미분적분학_벡터

기초교육학부

미분적분학_벡터

김태수 교수님

[1강]

좌표계를 도입하고 거리를 측정할 수 있다.

학습목표

벡터를 정의하고 성질에 대하여 학습한다.

내적(점적)의 정의하고 활용할 수 있다.

벡터곱을 정의하고 그 성질을 학습한다.

고정된 점 O(원점)을 정하고, x축, y축, z축의 좌표축을 원점 O에서 서로 수직으로!!

벡터 - 1

3차원 좌표계

세 좌표축들 ⇨ 세 좌표평면을 결정.

세 좌표평면

⇨ 8개로 공간을 분할 (팔분공간)

제1팔분공간 : 양의 축들에 의하여 결정.

벡터 - 1

3차원 좌표계 및 거리

점 P : 세 실수의 순서쌍 (a, b, c), a, b와 c : “P의 좌표들”

점 P(a, b, c) : 직육면체를 결정, 점 Q : xy-평면 위의 P의 사영

 

 ^{, , | , , R} ^R3

R R

R   x y z x y z 

벡터 - 1

3차원 좌표계 및 거리

3차원 거리공식

두 점 과

사이의 거리

) , ,

( _{1 1 1}

1 x y z

P P₂(x₂, y₂, z₂)

 _{2 1} ² _{2 1} ² _{2 1}²

2

1P x x y y z z

P      

벡터 - 1

벡터의 정의

벡터 : 크기와 방향을 가진 양

변위벡터 v : 시작점 A(꼬리) 와 종점 B(끝), v  AB

If 벡터 는 와 길이와 방향이 같다면,

⇨ 는 같다 (동치),

CD

u v

v

u ^와 u  v

영벡터는 0으로 나타내고, 길이= 0.

⇨ 영벡터 : 특정한 방향을 가지지 않는 유일한 벡터.

벡터 - 1

벡터의 정의

벡터합의 정의

의 시점을 의 종점에 위치한 벡터

v u

⇨ 합 : 의 시점으로부터 의 종점으로의 벡터

v u 

v u

벡터 - 1

결합 벡터

스칼라곱의 정의

: 스칼라, : 벡터,  스칼라곱 i) 길 이 : 의 배,

c

ii) 방 향 :  같은 방향,

 반대 방향.

v

 0 c v

 0 c

|

| c

만약 c  0 이거나 v  0 이면 cv  0 v c

벡터 - 1

결합 벡터

평행 : 두 벡터의 하나가 다른 것에 스칼라 배 음 : 길이는 같고, 반대방향 v  (1)v

두 벡터의 차 : u v u( v )

벡터 - 1

벡터의 성분

If 벡터 의 시점 = 직교좌표계의 원점,

⇨ 의 종점 : 혹은 형태의 좌표

⇨ 위 좌표를 “ 의 성분 ” 혹은

) ,

(a₁ a₂ a

a (a₁, a₂, a₃) a

2 1, a

 a

a a  a₁, a₂, a₃

벡터 - 1

점 ^{A }









1 2

1 2

1

2 x ,y y ,z z x

AB    

: 점 P 의 위 치 벡 터

OP

벡터의 성분

벡터 - 1

벡터의 성분

2 3 2

2 2

1 a a

a  



3차원 벡터 의 길이 : a

합(차)과 스칼라곱

3 3

2 2

1 1

3 2 1 3

2

1, a , a b ,b ,b a b , a b , a b

a     

3 2

1 3

2

1, a , a ca , ca , ca a

c 

3 2 1,a ,a

 a a

벡터의 성질

가 벡터이고, 가 스칼라일 때, a

b b

a  

. 1

c b

a, , c , d

c b

a c

b

a(  )  (  ) 

. 2 a

a0 

.

3 4. a (a)  0

^ab^{ ca cb}

c .

5 6. (c  d)a  ca da

) ( )

( .

7 cd a  c da 8. 1a  a

벡터 - 1

표준기저 벡터

의 표준기저벡터

V3

1 , 0 , 0

, 0 , 1 , 0

, 0 , 0 ,

1  

 j k

i

k j

i a

3 2

1

3 2

1

3 2

1 3

2 1

1 , 0 , 0 0

, 1 , 0 0

, 0 , 1

, 0 , 0 0

, , 0 0

, 0 , ,

,

a a

a

a a

a

a a

a a

a a





















단위벡터 : 길이가 1인 벡터.

이면 와 같은 방향을 가지는 단위벡터 :

0

a  a

a /

1

c u  ca c

⇨ 방향 : 라 두면, ( 가 양수임 )

⇨ 크기 :    1 a 1

a a a

u c c

a a a u  a1 

벡터 - 1

일과 내적

일정한 힘이 어떤 다른 방향을 가리키는 벡터 인 경우를 가정.

힘이 물체를 P 에서 Q 로 이동시킨다면 변위벡터 :

⇨ 힘 와 변위 인 두 벡터가 생긴다.

⇨ 에 의한 일 =

= 움직이는 방향으로 작용한 힘의 크기

 PR F

 PQ D

F D

F

 cos

 F PS





D 

 W

벡터 - 1

일과 내적

정의

영벡터가 아닌 두 벡터a와 b의 내적(점적) :

 cos b

a b

a 

여기서 : ^a 와^b 사이의 각 ( )0 

혹은 가  으로 정의.

a b 0 ab  0

벡터 - 1

성분형으로의 내적

성분형의 두 벡터 a  a₁,a₂, a₃ , b  b₁,b₂,b₃

b a b

a

b a b

a b

a

















2

cos 2

2 2

2 2

2 





2

1 a b a b

b

a    

 3 3 ²

2 2 2 2

1 1 2

3 2 2 2 1 2 3 2

2 2

1 ( ) ( ) ( )

2

1 a a a b b b  a b  a b  a b



3 3 2

2 1

1b a b a b

a  



⇨ 코사인 제2정리에 의하여

내적의 성질

가 의 벡터이고, 가 스칼라이면 c

b

a, , V₃ c

2

.

1 aa  a a b b

a  

. 2

c a b a c

b

a(  )    

. 3

) ( )

( )

( .

4 ca b  c ab  a cb 0

.

5 0a 

벡터 - 1

염력과 벡터곱

렌치에 힘을 가해 볼트를 조일 때, 염력(torque)이라 불리는 회전효과 발생!

염력의 크기는 두 가지에 의존 !!

F

r

⇨ 볼트의 축으로부터 힘이 작용하는 점까지 거리, 위치벡터 의 거리 = r

⇨ 에 수직한 방향으로 힘 의 스칼라 성분, 이것이 회전을 유발시키는 성분,

가 벡터 과 의 사이각일 때 

r

 ^{r F sin}

염력 벡터의 크기 = 이 둘의 곱으로 정의! τ  r F sin



염력 벡터의 방향 = 회전축 방향.

F





τ  sin  

이 오른쪽으로 조이게 된 볼트가 움직이는 방향의 단위벡터,

n

염력의 정의

벡터 - 1

정의

가 영 아닌 3차원 벡터일 때, 의 벡터곱 :

b a ^와

: 둘 다에 수직인 단위벡터, 방향은 오른손 법칙에 의해 주어진다.

⇨ 오른손의 손가락을 로 각 을 회전시킬 때,

 엄지손가락은 의 방향.

n

   



b a 와

가 a ^와b 의 사이각





b

a  sin



b a 와

b a 와



n

염력과 벡터곱

중 하나가  으로 정의.

b

a ^와 0 ab  0

가 의 스칼라 배이기 때문에 과 같은 방향.

b

a n n

: 에 모두 직교.

b

a a ^와b

벡터 - 1

염력과 벡터곱

두 개의 영 아닌 벡터 가 평행 = 사이각이 0 혹은

각 경우에 이고, 그래서

이것을 염력으로 이해 해보면, 손잡이 방향으로 렌치를 당기거나 밀면(그래서 와 이 평행)  염력은 생기지 않는다.

b

a ^와 (180⁰)

0

sin  ^{ab  0}

F r

영 아닌 두 벡터 a ^와b 가 평행할 필요충분조건 = ab  0

벡터곱의 성질

가 벡터이고 가 스칼라이면

c b

a, , c

a b b

a   

. 1

c a b a c

b

a(  )    

. 3

) ( )

( )

( .

2 ca b  c ab  a cb c

b c a c

b

a )     (

. 4

벡터 - 1

벡터곱의 성질

벡터곱의 길이의 기하학적 해석 :

가 같은 시작점을 가지는 유향선분을 나타낸다면,

 밑변 , 높이 , 넓이 를

벡터곱 의 길이 = 에 의하여 결정되는 평행사변형의 넓이.

b

a a 와b b

a ^와

a b sin ^{A  a}



^ 

가지는 평행사변형을 결정.

벡터 - 1

성분형으로의 벡터곱

가 성분의 성분 형태

b

a 와 a  a₁i a₂ja₃k, b  b₁i b₂jb₃k )

( )

( ₁i ₂j ₃k ₁i ₂j ₃k

b

a  a a a  b b b k i j

i i

i    

 a₁b₁ a₁b₂ a₁b₃

k j j

j i

j    

a₂b₁ a₂b₂ a₂b₃

k k j

k i

k    

a₃b₁ a₃b₂ a₃b₃



 

 





1 2 2

1 3 1 1

3 2

3 3

2b a b , a b a b , a b a b

a   



3 2

1

3 2

1 2

1

2 1

3 1

3 1

3 2

3 2

b b

b

a a

b a b

a a

b b

a a

b b

a

a i j k

k j

i   



벡터 - 1

곱 : 벡터 의 “스칼라 삼중적”

스칼라 삼중적 크기의 기하학적 의미 :

⇨ 벡터 에 의하여 결정되는 평행육면체의 부피.

) (b c

a  a, 와b c c

b a, 와

⇨ 평행사변형 밑변의 넓이 :

⇨ 평행육면체의 높이 : ( 는 사잇각)

c b

 A

 ^a와bc

 cos

 a h

⇨ 평행육면체의 부피 : V  Ah  bc a cos  a(bc)

스칼라 삼중적

벡터 - 1

가 성분형태로 주어지면

c b a, ,

k j

i c

k j

i b

k j

i

a  a₁ a₂  a₃ ,  b₁ b₂ b₃ ,  c₁ c₂ c₃

3 2

1

3 2

1

3 2

1

2 1

2 1

3 3

1

3 1

2 3

2

3 2

1

2 1

2 1

3 1

3 1

3 2

3

) 2

(

c c

c

b b

b

a a

a

c c

b a b

c c

b a b

c c

b a b

c c

b b

c c

b b

c c

b b











 



  







 b c a i j k

a

삼중적

두 점 사이의 거리 :

표준기저벡터를 이용한 벡터 표현 : 내적(점적)의 정의 :

스칼라삼중적 :

학습정리

외적(벡터곱)의 정의 :



 

 



2

1P x x y y z z

P      

k j

i

a  a₁  a₂  a₃

3 3 2

2 1

cos  a1b  a b  a b



b a b  a





b

a  sin



) (b c a 