우석대학교 에너지전기공학과

공업수학 I

강의 (26)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

3-8. 3차원 공간에서의 직선과 평면 3-8-1. 직선의 벡터 방정식  그림에서 𝑝₁, 𝑝₂의 위치벡터를 각각 𝑟 ₁, 𝑟 ₂ 라 하고, 임의의 점𝑝의 위치 벡터를 𝑟 이라 하면,  변위벡터: 𝑎 = 𝑟 ₂ − 𝑟 ₁ 직선 𝑙 의 방향벡터  벡터 𝑎 와 𝑟 − 𝑟 ₁ (𝑜𝑟 𝑟 − 𝑟 ₂) 는 일 직선상에 위치함. 𝑟 − 𝑟 ₁ = 𝑡 ∙ 𝑎 𝑜𝑟 𝑟 − 𝑟 ₂ = 𝑡 ∙ 𝑎 (𝑡 = 실수)  직선 𝑙 의 벡터방정식: 𝑟 = 𝑟 ₁ + 𝑡 ∙ 𝑎 𝑜𝑟 𝑟 = 𝑟 ₂ + 𝑡 ∙ 𝑎 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 그림에서 직선 𝑙 은 점 𝑝의 자취를 수학적으로 표현한 것.  직선 𝑙 의 벡터 방정식을 성분으로 표시하면,  직선의 매개변수 방정식: 𝑡 = 𝑥−𝑥1 𝑎₁ = 𝑦−𝑦₁ 𝑎₂ = 𝑧−𝑧₁ 𝑎₃ 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑟 = 𝑟 ₁ + 𝑡 ∙ 𝑎 𝑟 = 𝑟 ₁ + 𝑥−𝑥1 𝑎₁ ∙ 𝑎  직선 𝑙 의 대칭방정식: 𝑥−𝑥1 𝑎₁ = 𝑦−𝑦₁ 𝑎₂ = 𝑧−𝑧₁ 𝑎₃ 𝑟 ₁ 𝑟 𝑦 𝑥 𝒂 0 𝑟 ₂ 𝑝1 𝑝₂ 𝑝 𝑧 _{그림 (3-8-1)}

예시) 3차원 공간에 위치한 직선 중 다음의 조건을 만족하는 직선의 벡터 방정식을 구하라. (1) 두 점 𝑝₁ 1,2, 3 과 𝑝₂ −1,2, 4 를 지난다.  주어진 두 점으로 부터 방향벡터 𝑎 구함.  두 점의 위치벡터 𝑟 ₁ & 𝑟 ₂ 𝑟 ₁ = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 & 𝑟 ₂ = −𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘  방향벡터: 𝑎 = 𝑟 ₂ − 𝑟 ₁ = −𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘 − 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 = −2𝑖 + 𝑘  직선의 대칭 방정식: 𝑡 = 𝑥−𝑥1 𝑎₁ = 𝑦−𝑦₁ 𝑎₂ = 𝑧−𝑧₁ 𝑎₃  점 𝑝₁ 1,2, 3 과 𝑎 에 대해서 𝑡 = 𝑥−1 −2 = 𝑧−3 1 , 𝑦 = 2  점 𝑝₂ −1,2, 4 과 𝑎 에 대해서 𝑡 = 𝑥+1 −2 = 𝑧−4 1 , 𝑦 = 2  직선의 벡터방정식: 𝑟 = 𝑟 ₁ + 𝑡 ∙ 𝑎 𝑜𝑟 𝑟 = 𝑟 ₂ + 𝑡 ∙ 𝑎 𝑟 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 + 𝑧 − 3 ∙ −2𝑖 + 𝑘 = −2𝑧 + 7 𝑖 + 2𝑗 + 𝑧𝑘 𝑜𝑟 𝑟 = −𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘 + 𝑧 − 4 ∙ −2𝑖 + 𝑘 = −2𝑧 + 7 𝑖 + 2𝑗 + 𝑧𝑘 3-8. 3차원 공간에서의 직선과 평면 𝑟 1 𝑟 𝑦 𝑥 𝒂 0 𝑟 2 𝑝1 𝑝2 𝑝 𝑧

(2) 한 점 𝑝₁ 1,0, 3 지나고, 방향벡터 𝑎 = 1, 4, −1 .  주어진 한 점 𝑝₁ 1, 0, 3 으로 부터 위치 벡터 𝑟 ₁.  𝑟 ₁ = 𝑖 + 3𝑘  방향벡터: 𝑎 = 𝑖 + 4𝑗 − 𝑘  직선의 대칭 방정식: 𝑡 = 𝑥−𝑥1 𝑎₁ = 𝑦−𝑦₁ 𝑎₂ = 𝑧−𝑧₁ 𝑎₃  점 𝑝₁ 1,0, 3 과 𝑎 에 대해서 𝑡 = 𝑥−1 1 = 𝑦−0 4 = 𝑧−3 −1 𝑡 = 𝑥 − 1 = 𝑦 4 = −𝑧 + 3  직선의 벡터방정식: 𝑟 = 𝑟 ₁ + 𝑡 ∙ 𝑎 𝑟 = 𝑖 + 3𝑘 + 𝑥 − 1 ∙ 𝑖 + 4𝑗 − 𝑘 = 𝑥𝑖 + 4 𝑥 − 1 𝑗 + −𝑥 + 4 𝑘 𝑜𝑟 𝑟 = 𝑖 + 3𝑘 + −𝑧 + 3 ∙ 𝑖 + 4𝑗 − 𝑘 = −𝑧 + 4 𝑖 + 4 −𝑧 + 3 𝑗 + 𝑧𝑘 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑟 = 𝑥𝑖 + 4 𝑥 − 1 𝑗 + −𝑥 + 4 𝑘 𝑥 4 𝑥 − 1 −𝑥 + 4 𝑟 1 𝑦 𝑥 𝒂 0 𝑝1 𝑧

3-8. 3차원 공간에서의 직선과 평면 3-8-2. 평면의 벡터 방정식  공간에서 한 점 𝑝₁ 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁ 을 지나면서 어떤 벡터 𝑛 에 수직인 평면은 오직 하나.  3차원 공간에서 평면을 지나는 한 점과 그 평면에 수직한 벡터를 알면, 평면이 정해짐.  이 수직한 벡터를 법선 벡터라 함.  그림 (3-8-2) 는 3차원 공간에서의 평면을 표시하고 있음.  그림에서 점 𝑝₁ 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁ 과 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 위치벡터를 각각 𝑟 ₁ 과 _{𝑟 이라 하면,} 변위벡터: 𝑎 = 𝑟 − 𝑟 ₁ = 𝑥 − 𝑥₁ 𝑖 + 𝑦 − 𝑦₁ 𝑗 + 𝑧 − 𝑧₁ 𝑘  변위 벡터𝑎 를 포함한 평면과의 법선 벡터 𝑛 은 평면에 수직이므로, 𝑟 ₁ − 𝑟 ∙ 𝑛 = 0  법선 벡터의 성분을 𝑛 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘 라 하면, 𝑟 ₁ − 𝑟 ∙ 𝑛 = 0 𝑥 − 𝑥₁ 𝑖 + 𝑦 − 𝑦₁ 𝑗 + 𝑧 − 𝑧₁ 𝑘 ∙ 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘 = 0 3-8. 3차원 공간에서의 직선과 평면 𝑟 ₁ 𝑟 𝑦 𝑥 𝒂 0 𝑛 𝑝₁ 𝑝 𝑧 그림 (3-8-2) 평면의 벡터 방정식

예시1) 공간에서 한 점 𝑝₁ 1, 2, 3 을 지나고, 벡터 𝑛 = 3𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘 에 수직인 평면의 방정식.  점 𝑝₁ 1, 2, 3 과 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 변위벡터  점 𝑝₁ 1, 2, 3 과 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 위치벡터 를 각각 𝑟 ₁ 과 𝑟 이라 하면, 𝑟 ₁ = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 & 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 ∴ 변위벡터: 𝑎 = 𝑟 − 𝑟 ₁ = 𝑥 − 1 𝑖 + 𝑦 − 2 𝑗 + 𝑧 − 3 𝑘  평면의 벡터 방정식  𝑟 − 𝑟 ₁ ∙ 𝑛 = 0 𝑥 − 1 𝑖 + 𝑦 − 2 𝑗 + 𝑧 − 3 𝑘 ∙ 3𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘 = 0 ∴ 3 𝑥 − 1 + 4 𝑦 − 2 − 2 𝑧 − 3 = 0  위 식을 정리하면, 3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 5 ※ 𝑁𝑜𝑡𝑒: 공간에서 한 점과 법선 벡터가 주어지면 평면이 결정된다. 𝑟 ₁ 𝑟 𝑦 𝑥 𝒂 0 𝑛 𝑝₁ 𝑝 𝑧

 공간에서 세 점을 지나는 평면  공간에서 한 점 또는 두 점을 지나는 평면은 무수히 많음 그림 (3-8-3)  세점을 지나는 평면은 유일하게 하나로 결정될 수 있을까? 세 점 중 두 점으로는 수직한 법선의 벡터를 얻을 수 있음. ∴ 한 점과 법선 벡터가 주어진 경우와 동일  그림 (3-8-4) 는 3차원 공간에서의 세 점과 평면을 표시하고 있음.  점 𝑝₂ 와 𝑝₃ 의 변위 벡터로 부터 법선 벡터 𝑛 을 구함: 𝑟 ₃ − 𝑟 ₂ ∙ 𝑛 = 0 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 위 식을 만족하는 평면은 무수히 많음. 3-8. 3차원 공간에서의 직선과 평면 유일한 평면이 결정됨 𝑟 ₂ 𝑟 ₃ 𝑦 𝑥 𝒂 0 𝑛 𝑝2 𝑝₃ 𝑧 그림 (3-8-4) 𝑝₁

∙

· ·

예시2) 다음 세 점 𝑝₁ 1, 0, −1 , 𝑝₂ 2, 1, 0 , 𝑝₃ 1, 4, 1 을 지나는 평면의 방정식을 구하라.  점 𝑝₁ 1, 0, −1 , 𝑝₂ 2, 1, 0 , 𝑝₃ 1, 4, 1 에 대응하는 위치벡터를 𝑟 ₁, 𝑟 ₂, 𝑟 ₃ 라 하면,  𝑟 ₁ = 𝑖 − 𝑘 , 𝑟 ₂ = 2𝑖 + 𝑗 , 𝑟 ₃ = 𝑖 + 4𝑗 + 𝑘  점 𝑝₁과 𝑝₂의 변위벡터 𝑣 𝑣 = 𝑟 ₂ − 𝑟 ₁ = 2𝑖 + 𝑗 − 𝑖 − 𝑘 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘  점 𝑝₂과 𝑝₃의 변위벡터 𝑢 𝑢 = 𝑟 ₃ − 𝑟 ₂ = 𝑖 + 4𝑗 + 𝑘 − 2𝑖 + 𝑗 = −𝑖 + 3𝑗 + 𝑘  평면상의 두 벡터 𝑢 와 𝑣 의 벡터적을 구하면,  𝑢 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 −1 1 3 1 𝑘 ₁ 1 = 3𝑖 + 𝑗 − 𝑘 − 3𝑘 − 𝑗 + 𝑖

·

 두 벡터 𝑢 와 𝑣 와 같은 평면상의 점을 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 라 하고, 위치벡터를 𝑟 이라 하면,  점 𝑝 와 𝑝₃의 변위벡터 𝑎 𝑎 = 𝑟 − 𝑟 ₃ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 − 𝑖 + 4𝑗 + 𝑘 = 𝑥 − 1 𝑖 + 𝑦 − 4 𝑗 + 𝑧 − 1 𝑘  법선 벡터 𝑛 과 위치 벡터 𝑎 는 수직관계  𝑎 ∙ 𝑛 = 𝑥 − 1 𝑖 + 𝑦 − 4 𝑗 + 𝑧 − 1 𝑘 ∙ −2𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 = 0 ∴ −2 𝑥 − 1 − 2 𝑦 − 4 + 4 𝑧 − 1 = 0 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, −𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −3 3-8. 3차원 공간에서의 직선과 평면 𝑎 ∙ 𝑛 = 0 𝑟 ₁ 𝑟 2 𝑦 𝑥 𝒗 0 𝑛 𝑝₁ 𝑝2 𝑧 𝑝3 𝑟 ₃ 𝒖 𝑝 𝑟 𝒂 평면의 벡터방정식

공업수학 I 기말시험

6월20일 (수) 2~3교시

※ 취업준비를 위한 특강 ※

6월22일 (금) 2~3교시