다음 다음 다음 다음 문제에문제에문제에문제에 대하여대하여대하여대하여 답하시오답하시오답하시오답하시오. 1.다음은다음은다음은다음은 Maxwell 방정식이다방정식이다방정식이다. 물음에방정식이다 물음에물음에물음에 답하시오답하시오답하시오답하시오.(45) ① ① ① ① E, H, D, B 의의의의 단위와단위와단위와 이들단위와이들이들 사이의이들사이의 관계를사이의사이의관계를관계를관계를 나타내는나타내는나타내는나타내는 보조식보조식보조식보조식 3개는개는개는 ?개는 ② ② ② ② 1번째번째번째번째 수식의수식의수식의수식의 물리적물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을 포함해서그림을포함해서포함해서 자세히포함해서자세히자세히자세히 기술하시오기술하시오기술하시오)기술하시오 ③ ③ ③ ③ 2번째번째번째번째 수식의수식의수식의수식의 물리적물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을 포함해서그림을포함해서포함해서 자세히포함해서자세히자세히자세히 기술하시오기술하시오기술하시오)기술하시오 ④ ④ ④ ④ 3번째번째번째번째 수식의수식의수식의수식의 물리적물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을 포함해서그림을포함해서포함해서 자세히포함해서자세히자세히자세히 기술하시오기술하시오기술하시오)기술하시오 ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ 4번째번째번째번째 수식의수식의수식의수식의 물리적물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을 포함해서그림을포함해서포함해서 자세히포함해서자세히자세히자세히 기술하시오기술하시오기술하시오)기술하시오 ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ 발산정리발산정리(찐방발산정리발산정리찐방찐방 공식찐방공식공식공식)를를를 쓰고를쓰고, 수식이쓰고쓰고 수식이수식이 의미하는수식이의미하는의미하는의미하는 바를바를바를 설명하시오바를설명하시오설명하시오설명하시오. ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ Stokes 정리정리정리(주둥이정리주둥이주둥이주둥이 공식공식공식)를공식를를를 쓰고쓰고, 수식이쓰고쓰고 수식이수식이수식이 의미하는의미하는의미하는의미하는 바를바를바를바를 설명하시오설명하시오설명하시오설명하시오 ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ 2개의개의개의 항등식을개의항등식을항등식을항등식을 쓰고쓰고쓰고, 수식이쓰고 수식이 의미하는수식이수식이의미하는의미하는의미하는 바를바를바를 설명하시오바를설명하시오설명하시오.설명하시오 ⑨ ⑨ ⑨ ⑨ 매질매질 상수매질매질상수상수(εεεε, µ상수 µµ, σµ σ)에σσ에에에 대해대해대해 설명하시오대해설명하시오설명하시오설명하시오. 2. 다음다음다음 물음에다음물음에물음에 답하시오물음에답하시오답하시오답하시오.(15) ① ① ① ① ②②②②
2012
2012
2012
2012학년도
학년도
학년도
학년도 1
1
1학기
1
학기
학기
학기 전자기학
전자기학
전자기학
전자기학 중간고사
중간고사
중간고사
중간고사
) ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 3 ˆ 2 (A=− ax − ay +az B =ax − ay + az r r 0 , , , ∇⋅ = ∇⋅ = ∂ ∂ + = × ∇ ∂ ∂ − = × ∇ D B t D J H t B E r r r r r r rρ
B A r r ⋅ A B r r × ① ① ① ① ②②②② ③ ③ ③ ③ 삼각형의삼각형의삼각형의 코싸인삼각형의코싸인코싸인 법칙코싸인법칙(법칙법칙 )을을을 증명하시오을증명하시오증명하시오증명하시오. 3. 다음의다음의다음의 일반식다음의일반식일반식일반식을을을 쓰고을쓰고쓰고쓰고, 읽는읽는 방법과읽는읽는방법과방법과 의미하는방법과의미하는의미하는의미하는 바바를바바를를 설명하시오를설명하시오설명하시오설명하시오(15) 4. 기본적인기본적인 3개의기본적인기본적인 개의개의 직교개의직교직교 좌표계에서직교좌표계에서 다음좌표계에서좌표계에서다음다음 물음에다음물음에물음에물음에 답하시오답하시오답하시오. (20)답하시오 ① ① ① ① 각각각 좌표계에각좌표계에좌표계에좌표계에 대한대한대한대한 기저벡터기저벡터기저벡터, 미터식기저벡터 미터식 계수미터식미터식계수계수계수, 미소미소미소 체적을미소체적을체적을 쓰시오체적을쓰시오쓰시오쓰시오. ② ② ② ② 공간공간공간 변수공간변수변수(x, y, z), (r, φ변수 φφ, z) (R, θφ θθ, φθ φ)들의φφ들의들의 관계를들의관계를관계를관계를 그림으로그림으로그림으로그림으로 나타내시오나타내시오나타내시오나타내시오. ③ ③ ③ ③ 원통원통원통 좌표계를원통좌표계를좌표계를 직각좌표계를직각직각직각 좌표계로좌표계로 변환하는좌표계로좌표계로변환하는변환하는 식을변환하는식을식을식을 유도하시오유도하시오유도하시오유도하시오. ④ ④ ④ ④ 구좌표계를구좌표계를구좌표계를 이용해구좌표계를이용해이용해 구의이용해구의구의구의 체적을체적을체적을체적을 구하시오구하시오. (반드시구하시오구하시오 반드시반드시반드시 유도유도유도유도 과정을과정을과정을과정을 기술기술기술)기술 5. 다음과다음과 같이다음과다음과같이같이같이 V가가가가 주어질주어질 때주어질주어질때때때, 를를를를 구하시오구하시오구하시오구하시오.(10) ① ① ① ① ②②②② ③③③③ 6. 자유공간에서자유공간에서자유공간에서 정전계의자유공간에서정전계의정전계의정전계의 기본기본기본 가정기본가정가정(미분형가정미분형)을미분형미분형 을을을 쓰고쓰고쓰고쓰고, 적분형을적분형을적분형을적분형을 유도하시오유도하시오유도하시오유도하시오(10).α
cos 2 2 2 AB B A C= + −E
D
V
r
r
×
∇
⋅
∇
∇
(
2
)
(
3
)
)
1
(
)
(
V
E
=
−∇
r
B A ⋅ A×B 4 sin 2e 2 y V = − x π V = 4R2sinθ
V =3rcosφ
다음 다음 다음 다음 문제에문제에문제에문제에 대하여대하여대하여 답하시오대하여답하시오답하시오.답하시오 1.다음은다음은다음은다음은 Maxwell 방정식이다방정식이다방정식이다방정식이다. 물음에물음에물음에물음에 답하시오답하시오답하시오답하시오.(30) ① ① ① ① E, H, D, B 의의의 단위와의단위와단위와 이들단위와이들이들 사이의이들사이의 관계를사이의사이의관계를관계를관계를 나타내는나타내는나타내는나타내는 보조식보조식보조식보조식 3개는개는개는개는 ?
2012_1
2012_1
2012_1
2012_1 전기자기학
전기자기학
전기자기학 중간고사
전기자기학
중간고사
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중간고사 답안지
답안지
답안지
답안지
E 전계전계전계전계, 전기력선전기력선전기력선전기력선 밀도밀도밀도밀도 V/m N/C Lines/m2 H 자계자계, 자기력선자계자계 자기력선자기력선자기력선 밀도밀도밀도밀도 A/m N/Wb Lines/m2 D 전속밀도전속밀도전속밀도전속밀도, 전속선전속선전속선전속선 밀도밀도밀도밀도 C/m2 - Lines/m2 B 자속밀도자속밀도자속밀도자속밀도, 자속선자속선자속선자속선 밀도밀도밀도밀도 Wb/m2 T=104 Gauss Lines/m 2 도전률 투자율 유전률 법칙 의 : , : , : ) σ µ ε σ µ εE B H J E Ohm D= , = , = ( 0 , , , ∇⋅ = ∇⋅ = ∂ ∂ + = × ∇ ∂ ∂ − = × ∇ D B t D J H t B E r r r r r r rρ
② ② ② ② 1번째번째번째번째 수식의수식의수식의수식의 물리적물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을그림을 포함해서포함해서포함해서포함해서 자세히자세히자세히자세히 기술하시오기술하시오기술하시오기술하시오) 일반적인 Maxwell 방정식 미분형 물리적 근거 적분형 Faraday 법칙 Ampere 법칙 Gauss 법칙 독립된 자극은 없음t
∂
∂
−
=
×
∇
E
B
t
∂
∂
+
=
×
∇
H
J
D
vρ
=
⋅
∇ D
0
B
=
⋅
∇
∫
∂
Φ
∂
−
=
⋅
LE
dl
t
∫
∫
⋅
∂
∂
+
=
⋅
Ld
I
St
d
s
D
l
H
∫
⋅
=
SD
ds
Q
∫
⋅
=
Sd
s
0
B
○ 단위면적당 전계의 회전량은 쇄교 자속의 변화에 반비례한다 . Faraday 법칙. 즉, 아래 그림과 같이 루프 도선(또는 물질)에 자속이 쇄교하고 있고 자속의 변화가 없으면 회전 전계(유기 기전력)이 발생하지 않는다. 그러나 자속이 시간에 따라 변 화(여기서는 증가)하면 변화된 자속량을 상쇄하기 위한 자속을 만들기 위해 유기 기전력이 발생한다 ) ( ) ( : ds t B t l d E V s C emf ⋅ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ⋅ =
∫
φ∫
기전력 유기 N S 고정 I Vemf = 0 = N S I Vemf ≠ 0 ≠ 이동 ) (t ∆Φ ) (t ∆Φ − 유도전류 유도전류유도전류 유도전류 I N S I Vemf ≠ 0 ≠ ) (t ∆Φ ) (t ∆Φ − 유도전류 유도전류 유도전류 유도전류 I 이동 ③ ③ ③ ③ 2번째번째번째 수식의번째수식의수식의 물리적수식의물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을그림을 포함해서포함해서포함해서 자세히포함해서자세히자세히자세히 기술하시오기술하시오기술하시오)기술하시오 ○ Ampere 의 오른손 법칙 : 오른손 엄지 손가락 방향으로 전류가 흐르면, 주변에 나머지 손가락으로 감싸는 방향에 자계 발생 nI l d H J H C = ⋅ ⇒ = × ∇∫
직류전류 직류전류직류전류 직류전류 자계 자계 자계 자계 직선도선 직선도선직선도선 직선도선 전류가 흐르는 방향 전류가 흐르는 방향전류가 흐르는 방향 전류가 흐르는 방향 형성된 자계의 방향 형성된 자계의 방향 형성된 자계의 방향 형성된 자계의 방향 책의 안쪽에서 흘러나오는 책의 안쪽에서 흘러나오는 책의 안쪽에서 흘러나오는 책의 안쪽에서 흘러나오는 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 형성된 자계 형성된 자계 형성된 자계 형성된 자계 책의 안쪽으로 흘러들어가는 책의 안쪽으로 흘러들어가는 책의 안쪽으로 흘러들어가는 책의 안쪽으로 흘러들어가는 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 형성된 자계 형성된 자계형성된 자계 형성된 자계○ 변위전류 Ampere (displacement current) : 자속 밀도의 시간 변화에 의해서 발 생하는 전류로써 실제 도선에 흐르는 전도 전류와 달리 가상의 전류임. ④ ④ ④ ④ 3번째번째번째 수식의번째수식의수식의 물리적수식의물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을그림을 포함해서포함해서포함해서포함해서 자세히자세히자세히 기술하시오자세히기술하시오기술하시오)기술하시오 ○ 단위체적당 발산하는 전속선의 수는 단위체적당의 전하량(체적전하밀도)와 같다는 것을 의미하며, 발산정리를 이용해 적분하면 Gauss 법칙이 된다. t ∂ ∂ = D
Jd [변위전류밀도 (displacement current density)]
~
+ + + + +-~
+ + + + + -H × ∇ H × ∇ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ 4번째번째번째 수식의번째수식의수식의 물리적수식의물리적물리적물리적 의미는의미는? (그림을의미는의미는 그림을그림을그림을 포함해서포함해서포함해서포함해서 자세히자세히자세히 기술하시오자세히기술하시오기술하시오)기술하시오 ○ 임의의 면적 S 를 통과하는 자속 : – 자속 단위 : Wb (Weber) 또는 HA – 자속밀도 단위 : Wb/m2 ○ 임의의 폐곡면 S 를 통과하는 총 자속은 항상 0 따라서, – 자연계에 N 극 또는 S 극 하나만을 갖는 독립된 자하(magnetic charge)가 존 재하지 않음 (자속의 연속성) – 전류의 관점 : 모든 전류는 폐회로를 따라서만 흐름∫
⋅ = SB d s Φ 0 = ⋅ ∇ = ⋅∫
∫
SB ds V Bdv ⇒∇⋅B=0 ] [C lines Q s d D D S v ⇒ ⋅ = = = ⋅ ∇ ρ∫∫
⑥ ⑥ ⑥ ⑥ 발산정리를발산정리를발산정리를발산정리를 쓰고쓰고쓰고, 수식이쓰고 수식이 의미하는수식이수식이의미하는의미하는의미하는 바를바를바를바를 설명하시오설명하시오설명하시오.설명하시오 ○ 벡터의 발산(divergence) 표면적이 S 인 미소체적⊗⊗⊗⊗v 로부터 외부로 빠져나가는 임의의 물리량인 벡터 A 의 총량을 미소체적 ∆v 로 나눈 스칼라 값
○ 발산정리(divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss theorem)
임의의 체적 V 에서 발산되는 총량 = 체적 V 의 폐곡면 S 를 통해 빠져나가 는 총량 (찐방 공식으로 찐방 내부에서 발생한 김은 찐방 표면을 통해서 빠져나 가는 양과 같다. 틀리면 찐방이 부풀어 오르거나 쪼그라짐) ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ Stokes 정리를정리를정리를정리를 쓰고쓰고쓰고쓰고, 수식이수식이 의미하는수식이수식이의미하는의미하는 바를의미하는바를바를 설명하시오바를설명하시오설명하시오설명하시오 ○ 벡터의 회전(circulation) 미소면적 ∆S 를 감싸는 폐경로 L을 따라 P P P (a) 양의 발산 (b) 음의 발산 (c) 0의 발산 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 P v s d A A S v ∆ ⋅ = ⋅ ∇
∫
→ ∆ r r rlim
0 정의 수학적 ] [ dv A s d A V S r r r∫
∫
⋅ = ∇ ⋅ ∆S L 벡터 A를 선적분한 값을 미소면적 ∆S 로 나눈 것 ○ 스톡스 정리(Stokes theorem) : 벡터 A에 대한 면적 S 를 감싸는 폐곡선 L 상의 선적분은 면적 S 를 수직으로 관통하는 의 법선성분의 면적분 ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ 2개의개의개의개의 항등식을항등식을항등식을항등식을 쓰고쓰고쓰고쓰고, 수식이수식이 의미하는수식이수식이의미하는의미하는의미하는 바를바를바를 설명하시오바를설명하시오설명하시오설명하시오. : 스칼라계의 기울기의 회전은 0이다. : 임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다. P 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 P 0 ) (∇ ≡ × ∇ V 0 ) (∇× ≡ ⋅ ∇ A A × ∇ 면 면면 면S s d l d L 폐곡선 폐곡선 폐곡선 폐곡선 미소면적 미소면적 미소면적 미소면적 미소길이 미소길이미소길이 미소길이+
=
n s l d A Lim A L s 0 ˆ ∆ ⋅ = × ∇∫
→ ∆ r v r∫
∫
∇ × ⋅ = ⋅ L S A ds A dl r r r r ) (⑨ ⑨ ⑨ ⑨ 매질매질매질매질 상수에상수에상수에상수에 대해대해대해 설명하시오대해설명하시오설명하시오설명하시오. ○ ○ ○ ○ 유전율(permittivity):ε 물질 내에서 발생하는 전기적 분극(polarization)의 정도를 나타내는 물질 상수로써 엡실론(epsilon)이라고 읽음. 아무런 매질도 없는 자유공간에서의 유전율은 특별히 구분하여 표시함 ○ 투자율(permeability) : µ 물질 내에서 발생하는 자기적 분극(polarization)의 정도를 나타내는 물질 상수로써 뮤(mu)라고 읽음. 아무런 매질도 없는 자유공간에서의 투자율은 특별히 구분하여 표시함 m F .854 10 / 8 10 36 1 9 12 0 − − × = × = π ε 인가 전계 인가 전계인가 전계 인가 전계 유전체 유전체 유전체 유전체 유전체 분극에 의해 유전체 분극에 의해유전체 분극에 의해 유전체 분극에 의해 발생한 전계 발생한 전계 발생한 전계 발생한 전계 (전기적 극성 발생) (전기적 극성 발생)(전기적 극성 발생) (전기적 극성 발생) 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 E D=ε m H / 10 4 × −7 = π µ SSSS 표시함 ○ 도전율(conductivity): σ 물질 내에서 전류가 흐르기 쉬운 정도를 나타내는 물질 상수로써, 시그마(sigma)라 고 읽음. 도체 내에 있는 자유전자는 전계에 비례하여 이동속도 증가. - 도전율이 높 으면 전기가 잘 통하는 매질임. 매질이 없는 경우, 즉 진공에서는 당연히 도전율이 0임. 직류 전류 밀도 직류 전류 밀도 직류 전류 밀도 직류 전류 밀도 일정 속도로 이동중인 일정 속도로 이동중인 일정 속도로 이동중인 일정 속도로 이동중인 자유전자 자유전자자유전자 자유전자 외부 인가 전계 외부 인가 전계외부 인가 전계 외부 인가 전계E J 도선 도선도선 도선 σ E J =σ m H / 10 4 7 0 − × = π µ 자기 쌍극자 자기 쌍극자 자기 쌍극자 자기 쌍극자 자성체 자성체 자성체 자성체 외부 인가 자계 외부 인가 자계 외부 인가 자계 외부 인가 자계 자성체 자성체 자성체 자성체 SSSS 외부외부외부외부 NNNN 외부외부외부외부 (a) 외부자계가 없는 경우 (b) 외부자계가 있는 경우 H B=µ
2. 다음다음다음다음 물음에물음에물음에 답하시오물음에답하시오답하시오.(20)답하시오 ① ① ① ① A·B = -2+6+2=6 ② ② ② ② A××× B =× ③ ③③ ③ 벡터를벡터를벡터를벡터를 사용해사용해사용해 삼각형의사용해삼각형의삼각형의삼각형의 코싸인코싸인 법칙코싸인코싸인법칙법칙(법칙 )을을을을 증명증명증명증명 하시오 하시오 하시오 하시오. 여기서, θAB는 벡터 A와 B가 이루는 각 중에 작은 각으로, 이것은 (180o-α)와 같 으므로 따라서, 3. 다음의다음의다음의다음의 일반식을일반식을일반식을 쓰고일반식을쓰고, 의미하는쓰고쓰고 의미하는의미하는 바를의미하는바를바를바를 설명하시오설명하시오설명하시오(15)설명하시오 ) 2 2 3 2 (A= A= − ax − ay +az B= B =ax − ay + az r r z y x z y x z y x a a a a a a a a a 7 5 4 )) 3 ( 4 ( ) 1 4 ( )) 2 ( 6 ( 2 2 1 1 3 2 = − − − − − − + − − =− − + − − − α cos 2 2 2 AB B A C= + − AB AB B A B A B B A A B A B A C C C θ cos 2 2 ) ( ) ( 2 2 2 + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + = ⋅ = r r r r r r r r r r r r α α θ cos(180 ) cos cos = o− =− AB α cos 2 2 2 2 AB B A C = + − : . 1 gradient 한 점에 있어서 스칼라계의 최대 기울기 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 1 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ 1 : . 3 )] ( 3 ) ( 2 ) ( 1 [ 1 : . 2 3 ˆ 2 ˆ 1 ˆ : . 1 u u u u u u u u u u u u A h A h A h u u u a a a h h h A A h h u A h h u A h h u h h h A u h V a u h V a u h V a V ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ⋅ ∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ∇ r r curl divergence gradient 한 점에 있어서 스칼라계의 최대 기울기 단위체적당 발산하는 선속수 단위면적당 회전량
4. 기본적인기본적인기본적인기본적인 3개의개의개의개의 직교직교직교 좌표계에서직교좌표계에서 다음좌표계에서좌표계에서다음다음 물음에다음물음에물음에물음에 답하시오답하시오답하시오답하시오. (20) ① ① ① ① 각각각각 좌표계에좌표계에좌표계에좌표계에 대한대한대한대한 기저벡터기저벡터기저벡터, 미터식기저벡터 미터식 계수미터식미터식계수계수, 미소계수 미소미소미소 체적을체적을체적을체적을 쓰시오쓰시오쓰시오쓰시오. ② ② ② ② 공간공간공간 변수공간변수변수(x, y, z), (r, φ변수 φφ, z) (R, θφ θθθ, φφ)들의φφ 들의들의들의 관계를관계를관계를관계를 그림으로그림으로그림으로그림으로 나타내시오나타내시오나타내시오나타내시오. 직교좌표계 직교좌표계 직교좌표계
직교좌표계(Orthogonal Coordinate System)
(u1, u2, u3)
직각좌표계 직각좌표계직각좌표계 직각좌표계 Cartesian (x, y, z) 원통좌표계 원통좌표계 원통좌표계 원통좌표계 Cylindrical (r, φφφφ,z) 구좌표계 구좌표계구좌표계 구좌표계 Spherical (R, θθθθ, φφφ)φ Base Vector âu1 âu2 âu3 âx ây âz âr âφφφφ âz âR âθθθθ âφφφφ 미터식 미터식 미터식 미터식 계수 계수 계수 계수 h1 h2 h3 1 1 1 1 r 1 1 R R sin θθθθ 미소체적 미소체적 미소체적 미소체적 dv dx dy dz r dr dφφφφdz R2sin θθθθdR dθθθθdφφφφ θ sin R r= z ③ ③ ③ ③ 원통원통원통원통 좌표계를좌표계를좌표계를 직각좌표계를직각직각 좌표계로직각좌표계로 변환하는좌표계로좌표계로변환하는변환하는변환하는 식을식을식을 유도하시오식을유도하시오유도하시오유도하시오. ○ ○ ○ ○ 원통좌표계에 있어서 벡터 A의 표현 : 직각좌표계에 있어서 벡터 A의 표현 : 따라서, φ θ φ sin r y= θ sin R r= r φ cos r x= R z=Rcosθ x y z z r rA a A a A a A= ˆ + ˆ + ˆ = φ φ r A z z y y x xA a A a A a A= ˆ + ˆ + ˆ = r A φ φ φ π φ φ φ φ φ φ φ sin cos ) 2 cos( cos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A a a A a a A a a A a a A a a A a A A r r x x r r x z z x x r r x x − = + + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = r
마찬가지로 그러므로 ④ ④④ ④ 구좌표계를구좌표계를구좌표계를구좌표계를 이용해이용해이용해이용해 구의구의구의구의 체적을체적을체적을체적을 유도하시오유도하시오. (반드시유도하시오유도하시오 반드시반드시 유도반드시유도유도유도 과정을과정을과정을 기술과정을기술기술기술) a) 구의 체적 φ φ φ φ π φ φ φ φ φ φ sin sin cos ) 2 cos( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A a a A a a A a a A a a A a a A a A A r r y y r r y z z y y r r y y + = + − = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = r − = z r z y x A A A A A A φ φ φ φ φ 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos φ r φ x a y a r a φ a y x 0
( )
(
)
3 4 cos 3 2 sin 3 2 2 sin 3 sin 3 3 sin sin sin 3 0 3 0 3 0 3 0 2 0 3 0 2 0 3 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 R R d R d R d d R d d R d d dR R d dRd R dv V R R V π θ π θ θ π θ π θ θ φ θ θ φ θ θ φ θ θ φ θ π π π π π π π π π π π = − = = = = = = = =∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫∫∫
5. 다음과다음과 같이다음과다음과같이같이같이 V가가가 주어질가주어질주어질 때주어질때때때, 한한 점한한점점(1,1,0)에서의점 에서의에서의에서의 를를 구하시오를를구하시오구하시오구하시오. (10) ① ① ① ① ② ② ② ② ) ( V E= −∇ r 4 sin 2e 2 y V = − x π x y x x x y x x z y x e y e y e y y y e z y x V E 2 2 2 2 4 cos 2 4 sin 4 2 4 cos 4 4 sin ) 2 ( 4 sin 2 ] [ − − − − − = + − − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = −∇ = = π π π π π π π a a a a a a a E rθ
sin
4
R
2V
=
(
θ θ)
θ θ θ φ θ θ θ θ φ θ sin 4 cos 8 sin 4 cos 8 cos 4 ] sin [ 2 R R R R R R R R V E R R R a a a a a a a E + − = − − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = −∇ = = r③ ③③ ③ 6. 자유공간에서자유공간에서자유공간에서 정전계의자유공간에서정전계의정전계의정전계의 기본기본기본기본 가정가정가정가정(미분형미분형)을미분형미분형을을 쓰고을쓰고쓰고쓰고, 적분형을적분형을적분형을 유도하시오적분형을유도하시오유도하시오유도하시오(10).
