정적분

STEP 2

1단계1단계 f(m) f(m+1)<0을 만족시키는 m의 값을 구한다.

함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

-12 12

y=f(x)

O

-3 y

1

x

f(-2)=f(2)=1>0, f(-1)=f(1)=-2<0이므로

f(m) f(m+1)<0을 만족시키는 정수 m의 값은 -2, -1, 0, 1이다.

따라서 f(m) f(m+1)<0을 만족시키는 모든 정수 m의 값의 합은 -2+(-1)+0+1=-2

답 ①

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 71 2020-10-15 오후 5:57:18

72

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ

11

:)3  (x+1)Û` dx-:_3! (x-1)Û` dx+:_0! (x-1)Û` dx

=:)3  (x+1)Û` dx-[ :_3! (x-1)Û` dx+:)-` 1  (x-1)Û` dx]

=:)3  (x+1)Û` dx-:)3  (x-1)Û` dx

=:)3  {(x+1)Û`-(x-1)Û`}dx

=:)3  4x dx=[2xÛ`]3)=18

답 18

12

:)1  (4x-3)dx+:!k  (4x-3)dx=:)k  (4x-3)dx

         =[2xÛ`-3x]k)          =2kÛ`-3k=0 k(2k-3)=0

k>0이므로 k=;2#; 

답 ①

13

 g(a)=:_aA  f(x)dx라 하자.

 g(a)=:_0A  f(x)dx+:)a   f(x)dx

=:_0A (2x+2)dx+:)a  (-xÛ`+2x+2)dx

=[xÛ`+2x]0_A+[-;3!;xÜ`+xÛ`+2x]a)

=-aÛ`+2a-;3!;aÜ`+aÛ`+2a

=-;3!;aÜ`+4a

g '(a)=-aÛ`+4=-(a+2)(a-2) g '(a)=0에서 a=-2 또는 a=2

양의 실수 a에 대하여 함수 g(a)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.

a (0) y 2 y

 g '(a) + 0

- g(a) ↗ ;;Á3¤;; ↘

따라서 g(a)는 a=2에서 최댓값 :Á3¤:을 갖는다. 

답 ② y-k=4xÜ`-12xÛ`, y=4xÜ`-12xÛ`+k

따라서  f(x)=4xÜ`-12xÛ`+k이므로 :)3  f(x)dx=:)3` (4xÜ`-12xÛ`+k)dx

           =[xÝ`-4xÜ`+kx]3)            =81-108+3k            =-27+3k=0 따라서 k=9

답 9

07

:_3# (xÜ`+4xÛ`)dx+:#-` 3  (xÜ`+xÛ`)dx

=:_3# (xÜ`+4xÛ`)dx-:_3# (xÜ`+xÛ`)dx

=:_3# (xÜ`+4xÛ`-xÜ`-xÛ`)dx

=:_3# 3xÛ`dx=[xÜ`]3_#

=3Ü`-(-3)Ü`=54

답 ④

08

:%2  2t dt-:%0  2t dt=:%2  2t dt+:)5  2t dt

      =:)5  2t dt+:%2  2t dt

      =:)2  2t dt=[tÛ`]2)=4

답 ⑤

09

:)1`0  (x+1)Û``dx-:)1`0  (x-1)Û``dx

=:)1`0  {(x+1)Û`-(x-1)Û`}dx

=:)1`0  4x dx=[2xÛ`]1)0`=200

답 200

10

:!3  (4xÜ`-6x+4)dx+:!3  (6x-1)dx

=:!3  {(4xÜ`-6x+4)+(6x-1)}dx

=:!3  (4xÜ`＋3)dx=[xÝ`+3x]3!

=(81+9)-(1+3)=86

답 86

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 72 2020-10-14 오후 3:09:27

정답과 풀이

73

14

Ú 0Éx<1일 때

:)/  |t-1|dt=:)/  (1-t)dt=[t-;2!;tÛ`]/)=x-;2!;xÛ`

방정식 :)/  |t-1|dt=x에서 x-;2!;xÛ`=x 따라서 x=0

Û x¾1일 때

:)/  |t-1|dt=:)1  (1-t)dt+:!/  (t-1)dt

        =[t-;2!;tÛ`]1)+[;2!;tÛ`-t]/!

        ={1-;2!;}+{;2!;xÛ`-x}-{;2!;-1}

        =;2!;xÛ`-x+1 방정식 :)/  |t-1|dt=x에서

;2!;xÛ`-x+1=x     xÛ`-4x+2=0

따라서 x=2+'2 (∵ x¾1) Ú, Û에서 양수인 실근은 2+'2 이    므로 m=2, n=1

따라서 mÜ`+nÜ`=8+1=9

답 9

15

 f(x)=(x-1)|x-a|에서  f(x)=[-(x-1)(x-a)^(x-1)(x-a)

(x¾a) (x<a)  

즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 x=1, x=a에서 x축과 만나므로  a>1, a=1, a<1에 따라 나타낸 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은  그림과 같다.

Ú a<1일 때         Û a=1일 때        Ü a>1일 때

1 x 1 1

y=f(x) y=f(x) y=f(x)

a x a x

따라서 극댓값 1을 갖는 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 Ü과 같다.

a>1일 때, Ü 에 의해 1<x<a에서  f(x)가 극댓값을 가지므로  f(x)=-(x-1)(x-a)에서

 f  '(x)=-(x-a)-(x-1)=-2x+a+1  f  '(x)=0에서 -2x+a+1=0

따라서 x= a+12

1

O t

y

y=|t-1|

x

즉, x= a+12 에서  f(x)가 극댓값 1을 가지므로

 f { a+12 }=-{ a+12 -1}{ a+12 -a}=1 (a-1)Û`

4 =1, aÛ`-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0  따라서 a=3 (∵ a>1)

함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같으므 로

:)4  f(x)dx

=:)3  {-(x-1)(x-3)}dx

  +:#4  (x-1)(x-3)dx

=:)3  (-xÛ`+4x-3)dx+:#4  (xÛ`-4x+3)dx

=[-;3!;xÜ`+2xÛ`-3x]3)+[;3!;xÜ`-2xÛ`+3x]4#

=(-9+18-9)+[{;;¤3¢;;-32+12}-(9-18+9)]=;3$;

답 ①

다른 풀이  

그림에서 영역 SÁ의 넓이와 영역 Sª의 넓 이가 같으므로

:)4  f(x)dx

=:)1  f(x)dx+:!3  f(x)dx+:#4  f(x)dx

=:!3  f(x)dx

=:!3  {-(x-1)(x-3)}dx

=:!3  (-xÛ`+4x-3)dx

=[-;3!;xÜ`+2xÛ`-3x]3!=;3$;

16

함수  f(x)는 x=1에서 연속이므로

x Ú 1-lim (3xÛ`+ax+b)= lim

x Ú 1+ 2x

3+a+b=2에서 a+b=-1  yy ㉠

 g(0)+g(1)=:)1  f(x)dx+:!2  f(x)dx

        =:)1  (3xÛ`+ax+b)dx+:!2  2x dx         =[xÜ`+;2!;axÛ`+bx]1)+[xÛ`]2!

        =;2!;a+b+4=;2&;  yy ㉡ 1 2 3 4 1

-3

O x

y y=f(x)

1 2 3 4 1

-3

OSÁ x

Sª

y y=f(x)

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 73 2020-10-14 오후 3:09:28

74

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ

㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 따라서  f(x)=[^3xÛ`-x_2x ^(x<1)_(x¾1)

 g(t)=:T^t+1 f(x)dx에서 Ú t<0일 때

 g(t)=:T^t+1 f(x)dx=:T^t+1 (3xÛ`-x)dx

=[xÜ`-;2!;xÛ`]T^t+1

=3tÛ`+2t+;2!;

Û 0Ét<1일 때

 g(t)=:T^t+1 f(x)dx=:T1  (3xÛ`-x)dx+:!^t+1 2x dx

=[xÜ`-;2!;xÛ`]1T+[xÛ`]!^t+1

=-tÜ`+;2#;tÛ`+2t+;2!;

Ü t¾1일 때

 g(t)=:T^t+1 f(x)dx=:T^t+1 2x dx=[xÛ`]T^t+1=2t+1 Ú~Ü에서

 g(t)=

à

^{-tÜ`+3tÛ`+2t+};2#;tÛ`+2t+;2!;^;2!;

2t+1

(t<0) (0Ét<1) (t¾1)

따라서  g '(t)=

à

^{-3tÛ`+3t+26t+2}

2

(t<0) (0Ét<1) (t¾1)

 

  g '(t)=0인 t의 값은  t<0일 때 t=-;3!;

0ÉtÉ1일 때 -3tÛ`+3t+2=0에서 t= 3Ñ'¶33 6 이때 t= 3Ñ'¶33

6 은 0ÉtÉ1에 포함되지 않는다.

함수  g(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 

t y -;3!; y

 g '(t) - 0 +

 g(t) ↘ 극소 ↗

함수  g(t)는 t=-;3!;에서 최솟값을 가지므로 k=g {-;3!;}=3_{-;3!;}Û`+2_{-;3!;}+;2!;=;6!;

따라서 120k=120_;6!;=20

답 20

17

함수 | f(x)|의 그래프와 x축이 만나는 점의 x좌표는 2-t Ú 0<t<1일 때  

함수 y=| f(x)|의 그래프와 직선  x=t는 그림과 같다.

 g(t)=:)t (-x+2-t)dx

=[-;2!;xÛ`+2x-tx]t)

=-;2#;tÛ`+2t Û 1Ét<2일 때 

함수 y=| f(x)|의 그래프와 직 선 x=t는 그림과 같다.

 g(t)=:)2`^-t (-x+2-t)dx

  +:@t_-t (x-2+t)dx

=[-;2!;xÛ`+2x-tx]2)^-t

  +[;2!;xÛ`-2x+tx]t@_-t

=;2%;tÛ`-6t+4 Ü t¾2일 때 

함수 y=| f(x)|의 그래프와  직선 x=t는 그림과 같다.

 g(t)=:)t  (x-2+t)dx

=[;2!;xÛ`-2x+tx]t)

=;2#;tÛ`-2t Ú, Û, Ü 에 의해 

 g(t)=

( M { M 9

-;2#;tÛ`+2t

;2%;tÛ`-6t+4

;2#;tÛ`-2t

(0<t<1) (1Ét<2) (t¾2)

ㄱ.  g(1)=:)1  |-x+1|dx=;2!; (참) ㄴ. Ú t=2에서 연속

    lim

t Ú 2- {;2%;tÛ`-6t+4}= lim<sub>t Ú 2+</sub> {;2#;tÛ`-2t}=2     g(2)=2

Û t=2에서 미분가능     lim

t Ú 2-  g(t)-g(2) t-2 = lim

t Ú 2- {;2%;t-1}=4

O x

x=t 2-t y

y=|f(x)|

O x

2-t x=t

y y=|f(x)|

O x

2-t x=t

y y=|f(x)|

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 74 2020-10-14 오후 3:09:29

정답과 풀이

75

    lim

t Ú 2+  g(t)-g(2)

t-2 = lim_t Ú 2+ {;2#;t+1}=4 따라서 함수 g(t)는 t=2에서 미분가능하다. (참) ㄷ. 함수 g(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

t (0) y ;3@; y 1 y ;5^; y 2 y

 g '(t) + 0 - - - 0 + + +

 g(t) ↗ ;3@; ↘ ↘ 극소 ↗ ↗

1 2

O t

y

y=/3@/

/3@/ /5^/

y=g(t)

함수 g(t)는 t=;3@;에서 극댓값 ;3@;를 가지므로 방정식 g(t)=;3@;

는 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

18

함수  f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고,  x<0일 때,  f  '(x)=6x+t,

x>0일 때,  f  '(x)=-6x+t

이므로 함수  f(x)는 x=-;6T;에서 극소, x=;6T;에서 극대이다.

 f(x)=0을 만족시키는 x의 값은 x=-;3T; 또는 x=0 또는 x=;3T;

 fÁ(x)=3xÛ`+tx,  fª(x)=-3xÛ`+tx라 하자.

Ú ;3T;¾1, 즉 t¾3일 때

1

1

O x

y

y=f(x)

-/3T/

-/6T/+/2!/

/6T/-/2!/ /6T/+/2!/

-/6T/

/6T/

/3T/

조건 ㈎ 에서 닫힌구간 [k-1, k]의 길이는 k의 값에 관계없이 항 상 1로 일정하다.

함수  fÁ(x)의 그래프는 직선 x=-;6T;에 대하여 대칭이므로 방정 식  fÁ(k-1)=fÁ(k)를 만족시키는 k의 값은 k=-;6T;+;2!;

함수  fª(x)의 그래프는 직선 x=;6T;에 대하여 대칭이므로 방정식  fª(k-1)=fª(k)를 만족시키는 k의 값은 k=;6T;+;2!;

함수  f(x)는 x=;6T;에서 극대이므로 조건 ㈎ 를 만족시키는 k의  값의 범위는

-;6T;+;2!;ÉkÉ;6T;   yy ㉠

조건 ㈏ 에서 닫힌구간 [k, k+1]의 길이는 k의 값에 관계없이 항 상 1로 일정하고 함수  f(x)는 x=-;6T;에서 극소이므로 조건 ㈏  를 만족시키는 k+1의 값의 범위는

k+1É-;6T; 또는 k+1¾;6T;+;2!;

즉, kÉ-;6T;-1 또는 k¾;6T;-;2!;   yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여 t¾3에서 조건 ㈎, ㈏를 만족시키는 k의 값의 범 위는

;6T;-;2!;ÉkÉ;6T;이므로 g(t)=;6T;-;2!;= t-36 Û ;3T;<1, 즉 6-3'2 Ét<3일 때

1

1

O x

y=f(x) y

-/6T/

/6T/

3-156t-29 212114-t46

3+156t-29 212114-t46

-3+156t-29 2121114-t46

(1+12)t 21114-t46

 fÁ{-;6T;}=3_{-;6T;}Û`+t_{-;6T;}=- tÛ`12이므로   fª(x)=- tÛ`12을 만족시키는 양수 x의 값은 x에 대한 방정식 -3xÛ`+tx=- tÛ`12의 양의 실근인 x= (1+'2 )t

6 t¾6-3'2 이므로

(1+'2 )t

6 -{-;6T;}= (2+'2 )t

6 ¾ (2+'2 )(6-3'2 )6 =1   조건 ㈎ 에서 닫힌구간 [k-1, k]의 길이는 k의 값에 관계없이  항상 1로 일정하다.

6-3'2 Ét<3에서 방정식  fÁ(k-1)=fª(k)를 만족시키는 k의  값은 k에 대한 방정식 3(k-1)Û`+t(k-1)=-3kÛ`+tk의 실근인 k= 3-'Ä6t-96  또는 k= 3+'Ä6t-96

함수  f(x)는 x=;6T;에서 극대이므로 조건 ㈎ 를 만족시키는 k의  값의 범위는

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 75 2020-10-14 오후 3:09:30

76

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ 3-'Ä6t-9

6 ÉkÉ;6T;   yy ㉢

조건 ㈏ 에서 닫힌구간 [k, k+1]의 길이는 k의 값에 관계없이 항 상 1로 일정하고 함수  f(x)는 x=-;6T;에서 극소이므로 조건 ㈏  를 만족시키는 k+1의 값의 범위는

k+1É-;6T; 또는 k+1¾ 3+'Ä6t-96

즉, kÉ-;6T;-1 또는 k¾ -3+'Ä6t-96    yy ㉣

㉢, ㉣에 의하여 6-3'2 Ét<3에서 조건 ㈎, ㈏를 만족시키는 k 의 값의 범위는

3-'Ä6t-9

6 ÉkÉ;6T;이므로 g(t)= 3-'Ä6t-96 Ú, Û에 의하여

 g(t)=

à

^3-t-3^'Ä6t-96 6   

(6-3'2 Ét<3) (t¾3)

    

따라서

3:@4  {6 g(t)-3}Û`dt

=3:@3  {6_ 3-'Ä6t-96 -3}Û`dt+3:#4  {6_ t-36 -3}Û`dt

=3:@3  (6t-9)dt+3:#4  (t-6)Û`dt

=18+19=37

답 37

19

주어진 식의 양변을 미분하면 d

dx :@/  f(t)dt= ddx (xÜ`+x-10)  f(x)=3xÛ`+1

따라서  f(10)=301

답 301

20

주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 d

dx :!/  f(t)dt= ddx (xÜ`+3xÛ`-2x-2)  f(x)=3xÛ`+6x-2

따라서  f(2)=12+12-2=22

답 ⑤

21

 f(x)= ddx :!/  (tÜ`+2t+5)dt=xÜ`+2x+5

따라서  f  '(x)=3xÛ`+2이므로   f  '(2)=12+2=14

답 14

22

 f(x)=:)/  (3tÛ`+5)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면  f  '(x)=3xÛ`+5

따라서 lim

x Ú 2  f(x)-f(2)

x-2 =f  '(2)=12+5=17

답 17

23

 g(x)=:@/  f(t)dt의 양변을 미분하면  g '(x)=f(x)  g '(x)=f(x)=0을 만족하는 x의 값을 구하면 x(x+2)(x+4)=0에서 

x=-4 또는 x=-2 또는 x=0

함수  g(x)는 x=-2에서 극댓값을 가지므로 a=-2 함수  f(x)=x(x+2)(x+4)에 대하여

 f(t)=tÜ`+6tÛ`+8t 따라서  

 g(a)=g(-2)=:@-` 2``f(t)dt

  =:@-` 2` (tÜ`+6tÛ`+8t)dt   =-:_2@ (tÜ`+6tÛ`+8t)dt

  =-2:)2``6tÛ` dt=-2 [2tÜ`]2)=-32

답 ⑤

24

함수 g(x)=:@/  (t-2) f  '(t)dt이므로  g '(x)=(x-2) f  '(x)

함수 g(x)가 x=0에서만 극값을 가지므로 상수 a에 대하여   g '(x)=(x-2)_ax(x-2)

 f  '(x)= ax(x-2)이고 함수  f(x)의 최고차항이 xÜ`이므로 a=3 따라서  f  '(x)=3x(x-2)이므로

 g(0)=:@0  (t-2)f  '(t)dt

  =:@0  3t(t-2)Û` dt   =:@0  (3tÜ`-12tÛ`+12t)dt

  =[;4#;tÝ`-4tÜ`+6tÛ`]0@=-4  ^답 ⑤

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 76 2020-10-14 오후 3:09:30

정답과 풀이

77

25

주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 :!1  f(t)dt=1Ü`+a_1Û`-3_1+1 0=1+a-3+1, a=1

:!/  f(t)dt=xÜ`+xÛ`-3x+1의 양변을 x에 대하여 미분하면   f(x)=3xÛ`+2x-3

따라서  f(1)=3+2-3=2

답 ⑤

26

주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면  0=1+a+1, a=-2

:!/  f(t)dt=xÜ`-2xÛ`+1의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=3xÛ`-4x

따라서  f(-1)=3+4=7

답 ①

27

주어진 식의 양변에 x=a를 대입하면 0=;3!; aÜ`-9, aÜ`=27

a는 실수이므로 a=3

:#/  f(t)dt=;3!; xÜ`-9의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=xÛ` 

따라서  f(a)=f(3)=9

답 9

28

주어진 식의 양변에 x=1을 대입하면 3 f(1)=0+2,  f(1)=;3@;

주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 3{ f(x)+x f  '(x)}=9 f(x)+2 양변에 x=1을 대입하면 3{ f(1)+f  '(1)}=9 f(1)+2 3 f  '(1)=6 f(1)+2=6_;3@;+2=6 따라서  f  '(1)=2

답 ⑤

29

주어진 식의 양변에 x=1을 대입하면 0=f(1)-3+2,  f(1)=1

주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=f(x)+x f  '(x)-12xÜ`+4x xf  '(x)=12xÜ`-4x

 f  '(x)=12xÛÛ`-4 따라서 

 f(x)=:  (12xÛ`-4)dx=4xÜ`-4x+C (C는 적분상수)  f(1)=4-4+C=1, C=1

따라서  f(x)=4xÜ`-4x+1이므로  f(0)=1

답 ①

30

 f(t)=tÛ`+3t-2라 하고  f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 limx Ú 2  1

xÛ`-4 :@/  (tÛ`+3t-2)dt

=limx Ú 2 F(x)-F(2) xÛ`-4

=lim_x Ú 2 F(x)-F(2) (x+2)(x-2)

=limx Ú 2 [ 1x+2_ F(x)-F(2)x-2 ]

=;4!;F'(2)=;4!; f(2)

=;4!;(2Û`+3_2-2)=;4*;=2

답 2

31

limx Ú 1 :!/  f(t)dt-f(x)

xÛ`-1 =2에서 극한값이 존재하고  (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0이어야 한다.

즉, lim

x Ú 1 [ :!/  f(t)dt-f(x)]=0에서 :!1  f(t)dt-f(1)=0이므로

 f(1)=0  yy ㉠

 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 

lim_x Ú 1 :!/  f(t)dt-f(x) xÛ`-1

=lim_x Ú 1 :!/  f(t)dt

xÛ`-1 -lim_x Ú 1  f(x)-f(1)

xÛ`-1  (∵ ㉠)

=limx Ú 1 [ F(x)-F(1)x-1 _ 1x+1 ]-lim

x Ú 1 [ f(x)-f(1)

x-1 _ 1x+1 ]

=f(1)_;2!;-f  '(1)_;2!;

=- f  '(1)

2 =2 (∵ ㉠)  따라서  f  '(1)=-4

답 ①

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 77 2020-10-14 오후 3:09:31

78

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ

32

:!/@  f(t)dt=-xÜ`+xÛ`+:)1  x f(t)dt

          =-xÜ`+xÛ`+x:)1  f(t)dt     

:)1  f(t)dt=k (k는 상수)라 하고 위 등식의 양변을 x에 대하여 미 분하면  f(x)=-3xÛ`+2x+k

:!/@  f(t)dt=:!/@ (-3tÛ`+2t+k)dt

          =[-tÜ`+tÛ`+kt]/!@

           =-xÜ`+xÛ`+kx-12(-132+k)           =-xÜ`+xÛ`+kx

즉, -132+k=0 

따라서 :)1  f(x)dx=k=132

답 132

다른 풀이

주어진 등식의 양변에 x=12를 대입하면 :!1@2  f(t)dt=-12Ü`+12Û`+:)1  12 f(t)dt

:!1@2  f(t)dt=0이므로 -12Ü`+12Û`+:)1  12 f(t)dt=0

따라서 :)1  f(x)dx=:)1  f(t)dx=;1Á2;(12Ü`-12Û`)          =12Û`-12=132

33

:)2  f(t)dt=k (k는 상수)  yy ㉠

라 하면  f(x)=3xÛ`+x+k

이때  f(t)=3tÛ`+t+k를 ㉠ 에 대입하여 정리하면 :)2  f(t)dt=:)2  (3tÛ`+t+k)dt

         =[tÜ`+;2!;tÛ`+kt]2)          =8+2+2k=k k=-10

따라서  f(x)=3xÛ`+x-10이므로   f(2)=12+2-10=4

답 4

34

:)1  t f(t)dt=k (k는 상수)  yy ㉠

라 하면  f(x)=xÛ`-2x+k

이때  f(t)=tÛ`-2t+k를 ㉠ 에 대입하여 정리하면

:)1  t f(t)dt=:)1  t(tÛ`-2t+k)dt

           =:)1  (tÜ`-2tÛ`+kt)dt            =[;4!;tÝ`-;3@;tÜ`+;2K;tÛ`]1)

           =;2K;-;1°2;=k

;2K;=-;1°2;, k=-;6%;

따라서  f(x)=xÛ`-2x-;6%;이므로  f(3)=3Û`-2_3-;6%;=;;Á6£;;

답 ①

35

:)1  | f(t)|dt=k (k는 상수)라 하면 k>0이고  f(x)=xÜ`-4kx

 f(1)=1-4k>0이므로 k<;4!;

따라서 0<k<;4!;이다.

 f(x)=x(xÛ`-4k)=0에서  x=0 또는 x=Ñ2'§k

0<x<2'§k 일 때  f(x)<0이고 x¾2'§k 일 때  f(x)¾0이다.

0<k<;4!;에서 2'§k <1이므로

:)1  | f(t)|dt=:)2`<sup>'§k</sup> {-f(t)}dt+:@1<sub>'§k</sub>  f(t)dt          =:)2`^'§k (-tÜ`+4kt)dt+:@1<sub>'§k</sub> (tÜ`-4kt)dt          =[-;4!;tÝ`+2ktÛ`])2`<sup>'§k</sup>+[;4!;tÝ`+2ktÛ`]1@<sub>'§k</sub>          =8kÛ`-2k+;4!;=k

8kÛ`-3k+;4!;=0에서

32kÛ`-12k+1=0, (4k-1)(8k-1)=0 0<k<;4!;이므로 k=;8!;

따라서  f(x)=xÜ`-;2!;x이므로   f(2)=2Ü`-;2!;_2=7

답 ②

36

최고차항의 계수가 1인 두 사차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가  만나는 세 점의 x좌표가 -1, 0, 2이므로 

 f(x)-g(x)=a(x+1)x(x-2) (a+0)

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 78 2020-10-14 오후 3:09:31

정답과 풀이

79

조건 ㈏ 에 의하여 

:)2  { f(x)-g(x)}dx=4-12=-8 이므로

:)2  { f(x)-g(x)}dx=:)2  {a(x+1)x(x-2)}dx

       =a:)2  (xÜ`-xÛ`-2x)dx        =a [;4!;xÝ`-;3!;xÜ`-xÛ`]2)        =a{4-;3*;-4}=-;3*;a=-8  a=3이므로  f(x)-g(x)=3(x+1)x(x-2) 따라서  f(3)-g(3)=3_4_3_1=36

답 36

37

곡선  f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x와 직선 g(x)=mx가 만나는 세 점의 x 좌표가 0, a, b이므로

 f(x)-g(x)=xÜ`-6xÛ`+9x-mx=x(x-a)(x-b) :)b  x(x-a)(x-b)dx=:)b  {xÜ`-(a+b)xÛ`+abx}dx          =[;4!;xÝ`-;3!;(a+b)xÜ`+;2!;abxÛ`]b)          =;4!;bÝ`-;3!;(a+b)bÜ`+;2!;abÜ`

         = bÜ`12(2a-b)=0 이므로 b=2a

x{xÛ`-6x+(9-m)}=x(x-a)(x-2a) 6=3a, 9-m=2aÛ`이므로 a=2, m=1, b=4 따라서 :Ab  { g(x)}Û` dx=:@4  xÛ` dx=[;3!;xÜ`]4@=;;°3¤;;

답 ②

38

최고차항의 계수가 1인 삼차함수  f(x)를

 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면  조건 ㈎ 에 의하여  f(0)=0이므로 c=0

 f  '(x)=3xÛ`+2ax+b에서 조건 ㈏ 에 의하여 y=f  '(x)의 그래프는  직선 x=2에 대하여 대칭이다.

 f  '(x)=3(x-2)Û`+b-12이므로 2a=-12, a=-6 조건 ㈐ 에 의하여 b-12¾-3, b¾9

:)3  f(x)dx=:)3  (xÜ`-6xÛ`+bx)dx

           =[ xÝ`4 -2xÜ`+;2B;xÛ`]3)             =-;:!4#:%;+;;»2õ;;¾;;ª4¦;; (∵ b¾9)

:)3  f(x)dx의 최솟값은 b=9일 때 ;;ª4¦;;이므로 m=;;ª4¦;;

따라서 4m=27

답 27

39

조건 ㈏ 에서 방정식  f(x)-p=0의 서로 다른 실근의 개수가 2이므 로 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=p를 좌표평면에 나타냈을 때  다음과 같다.

교점 2개

y=f(x)

y=p y=p

조건 ㈏ 에서 p의 값이 최대이어야 하고 p의 최댓값이  f(2)이므로 함 수 y=f(x)의 그래프는 직선 y=p와 x=2인 점에서 만나야 한다.

또한 조건 ㈎ 에서  f(2)=f(5)이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 다 음과 같다.

O 2 5 x

y y=f(x)

y=p

함수 y=f(x)의 그래프에 직선 y=p가 x=2에서 접하므로  f(x)-p=(x-2)Û`(x-5)

 f(x)=(x-2)Û`(x-5)+p 이때  f(0)=0이므로   f(0)=-20+p=0, p=20

따라서  f(x)=(x-2)Û`(x-5)+20이므로 :)2  f(x)dx=:)2  {(x-2)Û`(x-5)+20}dx

           =:)2  (xÜ`-9xÛ`+24x)dx

           =[;4!;xÝ`-3xÜ`+12xÛ`]2)             =4-24+48=28

답 ②

40

 g(x)=:)/  f(t)dt+f(x)에서  g '(x)=f(x)+f  '(x)

 g(0)=:)0  f(t)dt+f(0)=0+f(0)  g '(0)=f(0)+f  '(0)

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 79 2020-10-14 오후 3:09:32

80

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ 조건 ㈎ 에 의해 g(0)=f(0)=0

 g '(0)=f(0)+f  '(0)=0+f  '(0)=0이므로  f  '(0)=0 그러므로 xÛ`은  f(x)의 인수이다.

 f(x)=xÛ`(x-k) (k는 상수)라 하면   g '(x) =xÜ`-kxÛ`+3xÛ`-2kx  

=xÜ`+(3-k)xÛ`-2kx 조건 ㈏ 에 의해 모든 실수 x에 대하여  g '(-x)=-g '(x)가 성립한다.

즉, -xÜ`+(3-k)xÛ`+2kx=-xÜ`-(3-k)xÛ`+2kx 2(3-k)xÛ`=0에서 k=3

따라서  f(x)=xÛ`(x-3)이므로   f(2)=4_(-1)=-4

답 ②

다른 풀이

 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 놓으면   f  '(x)=3xÛ`+2ax+b

조건 ㈎ 에 의해  f(0)=0이므로 c=0  f  '(0)=0이므로 b=0

즉, f(x)=xÜ`+axÛ`

 g '(x) =f(x)+f  '(x)=xÜ`+axÛ`+3xÛ`+2ax   

=xÜ`+(a+3)xÛ`+2ax

조건 ㈏ 에 의해 함수 y= g '(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므 로 xÛ`의 계수는 0이다. 즉, a=-3

따라서  f(x)=xÜ`-3xÛ`이므로 f(2)=8-12=-4

41

ㄱ.   x=4의 좌우에서  f  '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 x=4 에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ.   사차함수  f(x)는 구간 (a, t)에서 미분가능하고 구간 [a, t]에 서 연속이므로 평균값 정리에 의하여

 f(t)-f(a) t-a =f  '(c)

인 c가 구간 (a, t)에 존재한다.

또한 사차함수  f(x)는 구간 (t, b)에서 미분가능하고 구간 [t, b]

에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여  f(t)-f(b)

t-b = f(b)-f(t)

b-t =f  '(d)  인 d가 구간 (t, b)에 존재한다. 

함수  f  '(x)가 구간 (a, b)에서 감소하고 a<c<t<d<b이므로    f  '(c)>f  '(d)이다.

그러므로  f(t)-f(a)

t-a =f  '(c)>f  '(d)= f(b)-f(t) b-t 이다. (참)

ㄷ. 함수 h(x)를 h(x)=f(x)-f(a)라 하자.

주어진 조건에 의하여 함수 y=h(x)는 x=0, b, 4일 때 극값을  갖는다.

0=:A4  f  '(x)dx=f(4)-f(a)이므로 h(4)=0

함수 h(x)의 그래프의 모양은 다음과 같으므로 곡선 y=h(x) 와 x축은 서로 다른 세 점에서 만난다.

4

O x

y y=h(x)

a b

그러므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=f(a)는 서로 다른 세 점에서  만난다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

01 3 02 113

서술형

연습

본문 127쪽

01

이차함수  f(x)의 그래프는 x축과 만나는 점의 x좌표가 0, 2이고,   a는 양수이므로 0<x<2에서  f(x)<0이다.    ㉮ :)3  { f(x)+| f(x)|}dx

=:)2  { f(x)+| f(x)|}dx+:@3  { f(x)+| f(x)|}dx

=:)2  [ f(x)+{-f(x)}]dx+:@3  { f(x)+f(x)}dx

=0+2:@3  f(x)dx=2:@3  (axÛ`-2ax)dx

=2[;3A;xÜ`-axÛ`]3@=2[(9a-9a)-{:¥3:-4a)}]

=;3*;a=8    ㉯

따라서 a=3    ㉰

답 3

단계 채점 기준 비율

㉮ 0<x<2에서  f(x)<0임을 보인 경우 30%

㉯ :)3  { f(x)+| f(x)|}dx를 a로 나타낸 경우 40%

㉰ a의 값을 구한 경우 30%

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 80 2020-10-14 오후 3:09:32

정답과 풀이

81

02

:_2@  f(x)dx=:_2@ (xÜ`+3ax+2b-2)dx

      =[;4!;xÝ`+;2#;axÛ`+(2b-2)x]2_@

      =(2b-2)_4=0

이므로 b=1    ㉮

:_2@ x f(x)dx=:_2@ {xÝ`+3axÛ`+(2b-2)x}dx         =:_2@ (xÝ`+3axÛ`)dx

        =[;5!;xÞ`+axÜ`]2_@=2{;;£5ª;;+8a}=0

이므로 a=-;5$;    ㉯

따라서  f(x)=xÜ`-;;Á5ª;;x이므로 

 f(5)=125-12=113    ㉰

답 113

단계 채점 기준 비율

㉮ b의 값을 구한 경우 30%

㉯ a의 값을 구한 경우 30%

㉰  f(5)의 값을 구한 경우 40%

01 ⑤ 02 ② 03 432 04 340

1등급

도전

^{본문 128~129쪽}

01

풀이 전략 aÉxÉb에서 함수 f(x)의 최대´최소는 주어진 구간에서 f(x)의 극값과 양 끝점의 함숫값을 비교하여 구한다.

문제 풀이 

STEP 1

1단계1단계 정적분으로 정의된 함수에 대하여 미분을 이용하여 함수 f(x)의 특징 을 파악한다.

ㄱ. 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f  '(x)=xÛ`-4tx+3tÛ`=(x-t)(x-3t) (참)

STEP 2

1단계1단계 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 이용하여 t>0에서의 g(t)를 유추한다.

 f  '(x)=0에서 x=t 또는 x=3t이므로 함수  f(x)는 x=t에서  극대, x=3t에서 극소이다.

ㄴ.  f(x)=:#/T (sÛ`-4ts+3tÛ`)ds

=[;3!;sÜ`-2tsÛ`+3tÛ`s]/#T=;3!;xÜ`-2txÛ`+3tÛ`x

=;3!;x(x-3t)Û`

 f  '(t)=0,  f(t)=;3!;t(t-3t)Û`=;3$;tÜ`이므로  f(x)-;3$;tÜ`=;3!;x(x-3t)Û`-;3$;tÜ`

           =;3!;x(xÛ`-6tx+9tÛ`)-;3$;tÜ`

           =;3!;(x-t)Û`(x-4t)  따라서  f(t)=f(4t)=;3$;tÜ`

Ú t>2일 때

2

O x

y y=f(x)

t 4t

/3$/tÜ

함수  f(x)는 x=2에서 최댓값을 가지므로  g(t)=f(2)=;3@;(3t-2)Û` (참)

ㄷ. Û tÉ2<4t, 즉 ;2!;<tÉ2일 때

O 2 x

y y=f(x)

t 4t

/3$/tÜ

함수  f(x)는 x=t에서 최댓값을 가지므로  g(t)=f(t)=;3$;tÜ`

Ü 4tÉ2, 즉 0<tÉ;2!;일 때

2

O x

y y=f(x)

t 4t

/3$/tÜ

함수  f(x)는 x=2에서 최댓값을 가지므로   g(t)=f(2)=;3@;(3t-2)Û`

Ú, Û, Ü 에 의하여

g(t)=

( M { M 9

;3@;(3t-2)Û`

;3$;tÜ`

;3@;(3t-2)Û`

{0<tÉ;2!;}

{;2!;<tÉ2}

(t>2)

STEP 3

1단계1단계 함수 g(t)가 t=;2!;, t=2에서 함수 g(t)의 좌미분계수와 우미분계수 의 값이 같은지 확인한다.

올림포스해설(066-096)(수2)3단원.indd 81 2020-10-14 오후 3:31:43

82

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ

t Ú ;2!;+ (2t-1)(4tÛ`+2t+1) 3(2t-1) =1

함수  f(x)=4xÜ`-24xÛ`+36x-8k에 대하여  f  '(x)=12xÛ`-48x+36=12(x-1)(x-3)  f  '(x)=0에서 x=1 또는 x=3

함수  f(x)는 x=1에서 극댓값, x=3에서 극솟값을 갖고, k의 값에  따른 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.

Ú k<0일 때

 f(0)=-8k>0이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형과 함수  y=g(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.

 f(0)=-8k>0이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형과 함수  y=g(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.

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