`. . 33. lim. =(2+3)('Ä2+2+2)=20. . 39. . x Ú4. . 40. (x-4)(x+2) =lim (x+2)=4+2=6 x Ú4 x-4 답. lim. x Ú2. . 32. x Ú1. =lim {(x+3)('Äx+2+2)}. . . . . 답. lim. (x-2)(x+3)('Äx+2+2) x-2. . . x Ú0. . . xÛ`(x-2) =lim xÛ`=2Û`=4 lim x Ú2 x Ú2 x-2. lim. x Ú2. . 31. x Ú4. =lim. . . . 답. lim. . . {"Ãa(-x-1)Û`+1-"Ãa(x-1)Û`+1}{"Ãa(-x-1)Û`+1+"Ãa(x-1)Û`+1} "Ãa(-x-1)Û`+1+"Ãa(x-1)Û`+1. 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 4. 2020-10-14 오후 3:06:02.

(5) = lim. x Ú¦. . . 47. 4ax "Ãa(-x-1)Û`+1+"Ãa(x-1)Û`+1. lim. 4a 4a = lim = =6 x Ú¦ 2'a 1 1 +¾Ða{1-;[!;}Û`+ ¾Ða{-1-;[!;}Û`+ xÛ` xÛ`. x Ú5. . . . lim{ f(x)-x}=0이어야 한다. x Ú5. . . 따라서 'a=3이므로 a=9. f(x)-x도 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로. . 답. ④. 44. . f(x)-x=(x-5)(x+a)`(a는 상수)라 하면. lim x Ú5. x Ú3. . . 2xÛ`+ax+b =3에서 lim (xÛ`-9)=0이므로 x Ú3 xÛ`-9. . . . . . =lim(x+a)=5+a=8. . x Ú5 . lim (2xÛ`+ax+b)=0이어야 한다. x Ú3. f(x)-x (x-5)(x+a) =lim x Ú5 x-5 x-5. . . . lim. f(x)-x =8에서 lim(x-5)=0이므로 x Ú5 x-5. . . . 에서 a=3. . . 따라서 f(x)=(x-5)(x+3)+x이므로. 즉, 18+3a+b=0. . 따라서 b=-3(a+6) lim x Ú3. . . yy ㉠. . 2xÜ`+ax+b 2xÛ`+ax-3(a+6) =lim x Ú3 (x+3)(x-3) xÛ`-9. 48. . . (x-3)(2x+a+6) =lim x Ú3 (x+3)(x-3). . . lim. . x Ú1. . =lim. . . x Ú3. . . =. . . f(7)=2_10+7=27. . . . 2x+a+6 x+3. x Ú1. 15. 'Ä1+a-2=0, 즉 a=3. 12+a =3 6. lim x Ú1. . . 'Äx+a-2 'Äx+3-2 =lim x Ú1 x-1 x-1 . . =lim x Ú1. . . 답. ②. . 45. =lim x Ú1. . . . xÜ`-a =b에서 lim (x-2)=0이므로 x Ú2 x-2. =lim x Ú1 . . . ('Äx+3-2)('Äx+3+2) (x-1)('Äx+3+2) x-1 (x-1)('Äx+3+2) 1 1 = =;4!;=b 2+2 'Äx+3+2. 따라서 a+4b=3+4_;4!;=4. . lim (xÜ`-a)=0이어야 한다. x Ú2. 답. . . 따라서 a+b=6+(-36)=-30. . ②. . . . . 답. 'Äx+a-2 =b에서 lim (x-1)=0이므로 x Ú1 x-1. 이를 ㉠에 대입하면 b=-36. x Ú2. 27. lim ('Äx+a-2)=0이어야 한다.. 12+a=18, 즉 a=6. lim. 답. . . 8-a=0, 즉 a=8 lim x Ú2. . . 49. xÜ`-a xÜ`-8 (x-2)(xÛ`+2x+4) =lim =lim x Ú 2 x-2 x Ú2 x-2 x-2 . . . . lim. . x Ú9. =lim (xÛ`+2x+4)=12=b x Ú2. . x Ú9. 따라서 a+b=8+12=20. . . . . 답. ④. 46. 9-a=0, 즉 a=9 lim x Ú9. . . xÛ`-x-a =b에서 lim (x-2)=0이므로 lim x Ú2 x Ú2 x-2 . x-a x-9 (x-9)('§x+3) =lim =lim '§x-3 x Ú 9 '§x-3 x Ú 9 ('§x-3 )('§x+3 ) . =lim x Ú9 . lim (xÛ`-x-a)=0이어야 한다.. . . . . . . . . x-a =b에서 lim ('§x-3)=0이므로 x Ú9 '§x-3. lim (x-a)=0이어야 한다.. . x Ú2. . . . . (x-9)('§x+3) =lim ('§x+3)=6=b x Ú9 x-9 . . 따라서 a+b=9+6=15. . . 4-2-a=0, 즉 a=2 lim x Ú2 . . 50. xÛ`-x-a xÛ`-x-2 (x-2)(x+1) =lim =lim x Ú2 x Ú2 x-2 x-2 x-2. . . . . . lim x Ú3. =lim (x+1)=3=b. . x Ú2 . 따라서 a+b=2+3=5. . . . . 답. ①. xÛ`-4x+a =b에서 lim ('Äx+1-2)=0이므로 x Ú3 'Äx+1-2 . . lim (xÛ`-4x+a)=0이어야 한다. x Ú3. . . 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 5. 5. 2020-10-14 오후 3:06:03.

(6) 정답 과 풀이. 53. 9-12+a=0, 즉 a=3 xÛ`-4x+a xÛ`-4x+3 =lim lim x Ú 3 'Äx+1-2 x Ú 3 'Äx+1-2 . lim. x Ú¦. . . . =lim. . x Ú3. . . =lim. . x Ú3. . . (xÛ`-4x+3)('Äx+1+2) ('Äx+1-2)('Äx+1+2). lim x Ú3. x Ú3. lim x Ú3. f(x) (x-3)(x+a) =lim x-3 x-3 x Ú 3 . . . =lim (x+a)=3+a=5. . x Ú3. . . 답. ⑤. 51. 에서 a=2 따라서 f(x)=(x-3)(x+2)이므로 f(7)=4_9=36 . . . . . . . . yy ㉠. . lim. x Ú¦. f(x) =2이므로 다항함수 f(x)는 최고차항의 계수가 2인 이 xÛ`. . . . . 차함수이다.. x+2 x+2 = lim 'Äx+a-b x Ú -2 'Äx+a-'Äa-2 . . . = lim. . x Ú -2. 또, lim x Ú2. (x+2)('Äx+a+'Äa-2 ) ('Äx+a-'Äa-2 )('Äx+a+'Äa-2 ). . . f(x) =7에서 lim (x-2)=0이므로 x Ú2 x-2. . . . . . 36. 54. . 'Äa-2-b=0, 즉 b='Äa-2. . 답. x+2 =6에서 lim (x+2)=0이므로 x Ú -2 'Äx+a-b. lim ('Äx+a-b)=0이어야 한다.. x Ú -2. . . . . 따라서 a+b=3+8=11. lim. . . 있다.. . =2_4=8=b. x Ú -2. . . . . x Ú -2. f(x) =5에서 lim (x-3)=0이므로 lim f(x)=0이어야 한다. x Ú3 x Ú3 x-3. 즉, f(3)=0이므로 f(x)=(x-3)(x+a) (a는 상수)로 놓을 수. (x-3)(x-1)('Äx+1+2) x-3. . lim. . . . . =lim {(x-1)('Äx+1+2)}. . f(x) =1에서 이차함수 f(x)의 이차항의 계수는 1이다. xÛ`+2x+3 . . . . . lim f(x)=0이어야 한다. x Ú2. . . . . = lim. . x Ú -2. . (x+2)('Äx+a+'Äa-2 ) x+2. 즉, f(2)=0이므로 f(x)=(x-2)(2x+a) (a는 상수)로 놓을 수. . . . . 있다.. = lim ('Äx+a+'Äa-2 )=2'Äa-2=6. . x Ú -2. . . . 'Äa-2=3에서 a-2=9, a=11. lim x Ú2. 이것을 ㉠에 대입하면 b='Ä11-2=3. f(x) (x-2)(2x+a) =lim x-2 x-2 x Ú 2. . . . . . . =lim (2x+a)=4+a=7. . x Ú2. . . 따라서 a+b=11+3=14 답. 14. 52. 에서 a=3 따라서 f(x)=(x-2)(2x+3)이므로 . f(4)=2_11=22. . f(x)-xÜ` 함수 f(x)는 다항함수이고 lim =2이므로 x Ú¦ 5xÛ` . . . . x Ú -1 . f(x) =-8에서 lim (x+1)=0이므로 x Ú -1 x+1. lim. . . x Ú¦. . x Ú -1. . . lim . x Ú1. x Ú1. . . . . 따라서 f(x)=3xÛ`+10x+7이므로 f(0)=7. f(x) xÜ`+10xÛ`+ax+a-9 = lim x+1 x+1 x Ú-1. . . . . = lim. . x Ú -1. . . 56. (x+1)(xÛ`+9x+a-9) x+1. = lim (xÛ`+9x+a-9). . x Ú -1. lim. x Ú¦. . . =1-9+a-9=-17+a=-8. f(x)=xÜ`+2xÛ`+ax+b (a는 상수)로 놓을 수 있다.. . 에서 a=9, b=0. lim. x Ú -1. 따라서 f(x)=xÜ`+10xÛ`+9x이므로 f(2)=8+40+18=66. . 6 올림포스. 답. 66. f(x) =5에서 lim (x+1)=0이므로 x Ú -1 x+1. . . . . . f(x)-xÜ` =2이므로 xÛ`+1. . . . . . ⑤. lim f(x)=lim (3xÛ`+10x+a)=13+a=20이므로 a=7. . . 답. f(x)=3xÛ`+10x+a (a는 상수)로 놓을 수 있다.. . . . -1+10-a+b=0, 즉 b=a-9 x Ú -1. f(x)-3xÛ` =10이므로 x. . . . . lim f(x)= lim (xÜ`+10xÛ`+ax+b)=0이어야 한다.. x Ú -1. 22. 55. f(x)=xÜ`+10xÛ`+ax+b (a, b는 상수)로 놓을 수 있다.. . 또, lim. 답. . . lim f(x)=0이어야 한다.. x Ú -1. . . 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 6. 2020-10-14 오후 3:06:04.

(7) 즉, f(-1)=-1+2-a+b=0, b=a-1. lim. . lim. f(x) xÜ`+2xÛ`+ax+a-1 = lim x+1 x+1 x Ú -1. . = lim. x Ú -1. . . 조건 ㈏ 에서 lim (xÛ`+2x-3)=0이므로. (x+1)(xÛ`+x+a-1) x+1. x Ú -1. lim f(x)=0이어야 한다. x Ú1. . . . 즉, f(1)=0이므로 f(x)=(x-1)(2x+a) (a는 상수)로 놓을 수 . . lim. f(1)=1+2+6+5=14. . x Ú1. 14. 57. =lim x Ú1 . . . 2x+a 2+a = =;4!; x+3 4. 2+a=1에서 a=-1. . 조건 ㈏에 의하여 lim x Ú0. . f(x) =-1에서 lim (xÛ`+x)=0이므로 x Ú0 xÛ`+x. 따라서 f(x)=(x-1)(2x-1)이므로 f(3)=2_5=10 . . . . . . . 답. 10. 답. ①. 60. lim f(x)=0이어야 한다. . . 3n-1 3n+2 <aÇ< nÛ`+1 nÛ`+1. 즉, f(0)=b=0 . f(x) 2xÛ`+ax x(2x+a) =lim =lim x Ú 0 x(x+1) xÛ`+x x Ú 0 xÛ`+x . . . . =lim x Ú0 . 부등식의 각 변에 n을 곱하면. . . . . . 3nÛ`-n 3nÛ`+2n <naÇ< nÛ`+1 nÛ`+1. 2x+a =a=-1 x+1. 따라서 f(x)=2xÛ`-x이므로 f(3)=18-3=15 . 부등식의 각 변에 극한을 취하면. . 답. ⑤. 58. lim. n Ú¦. . . n Ú¦. . . 3nÛ`-n 3nÛ`+2n =3, lim =3이므로 n Ú¦ nÛ`+1 nÛ`+1 . . lim naÇ=3. . n Ú¦. f(x)=3xÛ`+ax+b (a, b는 상수)로 놓을 수 있다.. . . . f(x) =6에서 lim (xÛ`-x-2)=0이므로 x Ú2 xÛ`-x-2 . . . . . . . 이때 lim. f(x) f(x)가 다항함수이고 lim =3이므로 x Ú¦ xÛ`. . 3nÛ`-n 3nÛ`+2n < lim naÇ< lim n Ú¦ n Ú¦ nÛ`+1 nÛ`+1 . . 61. . . lim f(x)=0이어야 한다.. 점 P(t, tÛ`)과 원점 O에 대하여 선분 OP의 중점이 M이므로. . . 즉, f(2)=12+2a+b=0, b=-2a-12. M{;2T;,. . x Ú2. . . . 조건 ㈎에 의하여 f(x)=2xÛ`+ax+b (a, b는 상수)로 놓을 수 있다.. lim. f(x) (x-1)(2x+a) =lim xÛ`+2x-3 x Ú 1 (x-1)(x+3) . . . 답. x Ú2. . 있다.. 따라서 f(x)=xÜ`+2xÛ`+6x+5이므로. x Ú2. . . 에서 a=6, b=5. lim. x Ú1. . . x Ú0. . . . = lim (xÛ`+x+a-1)=a-1=5. . lim. . . 따라서 f(x)는 최고차항의 계수가 2인 이차함수이다.. . . . x Ú0. f(x) 2xÛ`-5x 2xÛ`+2 = lim =2이므로 lim =2 x Ú¦ x Ú¦ xÛ` xÛ` xÛ` . . . . x Ú -1 . x Ú¦. f(x) 3xÛ`+ax+(-2a-12) =lim xÛ`-x-2 xÛ`-x-2 x Ú 2. tÛ` } 2. . . . . 점 M을 지나고 x축에 평행한 직선 AB의 방정식은 y=. . . =lim. . x Ú2. . . . =lim. . x Ú2 . . (x-2)(3x+6+a) (x-2)(x+1). 점 B는 곡선 y=xÛ`과 직선 y=. 3x+6+a 12+a = =6 x+1 3. 정식 xÛ`=. 에서 a=6, b=-24 . . 답. ① lim. 59. t Ú 0+ . 조건 ㈎ 에서 부등식의 각 변을 xÛ`으로 나누면. tÛ` 의 교점이고, 점 B의 x좌표는 방 2. tÛ` tÛ` '2 의 양의 해이므로 xÛ`= 에서 x= t 2 2 2. 따라서 ABÓ=. 따라서 f(x)=3xÛ`+6x-24이므로 f(0)=-24. tÛ` 2. '2 t_2='2 t, OPÓ="ÃtÛ`+tÝ`=t"Ã1+tÛ` 이므로 2 . . ABÓ '2 t '2 = lim = lim ='2 OPÓ t Ú0+ t"Ã1+tÛ` t Ú0+ "Ã1+tÛ` . . . . . . 답. ③. . f(x) 2xÛ`-5x 2xÛ`+2 É É xÛ` xÛ` xÛ` . 62 점 G의 x좌표가 t이고 곡선 y=;[!; 위에 있으므로 G {t, ;t!;} . 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 7. 7. 2020-10-14 오후 3:06:05.

(8) y. 점 G가 이등변삼각형 ABC의 무게중심 이므로 A {t, ;t#;} . A¦t, /t#/¥. lim (OPÓ-OQÓ)= lim ["Ã4nÝ`+nÛ`-{2nÛ`+;2!;}]. n Ú¦. n Ú¦. . . . . ("Ã4nÝ`+nÛ` )Û`-{2nÛ`+;2!;}Û` . BCÓ=f(t)이고 △ABC의 넓이가 3t이므로. = lim. 1 24 t. ;2!;_f(t)_;t#;=3t. OB. 따라서 f(t)=2tÛ`이므로. n Ú¦. . G t. x. C. = lim. n Ú¦. . -nÛ`-;4!; . . f(t)-2t 2tÛ`-2t =lim lim t Ú1 t Ú1 t-1 t-1 . . "Ã4nÝ`+nÛ`+{2nÛ`+;2!;}. . . . "Ã4nÝ`+nÛ`+2nÛ`+;2!;. . . . . 2t(t-1) =lim =lim 2t=2 t Ú1 t Ú1 t-1. . . = lim. n Ú¦. . . . . . 답. ③ =. 63. . 점 C는 선분 AB의 중점이므로 C {;2#;t,. '2 t} 2. 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는. 0-'2 t =-'2 2t-t. . -1 . -1 =-;4!; 2+2 답. P. 직각삼각형 APB에서 APÓ="Ã4-tÛ` 이고 . 직각삼각형 OHÁP에서 OÕHÁÓ Û`+PÕHÁÓ Û`=1이므로. 3'2 '2 Û` '6 f(t)=CDÓ=¾Ð{2t-;2#;t}Û`+{ tÐt} = t 4 2 4. . . . 직각삼각형 AHÁP에서. . . Hª. Hª라 하자.. . t Ú4. B HÁ. 그림과 같이 두 점 P, Q에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 각각 HÁ,. 3'2 따라서 D {2t, t} 4. . O 2. A. '2 '2 3'2 {2t-;2#;t}+ t= t 2 2 4. Q t. 점 D는 직선 l과 직선 x=2t의 교점이므로. lim. ③. 65. . '2 '2 식은 y= {x-;2#;t}+ t 2 2. 점 D의 y좌표는 y=. 1 4nÛ`. 1 1 +2+ nÛ` 2nÛ`. ¾Ð4+. 점 C를 지나고 직선 AB에 수직인 직선을 l이라 하면 직선 l의 방정. APÓ Û`=(1+OÕHÁÓ)Û`+PÕHÁÓ Û`, 4-tÛ`=2+2OÕHÁÓ. tÛ`-16 tÛ`-4Û` =lim f(t)-'6 t Ú 4 '6 t-'6 4. . . . . . . =lim t Ú4. . . . =lim t Ú4 . . =. 따라서 OÕHÁÓ=1-. PÕHÁÓ=¿¹1-OÕHÁÓ Û`=¾Ð1-{1-. 4(t+4) '6. BÕHªÓ=OÕHÁÓ, QÕHªÓ=PÕHÁÓ이므로. . . . tÛ` 2. 4(t-4)(t+4) '6 (t-4). AQÓ=¿¹(2+BÕHªÓ)Û`+QÕHªÓ Û` =¿¹(2+OÕHÁÓ)Û`+PÕHÁÓ Û` . =¾Ð[2+{1-. . 답. 512. 64. 따라서. 2nÛ`-0 2nÛ` 두 점 O, P를 지나는 직선의 기울기는 = =2n n-0 n. t Ú 0+. 점 P(n, 2nÛ`)을 지나고 선분 OP에 수직인 직선 l의 방정식은 y=-;2Án;(x-n)+2nÛ` 점 Q는 직선 l이 y축과 만나는 점이므로 Q{0, 2nÛ`+;2!;}. tÛ` `Û tÝ` } =¾ÐtÛ`2 4. 직각삼각형 AHªQ에서. 16'6 =a 3. 따라서 3aÛ`=512. lim . . . tÛ` Û` tÝ` }] +tÛ`Ð- ="Ã9-2tÛ` 2 4. 3-AQÓ 3-"Ã9-2tÛ` = lim t Ú 0+ tÛ` tÛ` . . = lim. . t Ú 0+. . . = lim. . t Ú 0+. (3-"Ã9-2tÛ`)(3+"Ã9-2tÛ`) tÛ`(3+"Ã9-2tÛ` ) . . . 2tÛ` tÛ`(3+"Ã9-2tÛ` ) . 2 2 = lim = =;3!; t Ú 0+ 3+"Ã9-2tÛ` 3+3. . . . OPÓ="ÃnÛ`+(2nÛ`)Û`="Ã4nÝ`+nÛ`, OQÓ=2nÛ`+;2!;. 8 올림포스 . 게 커지거나. 정답 과 풀이. 답. ②. 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 8. 2020-10-14 오후 3:06:06.

(9) B(t+4, 'Ät+4 ). 66. . A(t, 't ), B(t+4, 'Ät+4 )에서 C(t+4, 't )이므로. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 y-4=. ;t$;-4 t-1. . 삼각형 ABC의 넓이는. . S(t)=;2!;_ACÓ_BCÓ. 이 직선이 x축과 만나는 점이 P이므로 점 P의 좌표는 y=0에서 0=-;t$; (x-1)+4, x=t+1. =;2!;_4_('Ät+4-'t )=2('Ät+4-'t ). . . 따라서 P(t+1, 0)이므로 삼각형 OPB의 넓이는. 따라서 lim S(t)=lim t Ú¦. t Ú¦. . . . . 2(t+1) t. lim. t Ú¦ . 2(t+1) =2 t. 't_S(t) 't_2('Ät+4-'t ) =lim t Ú¦ 2 2 . . . . . =lim {'t ('Ät+4-'t )}. . t Ú¦. . ①. . 67 두 점 O, P를 지나는 직선의 기울기는 t이므로 선분 OP에 수직이고 점 P를 지나는 직선 PQ의 기울기는 -;t!;. =lim. . t Ú¦. . =lim. . t Ú¦. . . . =lim. . t Ú¦. 삼각형 OPQ의 넓이는 S(t)=;2!;_t_(1+tÛ`)=;2!;t(1+tÛ`) S(t) = lim t Ú 0+ t. ;2!;t(1+tÛ`) . . t Ú 0+. ®É1+;t$;+1. =. 4 =2 1+1 답. ④. 답. ③. 70 따라서 삼각형 POQ의 넓이는. ②. 68. S(t)=;2!;_OQÓ_PQÓ=;2!;_t_'Ät+2=;2!;t'Ät+2 선분 OQ를 지름으로 하는 원의 넓이는 tÛ` C(t)=p_{;2!;_OQÓ}Û`={;2T;}Û`p= p 4. x=t (0<t<1)와 제1사분면에서 만나는 점이므로 . P(t, "Ã1-tÛ` ), Q(t, 'Ät+1 ). 따라서. . 삼각형 OPQ의 넓이는. tÛ` p 4 C(t) = lim lim t Ú 0+ t_S(t) t Ú 0+ ;2!;tÛ`'Ät+2. S(t)=;2!;_t_PQÓ=;2!;_t_('Ät+1-"Ã1-tÛ` ). . . . . 따라서 S(t) t('Ät+1-"Ã1-tÛ` ) = lim lim t Ú 0+ t Ú 0+ tÛ` 2tÛ`. . . = lim. t Ú 0+ . . . 4't 'Ät+4+'t. . 답. . . P(t, 'Ät+2 ). . . 두 점 P, Q는 원 xÛ`+yÛ`=1과 곡선 y='Äx+1이 직선. . 점 P는 직선 x=t와 함수 y='Äx+2의 그래프의 교점이므로. = lim ;2!;(1+tÛ`)=;2!;. t. 't ('Ät+4-'t )('Ät+4+'t ) 'Ät+4+'t. 4 . . 이 직선이 y축과 만나는 점이 Q이므로 점 Q의 좌표는 Q(0, 1+tÛ`). . . . . 직선 PQ의 방정식은 y-tÛ`=-;t!;(x-t). . . . . t Ú 0+. . 따라서. 답. 따라서 lim. . ACÓ=4, BCÓ='Ät+4-'t. (x-1)에서 y=-;t$; (x-1)+4. S(t)=;2!;_(t+1)_;t$;=. . . p p '2 = = p 4 2'Ät+2 2'2. . . . tÛ`+t = lim t Ú 0+ 2t('Ät+1+"Ã1-tÛ` ). . 71. . . . = lim. . t Ú 0+ . =. . . t+1 2('Ät+1+"Ã1-tÛ` ). 직선 y=t가 곡선 y=;[!;과 만나는 점이 B이므로 B {;t!;, t} . . 1 =;4!; 2(1+1). 직선 y=t가 곡선 y='§x 와 만나는 점이 C이므로 C(tÛ`, t) . 답. 69. ②. 직선 CD는 x=tÛ`이고 x=tÛ`과 y=;[!;이 만나는 점이 D이므로 D {tÛ`, . 곡선 y='§x 와 직선 x=t가 만나는 점이 A이므로 A(t, 't ) . 곡선 y='§x 와 직선 x=t+4가 만나는 점이 B이므로 . . 1 } tÛ`. 따라서 f(t)=;2!; {tÛ`-;t!;}(t-1), g(t)=;2!; {t . . . . 1 }(tÛ`-1)이므로 tÛ`. 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 9. 9. 2020-10-14 오후 3:06:07.

(10) 정답 과 풀이 1 ;2!; {t- }(tÛ`-1) g(t) tÛ` = lim lim t Ú 1+ f(t) t Ú 1+ ;2!; {tÛ`-;t!;}(t-1). 단계. . . . . ㉮. . . . . = lim. t Ú 1+. . . . . = lim. t Ú 1+. . . . P(t, 'Ä4t-3 ), Q(0, 'Ä4t-3 ) . . ①. 154t-33-1 y=154x-33 H P. y Q 154t-33 1. S(t)=;2!;_ABÓ_PHÓ. A 1. O. . ;2!;t('Ä4t-3-1). lim 2x= lim (3x-2)=4이므로. x Ú 2+. x Ú 2+ . f(x)-4x =4 lim x Ú 2+ x-2 . = lim. t Ú 1+. . . = lim. . t Ú 1+. lim (3x-2)= lim 2x=4이므로 x Ú 2-. lim. x Ú 2-. . = lim. t Ú 1+. t('Ä4t-3-1)('Ä4t-3+1) (t-1)('Ä4t-3+1). f(x)-4x =4 x-2. . Ú, Û 에서 lim lim x Ú2. . 4t 4 = =2 1+1 'Ä4t-3+1. 2. 비율 20%. lim. ㉯. . 채점 기준 f(x)-4x의 범위를 구한 경우. . 02 4. lim. ㉰. . lim. ㉱. x Ú2. 30%. f(x)-4x 의 값을 구한 경우 x-2. 30%. . x Ú 2-. . . 01. f(x)-4x 의 값을 구한 경우 x-2. . x Ú 2+ . f(x)-4x 의 값을 구한 경우 x-2. 4. 20%. . . . h(x)=. ㉱. . 단계. 본문 27 쪽. . . . . f(x)-4x =4 x-2. ㉮. 연습. 01 2. f(x)-4x f(x)-4x = lim =4이므로 x Ú 2x-2 x-2. 답 답. 서술형. . . . . . . . x Ú 2+. . 4t(t-1) (t-1)('Ä4t-3+1). ㉰. . . . . . . x Ú 2-. . . ㉯. . f(x)-4x É2x x-2. 3x-2É. . ;2!;(t-1). . f(x)-4x É3x-2 x-2. . Û x<2일 때,. . 2xÉ. . 따라서 T(t) = lim S(t) t Ú1+. ㉮. . Ú x>2일 때,. . T(t)=;2!;_PQÓ_HAÓ=;2!;_t_('Ä4t-3-1)=;2!;t('Ä4t-3-1). t Ú 1+. 2x(x-2)Éf(x)-4xÉ(3x-2)(x-2). . =;2!;_1_(t-1)=;2!;(t-1). . 2xÛ`-4xÉf(x)-4xÉ3xÛ`-8x+4. t x. t-1. 50%. 02. B. f(x)+3g(x) 의 값을 구한 경우 2f(x)-g(x). . . 2xÛ`Éf(x)É3xÛ`-4x+4에서. 이므로. lim. lim. x Ú¦ . 답. 린 수선의 발을 H라 하면. 50%. . ㉯. t+1 1+1 = =2 t 1. 72. 비율. . (tÜ`-1)(tÛ`-1) t(tÜ`-1)(t-1). 그림과 같이 점 A에서 PQÓ에 내. 채점 기준 f(x) 의 값을 구한 경우 lim x Ú ¦ g(x) . f(x)+g(x) 로 놓으면 f(x)-g(x). . . lim h(x)=4이고,. x Ú¦. . . f(x) h(x)+1 이므로 = h(x)-1 g(x). . f(x) h(x)+1 4+1 = lim = =;3%; lim x Ú ¦ g(x) x Ú ¦ h(x)-1 4-1 . . . ㉮. . . 따라서 f(x) +3 ;3%;+3 g(x) = =2 f(x) ;;Á3¼;;-1 -1 2 g(x). . . . . . . ㉯. . . 풀이 전략. . 02 141. . 03 4. 04 208. . 2. 모든 실수 a에 대하여 항상 극한값이 존재해야 하므로. (분모) Ú 0이 되도록 하는 a의 값인 a=2, a=-2일 때도 극한값이 존 . 답. 10 올림포스. 01 60. 본문 28~29 쪽. 01. . f(x)+3g(x) = lim lim x Ú ¦ 2 f(x)-g(x) x Ú¦ . 도전. 1등급. . . 재함을 이용한다.. 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 10. 2020-10-14 오후 3:06:08.

(11) Ú x<0일 때. 문제 풀이 1단계 1단계1 조건 ㈎ 를 이용하여 f(2), f(-2)의 값을 각각 구한다. STEP . . 조건 ㈎ 에서 모든 실수 a에 대하여 lim x Úa. . f(x)-5x 의 값이 존재하 xÛ`-4. . . . 가 만나는 서로 다른 점의 개수를 r(t). x Úa. . . . . . . lim { f(x)-5x}=0이고 lim { f(x)-5x}=0 x Ú2. . x Ú -2. . . r(t)=. . . . -1. x. O. (3<t<6). 1단계 1단계2 t의 값의 범위에 따라 함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=;3T;의 교점의 STEP. 1단계 1단계2 함수 f(x)의 차수, 최고차항의 계수를 구한다. STEP . f(x)가 다항함수이므로. 개수를 구한다.. . f(x)-5x=(x+2)(x-2)g(x) (단, g(x)는 다항식)라 하자.. . Û x¾0일 때. . 조건 ㈏ 에서 . lim ("Ãf(x)-3x+1). x Ú¦. 1 (t=3) 1 (t¾6). 즉, f(2)-10=0, f(-2)+10=0 . y=/3T/. 1. 0 (t<3). x Ú -2. . . à2. 라 하면. lim (xÛ`-4)=0이고 lim (xÛ`-4)=0이므로 x Ú2. 2. . 므로 lim (xÛ`-4)=0이면 lim { f(x)-5x}=0이어야 한다. x Úa. y. 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=;3T;. 함수 y=| f(-x)-t|의 그래프와 직선 y=;3T;가 만나는 서로 다 . . . = lim. x Ú¦. . . = lim. x Ú¦. {"Ãf(x)-(3x-1)}{"Ãf(x)+(3x-1)} "Ãf(x)+(3x-1) f(x)-(3x-1)Û` "Ãf(x)+3x-1. 른 점의 개수를 s(t)라 하자. f(-x)-t=xÛ`-2x+2-t=(x-1)Û`+1-t. . 함수 y=f(-x)-t의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 1-t),. . . . ={"Ãf(x)}Û`-(3x-1)Û`. 이때 f(x)의 차수에 따라 극한값이 존재하는지 확인해 보면 다음과 . 같다.. f(x)-(3x-1)Û`은 이차식, "Ãf(x)+3x-1은 일차식이므로. . ② 1-t=;3T;, 즉 t=;4#;일 때,. y=/3T/. 1-t. s(t)=1. 주어진 극한은 발산한다.. . 분모에 비해 분자가 훨씬 빠르게 커지거나 작아지기 때문이다.. f(x)=axÛ`+bx+c라 하면 g(x)=a이고. . f(x)-(3x-1)Û` axÛ`+bx+c-(9xÛ`-6x+1) = lim lim x Ú ¦ "Ãf(x)+3x-1 x Ú¦ "ÃaxÛ`+bx+c+3x-1 . x. 1. O. ③ |1-t|<;3T;<2-t, 즉 ;4#;<t<;2#;일 때, s(t)=2. y. . . . 2-t. . . . y. ① 1-t>;3T;, 즉 t<;4#;일 때, s(t)=0. Ú f(x)가 일차 이하일 때. Û f(x)가 이차함수일 때. y축과 만나는 점의 y좌표는 2-t이다.. . . 이때 주어진 극한값이 존재하려면 분자의 식이 일차식이어야 하 므로 a=9. y. 2-t. 일차식. . f(x)-(3x-1)Û`이 "Ãf(x)+3x-1보다 훨씬 빠르게 커지거나. 1-t O. . 작아지므로 주어진 극한은 발산한다. Ú~ Ü에서 f(x)는 최고차항의 계수가 9인 이차함수이다. . . x. 1. y=/3T/. t-1 O. 1. y. . 따라서 f(x)-5x=9(x+2)(x-2)에서. y=/3T/. . t-1. f(x)=9(x+2)(x-2)+5x이므로. . . f(3)=9_5_1+15=60. O. . 답. 02 풀이 전략. x. ④ t-1=;3T;=2-t, 즉 t=;2#;일 때, s(t)=3. f(3)의 값을 구한다.. 1단계 1단계3 STEP. 2-t. y=/3T/. Ü f(x)가 삼차 이상일 때. ⑤ t-2<;3T;<t-1, 즉. 함수의 그래프를 이용한다.. ;2#;<t<3일 때, s(t)=3. . 문제 풀이 1단계 1단계1 x<0일 때 함수 y=f(x)의 그래프를 이용하여 함수 y=g(x)의 그래 STEP. 프와 직선 y=;3T;의 교점의 개수를 구한다.. x. 1. 60. ⑥ ;3T;=t-2, 즉 t=3일 때,. y t-1 y=/3T/. t-2. s(t)=3. O. x. 1. . 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 11. 11. 2020-10-14 오후 3:06:09.

(12) 정답 과 풀이 ⑦ ;3T;<t-2, 즉 t>3일 때, s(t)=2. 함수 g(x)의 그래프는 f(x)¾k일 때 y=f(x)의 그래프와 같고, . f(x)<k일 때 y=f(x)의 그래프를 직선 y=k에 대하여 대칭이동. . ①~⑦에서. y=f(x)를 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향 으로 2k만큼 평행이동. 한 그래프이므로 다음 그림과 같다.. ( 0 {t<;4#;} M 1 {t=;4#;} M. y 1. s(t)={ 2 {;4#;<t<;2#;} M 3 {;2#;ÉtÉ3} M 9 2 (t>3). O. f(x)<k일 때 0<f(x)<k이므로. ( 0 {t<;4#;} M M 1 {t=;4#;}. -k<-f(x)<0 2k-k<2k-f(x)<2k k<2k-f(x)<2k 즉, f(x)<k일 때 함수 y=g(x)의 그래프는 직선 y=2k와 만나지 . y 4. M h(t)={ 2 {;4#;<t<;2#;} M 3 {;2#;Ét<3} M M 4 (3Ét<6). 않는다.. y=h(t). 3. 그러므로 f(x)¾k일 때 함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=2k의. 2. 교점의 개수를 조사한다.. 1. Ú kÉ0일 때,. . . O. /4#/ /2#/. 9 3 (t¾6). 3. 6. f(x)>k이므로 g(x)=f(x)>0¾2k. t. . 함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=2k의 그래프가 만나는 점이. . Á {4aû_h(aû)}의 값을 구한다.. 없으므로 h(k)=0. m. y. k=1. 1. lim h(t)+ lim h(t)인 a를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 t Ú a+. . 2. . 로 다른 점의 개수는 h(t)=r(t)+s(t). t Ú a-. y=2k y=k x. 1단계 1단계2 함수 y=h(k)의 식을 구한다. STEP. Ú, Û에 의하여 함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=;3T;가 만나는 서. 1단계 1단계3 STEP. y=g(x). y=g(x). . aÁ=;4#;, aª=;2#;, a£=3, a¢=6이고. O. x. 2. h(aÁ)=1, h(aª)=3, h(a£)=4, h(a¢)=3 Û 0<2k<1, 즉 0<k<;2!;일 때,. 따라서. Á {4aû_h(aû)}=4_{;4#;_1+;2#;_3+3_4+6_3}=141 m. . k=1. 답. y=k y=2k. 141. f(x)>k일 때 함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=2k는 두 점에. 서 만나므로 h(k)=2 y. 03. y=g(x). 1. y=2k y=k. 지수함수의 그래프의 대칭이동과 평행이동을 활용한다.. 풀이 전략 문제 풀이. x. 2. O. 1단계 1단계1 두 함수 f(x)와 g(x)의 그래프의 개형을 파악한다. STEP . 함수 f(x)=[ . 2x-2 (x<2) 2-x+2 (x¾2). 의 그래프는 다음과 같다.. Ü 2k=1, 즉 k=;2!;일 때, . y. 점에서 만나므로 h(k)=1. 1. y=f(x). O. y x. 2. g(x)=| f(x)-k|+k . =[. f(x). . ( f(x)¾k). O | f(x)-k|+k=f(x)-k+k=f(x). y=2k y=k 2. x. . . | f(x)-k|+k=-f(x)+k+k=-f(x)+2k . . y=g(x). 1. . -f(x)+2k ( f(x)<k). 12 올림포스. f(x)>k일 때 함수 y=g(x)의 그래프와 y=2k는 x=2일 때 한. Ý 2k>1, 즉 k>;2!;일 때,. 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 12. 2020-10-14 오후 3:06:10.

(13) . f(x)¾k일 때 kÉf(x)<1이므로 함수 y=g(x)의 그래프는. L=CÕIÕ+QÕIÕ+CQÓ=2CÕIÕ+2CHÓ=2t+. y=2k의 그래프와 만나지 않는다. 즉, h(k)=0 1단계 1단계2 점 P가 점 B에 한없이 가까워질 때 STEP. y y=2k y=g(x) y=k. 1. LÛ` =lim lim t Ú0 S t Ú0 . O. x. 2. . 1 }]Û` "ÃtÛ`-2t+2 tÛ`(1-t) tÛ`-2t+2. . . 4tÛ`_. . . =lim. . t Ú0. . . ( 0 {kÉ0 또는 k>;2!;} M h(k)={ 1 {k=;2!;} M 9 2 {0<k<;2!;}. 2. y=h(k) . 1. O. k Ú ;4!;-. . . k Ú ;4!;-. . . . k Ú ;4!;-. 다른 풀이. D. C R. ICÕ=IQÕ, ADÓ=APÓ이므로 두 삼각형 IQC, APD는 서로 닮음인 도형이다.. lim h(k). k Ú ;2!; . I B Q. A. 따라서. . P. (△IQC의 둘레의 길이)Û` (△IQC의 넓이). . =2_2=4. . 답. 4. 04. =. [그림 1]. (△APD의 둘레의 길이)Û` (△APD의 넓이) D. [그림 2]에서 점 P가 점 B에 한없이 가까. 풀이 전략. 208. 답. lim [h(k)h{k+;4!;}]= lim h(k)_ lim h{k+;4!;}. k Ú ;4!;-. 4(tÛ`-2t+3+2"ÃtÛ`-2t+2 ) =12+8'2 1-t . . [그림 1]에서 ∠CIQ=∠DAP,. lim h(k)=2이고 lim h{k+;4!;}=2이므로 . . k. /2!/. . k Ú ;4!;-. tÛ`-2t+3+2"ÃtÛ`-2t+2 tÛ`-2t+2 tÛ`(1-t) tÛ`-2t+2. 따라서 a=12, b=8이므로 aÛ`+bÛ`=144+64=208. k Ú ;4!;-. . t Ú0 . lim [h(k)h{k+;4!;}]의 값을 구한다.. 1단계 1단계3 STEP. =lim. . LÛ` 의 값을 구한다. S. [2t{1+. Ú~Ý 에서 y=h(k)의 그래프는 아래와 같다. y. 2t "ÃtÛ`-2t+2. C R. 워지면 삼각형 APD는 삼각형 ABD에 한. 삼각형의 닮음을 이용한다.. 없이 가까워진다.. 문제 풀이. A. 1단계 1단계1 선분 CI의 길이를 t라 하고, S, L을 t에 대한 식으로 나타낸다. STEP. I Q B P. CIÓ=t라 하자. 점 P가 점 B에 한없이 가까워지면 점 I는 점 C에 가까워지므로 t Ú 0이다.. D. . 라 하면 삼각형 ABI와 CHI는 닮음이다. AA 닮음. BIÓ=1-t, . P. . ="Ã1+(1-t)Û`="ÃtÛ`-2t+2. AIÓ`:`ABÓ=CIÓ`:`CHÓ이므로 "ÃtÛ`-2t+2`:`1=t`:`CHÓ CHÓ=. t "ÃtÛ`-2t+2. H. C. 각형이므로 (△ABD의 둘레의 길이)Û` (△ABD의 넓이) =. (1+1+'2 )Û` . ;2!;_1_1. B. A. =12+8'2. 그러므로 점 P가 점 B에 한없이 가까워지면. [그림 3] LÛ` 의 값은 12+8'2 에 S . 한없이 가까워진다.. AIÓ`:`BIÓ=CIÓ`:`HIÓ이므로 "ÃtÛ`-2t+2`:`(1-t)=t`:`HIÓ HIÓ=. D. [그림 3]에서 삼각형 ABD는 직각이등변삼. I B Q. A. AIÓ=¿¹ABÓ Û`+BIÓ Û` . C R. 점 I에서 선분 QC에 내린 수선의 발을 H. [그림 2]. 따라서 a=12, b=8이므로 aÛ`+bÛ`=144+64=208. t(1-t) "ÃtÛ`-2t+2. 삼각형 IQC에 대하여 S={;2!;_CHÓ_HIÓ}_2=CHÓ_HÕIÕ=. tÛ`(1-t) tÛ`-2t+2. 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 13. 13. 2020-10-14 오후 3:06:11.

(14) 정답 과 풀이. 02 함수의 연속. 야 한다. 즉, lim f(x)=f(1)이어야 하므로 x Ú1. . . 확인 문제. 개념. 본문 31 쪽 . x Ú1. x Ú1. . . . . f(1)=5에서 a+3=5. 01  02  03 _ 04  05 4 06 -4 07 12 08 5 09 (-¦, ¦) 10 (-¦, ¦) 11 (-¦, -1), (-1, ¦) 12 (-¦, -2), (-2, ¦) 13 4 14 _ 15 0 16 _ 17  18 . lim f(x)=lim (ax+3)=a+3 . 따라서 a=2. 답. ②. 05. 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서 연속이어 . 내신. &. 본문 32~42 쪽. 유형 연습. 학평. 01 12 07 ④ 13 ① 19 ④ 25 ② 31 ①. 02 12 08 10 14 30 20 ③ 26 40. 야 한다.. . 03 ④ 09 ② 15 ③ 21 ⑤ 27 60. 04 ② 10 ① 16 ⑤ 22 ③ 28 ③. 05 16 11 ③ 17 ⑤ 23 ① 29 ⑤. 즉, lim f(x)= lim f(x)=f(2) x Ú 2-. 06 ⑤ 12 ① 18 14 24 ⑤ 30 48. x Ú 2+. . . . . lim f(x)= lim (x+k)=2+k. x Ú 2-. x Ú 2-. . . . . lim f(x)= lim (xÛ`+4x+6)=18. x Ú 2+. x Ú 2+. . . . . f(2)=2+k. . 따라서 2+k=18이므로 k=16 답. 01. 06. 함수 f(x)가 x=1에서 연속이기 위해서는. 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서 연속이어. . . lim f(x)= lim f(x)=f(1)을 만족시켜야 한다.. x Ú 1-. x Ú 1+. . . 야 한다.. . . 즉, lim f(x)= lim f(x)=f(1). lim f(x)= lim (2x+a)=2+a. x Ú 1-. x Ú 1-. . . x Ú 1-. . x Ú 1+. . . x Ú `1+. . . . . . lim f(x)= lim (-2x+1)=-1. lim f(x)= lim (x+13)=14. x Ú 1+. 16. x Ú 1-. . x Ú 1-. . . . . . lim f(x)= lim (xÛ`-ax+4)=5-a. f(1)=14. x Ú 1+. . x Ú 1+. . . 함수 f(x)가 x=1에서 연속이 되려면 2+a=14이어야 하므로. . . f(1)=5-a. . . a=12. 따라서 -1=5-a이므로 a=6 답. 12. 02. 답. ⑤. 07. 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서 연속이어. 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서 연속이어. 야 한다.. 야 한다.. 즉, lim f(x)=f(1)이어야 하므로. 즉, lim f(x)= lim f(x)=f(1). . x Ú1. . x Ú 1-. . x Ú 1+. . . lim f(x)=lim (2x+10)=12, f(1)=a에서 a=12 x Ú1. . x Ú1. . . . . . lim f(x)= lim (2xÛ`+ax+1)=a+3. . . x Ú 1-. x Ú 1-. . . 답. 12. 03. . . lim f(x)= lim (-3x+b)=-3+b. x Ú 1+. x Ú 1+. . . . . f(1)=7. . 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=3에서 연속이어. 이므로 a+3=-3+b=7. 야 한다.. 따라서 a=4, b=10이므로 a+b=4+10=14. . 즉, lim f(x)=f(3)이어야 하므로 x Ú3. 답. . . 08. lim f(x)=lim (xÛ`+3)=12, f(3)=a에서 a=12 x Ú3. x Ú3. . . . . . 답. ④. 04. 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서 연속이어 . 야 한다.. 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서 연속이어 . 14 올림포스 . ④. 즉, lim f(x)=f(2)이어야 하므로 x Ú2. . . 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 14. 2020-10-14 오후 3:06:12.

(15) lim x Ú2. . . xÛ`+ax-10 =b x-2. yy ㉠. . ㉠에서 lim (x-2)=0이므로 lim (xÛ`+ax-10)=0이어야 한다. x Ú2. x Ú2. . . 따라서 a-8=4(a-8)이므로 a=8 답. . . lim (xÛ`+ax-10)=2a-6=0, a=3 x Ú2. f(1)g(1)=4(a-8). . ③. 12. . . a=3을 ㉠에 대입하면. 함수 f(x)가 x+1인 모든 실수에서 연속이고, 함수 g(x)는 실수 전 . xÛ`+3x-10 (x-2)(x+5) =lim =lim (x+5)=7=b lim x Ú2 x Ú2 x Ú2 x-2 x-2 . . . 체의 집합에서 연속이므로 함수 f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이 . . . . 려면 x=1에서 연속이어야 한다.. 따라서 a+b=3+7=10 답. 10. 즉, lim f(x)g(x)=f(1)g(1) x Ú1. . . lim f(x)g(x)=lim f(x)_lim g(x). 09. x Ú1. x Ú1. . . x+1일 때 f(x)= . xÛ`-3x+2 (x-1)(x-2) = =x-2 x-1 x-1. x Ú1. . . . . . =lim (x-1)Û`_lim (2x+k)=0 x Ú1. x Ú1. . . . . f(1)g(1)=1_(2+k)=2+k. . 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서 연속이어 . 야 한다.. 따라서 2+k=0이므로 k=-2 답. 따라서 f(1)=lim f(x)=lim (x-2)=-1 x Ú1. . x Ú1. . . . . 답. ②. 13 함수 f(x)가 x+1인 모든 실수에서 연속이고, 함수 g(x)는 실수 전. 10. . f(x)=à. . 체의 집합에서 연속이므로 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 . xÜ`+ax+b (x+1) x-1 (x=1) 4. 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한다. 즉, lim f(x)g(x)= lim f(x)g(x)=f(1)g(1) x Ú 1-. x Ú 1+. . . 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서 연속이어. . . xÜ`+ax+b =4 x-1. yy ㉠. . x Ú1. . lim (2xÜ`+ax+b)=2+a+b=0, 즉 b=-a-2. x Ú 1-. . . x Ú 1-. . . . . . . 즉, lim (xÜ`+ax+b)=1+a+b=0, b=-a-1 x Ú1. . = lim. . x Ú 1-. . . b=-a-1을 ㉠에 대입하면 . xÜ`+ax-a-1 (x-1)(xÛ`+x+a+1) =lim lim x Ú1 x Ú1 x-1 x-1 . x Ú 1-. lim f(x)g(x)= lim. x Ú 1+. =lim (xÛ`+x+a+1). . x Ú1. x Ú 1+. . . . . . . 2xÜ`+ax-a-2 =0 2x+1. f(1)g(1)=;3!;(2+a-a-2)=0. . . (x-1)(2xÛ`+2x+a+2) x-1. . . . 2xÜ`+ax-a-2 x-1. = lim (2xÛ`+2x+a+2)=a+6. . . . yy ㉠. . x Ú 1-. . . . . lim f(x)g(x)= lim. ㉠에서 lim (x-1)=0이므로 lim (xÜ`+ax+b)=0이어야 한다. . 2xÜ`+ax+b 의 값이 존재하고 x-1. x Ú 1-. . . x Ú1. . . lim (x-1)=0이므로 lim (2xÜ`+ax+b)=0이어야 한다.. x Ú 1-. . . x Ú1. x Ú 1-. . . 즉, lim f(x)=f(1)이어야 하므로 x Ú1. lim f(x)g(x)= lim. x Ú 1-. 야 한다.. . . . lim. ①. =3+a=4. . . 이므로 a+6=0, 즉 a=-6. 따라서 a=1, b=-2이므로 a_b=1_(-2)=-2 답. 11. ①. a=-6을 ㉠에 대입하면 b=4 따라서 b-a=4-(-6)=10 답. 함수 f(x)g(x)가 x=1에서 연속이려면. ①. . lim f(x)g(x)= lim f(x)g(x)=f(1)g(1)이어야 한다.. x Ú 1-. x Ú 1+. . . . . 14. lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x). x Ú 1-. x Ú 1-. . . . . . x Ú 1-. . . =1_(1+a-9)=a-8. . lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x). x Ú 1+. x Ú 1+. . . . . . x Ú 1+. . . =4_(1+a-9)=4(a-8). . g(x)=. . à. -x+2 (xÉ-1) 3. (|x|<1). 2. (x=1). x. (x>1). 이므로 함수 g(x)는 x=1에서만 불연속이다.. 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 15. 15. 2020-10-14 오후 3:06:13.

(16) 정답 과 풀이 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 f(x)g(x)가 실. 17. 수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한다.. ㄱ. lim f(x)=0, lim g(x)=-1이므로. . . x Ú 1-. x Ú 1-. . . 즉, lim f(x)g(x)= lim f(x)g(x)=f(1)g(1) x Ú 1+. x Ú 1-. . . lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=0_(-1)=0. . x Ú 1-. . x Ú 1+. . . x Ú 1-. . . x Ú 1-. . . . . (거짓). . . . lim f(x)g(x)= lim (3x+a)_3=3(3+a). x Ú 1-. x Ú 1-. . . lim f(x)g(x)= lim (3x+a)x=3+a. x Ú 1+. . . ㄴ. f(1)=0, g(1)=-1이므로 f(1)g(1)=0_(-1)=0 (참). . . . . ㄷ. lim f(x)=1, lim g(x)=1이므로. f(1)g(1)=(3+a)_2=2(3+a). x Ú 1+. . x Ú 1+. . . 3(3+a)=2(3+a)에서 a=-3이므로 f(x)=3x-3. lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=1_1=1. x Ú 1+. . x Ú 1+. . . 따라서 f(11)=33-3=30. x Ú 1+. . . . . lim f(x)g(x)=0에서. . 답. 15. x Ú 1-. 30. . . lim f(x)g(x)+ lim f(x)g(x)이므로. x Ú 1+. x Ú 1-. . . x Ú1. . g(x) 가 실수 전체의 집합에서 연속이려 f(x). . . . 극한값 lim f(x)g(x)는 존재하지 않는다.. 함수 f(x)는 x=2에서만 불연속이고 이차함수 g(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수. . . . . 그러므로 함수 f(x)g(x)는 x=1에서 불연속이다. (참) . 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.. 면 x=2에서 연속이어야 한다.. 답. g(x) g(x) g(x) 즉, lim = lim = x Ú 2+ f(x) x Ú 2- f(x) f(x) . 18. . . . . . . g(x) g(x) 의 값이 존재하고 lim (x-2)=0이므 = lim lim x Ú 2+ f(x) x Ú 2+ x-2 x Ú 2+ . . . . 로 lim g(x)=0이어야 한다. x Ú 2+. 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이므로 함수 f(x){ f(x)-a}가 실수 . 전체의 집합에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한다. x Ú 1-. x Ú 1x Ú 1-. g(2) g(2) g(x) = =0이므로 lim =0이고 x Ú 2+ f(x) f(2) 1. lim f(x){ f(x)-a}. x Ú 1+. . lim. x Ú 2+ . . . . = lim f(x)_ lim { f(x)-a} x Ú 1+. x Ú 1+. . . . . . . . g(x) (x-2)(x+a) = lim = lim (x+a)=2+a=0 x Ú 2+ x-2 f(x) x Ú2+. . . =-(-1-a)=1+a. . . x Ú 1-. . . . . . = lim x(x-2)_ lim {x(x-2)-a}. g(x) g(x) g(2) = lim = =0 f(x) x Ú2- xÛ`-4x+5 1. . x Ú 1-. . . . . . = lim f(x)_ lim { f(x)-a}. g(x)=(x-2)(x+a) (a는 실수)라 하자. x Ú 2-. . . 따라서 g(2)=0이므로 이차함수 g(x)를. . . lim f(x){ f(x)-a}. . . lim. . . . . ⑤. . . = lim {x(x-2)+16}_ lim {x(x-2)+16-a}. . x Ú 1+. 따라서 a=-2이므로 g(x)=(x-2)Û`이고. x Ú 1+. . . . =15(15-a)=225-15a. g(5)=3Û`=9 답. ③. 16. . x Ú 0+. . ㄴ. lim f(x)=1, lim g(x)=0이므로 x Ú 1-. . . . f(x-1)=[. . lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=1_0=0 (참). x Ú 1-. x Ú 1-. . . x Ú 1-. . . . . . ㄷ. Ú lim f(x)g(x)=0 (ㄴ에서) x Ú 1-. 따라서 1+a=225-15a이므로 a=14. Û lim f(x)=0, lim g(x)=1이므로 x Ú 1+. . . . à. . . . lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=0_1=0. x Ú 1+. . x Ú 1+. . . x Ú 1+. . . (xÉ1). . (-x-1)(-x). (xÉ0). (2x+a)(-x). (0<xÉ1). (2x+a)(2x-2+a) (x>1). 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=0, x=1에서도. . Ú, Û, Ü 에 의하여 lim f(x)g(x)=f(1)g(1)이므로 x Ú1. =. . . Ü f(1)g(1)=0_1=0 . -x. 2x-2+a (x>1). g(x)=f(x) f(x-1). . . . x Ú 1+. 14. 19. . . x Ú 1-. . 답. ㄱ. x Ú 0+일 때 f(x) Ú 0이므로 lim f(x)=0 (참) . f(1){ f(1)-a}=-(-1-a)=1+a. . 연속이어야 한다.. . . Ú x=0일 때. 함수 f(x)g(x)는 x=1에서 연속이다. (참) . 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. . . 16 올림포스. 답. ⑤. lim g(x)=g(0)= lim g(x)=0이므로. x Ú 0 . . x Ú 0+. . . 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 16. 2020-10-14 오후 3:06:14.

(17) lim f(x)g(x)=1_g(1)=g(1). 함수 g(x)는 a의 값에 관계없이 x=0에서 연속이다.. x Ú 1-. . . Û x=1일 때. f(1)g(1)=1_g(1)=g(1). . 함수 g(x)가 x=1에서 연속이 되려면 x Ú 1-. x Ú 1+. . . yy ㉠. 따라서 g(1)=0. . lim g(x)=g(1)= lim g(x)이어야 하므로. Û 함수 f(x)g(x)가 x=-1에서 연속이므로. . . . lim f(x)g(x)=1_g(-1)=g(-1). -(a+2)=(a+2)a, (a+1)(a+2)=0. x Ú -1+. . . a=-2 (∵ a+-1). lim f(x)g(x)=2_g(-1)=2 g(-1). x Ú -1-. 따라서 구하는 a의 값은 -2이다.. . . . 답. f(-1)g(-1)=2 g(-1). . ④. . yy ㉡. 따라서 g(-1)=0. . 20. ㉠, ㉡에서 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 g(x)는 . Ú k=1인 경우. g(x)=(x-1)(x+1)(x+a) (a는 상수)로 놓을 수 있다.. . lim f(x)f(x)=(-2)_(-2)=4. x Ú 2-. 조건 ㈏에서 f(x)g(x+k)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록. . . . 하는 상수 k가 존재하므로 x=1, x=-1에서 연속이어야 한다.. lim f(x)f(x)=(-6)_(-6)=36. x Ú 2+. . Ú 함수 f(x)g(x+k)가 x=1에서 연속이므로. . x Ú 2+. . . . lim f(x)f(x)+ lim f(x)f(x). x Ú 2-. lim f(x)g(x+k)=0_g(1+k)=0. . . x Ú 1+. lim f(x)f(x)의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)f(x)는 x Ú2. . lim f(x)g(x+k)=1_g(1+k)=g(1+k). . x Ú 1-. f(1)g(1+k)=g(1+k). . 따라서 g(1+k)=0에서. lim f(x)f(-x)=(-2)_(-2)=4. x Ú 2-. . k(k+2)(k+a+1)=0. . lim f(x)f(-x)=(-6)_(-6)=36. x Ú 2+. . x Ú 2+. . . Û 함수 f(x)g(x+k)가 x=-1에서 연속이므로. lim f(x)f(-x)+ lim f(x)f(-x). x Ú 2-. . . . lim f(x)g(x+k)=2_g(-1+k)=2 g(-1+k). lim f(x)f(-x)의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)f(-x)는 x Ú2. . x Ú -1+. . . f(-1)g(-1+k)=2_g(-1+k)=2 g(-1+k). . . 함수 f(x)f(kx)가 x=2에서 연속이 되려면. 따라서 g(-1+k)=0에서. lim f(x)f(kx)= lim f(x)f(kx)=f(2)f(2k)이어야 한다.. k(k-2)(k+a-1)=0. . x Ú 2-. x Ú 2+. . . . lim f(x)g(x+k)=1_g(-1+k)=g(-1+k). x Ú -1-. x=2에서 불연속이다.. Ü k+-1, k+1인 경우. . . . . yy ㉢. k=-2 또는 k=-a-1 (k+0). . . . . x=2에서 불연속이다.. Û k=-1인 경우. . . . . . . ㉢, ㉣에서. 따라서 f(2k)=0. k=-2일 때, a=3. x=-4, -'2, '2, 4에서 f(x)=0이므로 f(2k)=0에서 . . k=2일 때, a=-3. 2k=-4,-'2, '2, 4 따라서 k=-2, -. 이때 g(0)=-a<0이므로 a>0. '2 '2 , ,2 2 2. 따라서 a=3이므로 g(x)=(x-1)(x+1)(x+3)이고. Ú, Û, Ü에 의하여 모든 상수 k의 값의 곱은 (-2)_{-. yy ㉣. k=2 또는 k=-a+1 (k+0). -2f(2k)=-6f(2k)=-2f(2k). g(2)=1_3_5=15. '2 '2 }_ _2=2 2 2. 답. 답. ③. 22. ⑤. 함수 f(x)=xÜ`+;2!;x+k-3은 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 . 21. f(0)=k-3, f(2)=k+6. . 조건 ㈎에서 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1, . . . 이때 f(0)f(2)<0이면 사잇값의 정리에 의해 방정식 f(x)=0은 열 . x=-1에서 연속이어야 한다. Ú 함수 f(x)g(x)가 x=1에서 연속이므로 . lim f(x)g(x)=0_g(1)=0. x Ú 1+. . . . 린 구간 (0, 2)에서 실근을 갖는다. (k-3)(k+6)<0, -6<k<3 따라서 정수 k의 개수는 8이다.. . 답. 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 17. ③. 17. 2020-10-14 오후 3:06:14.

(18) 정답 과 풀이. 23. g(1)=f(1)f(2)-3=-3<0. . g(3)=f(3)f(4)+1=1>0. 함수 y=f(x)의 그래프는 두 가지 경우로 나눌 수 있다. Ú a>2인 경우. 이므로 사잇값의 정리에 의하여 g(c)=0인 실수 c가 1과 3 사이. Û 0<a<2인 경우. 에 적어도 하나 존재한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. 1+/2A/. 1+/2A/ 0. . 0. x. a. 2. a. 답. x. 2. Ú a>2인 경우. 25. 함수 f(x)는 0<x<1+;2A;인 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이. 함수 f(t)는 원 xÛ`+yÛ`=tÛ`의 내부의 x좌표와 y좌표가 모두 정수인. 므로 조건 ㈎를 만족시키지 않는다.. 점의 개수이므로 다음과 같이 구할 수 있다.. . . . . Û 0<a<2인 경우. ⑤. y. 함수 f(x)는 닫힌구간 [0, 1+;2A;]에서 연속이고, f(0)>0, . y. . xÛ +yÛ =2 (1, 1). . (0, 1) xÛ +yÛ =1. f {1+;2A;}<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 0과 1+;2A; 사이에. (-1, 1). . (-1, 0). f(c)=0인 c가 적어도 하나 존재한다.. (1, 0) x. O. x. O. . . (1, -1). (-1, -1). (0, -1). 조건 ㈏에 의해 세 점 (2, f(2)), (a, f(a)), {1+;2A;, f {1+;2A;}} . 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는. y. ;2!;_(2-a)_[-f {1+;2A;}]. (0, 2). . xÛ +yÛ =4. a-2 2-a =-;2!;_(2-a)_{ }{ } 2 2. (-2, 0). =;8!;(2-a)Ü`=;8!; (2-a)Ü`=1, 즉 a=1. 따라서 f(x)=[ . (x-1)Û`. (xÉ1). (x-1)(x-2) (x>1). à 9 ('2<tÉ2). (2, 0) x. O. (0, -2). 1 (0<tÉ1). 이므로 f(t)=. f(3a)=f(3)=2. . . 답. ①. 5 (1<tÉ'2 ) . ⋮. ⋮. 위와 같이 원 xÛ`+yÛ`=tÛ`은 x좌표, y좌표가 모두 정수인 점을 지날 때마다 함수 f(t)는 불연속이 된다. 그러므로 원점으로부터 거리(반. 24. . ㄱ. x Ú 0-일 때 f(x) Ú 1이므로 lim f(x)=1 (참) . . . x Ú 0-. . . . ㄴ. lim f(x)f(x+3)= lim f(x)_ lim f(x+3)=1_0=0 x Ú 0-. x Ú 0-. . . x Ú 0-. . . . x Ú 0+. . . x Ú 0+. . . . . f(0) f(3)=1_0=0. . 이므로 lim f(x)f(x+3)=f(0) f(3) x Ú0. 불연속이 되는 t의 개수를 알 수 있다. 0<t<6이므로 원점으로부터 거리(반지름의 길이 t)가 서로 다르고 x좌표, y좌표가 모두 정수인 점은 그림과 같이 영역 [. 0<xÛ`+yÛ`<6Û` 0ÉyÉx. 에서 찾을 수 있다.. . . . . lim f(x)f(x+3)= lim f(x)_ lim f(x+3)=2_0=0. x Ú 0+. 지름의 길이 t)가 서로 다른 정수 격자점의 개수를 세면 함수 f(t)가. . . y. 6. y=x. O. 6. 즉, 함수 f(x)f(x+3)은 x=0에서 연속이다. (참) . ㄷ. 함수 g(x)=f(x)f(x+1)+2x-5라 하면 ㄴ과 같은 방법에 의하여 함수 g(x)는 x=1, x=2에서 연속이 고 함수 f(x)가 1<x<2, x>2에서 연속이므로 함수 g(x)는 . x. x=1, x=3에서 연속이다.. . 18 올림포스. 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 18. 2020-10-14 오후 3:06:15.

(19) x=1일 때, (1, 0), (1, 1). y=axÛ`+bx=a{x+. x=2일 때, (2, 0), (2, 1), (2, 2). b `Û bÛ` 에서 }2a 4a. bÛ` =-4, bÛ`=16a 4a. yy ㉠. x=3일 때, (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3). -. x=4일 때, (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 4). 조건 ㈏에서 lim g(t)=;3@;이려면 함수 f(x)의 그래프가 {;3@;, 3}을. . t Ú 3+. . x=5일 때, (5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3). . . . 여기서 주의할 점은 그림과 같이 두 좌표 (5, 0)과 (4, 3)은 원점으 로부터 거리(반지름의 길이 t)가 같다.. 지나야 하므로 곡선 y=axÛ`+bx는 점 {;3@;, -3}을 지나고, 꼭짓점 의 x좌표 -. 따라서 불연속이 되는 t의 개수는 17이다. 답. b 는 ;3@;보다 크다. 2a y=f(x). y. ②. 참고. y. y=3. 구체적으로 0<t<6일 때, 함수 f(t)가 불연속일 때의 좌표와 t의. ⇨. . 값을 표로 나타내면 다음과 같다. 좌표. t. 좌표. (1, 0). 1. (4, 1). '2. (1, 1) (2, 0). '5. (2, 1) (2, 2). 2'2. (3, 0). (4, 0). 2'5. (4, 3), (5, 0). 5. (4, 4). '¶29. 4. -. 4'2 '¶34. (5, 3). -3. x. lim g(t)=/3@/ ^ ÖÜ ±. /3@/. x b x=-15 2a. 즉, -3=;9$;a+;3@;b에서 4a=-6b-27. yy ㉡. b >;3@; 2a. yy ㉢. . '¶26. (5, 2). '¶10 '¶13. (3, 2). 3'2. (4, 2) (5, 1). 3. (3, 1). '¶17. (3, 3). 2. -2 -1 O. t. O. y=axÛ +bx. -. . ㉠, ㉡에 의하여 bÛ`=-24b-108, bÛ`+24b+108=0, (b+6)(b+18)=0 따라서 à. a=;4(; b=-6. 또는 à. a=;;¥4Á;; b=-18. a=:¥4Á:, b=-18은 ㉢을 만족시키지 않으므로. 26 함수 f(x)는 곡선 y=axÛ`+bx에 따라 다음과 같이 6가지의 그래프 . 의 개형을 갖는다. ①. y yy. y yy. y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3. -2 O-2 O -2 O -2 -2 O O-2 O. ③. y yy. y yy. x x x y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3. y yy. y yy. y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3. y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3 x x x. -2 O-2 O -2 O -2 -2 O O-2 O. y yy. y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3. x O-2 O -2 x -2 O -2 x O -2 O-2 O. y y=4 ④ y y y=4 y=3 y=4 y=3 y=3 x x x. -2 O-2 O -2 O -2 -2 O O-2 O. ⑤. y y=4 y y=4 ② y y=3 y=4 y=3 y=3. y yy. x O-2 O -2 x -2 O -2 x O -2 O-2 O. ⑥ y yy. y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3. x x x y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3. 따라서 f(x)=à . y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=3 x x x. x x x. -3x(x+2) (x<0) |;4(;xÛ`-6x| (x¾0) y. 이고 그래프는 다음과 같다.. y=f(x). 4 3. x x x. -2 -1 O /3@/ /3$/ x x x. /3*/. x. 방정식 f(x)=4의 실근 중 가장 작은 값은 ;3$;이므로 g(4)=;3$; . 따라서 30_g(4)=30_;3$;=40. y yy y=4 y=4 y=3 y=4 y=3 y=4 y=4 y=4 y=3 y=3 y=3 y=3. x O-2 O -2 x -2 O -2 x O -2 O-2 O. a=;4(;, b=-6. 답. x x x. 40. 27 함수 y=g(x)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프에서 x¾0인 부. 조건 ㈎를 만족시키는 함수 f(x)의 그래프의 개형은 ⑤뿐이다.. 분에서의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시킨 그래프이므로 다음과. 곡선 y=axÛ`+bx의 꼭짓점의 y좌표가 -4이므로. 같은 6가지 경우의 그래프의 개형을 갖는다.. . . 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 19. 19. 2020-10-14 오후 3:06:16.

(20) 정답 과 풀이 ① a>0, b>0. ② a>0, b=0. lim (tÛ`-t)h(t)= lim (tÛ`-t)_0=0. ③ a>0, b<0. y yy. y yy. y yy. y yy. y yy. y yy. t Ú b+. t Ú b+. . . . . lim (tÛ`-t)h(t)= lim 4(tÛ`-t)=4(bÛ`-b). t Ú b-. t Ú b-. . . . . (bÛ`-b)h(b)=2(bÛ`-b) 에서 bÛ`-b=0, 즉 b=0 또는 b=1 따라서 -1<aÉ0, 0<bÉ2에서 a=0, b=1이므로 함수 h(t)는 y yy. y yy. ④ a<0, b>0. ⑤ a<0, b=0. y yy. 다음과 같다.. y yy. ⑥ a<0, b<0. y yy. ( 0 (t>1). y yy. M 2 (t=1). h(t)={ 4 (0<t<1) M 3 (t=0) 9 2 (t<0). 이를 만족시키는 이차함수 f(x)는 원점을 지나고 제1사분면에서 최 . 함수 h(t)가 조건 ㈎의 h(2)<h(-1)<h(0)을 만족시키는 경우. 댓값이 1인 위로 볼록한 함수이다.. 는 다음의 4가지이다.. 즉, f(x)=a(x-b)Û`+1 (a<0, b>0). . . h(2). h(-1). h(0). 2. 3. 4. 0. 3. 4. 0. 2. 0. 2. y. f(0)=0이므로 abÛ`=-1. . a=-. 1 이고 a는 정수이므로 bÛ`=1 bÛ`. 즉, b=1(개형 ④)이므로 a=-1. 4. h(t)=0 따라서 f(x)=-(x-1)Û`+1이므로 80 f {;2!;}=80_;4#;=60 h(t)=2. 3. . 즉, 함수 y=g(x)의 그래프의 개형은 ④뿐이다.. b. . 답. h(t)=4. h(t)=3을 만족시키는 t를 a, h(t)=2를 만족시키는 t를 b (a<b) . a. . h(t)=3. 60. h(t)=2 라 하면, 함수 y=g(x)의 그래프와 함수 y=h(t)의 그래프의 개형. 28. 은 다음과 같다.. ㄱ. 함수 y=f(x)의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (t, -1)이고 아래로. y=g(x). ‌. y h(t)=0 h(t)=2. b. y=h(t). h(t)=4  h(t)=3 h(t)=2. a. 볼록한 곡선이다.. 4 3 2. t=-1일 때 함숫값. a O b. y=g(x). f(1)=(1+1)Û`-1=3이고, 구하. t. 조건 ㈏에서 함수 (tÛ`-t)h(t)가 모든 실수 t에서 연속이려면 t=a, y=h(t) . 4 한다. t=b에서 연속이어야 3 2. t Ú a-. . t Ú -1+. 3. . . 일 때 두 함수 y=f(x), y=g(x). -1. O -1 x=t. 의 그래프는 그림과 같다. 따라서 lim h(t)=3 (참) t Ú -1+. . 1. x. ㄴ. t=1일 때 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프를 그리면 그림 ‌. t (tÛ`-t)h(t)=(aÛ`-a)h(a)이 성립해 O b lim (tÛ`a-t)h(t)= lim. x Ú a+. y=g(x). 는 값이 lim h(t)이므로 t>-1. . Ú t=a에서 연속이어야 하므로 . y y=f(x). . (단, -1≤aÉ0, 0<bÉ2). y. . y. 과 같다.. . . y. y=g(x). 3. y=f(x). 야 한다. lim (tÛ`-t)h(t)= lim 4(tÛ`-t)=4(aÛ`-a). x Ú a+. t Ú a+. . . . . lim (tÛ`-t)h(t)= lim 2(tÛ`-t)=2(aÛ`-a). t Ú a-. t Ú a-. . . . . (aÛ`-a)h(a)=3(aÛ`-a). O -1. 에서 aÛ`-a=0, 즉 a=0 또는 a=1 Û t=b에서 연속이어야 하므로 lim (tÛ`-t)h(t)= lim (tÛ`-t)h(t)=(bÛ`-b)h(b)가 성립해. t Ú b+. t Ú b-. . . . . 야 한다.. . 20 올림포스. 1. x. 따라서 t Ú 1-, t Ú 1+일 때 모두 . . 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 x<1의 범위에서 두 점에서 만나고. 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 20. 2020-10-14 오후 3:06:17.

(21) x>1의 범위에서 한 점에서 만난다.. ㄴ. t=1일 때,. 즉, lim h(t)=3, lim h(t)=3, h(t)=3이므로 t Ú 1-. t Ú 1+. . . . 중심이 원점이고 반지름의 길이. y. 가 1인 원 위의 점 중 h가 자연수. B. . 함수 h(t)는 t=1에서 연속이다. (참) ㄷ. 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 t의 값에 따라 0<x<1. 가 되는 경우는 h=1인 경우와. 1. ‌. 에서 접할 수 있다.. h=2인 경우이다.. (x-t)Û`-1=-x, xÛ`-2tx+tÛ`-1+x=0. h=1이 되는 원 위의 점의 개수. xÛ`+(1-2t)x+tÛ`-1=0. 는 2이고, h=2가 되는 원 위의. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. 점의 개수는 1이므로 f(1)=3. D=(1-2t)Û`-4(tÛ`-1). 1<t<2일 때,. O. x. A. l. . . 중심이 원점이고 반지름의 길이가 t인 원 위의 점 중 h가 자연수. =1-4t+4tÛ`-4tÛ`+4=5-4t=0. 가 되는 경우는 h=1인 경우와 h=2인 경우이다.. 에서 t=;4%;. h=1이 되는 원 위의 점의 개수는 2이고, h=2가 되는 원 위의. 즉, 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 t=;4%;에서 접하므로. 점의 개수는 2이므로. 함수 h(t)는 t의 값에 따라 다음과 같다.. t Ú 1+. (2 M 3 M h(t)={ 2 M 1 M 92. (tÉ-1). y. {-1<t<;4%;}. 3. {t=;4%;} {;4%;<tÉ3}. t Ú 1+. . . . . ㄷ. ㄴ과 같은 방법으로 구간 (0, 4)에서 함수 f(t)는 다음과 같다. . y 12. ( 2 (0<t<1). y=h(t). 2 . lim f(t)=4, lim f(t)+f(1) (참). 10. M 3 (t=1). 1 5 24 4. -1 O. (t>3). 3. M 4 (1<t<2). f(t)={ 6 (t=2). t. . 8 . M 8 (2<t<3) M 10 (t=3). 함수 h(t)가 t=-1, t=;4%;, t=3에서 불연속이므로 모든 a의. 9 12 (3<t<4). 값의 합은 -1+;4%;+3=;;Á4£;; (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. y=f(t). 6 4 3 2 O 1 2 3 4. t. 0<a<4인 실수 a에 대하여 함수 f(t)가 t=a에서 불연속인 a . 답. ③. 29. 의 값은 1, 2, 3이므로 a의 개수는 3이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. 두 점 A('2, 0), B(0, '2 )를 지나는 직선을 l이라 할 때, 직선 l의. 답. ⑤. . 방정식은 x+y-'2=0이고 원의 중점 O와 직선 l 사이의 거리는 1 이다. ABÓ=2이므로 원 위의 한 점 P와 직선 l 사이의 거리를 h라 하면 삼 각형 ABP의 넓이는 ;2!;_2_h=h. 30 정의역이 {x|x¾m}인 함수 y=;4!;(x-3)Û`의 그래프가 직선 y=mx 와 만나는 점의 개수를 hÁ(m)이라 하고 정의역이 {x|x<m}인 함 수 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 직선 y=mx와 만나는 점의 개수를. 따라서 삼각형 ABP의 넓이가 자연수가 되도록 하는 점 P의 개수는. hª(m)이라 하면 g(m)=hÁ(m)+hª(m). h가 자연수가 되도록 하는 점 P의 개수와 같다.. 함수 g(m)이 m=0에서 연속이므로. ㄱ. t=;2!;일 때, 중심이 원점이고 반지름의 길이가 ;2!;인 원 위의 점 중 h가 자연수가. B. 2이므로 f {;2!;}=2 (참) . . . . . . lim hÁ(m)=2, lim hÁ(m)=0, hÁ(0)=1. m Ú 0+. m Ú 0-. . 1 O. m Ú 0-. 함수 y=;4!;(x-3)Û`의 그래프는 x=3에서 x축에 접하므로. /2!/. 되는 경우는 h=1인 경우뿐이다. h=1이 되는 원 위의 점의 개수는. lim g(m)= lim g(m)=g(0)이고. m Ú 0+. y. x A. l. . lim g(m)= lim {hÁ(m)+hª(m)}=2+ lim hª(m). m Ú 0+. . . m Ú 0+ . m Ú 0+ . lim g(m)= lim {hÁ(m)+hª(m)}=0+ lim hª(m). m Ú 0 . . m Ú 0 . m Ú 0 . g(0)=hÁ(0)+hª(0)=1+hª(0). 정답과 풀이. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 21. 21. 2020-10-14 오후 3:06:18.

(22) 정답 과 풀이 따라서 2+ lim hª(m)=0+ lim hª(m)=1+hª(0) m Ú 0+. m Ú 0-. . y. ② m=-3일 때. y=/4!/(x-3)Û. . 이때, hª(m)=0 또는 hª(m)=1 또는 hª(m)=2이므로. hª(0)=0일 때. x¾m에서 교점의 개수 hÁ(m)=1. 2+ lim hª(m)=1+hª(0)=1 m Ú 0+ . lim hª(m)=-1이므로 성립하지 않는다.. O. m. m Ú 0+. hª(0)=2일 때. 0+ lim hª(m)=1+hª(0)=3 m Ú 0-. . lim hª(m)=3이므로 성립하지 않는다.. m Ú 0-. ③ -3<m<0일 때. y=mx. x. y=mx. . y. y=/4!/(x-3)Û. x¾m에서 교점의 개수 hÁ(m)=0. . 따라서 hª(0)=1 lim hª(m)=2, lim hª(m)=0이므로. m Ú 0-. m. m Ú 0+. . . y=xÛ`+ax+b의 그래프는 x<0에서 x축에 접한다.. aÛ` 따라서 a>0, b= , g(0)=2 4. Ú 직선 y=mx와 곡선 y=;4!;(x-3)Û`의 위치관계를 확인하면. mx=;4!;(x-3)Û`에서 이차방정식 xÛ`-(4m+6)x+9=0의 판별. 함수 y=;4!;(x-3)Û`의 그래프와 직선 y=mx는. -3<m<0에서 만나지 않고. m=0, m=-3에서 한 점에서 만나고. m<-3 또는 m>0에서 두 점에서 만난다. x=m일 때 직선 y=mx와 곡선 y=;4!;(x-3)Û`의 y좌표의 대소. m=-3일 때 hª(m)=1 -3<m<0일 때 hª(m)=2. x=m일 때 mÛ`+am+. aÛ` 의 위치관계를 확인하면 4. aÛ` -m_m=a {m+;4A;}이므로 4 . m=-;4A;일 때 함수 y=xÛ`+ax+. aÛ` 의 그래프와 직선 y=mx 4. 는 x=m에서 만난다. ① m<-;4A;일 때. y. x<m에서 교점의 개수 hª(m)=1. y=xÛ +ax+b. 관계를 확인하면 ;4!;(m-3)Û`-mÛ`=-;4#;(m+3)(m-1)에서. O. x y=mx. -/4A/. -3<m<0일 때 -;4#;(m+3)(m-1)>0이므로. m<-3일 때 hª(m)=1. Û 직선 y=mx와 곡선 y=xÛ`+ax+. x. g(m)은 mÉ0에서 연속이고 g(0)=2이므로. 을 D라 하면 D=(4m+6)Û`-4_9=16m(m+3). O. y=;4!;(x-3)Û`의 y좌표가 더 크고. m<-3일 때 -;4#;(m+3)(m-1)<0이므로. ② m=-;4A;일 때. y. x<m에서 교점의 개수 hª(m)=1. y=xÛ +ax+b. y=mx의 y좌표가 더 크다. -/4A/. 직선 y=mx와 함수 y=;4!;(x-3)Û`의 그래프의 교점의 개수는 다음과 같다. ① m<-3일 때. y. y=/4!/(x-3)Û. x¾m에서 교점의 개수. ③ -;4A;<m<0일 때. y=xÛ +ax+b. O. x y=mx. y. x<m에서 교점의 개수 hª(m)=2. hÁ(m)=1. -/4A/ m O. . 22 올림포스. y=mx. x. O. x y=mx. Ú, Û 에서 . 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ. 올림포스해설(001-027)(수2)1단원.indd 22. 2020-10-14 오후 3:06:19.