9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 (Vectors in 2-Space and 3-Space)

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 (Vector Differential Calculus.

Grad, Div, Curl)

z벡터미분학은 고체역학, 유체의 흐름, 열전도, 정전기학 등에서 유용한 도구.

z벡터함수와 벡터장이 항공기, 레이저 발생기, 열역학 시스템, 또는 로봇과 같은 시스템의 기본.

z내용 : 벡터의 기본적인 연산, 벡터미분, 곡선상으로의 응용

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터

z 스칼라(Scalar) : 적당한 측도를 단위로 하여 그것의 크기에 의하여 결정되는 양 Ex. 길이, 온도, 전압

z 벡터(Vector) : 크기와 방향에 의하여 결정되는 양 Ex. 힘, 속도

• 벡터의 표시: 방향성분(Directed Line Segment)을 포함하는 화살표로 표기

•

• 길이가 1인 벡터를 단위벡터(Unit Vector)라 함

노름) 노름(유클리드

또는 크기) 길이(또는

의 :벡터 a

9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터 (Vectors in 2-Space and 3-Space)

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{두 벡터의 상등}

z 두 벡터 사이의 관계

9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터

상등이다. 벡터와

본래의 벡터는

평행이동한

같다.

길이가 방향과

의 벡터

두

같다.

가 벡터

두

⇒

⇒ a,b

b a,

상등관계 길이는 같지만 방향이 다른 벡터

방향은 같지만 길이가 다른 벡터

길이와 방향이 모두 다른 벡터

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{벡터의 성분}

9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터

( ) ( )

[ _{1 2 3}]

1 2 3 1 2 2 1 2 1

2 2 2 1

1 1

,

,

System Coordinate

Cartesian

, a , a a z

z a y y a x x a

,z ,y x Q:

,z ,y x P:

x, y, z

=

⇒

−

=

−

=

−

=

⇒

a

a

차이 좌표상의 개의

세

성분 의 벡터 갖는 을 끝점

와 시작점

)에서 직교좌표계(

2 3 2 2 2

1 a a

a + +

=

⇒ a

성분 정리와 피타고라스의

z 위치벡터(Position Vector)

( )

벡터 인 끝점이 원점이고

시작점이

) (

의 점

직교좌표계에서

A x, y, z

A:

⇒

r Vector Position

위치벡터

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z 순서를 갖는 실수로 된 삼중수로서의 벡터

• 고정된 직교좌표가 주어지면 각 벡터는 해당하는 성분으로 된 순서를 갖는 삼중 수로 유일하게 결정된다.

• 실수로 이루어진 순서를 갖는 삼중수에 대하여 정확하게 한 개의 벡터가 대응된다.

• 원점은 방향이 없고 길이가 영인 영벡터(Zero Vector)에 대응된다.

z 두 벡터의 합

z 스칼라곱(실수에 의한 곱)

9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터

[a1, a2, a3] =[b1, b2, b3] ⇒ + =[a1 +b1, a2 +b2, a3 +b3]

= b a b

a 와 의합

벡터 두

[ ]

[ _{1 2 3}]

3 2 1

, ca , ca ca c

, a , a a c

c

=

⇒

= a

a

스칼라곱 대하여

에 벡터

실수), 는

(여기서 스칼라

임의의

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{벡터합의 기본성질}

z 스칼라곱의 기본성질

9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터

( ) ( ) ( )

( ) (u v ) w u (v w) ( ) ( ) a ( )a 0

a a 0 0 a a

b b a

=

− + +

+

= + +

= +

= + +

= +

d b

c a

결합법칙 교환법칙

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )a a a ( ) a a

a a

b a b a

= +

= +

= +

= +

1

d k

c k c b

ck k

c c c

c c

a

( )

( ) ( )a a 0 a

−

=

−

= 1

0

b a

의하여 기본성질에

스칼라곱의 벡터합과

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.1 2차 및 3차원 공간에서의 벡터

z ^단위벡터 : 직계좌표계에서 각 축의 양의 방향에 놓인 단위벡터

z

k j, i,

[ ]^{, j} [ ]^{, k} [ ] ^a [ ] ^{i j k}

i= 1, 0, 0 = 0, 1, 0 = 0, 0, 1 ⇒ = a₁, a₂, a₃ =a₁ +a₂ +a₃

(StandardBasis)

Basis

3 3

3 3

표준기저 :

) 기저(

의

벡터 세 일차독립인

차원

최대수 벡터의

일차독립인

벡터공간

k j,

⇒ i,

⇒

⇒

⇒

=

⇒

R R

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.2 내적(점곱)

z ^{벡터의 내적}

: 두 벡터의 내적(Inner Product)또는 점곱(Dot Product)는 두 벡터의 길이와 두 벡터 가 이루는 사잇각의 코사인 값의 곱이다.

• 성분에 의한 내적의 표기

•

• 영벡터는 모든 벡터에 직교

9.2 내적(점곱)(Inner Product(Dot Product))

( )

( )

⎩⎨

⎧

=

=

≠

= ≠

• a 0 b 0

0 b 0, a b

b a

a 0 또는

cosγ

[^a₁^{, a}₂^{, a}₃] =[^b₁^{, b}₂^{, b}₃] ⇒ • =^a₁^b₁ +^a₂^b₂ +^a₃^b₃

= b a b

a ,

직교벡터 는

와

) (

는 벡터 와 벡터

a b a b

b

a• =0 ⇒ 직교 Orthogonal ⇒ b

a•

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.2 내적(점곱)

z ^직교성

영벡터가 아닌 두 벡터 내적이 영이 될 필요충분조건은 두 벡터가 서로 직교하는 것이다.

z 길이와 각도

•

•

a a a a

a a a a b

a= ⇒ γ =0^o ⇒ • = cos0^o = ² ⇒ = •

b b a a

b a b

a b b a

a b

a • •

= •

= •

⇒

=

• cosγ cosγ

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{내적의 일반적 성질}

9.2 내적(점곱)

[ ] ( )

( )

( )

( )

2

7.

) (

6.

) Schwarz

(

5.

) (

4.

) (

0

0 3.

) (

. 2

. 1

2 2 2

2

2 1

2 1

2 1

등식 평행사변형 삼각부등식

부등식 분배법칙

성질 때 양의

일

대칭성 선형성

대하여 에

스칼라(실수) 와

벡터 임의의

b a b

a b a

b a b a

b a b a

c b c a c b a

0 a a

a a a

a b b a

c b c a c b a

c b, a,

+

=

− + +

+

≤ +

≤

•

• +

•

=

• +

⎩⎨

⎧

=

=

•

≥

•

•

=

•

• +

•

=

•

+q q q

q

, q q

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

9.3 외적(벡터곱)(Vector Product(Cross Product))

9.3 외적(벡터곱)

z ^{벡터의 외적}

•

•

™ 성분에 의한 내적의 표기

⎩⎨

⎧ × =

=

× 방향:오른손 법칙에의하여결정( 와 동시에수직인벡터) :

크기

b a, b

a b b a

a sin

γ

b a×

, b a b 0

a 가 같은방향 또는 반대방향이거나,두 벡터중 하나가 영벡터: × = 경우

이외의 그

[ ] [ ] [ _{2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1}]

3 2 1

3 2 1 3

2 1 3

2

1 a b a b , a b ab , a b a b

b b b

a a a , b

, b b , a

, a

a = ⇒ × = = − − −

=

k j i b a b

a ,

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{벡터곱의 일반 성질}

9.3 외적(벡터곱)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ^{(결합법칙을만족하지않음)}

만족) 을

반교환법칙 않고

만족하지 (교환법칙을

만족) (분배법칙을

4.

tative) (Anticommu

3.

. 2

. 1

c b a c b a

b a a b

c b c a c b a

c a b a c b a

b a b a b a

×

×

≠

×

×

×

−

=

×

× +

×

=

× +

× +

×

= +

×

×

=

×

=

×

b a

l l

l

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.3 외적(벡터곱)

z ^{스칼라 삼중적}

z 삼중적의 성질과 응용

• 내적연산과 외적연산을 서로 바꾸어도 불변이다.

• 기하학적 해석(Geometric Interpretation)

• 일차독립성(Linear Independence)

[ ] [ ] [ ]

( ) ( )

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1 3

2 1 3

2 1

:

Product Triple

Scalar

c c c

b b b

a a a

, c , c c , b

, b b , a

, a a

=

×

•

=

=

=

=

c b a c b a

c b

a

) 삼중적(

스칼라 의

, ,

벡터 세

(a b c)=a•(b×c) (= a×b)•c

( )^{는 벡터 에 의하여결정되는 평행육면체의체적이다.}

절대값 a b c a, b, c

아닌것이다.

영이

삼중적이 스칼라

벡터들의 이

필요충분조건은 일차독립일

벡터가 세

공간상의 R3

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수

z

z

z 함수의 정의역 ⇒ 공간내의 영역: 3차원 공간, 곡면, 곡선

z 벡터장(Vector Field) ⇒ 주어진 영역에서의 벡터함수: 곡면, 곡선

z 스칼라장(Scalar Field) ⇒ 주어진 영역에서의 스칼라함수: 온도장, 기압장 z 벡터함수와 스칼라함수의 기호 표기

9.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수

(Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives)

( )P [v ( ) ( ) ( )P v P v P ]

P에서의 (Vector Function): v= v = ₁ , ₂ , ₃ 점

임의의 벡터함수

( )P f f

P에서의스칼라함수( ): =

점

임의의 Scalar Function

(^{x, y, z})=[^v1(^{x, y, z}) (, ^v2 ^{x, y, z}) (, ^v3 ^{x, y, z})]

v

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수

z 수렴(Convergence)

•

•

z 연속성

•

•

( )

( ) ( )

( )n n

n n n

n

, , n

a a

a a a

a a

∞

→

∞

→

=

=

−

=

lim Vector

Limit

0 lim

2 1 Converge

: ) 극한벡터(

성립할때 이

존재하여 가

벡터 한 대하여 에

, 무한수열 :

)한다 수렴(

은 벡터열

L

( ) ( ( ) )

( )

( ) ^이성립

대하여 에

벡터함수 의

실변수 정의된

무방함)에서 제외되어도

는 부근(

갖는다.

을 극한 때 접근할 로

가 는 벡터함수

0 lim

lim

0 0

0 0

0

=

−

⇔

=

→

→

l v

v l

v l

v

t

t t

t t

t t t t

t t t t

( )

( )^{가 부근( 자신을 포함하여도 무방함)에서정의되고} ( ) ( )^을만족

)이다 연속(

에서 는

벡터함수

lim

Continuous

0 0

0

0

0

t t

t t

t

t t t

t

t v v

v v

=

⇔

=

→

( )t =[v₁( ) ( ) ( )t , v₂ t , v₃ t ]^가 t₀^에서연속 ⇔ ^성분함수 v₁( ) ( ) ( )t , v₂ t , v₃ t ^가 t₀^에서연속 v

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수

z 벡터함수의 도함수

z 벡터미분공식

( )_{가 에서미분가능( )} ( ) ( ) ( ) _{가 수렴}

벡터함수 t

t t

t t t

t t Δ

− Δ

= +

⇔ Δ→

v v v

v Differentiable ' lim0

( )^t [^v1'( )^t , ^v2'( )^t , ^v3'( )^t ] : ( )^t [^v1( ) ( ) ( )^t , ^v2 ^t , ^v3 ^t ]^의도함수

' = v =

v

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) (' ' ) ( ' ) ( ')

. 5

' '

'

. 4

' '

'

. 3

' ' '

. 2

' ' . 1

w v u w v u w v u w v u

v u v u v u

v u v u v u

v u v u

v v

+ +

=

× +

×

=

×

• +

•

=

•

+

= +

=c c는 상수 c

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{벡터함수의 편도함수}

9.4 벡터함수와 스칼라함수. 장(Field). 도함수

[ ]

k j

v i k

j v i

k j i v

m l m

l m

l m l l

l l

l t t

v t

t v t

t v t

t t

v t

v t

v t

v v v v v v

∂

∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

∂

⇒ ∂

+ +

=

=

3 2 2

2 1

2 2

2 3 1

3 2 1 3 2 1

,

, ,

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림

9.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림

(Curves. Arc Length. Curvature. Torsion)

z 미분기하학(Differential Geometry) : 공간곡선이나 곡면을 연구하는 학문

상대성이론, 항곡, 지리학, 측지학, 기존 공학설계 및 컴퓨터를 이용한 설계, 역학 등의 분야에서 중요한 역할을 한다.

z 매개변수표현법(Parametric Representation)

공간에서 움직이는 물체의 경로인 곡선을 표현

( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )i ( )j ( )k r t = x t , y t , z t = x t + y t +z t

:

( ):^{공간곡선상의임의의점에서의접선벡터(}Tangent Vector⁾ ' t

r

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림

z ^{곡선의 접선}

•

•

•

( )

( ) [ (^{t t}) ( )^t ]

t t

L P, Q

Q C

P

P C

t r r

r

Line Tangent

− Δ Δ +

=

⇒

→ Δ

lim 1 '

0

극한 의 직선 지나는 를

대해 에 점 상의 곡선

근접한 에

점

에서의 점

한 위의

곡선 접선

( ) ( )

벡터 접선 단위 의 곡선

벡터 접선 의 곡선 에서의 점

:

' ' 1

: ' '

C

C P

t t

r r u r 0

r

=

⇒

⇒

≠

( ) '

:

P에서의곡선C의접선벡터방정식 q w =r+wr 점

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{곡선의 길이}

9.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ =

•

=

∫

l C

b

a

r r r

r' ' '

: 의 길이

z 곡선에서의 호의 길이

( ) _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ =

•

=

∫

s

t

a

' ~

~ ' ' t

:

r

r r

길이 r 호의

( )^{2 2 2 2 2 2 2 2}

2

' ds d d dx dy dz

dt dz dt

dy dt

t dx dt

d dt d dt

ds ⎟ ⇒ = • = + +

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

•

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

∗⎛ r r r r r

( ) ( ) ^단위벡터

길이 호의 매개변수로서의

: s '

' ' 1

r u

r r

u= =

∗

사용 s 를

대신

변수t s

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z 역학에서의 곡선. 속도와 가속도

•

•

•

z 접선가속도와 법선가속도

• 접선가속도 벡터(Tangential Acceleration Vector) : 경로와 접선방향

• 법선가속도 벡터(Normal Acceleration Vector) : 경로와 수직방향

9.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림

( )t :움직이는 물체의 경로 C r

( )t r'( )t : 곡선 C의 접선벡터인 속도벡터(Velocity Vector) v =

( )t v'( )t r ''( )t : 속도의 도함수인 가속도벡터(Acceleration)

a = =

atan

anorm norm

tan a a a = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )^{에수직 법선가속도벡터} ( ) ^{접선가속도벡터}

는 : , :

,

2 2 2

2 2 2

dt s s d dt

ds ds s d

ds d

dt s s d dt

ds ds d dt s ds dt

d dt t d dt

s ds dt

ds ds d dt t d

u u u u

u u v u

a r u

v r

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒ ⎛

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

=

=

∗

tan norm

tan ,

v a a a

v v

v

a a = −

•

= •

∗

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.5 곡선. 호의 길이. 곡률. 비틀림

z 곡선의 곡률과 비틀림

•

•

( ) ( )

( ) ( )^s ( )^s ( )^s

(

)

s P

s P

C s

=

=

= ' ''

:

) Curvature (

r u

u r

κ

κ 변화율

의 단위접선벡터

점에서의

점에서의 의

곡선 표현되는

로 곡률

( )

( ) ( ) ( )s ( ) ( )s s C

P

P C

C

' s

, ' s

)

' )(

Plane Osculating

(

:

s (Torsion)

P

b p b

u u

•

−

=

= τ

τ

τ

이탈정도 평면에서의

가 곡선 점에서

변화율 점에서의

상의 의

평면 구성된 의해

에 와 벡터 접촉평면

점에서의

상의 비틀림

( )

( )

Vector) Normal

Principal (Unit

: 1 '

종법선벡터 단위

주법선벡터 단위

pb u u u

b

u p

×

=

×

=

=

κ κ

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.6 미적분학의 복습 : 다변수함수

z ^연쇄법칙

9.6 미적분학의 복습 : 다변수함수

(Calculus Review : Functions of Several Variables)

( ) ( ) ( )

( )

v z z w v y y w v x x w v

w u

z z w u y y w u x x w u w

v u z v u y v u x f w

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

=∂

∂

∂

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

⇒ ∂

=

,

, , , , ,

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

( )

( ) ( )

( ) ( )

.

, , ,

,

.

, ,

, :

, , , :

.

1

,

, ,

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

만족한다 을

편미분값들은 점에서

임의의 상에

선분 그러면 있다

속해 에 또한

선분 연결한 점을

두 이 있고 속해 에 이 점

두

갖는다 편도함수를

차 연속인 연속이고

에서 정의역

내의 공간 가

함수

z l f y k f x h f z y x f l z k y h x f

P P D

P P

D l z k y h x P z y x P

D xyz

z y x f

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

− + +

+

+ +

+

z 평균값의 정리(Mean Value Theorem)

9.6 미적분학의 복습 : 다변수함수

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수

9.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수

(Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative)

z 기울기(Gradient) :

k j

i z

f y f x f z

f y f x f f

f ∂

+ ∂

∂ +∂

∂

= ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

∇

= , , grad

k j

i y z

x ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

(x, y, z)^의 x, y, z^{각방향으로의길이(거리)에대한변화율(기울기)의벡터합} f

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z ^{방향도함수}

9.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수

( ) ( )

( )

경로 의 직선 방향으로의 는

거리, 사이의

와 는

방향도함수 의

함수 방향으로의 벡터

점에서의 공간상의

C Q

Q P s

x, y, z f

P s

P f Q f ds

f df

D s

b b

b

:

lim0

= −

= →

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f dz z

y df dy x df dx df ds f df D

P s

s z s y s x s L

grad '

' '

, 1

:

_{0 0}

•

= +

+

=

=

= +

= +

+

=

b

p b

b p k j

i r

b

위치 의 는 직선

f f

D 1 grad

= •

∗ a

a a

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수

z 기울기의 특성. 최대증가

z 곡면의 법선벡터로서의 기울기

( ) ( )

( ) ^{가 점 에서 의최대증가 방향}

에서 점

무관 선택과는 좌표계의

공간에서 방향은

크기와 존재

가

스칼라함수 갖는

편도함수를 계

연속인

grad 0 grad

. grad

1

: , ,

f P

f P

f P

f z y x f P f

⇒

≠

⇒

=

( )

( ) ^{가 점 에서의 의법선벡터}

에서 점

상의

표시 를 곡면 임의의

공간상에서 상수

grad

0 grad

,

,

S P

f P

f P

S

S c

z y x f

⇒

≠

⇒

=

=

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수

z 곡면의 법선벡터로서의 기울기

•

•

•

• 곡면의 법선벡터(Surgace Normal Vector) : 곡면법선과 평행한 벡터

(x y z) c S

f

f 의 등위곡면(Level Surface) : , , = =상수로 표현된 곡면

:

Plane) Tandgent

(

접선벡터들 곡선의

모든 지나는 를

에서 점

임의의 상의

의 에서 점

P P

S S

P 접평면

직선 수직인 접평면에

의 에서 곡면법선

의

에서 S (SurfaceNormal) : P S P

.

,

grad

0 ' grad '

' '

법선벡터이다 의

곡면 에서

수직이며 벡터와

모든 접평면상의 는

S P

f

f dz z

y df dy x df dx df

⇒

=

•

= +

+ r

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전 9.7 스칼라장의 기울기. 방향도함수

z 스칼라장의 기울기인 벡터장(퍼텐셜)

z 인력장. 라플라스 방정식

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (Conservative) . grad

: ) (Potential

한다 이라 벡터장을

해당되는 이에

와

함수 퍼텐셜 의

를 P 보전적

P f P

P P

f v

v

v =

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

.

,

grad grad

.

0

. ,

,

,

, ,

)

(Newton

, , : , ,

, :

2 2 2 2 2 2 2

0 3

0 3

0 3

0 3

0 0 0 0

∂ = +∂

∂ +∂

∂

= ∂

∇

=

=

>

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − − −

−

=

=

z f y

f x

f f

r f f c

P P r r

z c y x f

r z z r

y y r

x c x

r - c

z y x P z

y x P

만족한다 식을

방정 라플라스 같은

다음과 는

퍼텐셜 여기서

성립되며 이

따라서

거리이다 사이의

와 점 두 은 여기서

이다 퍼텐셜은

표현되며 로

의하여 칙에

만유인력법 의

인력은 사이의

입자 두 위치한 에

와 점

p r p

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

9.8 벡터장의 발산(Divergence of a Vector Field)

9.8 벡터장의 발산

z 발산(Divergence)

z 발산의 불변성

z

( )

z v y v x v z

y x

∂ +∂

∂ + ∂

∂

= ∂ ^{1 2 3} div

:

e) (Divergenc

: , ,

v v

v v

발산 벡터장의

정의된

발산 또는 로

의

벡터함수 미분가능한

*

*

*

*

* div *

*

*,

*,

*

*,

*,

.

div

3 2

1 3

2

1 z

v y

v x

v v v v z

y

x ∂

+ ∂

∂ +∂

∂

= ∂ v v

v v

이면 성분이

의 대응하는 에

따른다 점에

상의 공간내의

상관없이 선택에

좌표계의 값은

의

( )

( ) ( ) f

z f y

f x

f f z

, f y , f x f f

z y x f

2 2 2 2 2 2 2

grad div div

grad

: , ,

∇

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

= v

v

스칼라함수 미분가능한

번 두

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

9.9 벡터장의 회전(Curl of a Vector Field)

z 회전(Curl)

z 회전체와 회전

강체 회전에 대한 벡터장의 회전은 회전축 방향과 같은 방향을 가지며, 그 크기는 각속력 의 두 배가 된다.

9.9 벡터장의 회전

( )

k j

i k

j i v v

v v

v

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

×

∇

= y

v x v x

v z v z

v y v v

v v

z y x z

y x

1 2 3

1 2

3

3 2 1

curl :

, (Curl)

: , ,

회전 벡터장의 주어진

회전 즉 로

의

벡터함수 미분가능한

Ch. 9 벡터미분법. 기울기, 발산, 회전

z 기울기, 발산, 회전

• 기울기장(Gradient Field)은 비회전(Irrotational)이다. 즉,

• 벡터함수의 회전에 대한 발산도 영벡터가 된다.

z 회전의 불변성

(grad f )=0 curl

(curl ) 0 div v =

.

curlv는벡터이며 방향과 크기는 공간에서직교좌표계의선태과 무관하다

9.9 벡터장의 회전