지형정보공학 6장 다각측량

상지대학교 지형정보연구센터

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다각측량

길이와 방향이 정해진 선분이 연속된 것 : 거리관측과 각관측을 통해 수평위치결정

정 의 (기준점측량)

•

기준의 되는 측점을 연결하는 기선의 길이와 방향(각)을 관측하여 측점의 수평위치(x, y)를 결정하는 측량. 삼각측량에 비해 정확도가 떨어지는 수평위치결정 측량(기존 개념)

용 도

•

장애물이 많은 지역(산림지대, 시가지)

•

선형이 좁고 긴 지역(도로, 수로, 철도)

•

높은 정확도를 요하지 않는 지역의 골조측량(기준점 측량) : 최근에는 정밀다각측량

•

특 징

•

삼각점에서 도심과 같이 좁은 지역의 수평위치 기준점을 추가 설치 시 편리(지적측량)

다각측량의 특징

•

국가 기본삼각점이 멀리 배치되어 있어 좁은 지역에 세부측량의 기준이 되는 점을 추가 설 치할 경우 편리

•

복잡한 시가지나 지형의 기복이 심해 視準이 어려운 지역의 측량에 적합

•

線路(도로, 철로, 수로 등)와 같이 좁고 긴 곳의 측량에 적합

•

거리와 각을 관측하여 圖式解法에 의해 모든 점의 위치를 결정할 때 편리

•

삼각측량과 같은 높은 정확도를 요하지 않는 골조측량에 사용

•

지적경계선측량으로 적합

•

사진측량에서 필요한 도화 기준점 등을 측량하고자 할 때 사용

開多角形

(open traverse)

: 개방트래버스

출발점과 종점이 아무런 관련이 없으며, 결과의 점검이 안되 므로 정확도가 낮아, 노선측량의 답사에 편리한 트래버스 망 • 다각망의 정확도 순서 결합다각형 > 폐합다각형 > 개다각형

結合多角形

(fixed traverse)

: 결합트래버스

기지점에서 출발하여 다른 기지점으로 연결하는 트래버스로 높은 정확도를 요구하는 대규모 지역의 측량에 이용

閉合多角形

(closed traverse)

: 폐합트래버스

어떤 점에서 출발하여 다시 출발점으로 되돌아오는 측량으로 성과가 점검되나 결합다각형 보다 정확도가 낮음

多角網

(traverse network)

: 다각망

2개 이상의 트래버스 노선이 모여서 형성된 그물 모양의 망

계획 : 측량 정확도, 경제성, 작업일시 답 사 선점 : 측점 확정 조표 : 말뚝 매설 거리관측 각관측 거리와 각관측오차 점검 정확도의 평균 : 외업 계산 및 측점의 전개 : 내업 1. 방위각 및 방위 계산 2. 위거 및 경거 계산 3. 폐합오차, 폐합비 계산 4. 허용오차 분석 5. 폐합오차 조정 6. 좌표(합위거, 합경거) 계산 7. 좌표전개(제도) 8. 면적계산(배횡거, 배면적 계산)

외업

各種 지형도(1:50,000)를 이용하여 소요의 정확도, 경제성, 작업시일 등을 고려한 전반적인 계획 수행, 기준점 성과는 국토지리정보원의 삼각 및 수준측량성과표 이용

2) 답사(reconnaissance)

계획에 따라 현지의 작업가능성을 재점검 ⇒도상답사, 현지답사

3) 선점(selection of station)

답사와 계획에 따라 적절한 곳에 측점(트래버스점)을 선정하는 것  후일 발견이 용이할 수 있도록 보존이 가능한 곳  직접거리측량이 용이하고 각관측이 용이한 곳을 선택  출발점과 종점간의 거리가 되도록 짧을 것(본점간 거리 : 150~300m, 보조점간 거리 : 40~120m, 30m 이하는 피 할 것)  측점수는 되도록 적게 하며, 1노선 또는 1망은 측점수가25점 이하로 할 것(평탄지는 10변 이내로)  세부측량에도 이용이 편리하게 될 곳(관측중에 교통장애가 없는 곳)

4) 조표(election of signal)

선점이 끝나면 측점을 표시하기 위해 측점위치에 적절한 표식 설치

- 높은 정확도를 요구할 때 : 전자파거리측정기(EDM), 쇠줄자, 유리줄자, 인바줄자 - 높은 정확도를 요구하지 않을 때 : 유리줄자, 대나무자, 천줄자 - 산 지 : 시거법 6) 트래버스 각 관측 요구정확도에 따라 교각법, 편각법, 방위각법활용 우회교각 (좌측각) 좌회교각(우측각 (1) 교각법 (交角法, Intersection angle method)

- 어떤 측선과 그 앞의 측선이 이루는 각(교각)을 관측 : 가장 널리 이용 - 교각의 분류 ㉠ 폐합 트래버스의 경우내각의 합은 180°(n－2)이며,외각의 합은 180°(n＋2)이다. ㉡ 계산(측선) 진행방향에 따라 좌측각, 우측각(각이 우측에 존재)으로 분류 ㉢ 망원경의 회전에 따라 좌회교각, 우회교각(망원경을 우회전한(시계방향) 각)으로 분류 - 특징 ㉠ 반복법에 의해 정확도를 높일 수 있음 ㉡ 측점마다 角이 독립적으로 측정하므로 작업순서에 관계없음 ㉢ 측각이 잘못되어도 다른 角에 영향을 주지 않으며, 독립적으로 재측하여 점검 가능 ㉣ 요구하는 정확도에 따라방향각법, 배각법으로 각관측을 할 수 있음 ㉤ 결합 및 폐합트래버스에 적합하며, 측점수는 20점 이내가 효과적.

-편각: 각 측선이 앞 측선의 연장선과 이루는 角(β,γ) - 도로, 수로, 철도 등 노선의中心線측량에 이용 - 연장선에 대하여 회전방향에 따라 (+) (-)부호를 붙임 1) 시계방향으로 관측할 때 (＋)편각, 우편각(+) 2) 반시계방향으로 관측할 때(－)편각, 좌편각(－) - 폐합인 경우편각의 총합은 ±360° β(+)

γ

(-) 편각법

(3) 방위각법(方位角法, azinuth method, Meridian angle method) -진북을 기준으로 하여 우회(시계방향)로 각 측선까지 이루는 각을 관측하는 방법 - AB방위각과 BA방위각은 180°차이가 있으며 이를 역방위각이라 함 - 특징 ㉠ 장점 1) 각 측선을 따라 방위각을 측정하므로 角관측값의 계산과 제도가 편리 2) 신속히 관측할 수 있어 노선측량이나 지형측량에 이용 ㉡ 단점 1) 한번 오차가 생기면 끝까지 영향을 미침 방위각법

7) 거리와 각관측 정확도의 균형



트래버스 측량은 거리와 각을 조합함으로써 다각 점의 위치를 구하는 것으로 다각점의 정확도는 이의 관측 정확도에 따라 좌우됨



거리를 아무리 정확도 높게 관측해도 각관측이 부정확하면 정확한 거리관측이 무의미하게 된다. 그러므로 거리관측 정확도와 각관측 정확도의 균 형을 고려함이 원칙 “

다각측량 외업이 끝나면 다음 순서로 조정 계산을 실시

1.

각 관측의 점검과 각오차의 분배

2.

방위각 및 방위 계산 : 최근에는 방위계산은 하지 않음

3.

위거(Northing) 및 경거(Easting)의 계산

4.

폐합오차 및 폐합비 계산

5.

폐합오차의 배분

6.

합위거 및 합경거의 계산 : X, Y 좌표 계산

7.

면적계산 (폐합 다각형의 경우)

• 각 관측오차의 점검

폐합 트래버스의 기하학적 조건

변의 수를 n 관측각을 관측각의 합 : • 내각 관측의 경우 다각형 다각형 내각의 합은 이므로, 각오차(Ea)는 • 외각 관측의 경우 다각형 외각은 (360⁰-내각)이므로, 외각의 합은 (360⁰☓n)-내각 합 • 편각 관측의 경우 편각은 (180⁰-내각)이고, 합은 (180⁰☓n)-내각 합

 

a



a

1



a

2



a

3







a

n n

a

a

a

a

₁

,

₂

,

₃

,



,

)

2

(

180



n



)

2

(

180

]

[







a

n

E

_a 



360

180

(

2

)



[

]

180

(

2

)

]

[

















a

n

n

a

n

E

_a o o o



 





360

]

[

)

2

(

180

180

]

[















a

n

n

a

E

_a

결합 트래버스의 기하학적 조건

•

AL 및 BM의 방위각을 W_a, W_b를 알고, 교각 관측

•

방위각 W_a, W_b에 따라서 기하학적 조건이 다르게 고려됨 (1) CASE I (기지점이 첫점과 최종점 바깥에 있는 경우) n

a

a

a

a

₁

,

₂

,

₃

,



,

)

1

(

180

]

[

)

(

)

180

(

)

180

(

)

180

(

)

360

(

_{1 2 3}





























n

a

W

W

E

W

a

a

a

a

W

b a a b n a    

_

1 2 3 n-1 n L _M 𝛼₁ 𝛼₂ 𝛼₃ 𝛼_𝑛-1 𝛼_𝑛 𝛼"₃ 𝛼′₃

[α] = α

₁

+ α

₂

+ α

₃

·· + α

_n-1

+ α

_n

=

α’₁+ (α”₁+ α’₂) + (α”₂+ α’₃) + (α”₃ + α’_n-1) + (α”_n-1 + α’_n) + α”_n = (360-ω_a) + 180(n-1) + 180(n-1) (360-ω_a) ωb ω_b

∴ E

_α

= ω

_a

– ω

_b

+ [α] - 180(n+1)

결합 트래버스의 기하학적 조건

(2) CASE II (두 측점중 첫측점이 기지점 안쪽에 있는 경우)

)

1

(

180

]

[

)

(

)

180

(

)

180

(

)

180

(

_{2 3} 1



























n

a

W

W

E

W

a

a

a

a

W

b a a b n a   

_

결합 트래버스의 기하학적 조건

(3) CASE III (두 측점중 최종 측점이 기지점 안쪽에 있는 경우)

)

1

(

180

]

[

)

(

360

)

180

(

)

180

(

)

360

(

_{1 2}



























n

a

W

W

E

W

a

a

a

W

b a a b n a     

_

결합 트래버스의 기하학적 조건

(4) CASE

IV

(두 측점 모두 기지점 안쪽에 있는 경우)

)

3

(

180

]

[

)

(

360

)

180

(

)

180

(

₂ 1

























n

a

W

W

E

W

a

a

a

W

b a a b n a    

_

각관측 측점수를 n, 한 측점에서 수평각의 허용오차를

ε

a라 하면 전체 각관측의 허용오차 일반적으로 허용각 오차 범위는 지형에 따라 다음과 같음 각 오차 배분

①

각관측의 정확도가 같을 때 : 각의 대소와 관계없이 균등 배분

②

경중률이 다른 경우 : 오차를 경중율에 비례하여 배분(관측횟수나 변장의 역수)

③

변길이의 역수에 비례하여 각에 배분

n

E

_a







_a n . n E n n E n n E a a a 5 1 1 지역 복잡한 및 삼림 1 5 . 0 지역 보통 및 평지 5 . 0 3 . 0 주요지역 및 시가지             : : :

-

폐합트래버스 폐합 조건 : ) ! ! 빼준다 ( 0 3 6 0 18 보정 0 0 3 ) 2 6 ( 180 0 0 3 0 720 ) 2 ( 180 ] [                  량    _n a E_a 측점 관측각 수정량 수정각 1 66° 40 ” 30’ - 30” 66° 40 ” 00’ 2 131° 35” 00’ - 30” 131° 34” 30’ 3 97° 35’ 00" - 30” 97° 34’ 30" 4 64° 00’ 30” - 30” 64° 00’ 00” 5 227° 26’ 30” - 30” 227° 26’ 00” 6 132° 45’ 30” - 30” 132° 45’ 00”

방위각(Azimuth) : 남북 자오선을 기준으로 할 때의 방향각 진북 자오선(True Meridian)

•

지구상의 한점과 북극과 남극을 연결한 선 도북 자오선(Grid Meridian)

•

평면측량에서 위치를 표시하기 위하여 일반적으로 평면 직각좌표계를 사용

•

평면직각 좌표계에서 원점과 남•북극을 통과하는 중앙 자오선은 진북자오선과 일치함

•

다른 직각 좌표계의 종선들은 중앙자오선과 나란함

•

이와 같이 평면직각 좌표계에서 중앙 자오선과 나란한 자오선을 도북자오선(Grid Meridian)이라 한다.

•

지도에 표시된 직각 좌표의 종선은 모두 도북자오선을 의미 함. 자북자오선(Magnetic Meridian) • 자침이 가르키는 북 방향과 나란한 선 • 자북과 진북이 일치하지 않기 때문에 진북과 자북 자오선은 불일치.

어느 측선의 방위각은?



자오선의 북쪽 끝으로 부터 그 측선 에 이르는 각을 시계 방향으로 잰 각.

방위각

방위각의 기준?



진북 자오선



도북 자오선



자북 자오선 트레버스계산에서는 측선의 방위각만 있으면 충분하며, 방위는 필요치 않음 방위는 과거와 같이 삼각함수를 사용하여 트래 버스를 계산할 때 부호에 따른 착오를 피하기 위하여 사용되었지만 지금은 사용할 필요가 없 음.

진행 방향에서 우회각(

좌측각)

을 관측시

)

(

교각

방위각

측선의

앞

하나

방위각

측선의

어느











180

방위각 계산

진행 방향에서 죄회각(

우측각)

을 관측시

)

(

교각

방위각

측선의

앞

하나

방위각

측선의

어느











_i

180

방위각 계산

편각인 경우

(BC) = (AB) + △B

(어느 측선의 방위각)=(하나 앞측선의 방위각)+(그 측선의 편각)

측선 AB의 방위각 방 위 0



<(AB)<90



90



<(AB)<180



180



<(AB)<270



270



<(AB)<360



N (AB) E S 180-(AB) E S (AB)-180 W N 360-(AB) W

어느 측선의 방위라 함은?

•

남북 자오선과 그 측선이 이루는 각에 의하여 결정되는 측선 의 방향을 말함.

•

방위를 알기위해 각을 관측 할 때 자오선의 북쪽 또는 남쪽 끝을 기준으로 하여 시계 방향 또는 반시계 방향으로 수평각 을 관측 NE, SE, NW, SW와 함께 표시되어야함 cos

위거(衛距)

•

어느 측선의 남북자오선 방향의 성분(LAB)

•

남북자오선축에 정사투영된 투영거리

•

북쪽방향(+), 남쪽방향(-)

경거(經距)

•

어느 측선의 동서방향의 성분(DAB)

•

동서축에 정사투영된 투영거리

•

동쪽방향(+), 서쪽방향(-) 측선 AB의 방위각을

α

, 측선의 길이를 S 라 할 때:   sin 경거 의 측선 cos 위거 의 측선 S D S L AB AB   ) AB ( ) AB ( 위거와 경거는 트래버스의 정밀도를 계산하고 이들 오차를 조정하는데 사용되며, 측점의

위거와 경거 계산

<∑L = 0 ∑D = 0 이 이상적> <위거> <경거>

방위의 N(+) 방위의 E(+) 방위의 S(-) 방위의 W(-)

폐합트래버스의 폐합오차

•

어느 한 점 A를 출발점으로 하는 폐합트래버스 에서 각 변의 거리와 각을 관측하고 다시 출발점 으로 돌아 왔을 때 일치 하지 않는다 이를 폐합오 차(closure error)라 함













경거

,

위거

2 2 D L D L

E

E

E

E

E

Where,

•

측선의 총기선장을 D라 할 때 폐합비(Relative error of closure)

D

E

E

D

E

R

L D 2 2







•

폐합비는 보통 분자를 1로 표시하며, 다각측량의 정확도를 표시하는데 사용되며,

결합트래버스의 폐합오차

아래와 같은 결합 트래버스에서 A점의 좌표를 (X₀, Y₀), B점의 좌표 (X_n, Y_n), 임의 측선 의 변장을 S_i, 방위각을 α_i, 그 측점의 좌표를 (X_i, Y_i), 할 때 다음이 성립. 폐합오차와 폐합비 i i i i i i

X

X

S

Y

Y

S

cos





_1



,

sin





_1



결합트래버스의 폐합오차

•

모든 측선에 대해서 생각해 보면

•

따라서, 폐합오차는 : 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 ) cos ( ) cos ( sin , cos sin , cos sin , cos sin , cos X X S X X S Y Y S X X S Y Y S X X S Y Y S X X S Y Y S X X S n i i n i n i i n i n n n n n n n n                    





                      ) ( sin ), ( cos ₀ 1 0 0 1 0 Y Y S E X X S E _n n i i i L n n i i i L 



  



     





폐합오차의 허용범위

다각 측량에서 페합 오차의 허용범위를 어떻게 정할 것인가는 측량의 목적, 지형의 상태 등 에 따라서 결정되나 소규모 측량의 경우 대개 다음과 같은 표준을 사용한다. ① 장애물이 적은 탄탄한 장소, 시가지의 경우 1/5,000〜 1/40,000 ② 산지와 같이 장애물이 많고 측량 작업이 어려운 장소의 경우 1/1,000 이하 ③ 급경사가 없는 보통 지형의 장소, 토지 측량, 도로 및 철도의 노선측량 1/3,000〜 1/5,000

예제 1에서 조정된 각을 사용하여 각 측선의 방위각, 경거, 위거, 폐합오차 및 폐

합비를 구하시오.

1) 측선의 방위각 계산

0

0

0

2

106

0

0

0

4

66

180

0

0

0

4

219

2

1

0

0

0

4

219

0

0

5

4

132

180

0

0

5

5

266

1

6

0

0

5

5

266

0

0

6

2

227

180

0

0

9

2

219

6

5

0

0

9

2

219

0

0

0

0

64

180

0

0

9

2

335

5

4

0

0

9

2

335

0

3

4

3

97

180

0

3

4

5

57

4

3

0

3

4

5

57

0

3

4

3

131

180

0

0

0

2

106

3

2

0

0

0

2

106

0

0

0

5

97

0

0

0

3

8

2

1

























































































































































                          

2)

위거 및 경거 계산

m

ΔL

m

ΔE

m

ΔL

m

ΔE

m

ΔL

m

ΔE

m

ΔL

m

ΔE

97

.

182

)

0

0

0

4

219

cos(

69

.

237

72

.

151

)

0

0

0

4

219

sin(

69

.

237

:

1

6

82

.

295

)

0

0

9

2

335

cos(

13

.

325

92

.

134

)

0

0

9

2

335

sin(

13

.

325

:

4

3

83

.

178

)

0

3

4

5

57

cos(

60

.

336

17

.

285

)

0

3

4

5

57

sin(

60

.

336

:

3

2

96

.

113

)

0

0

0

2

106

cos(

24

.

405

89

.

388

)

0

0

0

2

106

sin(

24

.

405

:

2

1









































































































       







측선 거리(m) 방위각 경거 위거 1-2 405.24 106° 20’ 00” +388.89 -113.96 2-3 336.60 57°5 4’ 30” +285.17 +178.83 3-4 325.13 335° 29’ 00” -134.92 +295.82 4-5 212.91 219° 29’ 00” -135.38 -164.33 5-6 252.19 266° 55’ 00” -251.82 -13.56 6-1 237.69 219° 40’ 00” -151.72 -182.97 합계 1,769.76 +0.22 -0.17

3) 폐합오차 및 폐합비 계산

1

28

.

0

비

합

폐

28

.

0

)

22

.

0

(

)

17

.

0

(

폐합오차

2 2 2 2



















E

R

E

E

E

_{L D}

:

:

폐합오차가 허용범위 안에 있는 경우 트래버스가 폐합이 되도록 조정하

여야 함

트래버스망의 폐합오차 조정법

근사 조정법(컴퍼스 법칙, 트랜싯 법칙), 엄밀 조정법(최소제곱법)

근사 조정법은 다음과 같은 3가지의 기본 성질을 이용함

① 각의 관측 결과가 거리 관측보다 더 정밀하게 관측됨 ※ 이 가설은 스타디어 측량에 의해 거리를 관측하는 경우에 적절함 ② 각의 관측 정밀도와 거리 관측 정밀도가 동일하거나 유사함 ※ 이 가설은 강철 테이프나 EDM에 의해 거리 관측이 이루어 지고 데올돌라이 트에의해 각 관측이 이루어 질 경우 적절함 ③ 거리 간측이 각 관측 보다 더 정밀하게 이루어짐 ※ 이 가설은 각은 트랜싯에 의해 거리는 EDM에 의해 이루어질 경우 적절

컴퍼스 법칙

•

가장 많이 사용되는 방법으로 가설 ②에 근거를 두고 있음

•

각과 거리는 같은 정밀도로 관측되었으며 관측에 발생하는 오차는 우연 오차로서 변 의 길이에 비례한다고 가정

•

폐합오차를 각 측선의 길이에 비례하여 다음과 같이 조정 : : , , where. 길이 총 측선의 길이 측선의 임의 폐합오차 경거 위거 : , 조정량 경거 위거 : , ,







    S S E E e e S S E e S S E e i D L D L i D D i L L

트랜싯 법칙

•

각 관측이 거리보다 정밀하게 이루었다고 가설 ①에 근거를 두고 있음

•

관측에 발생하는 오차는 우연 오차라 가정 하여 조정 하나, 이 방법은 트래버스의 변 들이 좌표의 격자선가 나란할 경우에만 성립 하므로 특별한 경우를 제외 하고는 자주 사용하지 않음.

•

폐합오차를 계산된 위거와 경거의 크기에 비례하여 배분 : : , , where. 총합 절대값의 경거 위거와 , 경거 위거와 측선의 임의 , 폐합오차 경거 위거 : , 조정량 경거 위거 : , ,









    D L D L E E e e D D E e L L E e i i D L D L i D D i L L

(단, 측점 (1)의 좌표는

E=4,382.09m, N=6,150.82m

라 한다.

02 0 76 1769 69 237 17 0 03 0 76 1769 69 237 22 0 03 0 76 1769 19 282 17 0 03 0 76 1769 19 282 22 0 02 0 76 1769 91 212 17 0 03 0 76 1769 91 212 22 0 03 0 76 1769 13 325 17 0 04 0 76 1769 13 325 22 0 03 0 76 1769 60 336 17 0 04 0 76 1769 60 336 22 0 04 0 76 1769 24 405 17 0 05 0 76 1769 24 405 22 0 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 . -. . . , e . -. . . -e . . . . , e . -. . . -e . . . . , e . -. . . -e . . . . , e . -. . . -e . . . . , e . -. . . -e . . . . , e . -. . . -e L D L D L D L D L D L D                                               

1) 조정위거 및 조정경거 계산

2)

합위거 및 합경거 조정

측선 거리(m) 경거(E) 위거(N) 조정량 조정 경거 조정 위거 경거 위거 1-2 405.24 +388.89 -113.96 -0.05 +0.04 +388.84 -113.92 2-3 336.60 +285.17 +178.83 -0.04 +0.03 +285.13 +178.86 3-4 325.13 -134.92 +295.82 -0.04 +0.03 -134.96 +295.85 4-5 212.91 -135.38 -164.33 -0.03 +0.02 -135.41 -164.31 5-6 252.19 -251.82 -13.56 -0.03 +0.03 -251.85 -13.53 6-1 237.69 -151.72 -182.97 -0.03 +0.02 -151.75 -182.95 합계 1,769.76 +0.22 -0.17 -0.22 +0.17 0.0 0.0

<두 점의 좌표에 의한 측선 길이 및 방위계산>

좌표계산 : 합위거, 합경거

두 점의 좌표에 의한 측선길이 및 방위각 계산의 예

2)

좌표계산 측선 합경거 합위거 E 좌표(Y) N 좌표(X) 측점 4,382.09 6.150.82 1 1-2 +388.84 -113.92 4,770.93 6,036.90 2 2-3 +673.97 +64.94 5,056.06 6,215.76 3 3-4 +539.01 +360.79 4,921.10 6,511.61 4 4-5 +403.60 +196.48 4,785.69 6,347.30 5 5-6 +151.75 +182.95 4,533.84 6,333.77 6 6-1 0.00 0.00 4,382.09 6,150.82 1

어떤 토지의 면적을 구하는 것은 토지측량의 가장 기본적인 목적 중의 하나임 토지의 경계선을 따라 다각측량을 실시(폐합트래버스) 했다면 이때 트래버스로 둘러 싸인 면적을 간단히 계산 할 수 있음 만약 토지의 경계선이 직선들에 의하여 형성되었고 이들 경계선을 따라 다각측량이 실시 되었다면 트래버스에 의해 형성된 면적을 여러 개의 기하학적 도형 (삼각형, 사각형, 사다 리꼴 등)으로 구분하고 각 도형의 면적을 독립적으로 구하고 그들을 합하면 됨. 그러나, 다각측량에서 가장 보편적으로 사용하는 방법은 배횡거법(DMD: Double Meridian Distance Method)와 합위거 합경거, 즉 좌표를 직접 사용하는 좌표법이 있음

• 폐합트래버스 면적 계산

배횡거법

•

횡거(MD) : 기준자오선(도북)에서 측선의 중앙점에 내린 수선의 길이

•

배횡거(DMD) : 횡거의 두배

•

그림에서, AB측선의 횡거 MM’는 B B M M   2 1

•

측선 BC의 횡거 NN’를 살펴보면 경거 의 측선 경거 의 측선 횡거 의 측선 : : , : 여기서, BC C C AB BB' AB M M C C B B M M QN PQ P N N M              2 1 2 1

•

위 식은 다음과 같이 표현 할 수 있다. ) ( 2 1   하나앞측선의횡거 하나앞 측선의경거 횡거 측선의 어느

•

따라서 어느 측선의 배횡거는 ※ 제1측선의 배횡거는 그 측선의 경거와 같음

경거

측선의

그

배

배횡거

하나앞

측선의

횡거

하나

앞

측선의

경거

측선의

어느







•

그림과 같은 삼각형을 고려해 보자 위거 측선의 각 는 배횡거 의 측선 각각 는 여기서 사다리꼴 , A C C -B AB -C) C B B ( ΔABC C A B A C B BC, AB, CA C C B B C C B B C C C A B B B A C C B B C B                               , , , , ) ( ₂1 2 1 2 1

•

양변에 2를 곱하면

C

C

C

A

B

B

B

A

C

C

B

B

C

B





























(

)

2ΔΔAB

•

앞의 식을 다시 적어보면

•

대수의 합을 취하여 일반화 하여 간단히 적으면 ) 3 ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 2A , 2ABC 배횡거 측선의 제 위거 측선의 제 배횡거 측선의 제 위거 측선의 제 배횡거 측선의 제 위거 측선의 제 위거 측선의 각 는 배횡거 의 측선 각각 는 여기서 ( , , , , ) (                              C A B A C B BC, AB, CA C C B B C C B B C C C A B B B A C C B B C B



 













각

측선의

위거

각

측선의

배횡거

2A

•

따라서, 배횡거법에 의해 폐합 다각형의 면적을 구하는 문제는



위의 식에 의해 각 배면적을 계산하고,



배면적을 2로 나누어서 면적을 계산

측선 위거(m) 경거(m) AB +65.39 +83.57 BC -34.57 +19.68 CD -65.43 -40.60 DA +34.61 -62.65 다음 폐합 다각 측량의 결과를 이용하여 면적을 계산하시오.

배횡거법 Example

측 선 배횡거 계산 배횡거 배면적 + -AB +83.57 +83.57 5,464.64 BC +83.57+83.57+19.68 +186.82 6,458.37 CD +186.82+19.68-40.60 +165.90 10,854.84 DA +165.90-40.60-62.65 +62.65 2,168.32

좌표법

•

그림에서 각 측점의 좌표를

•

구하고자 하는 다각형의 면적은

•

다각형ABCD의 면적을 A라 할 때

)

,

(

),

,

(

),

,

(

),

,

(

x

₁

y

₁

A

x

₂

y

₂

A

x

₃

y

₃

A

x

₄

y

₄

A

면적

A

BA

B

면적

B

CB

C

면적

면적

A

DA

D

면적

D

CD

C

면적

Where,

면적

면적

면적











































C

ABC

A

C

ADC

A

C

ABC

A

C

ADC

A

ABCD

-)

)(

(

)

)(

(

면적

A

BA

B

면적-B

CB

C

면적-A

DA

D

면적

D

CD

C

1 4 1 4 2 1 4 3 4 3 2 1

_x

_x

_y

_y

_x

_x

_y

_y

A

































•

앞의 식에서 양변에 2를 곱하여 정리하면

•

N 다각형의 경우는

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

2

1 4 4 3 3 2 2 1 4 1 3 4 2 3 1 2 1 3 4 4 2 3 3 1 2 2 4 1 1 2 1 2 2 3 2 3 1 4 1 4 4 3 4 3

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

y

x

y

y

x

y

y

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

A

























































)

(

2

1 1 4 3 3 2 2 1 1 1 3 4 2 3 1 2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

A

n n n n n n

























 

L

L

1 1 4 4 3 3 2 2 1 1

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n n

L

L

면적계산 :

좌표법 Example

ex) 그림과 같은 다각형의 면적을 좌표법으로 구하시오.

30

30

80

15

130

40

120

80

50

90

30

30

2

10500

)

30

80

15

130

40

120

80

50

90

30

(

)

30

15

80

40

130

80

120

90

50

30

(

2

m

A









































ex) 아래의 그림은 결합 트래버스의 조정계산 예이다. 다음의 다각망조정을 실시하고 각 측점을 좌 표를 구하시오. 위거 및 경거의 폐합오차는 컴퍼스법칙에 의하여 조정하고 폐합오차의 크기와 폐합 비를 구하시오.

I.

각관측 오차 계산 :

II.

각오차 조정 : 등분배

III.

방위각 계산

IV.

위거 및 경거 계산

V.

폐합오차 및 폐합비 계산

VI.

폐합오차 조정(분배) : 거리에 따라 분배하는 컴퍼스 법칙

VII.

각 측점의 좌표 계산

)

1

(

180

]

[

)

180

(













W

W

a

n

E

_{a a}  _b 

측점 관측각 조정량 조정각 측선 거리 방위각 계산 A 203°41’28” -4” 203°41’24” A-1 703.28 72°08’54” 1 162°37’22” -4” 162°37’18” 1-2 473.29 54°46’12” 2 193°18’06” -4” 193°18’02” 2-3 687.48 68°04’14” 3 170°08’50” -4” 170°08’46” 3-B 202.31 58°13’00” B 189°35’52” -4” 189°35’48” B-R₂ 67°48’48” 합계 919°21’38” -20” 919°21’18”

1)

각관측 오차 계산

2)

각 오차의 조정(분배) 0 2 6 180 8 3 1 2 919 8 4 8 4 67 ) 180 0 3 7 2 48 ( ) 1 ( 180 ] [ ) 180 (                             n a W W E_{a a b}

3)

방위각 계산

측선 거리 방위각 위거(N) 경거(E) A-1 703.28 72°08’54” 215.593 669.419 1-2 473.29 54°46’12” 273.022 386.604 2-3 687.48 68°04’14” 256.749 637.737 3-B 202.31 58°13’00” 106.558 171.973 B-R₂ 67°48’48”

4)

위거 및 경거 계산

5)

폐합오차 폐합비 계산 1 371 0 폐합비 371 . 0 ) 267 . 0 ( ) 258 . 0 ( 폐합오차 267 . 0 0 . 1866 733 . 1865 ) ( 경거 258 . 0 180 . 852 922 . 851 ) ( 위거 2 2                     





. Y Y E X X E A B D A B L

측 선 위거 조정량 조정위거 경거 조정량 조정경거 측 점 좌 표 N(X) E(Y) A-1 0.088 215.681 0.091 669.510 A 4375.290 5227.470 1-2 0.059 273.081 0.061 386.665 1 4590.971 3878.000 2-3 0.086 256.835 0.089 637.826 2 4864.052 4264.665 3-B 0.025 106.583 0.026 171.999 3 5120.887 4902.491 B-R2 B 5227.470 5074.490 합 계 0.258

6)

폐합오차 조정(컴퍼스법칙)

7)

각 측점의 좌표 계산