유형 연습
07 도함수의 활용
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58
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ03
삼차방정식 xÜ`-12x+22-4k=0에서 xÜ`-12x+22=4k
h(x)=xÜ`-12x+22, g(x)=4k라 하면 주어진 방정식의 실근은 두 함수 h(x)와 g(x)의 그래프의 교점의 좌표이다.
h'(x)=3xÛ`-12=3(xÛ`-4)=3(x-2)(x+2) h'(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -2 y 2 y
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 38(극대) ↘ 6(극소) ↗
따라서 k의 값에 따른 y=h(x), y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.
8 6 4 -2 2
20 22 24 36 38 40
O x
y y=h(x)
y=40(k=10) y=36(k=9)
y=24(k=6) y=20(k=5)
y=8(k=2) y=4(k=1)
yy
방정식 h(x)=g(x)의 양의 실근의 개수가 f(k)이므로 y=h(x)와 y=g(x)의 그래프의 제1사분면에서의 교점의 개수를 구하면 f(1)=0, f(2)= y =f(5)=2, f(6)= y =f(10)=1 따라서 Á10
k=1 f(k)=2_4+1_5=13
답 13
04
함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 a는 양수이다.
f(x)=;3!;axÜ`-bxÛ`-(a-4)x-3aÛ`에서
f '(x)=axÛ`-2bx-(a-4)이므로 방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면
D=(-2b)Û`-4_a_(-a+4)=4bÛ`+ 4aÛ`-16a É0 yy ㉠ 방정식 f(x)+g(x)=0이 서로 다른 2개의 실근을 가지므로 f(x)+g(x)=;3!;axÜ`+axÛ`-3ax-3aÛ`=0이고
a>0에서 xÜ`+3xÛ`-9x-9a=0
따라서 방정식 xÜ`+3xÛ`-9x= 9a 의 서로 다른 실근의 개수는 2 이다.
h(x)=xÜ`+3xÛ`-9x라 하자.
함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -3 y 1 y
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 27 (극대) ↘ -5 (극소) ↗
방정식 xÜ`+3xÛ`-9x=9a가 서로 다른 2개의 실근을 가지려면 9a=27 또는 9a=-5이어야 하고 a>0이므로
a= 3 yy ㉡
㉠, ㉡에서 bÛ`É3이므로 -'3 ÉbÉ'3
따라서 F(a)=4aÛ`-16a, G(a)=9a, k=3이므로 F(5)+G(4)+k=100-80+36+3=59
답 59
05
주어진 조건 ㈎ 에서 함수 f(x)의 그래프는 x=0, x=2, x=a에서 극값을 갖는다. 조건 ㈏ 에서 | f(x)|¾0이므로 방정식
| f(x)|=f(0)이 실근을 갖지 않으려면 f(0)<0이어야 한다.
ㄱ. a=0이면 조건 ㈎ 에서 f '(x)=xÛ`(x-2)이므로 함수 y=f(x) 의 그래프는 다음과 같다.
O x
y y=f(x)
2
따라서 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) ㄴ. [반례] 0<a<2이고 f(a)>0일 때, f(2)>0이면 그림과 같이
방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (거짓)
O x
y y=f(x)
2 a
ㄷ. 함수 | f(x)-f(2)|가 x=k에서만 미분가능하지 않으려면 f(x)-f(2)=;4!; (x-k)(x-2)Ü`이어야 한다.
또, f '(0)=0이므로 함수 y=| f(x)-f(2)|의 그래프는 다음과 같다.
O x
y y=|f(x)-f(2)|
k 2
이때 함수 | f(x)-f(2)|는 k<0인 실수 k에 대하여 x=k에서 만 미분가능하지 않다. (참)
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정답과 풀이
59
이때 h(0)=0, h(1)=-2, h(2)=-4이므로 함수 y=h(x)와 y=t의 그래프는 다음 그림과 같다.
f(t)는 방정식 xÛ`(x-3)-t=0의 1이 아닌 실근의 개수에 1을 더한 값이므로
함수 f(t)는 t=-4, -2, 0에서만 불연속이므로 함수 f(t)g(t)가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 함수 f(t)g(t)가 t=-4, -2, 0에서 연속이어야 한다.
t Ú -4-lim f(t)g(t)= limt Ú -4- f(t)_ lim
t Ú -4- g(t)=2g(-4)
t Ú -4+lim f(t)g(t)= limt Ú -4+ f(t)_ limt Ú -4+ g(t)=4g(-4) f(-4)g(-4)=3g(-4)
함수 f(t)g(t)가 t=-4에서 연속이므로 2g(-4)=4g(-4)=3g(-4)
따라서 g(-4)=0 yy ㉠
t Ú -2lim f(t)g(t)= limt Ú -2 f(t)_ lim
t Ú -2 g(t)=4g(-2)
f(-2)g(-2)=3g(-2)
함수 f(t)g(t)가 t=-2에서 연속이므로 4g(-2)=3g(-2)
따라서 g(-2)=0 yy ㉡
t Ú 0-lim f(t)g(t)= limt Ú 0- f(t)_ lim
t Ú 0- g(t)=4g(0)
t Ú 0+lim f(t)g(t)= limt Ú 0+ f(t)_ limt Ú 0+ g(t)=2g(0) f(0)g(0)=3g(0)
함수 f(t)g(t)가 t=0에서 연속이므로 4g(0)=2g(0)=3g(0)
따라서 g(0)=0 yy ㉢
조건 ㈎ 에 의하여 g(x)는 삼차 이하의 다항함수이다.
이때 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 g(x)=0은 x=-4, -2, 0을 실근으로 가 지므로 g(x)=ax(x+4)(x+2) (a+0)로 놓을 수 있다.
조건 ㈏ 에서 g(-3)=6이므로
g(-3)=a_(-3)_1_(-1)=3a=6, a=2 따라서 g(x)=2x(x+4)(x+2)이므로 g(1)=2_1_5_3=30
답 ⑤
07
f(x)=xÝ`-4x-aÛ`+a+9라 하면 f '(x)=4xÜ`-4=4(x-1)(xÛ`+x+1)
함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은
모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)É12x+kÉg(x)를 만족시키는 자연수 k의 값의 범위를 구하여 보자.
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60
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ Ú f(x)É12x+k에서모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)É12x+k를 만족시키는 k의 값의 범위를 구하면 다음과 같다.
h(x)=f(x)-12x라고 하면 h(x)=-xÝ`-2xÜ`-xÛ`-12x
h'(x)=-4xÜ`-6xÛ`-2x-12=-2(x+2)(2xÛ`-x+3) 함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -2 y
h'(x) + 0
-h(x) ↗ 극대 ↘
h(x)는 x=-2에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 h(2)=-16+16-4+24=20
그러므로 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)É12x+k를 만족시 키는 k의 값의 범위는 k¾20
Û g(x)¾12x+k에서
모든 실수 x에 대하여 부등식 g(x)¾12x+k를 만족시키는 k의 값의 범위를 구하면 다음과 같다.
부등식 3xÛ`-12x+a-k¾0이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 3xÛ`-12x+a-k=0의 판별식을 D라 하면
D
4 =(-6)Û`-3_(a-k)É0, kÉa-12
모든 실수 x에 대하여 부등식 g(x)¾12x+k를 만족시키는 k의 값의 범위는 kÉa-12
Ú, Û 에 의해 20ÉkÉa-12이고 이를 만족시키는 자연수 k의 개 수는 3이므로 22Éa-12<23
따라서 34Éa<35이므로 자연수 a의 값은 34이다.
답 34
참 고
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프와 직선 y=12x+k의 관계는 그림과 같다.
O x
y
y=f(x) y=g(x)
y=12x+k
09
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 하면 h(x)=xn+2-3(3n+1-1)-3n+1(n+2)(x-3)
h(x)는 (n+2)차 다항함수이다.
h'(x)=(n+2)xn+1-(n+2)3n+1
=(n+2)_( xn+1-3n+1)
x>3에서 h'(x)>0이므로 함수 h(x)는 증가한다.
x¾3에서 h(x)의 최솟값은 h(3)이고 h(3)=3n+2-3(3n+1-1)=3 h(x)의 최솟값은 3
x¾3에서 h(x)¾ 3 >0이므로 f(x)-g(x)>0
따라서 x¾3인 모든 실수 x에 대하여 f(x)>g(x)가 성립한다.
A(x)=xn+1-3n+1, p=3이므로
n Ú ¦lim p_A(4) 4Ç` = lim
n Ú ¦ 3(4n+1-3n+1) 4Ç`
= lim
n Ú ¦ [12-9_{;4#;}n]=12
답 ③
10
조건 ㈏ 에 의해 삼차함수 y=f(x)의 그래프가 직선 y=-1과의 교 점의 개수가 2이므로 y=-1에서 극값 -1을 갖는다.
조건 ㈎ 에서 lim
x Ú 0 f(x)-3
x =0이고 lim
x Ú 0 x=0이므로
limx Ú 0{ f(x)-3}=0이어야 한다.
즉, lim
x Ú 0 f(x)=3이므로 f(0)=3
또 lim
x Ú 0 f(x)-3 x =lim
x Ú 0 f(x)-f(0)
x = f '(0)=0
f(0)=3, f '(0)=0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 극값 3을 갖는다.
그러므로 두 직선 y=3, y=-1과 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다.
x y
y=-1 y=f(x) 3 y=3
O -1
f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+3 (a, b는 상수)이라 하면 f '(x)=3xÛ`+2ax+b에서 f '(0)=0이므로 b=0 f {- 2a3 }={- 2a3 }Ü`+a_{- 2a3 }Û`+3=-1에서 a=-3
따라서 f(x)=xÜ`-3xÛ`+3이므로 f(4)=4Ü`-3_4Û`+3=19
답 19
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정답과 풀이
61
11
ㄱ. h(x)=f(x)+2x에서 h'(x)=f '(x)+2 h'(a)=f '(a)+2>0 (참)
ㄴ. 열린구간 (0, a)에서 -2<f '(x)<0
0<h'(x)<2이므로 함수 h(x)는 증가한다. (거짓) ㄷ. h(0)=f(0)+2_0=0
h'(x)=f '(x)+2=0을 만족시키는 x의 값을 b라 하자.
함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y b y 0 y
h'(x) - 0 + + +
h(x) ↘ 극소 ↗ 0 ↗
함수 y=h(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.
O x
y y=h(x)
h(b) b
따라서 방정식 h(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
답 ④
12
사차함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1이고
f(2+x)= f(2-x)에서 함수 f(x)의 그래프가 직선 x=2에 대하 여 대칭이므로 f(x)=(x-2)Ý`+a(x-2)Û`+b (a, b는 상수)로 놓 을 수 있다.
f(0)< f(2)이고 방정식 f(|x|)=1의 서로 다른 실근의 개수가 3 이려면 f(x)가 x=0, x=4에서 극솟값 1을 갖고 x=2에서 극댓값 을 가져야 한다.
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.
O -4 -2 1 2
4 x
y y=f(|x|)
y=1
f(0)=f(4)=1에서 16+4a+b=1 yy ㉠ f '(x)=4(x-2)Ü`+2a(x-2)에서
f '(0)=f '(4)=0이므로 -32-4a=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, b=17 따라서 f(x)=(x-2)Ý`-8(x-2)Û`+17이므로 함수 f(x)의 극댓값은 f(2)=17
답 ④
13
함수 f(x)의 삼차항의 계수를 a라 하면 조건 ㈎ 에 의해 함수 y=f(x) 의 그래프와 x축이 서로 다른 세 점에서 만나므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.
a>0일 때 a<0일 때
x
y=f(x) y=f(x)
x
함수 f(x)는 삼차함수이므로 실수 전체의 집합을 치역으로 갖고, 이 차함수 g(x)=xÛ`-6x+10=(x-3)Û`+1은 x=3에서 최솟값 1을 갖는다.
그러므로 조건 ㈏ 에서 함수 g( f(x))={ f(x)-3}Û`+1은 f(x)=3 인 x에서 최솟값 1을 가지므로 m=1
한편, 방정식 g(f(x))=1의 서로 다른 실근의 개수가 2이므로 방정 식 f(x)=3을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수는 2이다.
그러므로 직선 y=3과 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 그림과 같 다.
a>0일 때 a<0일 때
x y=f(x)
y=3
y=f(x)
x y=3
즉, 함수 f(x)의 극댓값은 3이다.
조건 ㈐ 의 방정식 g( f(x))=17을 풀면 { f(x)-3}Û`+1=17, { f(x)-3}Û`=16 f(x)=-1 또는 f(x)=7
조건 ㈐ 에서 방정식 g( f(x))=17은 서로 다른 세 실근을 갖고 위의 그래프에서 방정식 f(x)=7의 실근의 개수를 유추하면 1이므로 방 정식 f(x)=-1의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.
그러므로 세 직선 y=-1, y=3, y=7과 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.
a>0일 때 a<0일 때
x y=f(x) y=7
y=3
y=-1 x
y=f(x)
y=7
y=3
y=-1
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62
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ 즉, 함수 f(x)의 극솟값은 -1이다.따라서 함수 f(x)의 극댓값은 3, 극솟값은 -1이므로 그 합은 3+(-1)=2
답 ①
14
수직선 위의 점 P의 시각 t에서의 위치가 x=-tÛ`+6t이므로 속도는 dx
dt=-2t+6
속도가 2이므로 -2t+6=2에서 t=2
따라서 t=2에서의 점 P의 위치는 -2Û`+6_2=8
답 ①
15
수직선 위의 점 P의 시각 t (t¾0)에서의 속도 v(t)가 v(t)=-tÛ`+10t이므로 가속도는
dv
dt=v '(t)=-2t+10 t=a에서의 가속도가 0이므로 -2a+10=0, a=5
답 ②
16
수직선 위의 점 P의 시각 t (t>0)에서의 위치 x가 x=tÜ`-4tÛ`-3t+4이므로 시각 t에서의 속도를 v라 하면 v= dxdt=3tÛ`-8t-3
운동 방향을 바꾸는 순간 점 P의 속도가 0이므로 3tÛ`-8t-3=0, (3t+1)(t-3)=0
t=3 (t>0)
따라서 0<t<3일 때 v<0, t>3일 때 v>0이므로 t=3에서 운동 방향을 바꾼다.
답 ③
17
수직선 위의 점 P의 시각 t (t¾0)에서의 위치 x가 x=2tÜ`-ktÛ`이므 로 속도 v와 가속도 a는
v= dxdt=6tÛ`-2kt, a= dvdt=12t-2k
시각 t=1에서 점 P가 운동 방향을 바꾸므로 속도는 0이다.
즉, 6-2k=0에서 k=3
따라서 시각 t=3에서 점 P의 가속도는 12_3-2_3=30
답 30
18
수직선 위의 점 P의 시각 t (t>0)에서의 위치 x가
x=tÜ`-9tÛ`+8t=t(t-1)(t-8)
이므로 점 P는 t=1에서 처음으로 원점을 지난다.
시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v= dxdt=3tÛ`-18t+8
따라서 t=1에서의 속도는 3-18+8=-7
답 ⑤
01 16 02 21
서술형
연습
본문 99쪽01
f(x)=2xÜ`-3xÛ`-12x+4에서
f '(x)=6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2)
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 ㉮ 닫힌구간 [-2, 3]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -2 y -1 y 2 y 3
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) 0 ↗ 11
(극대) ↘ -16
(극소) ↗ -5
㉯
함수 y=| f(x)|의 그래프는 다음과 같다.
O
-2 3 x
y y=|f(x)|
y=16
따라서 닫힌구간 [-2, 3]에서 부등식 | f(x)|Ék가 성립하도록 하
는 실수 k의 최솟값은 16이다. ㉰
답 16
단계 채점 기준 비율
㉮ f '(x)=0이 되는 x의 값을 구한 경우 30%
㉯ 닫힌구간 [-2, 3]에서 함수 f(x)의 증가와 감소
를 표로 나타낸 경우 40%
㉰ 닫힌구간 [-2, 3]에서 | f(x)|Ék가 성립하는 실
수 k의 최솟값을 구한 경우 30%
02
두 점 P, Q가 원점을 출발한 후 만나는 시각은 2tÜ`-4tÛ`+3t=4tÛ`-3t에서 2tÜ`-8tÛ`+6t=0
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정답과 풀이
63
t(t-1)(t-3)=0
t+0이므로 t=1 또는 t=3 ㉮
따라서 두 점 P, Q가 원점을 출발한 후 두 번째로 만나는 시각은 t=3이고, 점 Q의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면
v(t)={xª(t)}'=8t-3 ㉯
v(3)=8_3-3=21 ㉰
답 21
단계 채점 기준 비율
㉮ 두 점 P, Q가 만나는 시각을 구한 경우 40%
㉯ 점 Q의 시각 t에서의 속도를 구한 경우 40%
㉰ 두 점 P, Q가 두 번째로 만나는 순간의 속도를 구한
경우 20%
01 ⑤ 02 ④ 03 11 04 30
1등급
도전
본문 100~101쪽01
풀이 전략 도함수의 그래프를 활용하여 함수 f(x)의 식을 추론한다.
문제 풀이
STEP 1
1단계1단계 함수 f(x)의 식을 구한다.
삼차함수 f(x)에 대하여 f(0)=0이므로 f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx (a, b, c는 상수)라 하면 f '(x)=3axÛ`+2bx+c
함수 y=f '(x)의 그래프에서 f '(0)=1이고 f '(1)=0, f '(3)=0 f '(x)=3a(x-1)(x-3)으로 놓고 x=0을 대입하면
9a=1, a=;9!;
f '(x)=;3!;(x-1)(x-3)=;3!;xÛ`-;3$;x+1 b=-;3@;, c=1이므로
f(x)=;9!;xÜ`-;3@;xÛ`+x=;9!;x(x-3)Û`
f '(0)=0일 때 x=1 또는 x=3이므로 함수 f(x)는 x=1에서 극 대, x=3에서 극소이다.
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.
O 1 3 x
y y=f(x)
STEP 2
1단계1단계 xÉk일 때, 두 함수 f(x), g(x)의 그래프의 위치 관계를 파악한다.
xÉk에서 함수 y=g(x)의 그래프는 기울기가 1인 직선의 일부이다.
곡선 y=f(x) 위의 점 (k, f(k))에서의 접선의 기울기가 1이 되는 k의 값을 찾으면
f '(k)=;3!;(k-1)(k-3)=1 k(k-4)=0, k=0 또는 k=4 Ú k=0일 때
f(0)=0이므로 xÉ0에서 함수 g(x)=x+f(0)=x이고 f '(0)=1이므로 x=0에서 곡선 y=f(x)에 직선 y=x가 접한 다.
;9!;x(x-3)Û`=x, x(x-3)Û`=9x
x=0 또는 x=6 yy ㉠
따라서 xÉ0에서 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 h(0)=1이다.
O x
y
y=f(x) y=x
Û k=4일 때
xÉ4에서 함수 g(x)=(x-4)+f(4)이고 f '(4)=1이므로 x=4에서 곡선 y=f(x)에 직선 y=(x-4)+f(4)가 접한다.
따라서 xÉ4에서 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 h(4)=2이다.
O 4 x
y=(x-4)+f(4) y y=f(x)
Ü k=6일 때
㉠에서 f(6)=6이므로 xÉ6에서 함수 g(x)=(x-6)+f(6)=x이다.
따라서 xÉ6에서 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 h(6)=2이다.
6
6
O x
y y=f(x)
y=(x-6)+f(6)
STEP 3 1단계1단계 Á7
k=1h(k)의 값을 구한다.
x=0에서 접선의 기울기가 1이다.
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64
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 수학Ⅱ Ú, Û, Ü 에 의하여0<kÉ4일 때, h(k)=2 4<k<6일 때, h(k)=3 k=6일 때, h(k)=2 k>6일 때, h(k)=1 따라서 Á7
k=1h(k)=2_4+3+2+1=14
답 ⑤
02
풀이 전략 도함수를 구하여 그래프를 추론한다.
문제 풀이
STEP 1
1단계1단계 함수 f '(x)의 식을 구한다.
f(x)는 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로
f(x)=xÝ`+axÜ`+bxÛ`+cx+d (a, b, c, d는 상수)라 하면 f '(x)=4xÜ`+3axÛ`+2bx+c이다.
조건 ㈎ 에서 방정식 f '(x)=0의 실근이 1, 4뿐이므로 f '(x)=4(x-1)(x-4)Û` 또는 f '(x)=4(x-1)Û`(x-4)
STEP 2
1단계1단계 각 경우 조건을 만족시키는지 알아본다.
Ú f '(x)=4(x-1)(x-4)Û`일 때
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 1 y 4 y
f '(x) - 0 + 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗ f(4) ↗
따라서 함수 f(x)의 그래프의 개형과 실수 t에 대한 함수 g(t)의 값은 그림과 같다.
y=f(x) t>f(4)
t=f(4)
t=f(1) t<f(1) f(1)<t<f(4)
g(t)=2 g(t)=1 g(t)=2 g(t)=0 g(t)=0
함수 g(t)는 t=f(1), t=f(4)에서 불연속이므로 조건 ㈏ 에 의 하여 f(1)=-25, f(4)=2이다.
따라서 함수 f(x)의 그래프는 그림과 같다.
4
1 x
y=f(x)
이때 방정식 f(x)=0의 두 실근이 모두 4보다 작으므로 조건
㈐ 를 만족시키지 못한다.
h(1)+h(2)+h(3)+h(4)
Û f '(x)=4(x-1)Û`(x-4)일 때
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 1 y 4 y
f '(x) - 0 - 0 +
f(x) ↘ f(1) ↘ 극소 ↗
따라서 함수 f(x)의 그래프의 개형과 실수 t에 대한 함수 g(t)의 값은 그림과 같다.
y=f(x) t>f(1)
t=f(1)
t=f(4) t<f(4) f(4)<t<f(1)
g(t)=2 g(t)=1 g(t)=2 g(t)=0 g(t)=0
함수 g(t)는 t=f(4), t=f(1)에서 불연속이므로 조건 ㈏ 에 의 하여 f(1)=2, f(4)=-25이다.
따라서 함수 f(x)의 그래프는 그림과 같다.
4
1 x
y=f(x)
이때 방정식 f(x)=0은 4보다 큰 실근을 갖는다.
STEP 3
1단계1단계 함수 f(x)를 구한다.
Ú, Û 에 의하여
f '(x) =4(x-1)Û`(x-4)
=4xÜ`-24xÛ`+36x-16
a=-8, b=18, c=-16이고 f(1)=2이므로 d=7 따라서 f(x)=xÝ`-8xÜ`+18xÛ`-16x+7이므로 f(-1)=1+8+18+16+7=50
답 ④
03
풀이 전략 함수 f(x)를 구하고 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건을 이용한다.
문제 풀이
STEP 1
1단계1단계 주어진 조건을 이용하여 두 다항식 g(x), f(x)를 각각 구한다.
두 다항식 PÁ(x), Pª(x)를 PÁ(x)=g(x)-4x-26,
Pª(x)=g(x)+2xÜ`-14xÛ`+12x+6이라 하면 PÁ(x)=-Pª(x), 즉 PÁ(x)+Pª(x)=0
{ g(x)-4x-26}+{ g(x)+2xÜ`-14xÛ`+12x+6}=0 2g(x)+2xÜ`-14xÛ`+8x-20=0
올림포스해설(028-065)(수2)2단원.indd 64 2020-10-14 오후 3:07:31
정답과 풀이
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따라서 g(x)=-xÜ`+7xÛ`-4x+10
| f(x)|=[-(xÜ`-7xÛ`+8x+16)
xÜ`-7xÛ`+8x+16 =g(x)-4x-26
=g(x)+2xÜ`-14xÛ`+12x+6
(xÉa) (x>a) g(x)의 최고차항의 계수가 음수이므로
(xÉa) (x>a) g(x)의 최고차항의 계수가 음수이므로