제4장선형모형과행렬대수제4장선형모형과행렬대수

제4장

선형모형과 행렬대수

제4장

선형모형과

행렬대수

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 개요 u 개요

è

단일상품(one-commodity) 또는 2상품(two-commodity) 모형의 경우 해를 구하는 것은 상대적으로 단순함.

è

그러나 상품의 수가 많아지면 대규모 연립방정식체계를 자유롭게 다룰 수 있는 적절한 방법이 없음.

è

여기에 행렬(matrix)의 필요성이 있음.

è

단일상품(one-commodity) 또는 2상품(two-commodity) 모형의 경우 해를 구하는 것은 상대적으로 단순함.

è

그러나 상품의 수가 많아지면 대규모 연립방정식체계를 자유롭게 다룰 수 있는 적절한 방법이 없음.

è

여기에 행렬(matrix)의 필요성이 있음.

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 행렬대수 (matrix algebra)의 용도 u 행렬대수 (matrix algebra)의 용도

è

행렬의 필요성(장점) :

- 대규모 방정식체계를 간결하게 제시할 수 있음.

- 행렬식(determinant)의 계산을 통해 해의 존재유무를 검증하는 방법을 제시

- (만일 해가 존재하면) 그 해를 구하는 방법을 제공

è

행렬의 한계(단점) :

- 행렬대수는 선형방정식체계(linear equation system)인 경우에만 적용 가능(선형대수 : linear algebra)

è

행렬의 필요성(장점) :

- 대규모 방정식체계를 간결하게 제시할 수 있음.

- 행렬식(determinant)의 계산을 통해 해의 존재유무를 검증하는 방법을 제시

- (만일 해가 존재하면) 그 해를 구하는 방법을 제공

è

행렬의 한계(단점) :

- 행렬대수는 선형방정식체계(linear equation system)인 경우에만 적용 가능(선형대수 : linear algebra)

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 행렬대수 (matrix algebra) u 행렬대수 (matrix algebra)

è

선형방정식체계로의 변환(transformation) :

선형방정식이 아닌 경우 선형방정식으로 변환하거나 선형으로 근사시킴(linear approximation).

è

선형방정식으로 변환(transformation) : - 비선형함수(non-linear function)

y=ax^b

- 양변에 로그(log)를 취함으로써 다음의 선형함수로 변환 log y=log a + b log x

- 위 식은 두 변수 (log y)와 (log x)에 관한 선형함수임.

è

선형방정식체계로의 변환(transformation) :

선형방정식이 아닌 경우 선형방정식으로 변환하거나 선형으로 근사시킴(linear approximation).

è

선형방정식으로 변환(transformation) : - 비선형함수(non-linear function)

y=ax^b

- 양변에 로그(log)를 취함으로써 다음의 선형함수로 변환 log y=log a + b log x

- 위 식은 두 변수 (log y)와 (log x)에 관한 선형함수임.

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 행렬대수 (matrix algebra) u 행렬대수 (matrix algebra)

è

선형으로의 근사(linear approximation) :

비선형곡선을 일정범위 내에서 선형(직선)으로 근사

è

선형으로의 근사(linear approximation) :

비선형곡선을 일정범위 내에서 선형(직선)으로 근사

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 행렬 (matrix) u 행렬 (matrix)

è

행렬(matrix) :

숫자, 파라미터 또는 변수를 직사각형으로 순서 있게 배열하여 대괄호(또는 괄호 또는 겹세로선)로 묶은 것 - 행렬 기호 : [ ], ( ), ∥∥

è

원소(element) 또는 성분(component, entry) :

행렬을 구성하는 대괄호 안의 숫자, 파라미터 또는 변수

è

행렬(matrix) :

숫자, 파라미터 또는 변수를 직사각형으로 순서 있게 배열하여 대괄호(또는 괄호 또는 겹세로선)로 묶은 것 - 행렬 기호 : [ ], ( ), ∥∥

è

원소(element) 또는 성분(component, entry) :

행렬을 구성하는 대괄호 안의 숫자, 파라미터 또는 변수

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 행렬 (matrix) u 행렬 (matrix)

è

행(row) :

행렬에서 가로줄을 행이라 하고, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, ∙∙∙이라 함.

è

열(column) :

행렬에서 세로줄을 열이라 하고, 왼쪽부터 차례로 제1열, 제2열, ∙∙∙이라 함.

è

행렬은 보통 대문자로 행렬의 원소는 소문자로 표시

A=[a

_ij

]

è

행(row) :

행렬에서 가로줄을 행이라 하고, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, ∙∙∙이라 함.

è

열(column) :

행렬에서 세로줄을 열이라 하고, 왼쪽부터 차례로 제1열, 제2열, ∙∙∙이라 함.

è

행렬은 보통 대문자로 행렬의 원소는 소문자로 표시

A=[a

_ij

]

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 행렬과 벡터 (matrix and vectors) u 행렬과 벡터 (matrix and vectors)

è

일반적으로 n개의 변수(x₁, x₂, ∙∙∙, x_n)를 갖는 m개의 식으로 이루어지는 선형방정식체계는 다음과 같은 형태로 정리됨.

a₁₁x₁+a₁₂x₂+ ∙∙∙ +a_1nx_n=d₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+ ∙∙∙ +a_2nx_n=d₂

……….

a_m1x₁+a_m2x₂+ ∙∙∙ +a_mnx_n=d_m

è

위 식을 세 가지 구성요소로 나누어 배열하면 첫 번째는 계수 a_ij들의 집합이고, 두 번째는 변수 x₁, x₂, ∙∙∙, x_n의 집합이며, 마지막은 상수항 d₁, d₂, ∙∙∙, d_m의 집합임.

è

일반적으로 n개의 변수(x₁, x₂, ∙∙∙, x_n)를 갖는 m개의

식으로 이루어지는 선형방정식체계는 다음과 같은 형태로 정리됨.

a₁₁x₁+a₁₂x₂+ ∙∙∙ +a_1nx_n=d₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+ ∙∙∙ +a_2nx_n=d₂

……….

a_m1x₁+a_m2x₂+ ∙∙∙ +a_mnx_n=d_m

è

위 식을 세 가지 구성요소로 나누어 배열하면 첫 번째는 계수 a_ij들의 집합이고, 두 번째는 변수 x₁, x₂, ∙∙∙, x_n의 집합이며, 마지막은 상수항 d₁, d₂, ∙∙∙, d_m의 집합임.

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

è

이들 세 집합을3개의 직사각형 배열로 정돈하고, 그 배열 각각을 A, x, d라고 하면 다음과 같은 형태로 정리됨.

a₁₁ a₁₂ ∙∙∙ a_1n x₁ d₁ a₂₁ a₂₂ ∙∙∙ a_2n x₂ d₂

……….. ⋮ ⋮ a_m1 a_m2 ∙∙∙ a_mn x_n d_m

è

이 3개의 배열은 각각 하나의 행렬(matrix)을 이룸.

따라서 행렬은 파라미터(계수), 변수 또는 상수를 직사각형 으로 배열한 것으로 정의

è

이들 세 집합을3개의 직사각형 배열로 정돈하고, 그 배열 각각을 A, x, d라고 하면 다음과 같은 형태로 정리됨.

a₁₁ a₁₂ ∙∙∙ a_1n x₁ d₁ a₂₁ a₂₂ ∙∙∙ a_2n x₂ d₂

……….. ⋮ ⋮ a_m1 a_m2 ∙∙∙ a_mn x_n d_m

è

이 3개의 배열은 각각 하나의 행렬(matrix)을 이룸.

따라서 행렬은 파라미터(계수), 변수 또는 상수를 직사각형 으로 배열한 것으로 정의

A= x= d=

u 배열로서의 행렬

u 배열로서의 행렬

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 배열로서의 행렬 u 배열로서의 행렬

è

여기서 행렬 A(방정식체계의 계수행렬)의 각 원소는 콤마(,)가 아니라 여백에 의해서 구분

è

행렬 A의 배열은 간단히 다음과 같이 나타낼 수 있음.

A=[a_ij] (i=1, 2, ∙∙∙, m; j=1, 2, ∙∙∙, n)

è

행렬에서 각 원소의 위치는 하첨자에 의해 명확하게

결정되기 때문에 각각의 행렬은 하나의 순서집합임.

è

여기서 행렬 A(방정식체계의 계수행렬)의 각 원소는

콤마(,)가 아니라 여백에 의해서 구분

è

행렬 A의 배열은 간단히 다음과 같이 나타낼 수 있음.

A=[a_ij] (i=1, 2, ∙∙∙, m; j=1, 2, ∙∙∙, n)

è

행렬에서 각 원소의 위치는 하첨자에 의해 명확하게

결정되기 때문에 각각의 행렬은 하나의 순서집합임.

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

è

예를 들어 선형방정식체계가 다음과 같다고 함. 6x₁+3x₂+ x₃=22

x₁+4x₂- 2x₃=12 4x₁- x₂+5x₃=10

è

위 식을 세 가지 구성요소로 나누어 배열하면 6 3 1 x₁ 22

1 4 -2 x₂ 12 4 -1 5 x₃ 10

è

각 배열은 하나의 행렬을 이룸.

è

예를 들어 선형방정식체계가 다음과 같다고 함. 6x₁+3x₂+ x₃=22

x₁+4x₂- 2x₃=12 4x₁- x₂+5x₃=10

è

위 식을 세 가지 구성요소로 나누어 배열하면 6 3 1 x₁ 22

1 4 -2 x₂ 12 4 -1 5 x₃ 10

è

각 배열은 하나의 행렬을 이룸.

A= x= d=

u 예제 : 선형방정식체계

u 예제 : 선형방정식체계

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 특수한 행렬로서의 벡터 u 특수한 행렬로서의 벡터

è

행렬의 차원(dimension) :

행렬의 차원은 그 행렬을 구성하는 행(row)의 수와 열(column)의 수로 정의

è

앞에서 행렬 A는 m개의 행과 n개의 열을 포함하므로 m´n차원(m by n)이라고 함.

è

차원은 항상 행을 먼저, 열을 뒤에 표시함.

è

특히, m=n인 행렬을 정방행렬(square matrix)이라 함. (앞의 예제에서 계수행렬인 행렬 A : 3´3 정방행렬)

è

행렬의 차원(dimension) :

행렬의 차원은 그 행렬을 구성하는 행(row)의 수와 열(column)의 수로 정의

è

앞에서 행렬 A는 m개의 행과 n개의 열을 포함하므로 m´n차원(m by n)이라고 함.

è

차원은 항상 행을 먼저, 열을 뒤에 표시함.

è

특히, m=n인 행렬을 정방행렬(square matrix)이라 함. (앞의 예제에서 계수행렬인 행렬 A : 3´3 정방행렬)

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 특수한 행렬로서의 벡터 u 특수한 행렬로서의 벡터

è

행벡터(row vector) :

하나의 행(row)으로만 구성된 행렬

- 행벡터는 프라임기호(¢)를 사용하여 열벡터와 구분 x¢=[x₁ x₂ ∙∙∙ x_n]_1´n

è

열벡터(column vector) :

하나의 열(column)로만 구성된 행렬 (앞의 행렬에서 x와 d : n´1, m´1, 3´1)

è

행벡터(row vector) :

하나의 행(row)으로만 구성된 행렬

- 행벡터는 프라임기호(¢)를 사용하여 열벡터와 구분 x¢=[x₁ x₂ ∙∙∙ x_n]_1´n

è

열벡터(column vector) :

하나의 열(column)로만 구성된 행렬 (앞의 행렬에서 x와 d : n´1, m´1, 3´1)

l 선형모형과 행렬대수 l 선형모형과 행렬대수

u 특수한 행렬로서의 벡터 u 특수한 행렬로서의 벡터

è

앞에서 정의된 행렬을 이용하면 선형방정식체계는 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있음 :

Ax=d

è

그러나 여기서 다음의 두 가지 의문이 제기됨 : - 두 개의 행렬 A와 x를 어떻게 곱하는가?

- Ax와 d가 같다는 것은 무엇을 의미하는가?

è

대수연산규칙은 그대로 행렬의 연산에 적용할 수 없음. 따라서 새로운 연산규칙이 필요함.

è

앞에서 정의된 행렬을 이용하면 선형방정식체계는 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있음 :

Ax=d

è

그러나 여기서 다음의 두 가지 의문이 제기됨 : - 두 개의 행렬 A와 x를 어떻게 곱하는가?

- Ax와 d가 같다는 것은 무엇을 의미하는가?

è

대수연산규칙은 그대로 행렬의 연산에 적용할 수 없음. 따라서 새로운 연산규칙이 필요함.

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 항등관계 (=상등관계 : equality) u 항등관계 (=상등관계 : equality)

è

두 행렬 A=[a_ij]와 B=[b_ij]가 서로 같으려면(같은 꼴)

두 행렬의 차원이 같아야 하고 또한 대응하는 원소들이 모두 같아야 함.

è

즉, A=B이기 위한 필요충분조건은 모든 i, j에 대해서 a_ij=b_ij가 성립해야 함.

4 3 4 3 2 0 2 0 2 0 4 3

è

항등관계란 행렬의 차원(m´n)이 같고, 각각 대응하는 원소의 값이 모두 같다는 것을 의미함.

è

두 행렬 A=[a_ij]와 B=[b_ij]가 서로 같으려면(같은 꼴)

두 행렬의 차원이 같아야 하고 또한 대응하는 원소들이 모두 같아야 함.

è

즉, A=B이기 위한 필요충분조건은 모든 i, j에 대해서 a_ij=b_ij가 성립해야 함.

4 3 4 3 2 0 2 0 2 0 4 3

è

항등관계란 행렬의 차원(m´n)이 같고, 각각 대응하는 원소의 값이 모두 같다는 것을 의미함.

¹

=

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 행렬의 덧셈과 뺄셈 (addition and subtraction) u 행렬의 덧셈과 뺄셈 (addition and subtraction)

è

두 행렬의 덧셈연산은 두 행렬의 차원이 동일해야 함.

è

덧셈연산은 두 행렬의 각각의 대응원소쌍을 합하는

것임.

[a_ij]+[b_ij]=[c_ij] 단, c_ij=a_ij+b_ij

è

여기서 유의할 점은 합행렬(sum matrix) [c_ij]의 차원은 합해지는 행렬 [a_ij] 및 [b_ij]의 차원과 동일하다는 것임.

è

두 행렬의 덧셈연산은 두 행렬의 차원이 동일해야 함.

è

덧셈연산은 두 행렬의 각각의 대응원소쌍을 합하는

것임.

[a_ij]+[b_ij]=[c_ij] 단, c_ij=a_ij+b_ij

è

여기서 유의할 점은 합행렬(sum matrix) [c_ij]의 차원은 합해지는 행렬 [a_ij] 및 [b_ij]의 차원과 동일하다는 것임.

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 행렬의 덧셈과 뺄셈 (addition and subtraction) u 행렬의 덧셈과 뺄셈 (addition and subtraction)

è

두 행렬의 뺄셈연산도 두 행렬의 차원이 동일해야 함.

è

뺄셈연산은 두 행렬의 각각의 대응원소쌍을 빼는

것임.

[a_ij]-[b_ij]=[d_ij] 단, d_ij=a_ij-b_ij

è

뺄셈 A-B는 행렬 A와 또 다른 행렬 (-1)B의 덧셈으로 생각할 수 있음.

A-B=A+(-1)B

è

두 행렬의 뺄셈연산도 두 행렬의 차원이 동일해야 함.

è

뺄셈연산은 두 행렬의 각각의 대응원소쌍을 빼는

것임.

[a_ij]-[b_ij]=[d_ij] 단, d_ij=a_ij-b_ij

è

뺄셈 A-B는 행렬 A와 또 다른 행렬 (-1)B의 덧셈으로 생각할 수 있음.

A-B=A+(-1)B

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 스칼라 곱셈 (scalar multiplication) u 스칼라 곱셈 (scalar multiplication)

è

행렬에 어떤 수(행렬대수 용어로 스칼라)를 곱한다는 것은 모든 원소에 그 스칼라(scalar)를 곱하는 것임.

è

수, 변수 등은 행렬과 구분하기 위해서 스칼라라고 함.

è

스칼라는 행렬의 스케일(크기)을 일정 배수로 확대 또는 축소(scales up or down)시킴.

A=[a_ij]_m´n ® kA=[ka_ij]_m´n

è

스칼라는 음수일 수도 있음.

A=[a_ij]_m´n ® -1A=[-a_ij]_m´n

è

행렬에 어떤 수(행렬대수 용어로 스칼라)를 곱한다는 것은 모든 원소에 그 스칼라(scalar)를 곱하는 것임.

è

수, 변수 등은 행렬과 구분하기 위해서 스칼라라고 함.

è

스칼라는 행렬의 스케일(크기)을 일정 배수로 확대 또는 축소(scales up or down)시킴.

A=[a_ij]_m´n ® kA=[ka_ij]_m´n

è

스칼라는 음수일 수도 있음.

A=[a_ij]_m´n ® -1A=[-a_ij]_m´n

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 스칼라 곱셈 (scalar multiplication) u 스칼라 곱셈 (scalar multiplication)

è

행렬 A와 B가 서로 같은 꼴이고, 여기서 s와 t를 스칼라 라고 하면 다음과 같이 정리됨.

(st)A=s(tA) (s+t)A=sA+tA s(A+B)=sA+sB

è

행렬에 스칼라 -1을 곱하는 것은 방정식체계의 모든 항 부호를 바꾸는 것과 같음.

-1A=[-a_ij]

è

행렬 A와 B가 서로 같은 꼴이고, 여기서 s와 t를 스칼라 라고 하면 다음과 같이 정리됨.

(st)A=s(tA) (s+t)A=sA+tA s(A+B)=sA+sB

è

행렬에 스칼라 -1을 곱하는 것은 방정식체계의 모든 항 부호를 바꾸는 것과 같음.

-1A=[-a_ij]

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication) u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication)

è

스칼라 곱은 어떤 차원을 갖는 행렬에도 곱할 수 있음.

è

그러나 행렬간의 곱셈은 차원상의 어떤 조건을 만족

시켜야 함.

è

이러한 조건을 행렬간 곱이 성립하기 위한 적합성조건 (conformability condition)이라 함 :

- 두 행렬 A, B의 곱 AB가 성립하기 위한 적합성조건은 A(앞 행렬)의 열(column)의 차원이 B(뒤 행렬)의 행

(row)의 차원과 같아야 함.

è

스칼라 곱은 어떤 차원을 갖는 행렬에도 곱할 수 있음.

è

그러나 행렬간의 곱셈은 차원상의 어떤 조건을 만족

시켜야 함.

è

이러한 조건을 행렬간 곱이 성립하기 위한 적합성조건 (conformability condition)이라 함 :

- 두 행렬 A, B의 곱 AB가 성립하기 위한 적합성조건은 A(앞 행렬)의 열(column)의 차원이 B(뒤 행렬)의 행

(row)의 차원과 같아야 함.

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication) u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication)

- 예를 들어, 다음과 같은 조건일 때 두 행렬의 곱이 가능함.

b₁₁ b₁₂ b₁₃ A=[a₁₁ a₁₂]_1´2 B=

b₂₁ b₂₂ b_{23 2´3} - 그러나 행렬곱 BA는 정의되지 않음.

b₁₁ b₁₂ b₁₃

B= A=[a₁₁ a₁₂]_1´2 b₂₁ b₂₂ b_{23 2´3}

- 왜냐하면 B(앞 행렬)의 열의 수는 3이고 A(뒤 행렬)의 행의 수는 1이 되어 곱의 적합성조건이 만족되지 않기 때문임.

- 예를 들어, 다음과 같은 조건일 때 두 행렬의 곱이 가능함.

b₁₁ b₁₂ b₁₃ A=[a₁₁ a₁₂]_1´2 B=

b₂₁ b₂₂ b_{23 2´3} - 그러나 행렬곱 BA는 정의되지 않음.

b₁₁ b₁₂ b₁₃

B= A=[a₁₁ a₁₂]_1´2 b₂₁ b₂₂ b_{23 2´3}

- 왜냐하면 B(앞 행렬)의 열의 수는 3이고 A(뒤 행렬)의 행의 수는 1이 되어 곱의 적합성조건이 만족되지 않기 때문임.

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication) u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication)

è

일반적으로 행렬 A가 m´n차원이고 행렬 B가

p´q차원

이면, 행렬곱 AB가 정의되기 위한 필요충분조건은

n=p임.

A=[a_ij]_m´n B=[b_ij]_p´q

è

또한 두 행렬의 곱이 정의되면 행렬곱 AB의 차원은 m´q가 됨.

A=[a_ij]_m´n B=[b_ij]_p´q AB=C=[c_ij]_m´q

è

일반적으로 행렬 A가 m´n차원이고 행렬 B가

p´q차원

이면, 행렬곱 AB가 정의되기 위한 필요충분조건은

n=p임.

A=[a_ij]_m´n B=[b_ij]_p´q

è

또한 두 행렬의 곱이 정의되면 행렬곱 AB의 차원은 m´q가 됨.

A=[a_ij]_m´n B=[b_ij]_p´q AB=C=[c_ij]_m´q

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication) u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication)

è

1´n 행렬과 n´1 행렬의 경우 두 행렬에서 행렬곱이 정의되고, 행렬곱 AB의 차원은 1´1으로 기대됨.

b₁ b₂

⋮

b_{n n´1}

- 위의 두 행렬의 행렬곱 AB=[a₁b₁+a₂b₂+ ∙∙∙ +a_nb_n]_1´1

è

1´n 행렬과 n´1 행렬의 경우 두 행렬에서 행렬곱이

정의되고, 행렬곱 AB의 차원은 1´1으로 기대됨.

b₁ b₂

⋮

b_{n n´1}

- 위의 두 행렬의 행렬곱 AB=[a₁b₁+a₂b₂+ ∙∙∙ +a_nb_n]_1´1 A=[a₁ a₂ ∙∙∙ a_n]_1´n B=

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication) u 행렬끼리의 곱셈 (multiplication)

è

두 행렬에서 행렬곱이 정의되고, 행렬곱의 차원이 1´3 로 기대됨.

b₁₁ b₁₂ b₁₃ A=[a₁₁ a₁₂]_1´2 B=

b₂₁ b₂₂ b_{23 2´3} - 위의 예에서 AB=C=[c₁₁ c₁₂ c₁₃]_1´3

c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁ c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂ c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃

è

두 행렬에서 행렬곱이 정의되고, 행렬곱의 차원이 1´3 로 기대됨.

b₁₁ b₁₂ b₁₃ A=[a₁₁ a₁₂]_1´2 B=

b₂₁ b₂₂ b_{23 2´3} - 위의 예에서 AB=C=[c₁₁ c₁₂ c₁₃]_1´3

c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁ c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂ c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 두 벡터의 내적 (內積 : inner product) u 두 벡터의 내적 (內積 : inner product)

è

n개의 원소를 가진 벡터 u=(u₁, u₂, ∙∙∙, u_n)과 v=(v₁, v₂,

∙∙∙, v_n)이 두 행 또는 두 열, 또는 한 행과 한 열로 배열 되면 u∙v로 표시되는 내적은 다음과 같이 정의됨.

u∙v=u₁v₁+u₂v₂+ ∙∙∙ +u_nv_n

è

이것은 대응하는 원소들의 곱들의 합이고, 따라서 두 벡터의 내적은 스칼라가 됨.

è

n개의 원소를 가진 벡터 u=(u₁, u₂, ∙∙∙, u_n)과 v=(v₁, v₂,

∙∙∙, v_n)이 두 행 또는 두 열, 또는 한 행과 한 열로 배열 되면 u∙v로 표시되는 내적은 다음과 같이 정의됨.

u∙v=u₁v₁+u₂v₂+ ∙∙∙ +u_nv_n

è

이것은 대응하는 원소들의 곱들의 합이고, 따라서 두 벡터의 내적은 스칼라가 됨.

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 두 벡터의 내적 (內積 : inner product)

u 두 벡터의 내적 (內積 : inner product)

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 두 벡터의 내적 (內積 : inner product) u 두 벡터의 내적 (內積 : inner product)

è

n개의 상품을 산 후, 이 n개 상품의 구입량을 행벡터 Q¢=[Q₁ Q₂ ∙∙∙ Q_n]으로 배열하고, 이들 상품의 가격을 가격벡터 P=[P₁ P₂ ∙∙∙ P_n]으로 배열하면 이 두 벡터의 내적(inner product)은 다음과 같음.

Q¢∙P=Q₁P₁+Q₂P₂+ ∙∙∙ +Q_nP_n : 총구입비용

è

이러한 개념을 사용하면 곱행렬 C=AB의 원소 c_ij는 앞 행렬 A의 i번째 행과 뒤 행렬 B의 j번째 열의 내적 이라 할 수 있음.

è

n개의 상품을 산 후, 이 n개 상품의 구입량을 행벡터 Q¢=[Q₁ Q₂ ∙∙∙ Q_n]으로 배열하고, 이들 상품의 가격을 가격벡터 P=[P₁ P₂ ∙∙∙ P_n]으로 배열하면 이 두 벡터의 내적(inner product)은 다음과 같음.

Q¢∙P=Q₁P₁+Q₂P₂+ ∙∙∙ +Q_nP_n : 총구입비용

è

이러한 개념을 사용하면 곱행렬 C=AB의 원소 c_ij는 앞 행렬 A의 i번째 행과 뒤 행렬 B의 j번째 열의 내적 이라 할 수 있음.

l 행렬연산(matrix operation) l 행렬연산(matrix operation)

u 나눗셈의 문제 u 나눗셈의 문제

è

행렬은 숫자와 마찬가지로 덧셈, 뺄셈 및 곱셈이 가능 하지만 나눗셈은 불가능. 하나의 행렬을 다른 행렬로 나누는 것이 불가능함. 즉, A/B는 성립하지 않음.

è

대수의 경우 두 수 a, b에 대하여 몫 a/b(b¹0)는 ab^-1 또는 b^-1a로 나타낼 수 있음(여기서 b^-1는 b의 역수 (inverse or reciprocal)임).

è

행렬의 경우에는 어떤 특수한 경우에 한하여 행렬 B의 역이 되는 역행렬(inverse matrix) B^-1가 정의됨.

è

행렬은 숫자와 마찬가지로 덧셈, 뺄셈 및 곱셈이 가능 하지만 나눗셈은 불가능. 하나의 행렬을 다른 행렬로 나누는 것이 불가능함. 즉, A/B는 성립하지 않음.

è

대수의 경우 두 수 a, b에 대하여 몫 a/b(b¹0)는 ab^-1 또는 b^-1a로 나타낼 수 있음(여기서 b^-1는 b의 역수 (inverse or reciprocal)임).

è

행렬의 경우에는 어떤 특수한 경우에 한하여 행렬 B의 역이 되는 역행렬(inverse matrix) B^-1가 정의됨.

l 벡터연산에 관한 주석 l 벡터연산에 관한 주석

u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication) u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication)

è

벡터는 행렬의 특수한 형태임.

è

벡터는 그 차원상의 특수성 때문에 벡터연산에 관한 몇 가지 추가적인 주석이 필요함.

è

m´1 열벡터 u와 1´n 행벡터 v¢의 곱행렬 uv¢의 차원은 m´n이 됨.

è

벡터는 행렬의 특수한 형태임.

è

벡터는 그 차원상의 특수성 때문에 벡터연산에 관한 몇 가지 추가적인 주석이 필요함.

è

m´1 열벡터 u와 1´n 행벡터 v¢의 곱행렬 uv¢의 차원은 m´n이 됨.

l 벡터연산에 관한 주석 l 벡터연산에 관한 주석

u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication) u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication)

è

아래 u의 각 행과 v¢의 각 열은 오직 한 개의 원소로만 이루어졌기 때문에 uv¢의 각 원소는 곱들의 합이

아니라, 단 하나의 곱이 됨. 즉, 두 개의 벡터이지만 곱 uv¢은 하나의 2´3차원의 행렬이 됨.

u= v¢=[1 4 5]32 _{2´1 1´3}

3(1) 3(4) 3(5) 3 12 15

uv¢= =2(1) 2(4) 2(5) 2 8 10 _2´3

è

아래 u의 각 행과 v¢의 각 열은 오직 한 개의 원소로만 이루어졌기 때문에 uv¢의 각 원소는 곱들의 합이

아니라, 단 하나의 곱이 됨. 즉, 두 개의 벡터이지만 곱 uv¢은 하나의 2´3차원의 행렬이 됨.

u= v¢=[1 4 5]32 _{2´1 1´3}

3(1) 3(4) 3(5) 3 12 15

uv¢= =2(1) 2(4) 2(5) 2 8 10 _2´3

l 벡터연산에 관한 주석 l 벡터연산에 관한 주석

u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication) u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication)

è

1´n 행벡터 u¢과 n´1 열벡터 v가 주어지면 벡터의 곱 u¢v의 차원은 1´1이 됨.

u¢=[3 4]_1´2 v= 7 9 _2´1

u¢v=[3(9)+4(7)]=[27+28]=[55]_1´1

è

1´1 행렬은 덧셈과 뺄셈에서 스칼라와 동일한 특성을 가짐.

[4]+[8]=[12], [5]-[2]=[3], [3][7]=[21]

è

1´n 행벡터 u¢과 n´1 열벡터 v가 주어지면 벡터의 곱 u¢v의 차원은 1´1이 됨.

u¢=[3 4]_1´2 v= 7 9 _2´1

u¢v=[3(9)+4(7)]=[27+28]=[55]_1´1

è

1´1 행렬은 덧셈과 뺄셈에서 스칼라와 동일한 특성을 가짐.

[4]+[8]=[12], [5]-[2]=[3], [3][7]=[21]

l 벡터연산에 관한 주석 l 벡터연산에 관한 주석

u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication) u 벡터끼리의 곱셈 (multiplication)

è

행벡터가 u¢=[3 6 9]일 때 u¢u를 구하면 다음과 같음.

3 u¢=[3 6 9] u= 6

9 u¢u=(3)²+(6)²+(9)²=[126]

è

스칼라 곱은 앞 행렬로서 행벡터를 가져야 하고, 뒤 행렬로서 열벡터를 가져야만 함.

그래야만 1´1이 됨.

è

행벡터가 u¢=[3 6 9]일 때 u¢u를 구하면 다음과 같음.

3 u¢=[3 6 9] u= 6

9 u¢u=(3)²+(6)²+(9)²=[126]

è

스칼라 곱은 앞 행렬로서 행벡터를 가져야 하고, 뒤 행렬로서 열벡터를 가져야만 함.

그래야만 1´1이 됨.

l 벡터연산에 관한 주석 l 벡터연산에 관한 주석

u 벡터연산의 기하학적 해석 (geometric interpretation) u 벡터연산의 기하학적 해석 (geometric interpretation)

è

스칼라 곱은 두 벡터 u와 v의 각 화살표 끝의 위치를 변경시키고 두 벡터의 덧셈은 평행사변형을 구성함.

è

스칼라 곱은 두 벡터 u와 v의 각 화살표 끝의 위치를

변경시키고 두 벡터의 덧셈은 평행사변형을 구성함.

l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

u 스칼라 대수 (scalar algebra) u 스칼라 대수 (scalar algebra)

è

통상적인 스칼라 대수에서 덧셈과 곱셈은 교환법칙 (commutative law), 결합법칙(associative law), 분배법칙 (distributive law)을 만족

- 덧셈의 교환법칙 : a+b=b+a - 곱셈의 교환법칙 : ab=ba

- 덧셈의 결합법칙 : (a+b)+c=a+(b+c) - 곱셈의 결합법칙 : (ab)c=a(bc)

- 분배법칙 : a(b+c)=ab+ac

è

통상적인 스칼라 대수에서 덧셈과 곱셈은 교환법칙 (commutative law), 결합법칙(associative law), 분배법칙 (distributive law)을 만족

- 덧셈의 교환법칙 : a+b=b+a - 곱셈의 교환법칙 : ab=ba

- 덧셈의 결합법칙 : (a+b)+c=a+(b+c) - 곱셈의 결합법칙 : (ab)c=a(bc)

- 분배법칙 : a(b+c)=ab+ac

l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

u 행렬의 덧셈 u 행렬의 덧셈

è

행렬의 덧셈은 교환법칙뿐만 아니라 결합법칙도 성립 - 교환법칙 :

A+B=B+A

® A+B=[a_ij]+[b_ij]=[a_ij+b_ij]=[b_ij+a_ij]=B+A - 결합법칙 :

(A+B)+C=A+(B+C)

® (A+B)+C=[a_ij+b_ij]+[c_ij]=[a_ij+b_ij+c_ij]

=[a_ij]+[b_ij+c_ij]=A+(B+C)

è

행렬의 덧셈은 교환법칙뿐만 아니라 결합법칙도 성립 - 교환법칙 :

A+B=B+A

® A+B=[a_ij]+[b_ij]=[a_ij+b_ij]=[b_ij+a_ij]=B+A - 결합법칙 :

(A+B)+C=A+(B+C)

® (A+B)+C=[a_ij+b_ij]+[c_ij]=[a_ij+b_ij+c_ij]

=[a_ij]+[b_ij+c_ij]=A+(B+C)

l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

u 행렬의 곱셈 u 행렬의 곱셈

è

행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않지만 결합법칙은 만족

- 교환법칙 : AB¹BA

- 예외 : A가 정방행렬, B가 항등행렬인 경우, A가 B의 역행렬(A=B^-1)인 경우

- 그러나 행렬의 스칼라 곱은 교환법칙을 반드시 만족 kA=Ak

- 결합법칙 : (AB)C=A(BC)

인접한 한 쌍의 행렬은 적합성조건을 충족해야 함.

® A가 m´n이고 C가 p´q이면 B는 n´p이어야 함.

è

행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않지만

결합법칙은 만족 - 교환법칙 : AB¹BA

- 예외 : A가 정방행렬, B가 항등행렬인 경우, A가 B의 역행렬(A=B^-1)인 경우

- 그러나 행렬의 스칼라 곱은 교환법칙을 반드시 만족 kA=Ak

- 결합법칙 : (AB)C=A(BC)

인접한 한 쌍의 행렬은 적합성조건을 충족해야 함.

® A가 m´n이고 C가 p´q이면 B는 n´p이어야 함.

l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 l 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

u 행렬의 곱셈 u 행렬의 곱셈

è

행렬의 곱셈은 분배법칙을 만족 - 분배법칙 :

A(B+C)=AB+AC (pre-multiply by A) (B+C)A=BA+CA (post-multiply by A)

- 단, 덧셈과 곱셈의 적합성조건이 충족되어야 함.

è

행렬의 곱셈은 분배법칙을 만족 - 분배법칙 :

A(B+C)=AB+AC (pre-multiply by A) (B+C)A=BA+CA (post-multiply by A)

- 단, 덧셈과 곱셈의 적합성조건이 충족되어야 함.

l 항등행렬과 영행렬 l 항등행렬과 영행렬

u 항등행렬 (identity matrix) u 항등행렬 (identity matrix)

è

항등행렬(identity matrix)은 주대각선의 원소가 모두 1이고, 비대각원소는 모두 0인 정방행렬(square matrix) 로 기호 I 또는 I_n으로 표시

- 단위행렬(unit matrix)이라고도 함.

- 여기서 하첨자 n은 행이나 열의 차원을 나타냄. 1 0 0

I₃= 0 1 0 0 0 1

è

항등행렬의 특성은 스칼라 대수에서 1과 비슷한 역할 I ∙ A=A ∙ I=A

è

항등행렬(identity matrix)은 주대각선의 원소가 모두 1이고, 비대각원소는 모두 0인 정방행렬(square matrix) 로 기호 I 또는 I_n으로 표시

- 단위행렬(unit matrix)이라고도 함.

- 여기서 하첨자 n은 행이나 열의 차원을 나타냄. 1 0 0

I₃= 0 1 0 0 0 1

è

항등행렬의 특성은 스칼라 대수에서 1과 비슷한 역할 I ∙ A=A ∙ I=A

l 항등행렬과 영행렬 l 항등행렬과 영행렬

u 항등행렬 (identity matrix) u 항등행렬 (identity matrix)

è

임의의 행렬 A에 대해 IA=AI=A의 의미는 다음과 같음.

1 2 3 1 0 A= I=

2 0 3 0 1

1 0 1 2 3 1 2 3

IA= = =A 0 1 2 0 3 2 0 3

è

항등행렬은 곱셈과정에서 행렬곱의 값에 영향을 주지 않고 항등행렬을 삭제(삽입)할 수 있다는 것을 의미

è

만약 A=I_n일 때 AI_n=(I_n)²=I_n이 됨. 이를 일반화하면

(I_n)^k=I_n (k=1, 2, ∙∙∙)

è

이러한 행렬을 멱등행렬(idempotent matrix)이라 함.

è

임의의 행렬 A에 대해 IA=AI=A의 의미는 다음과 같음.

1 2 3 1 0 A= I=

2 0 3 0 1

1 0 1 2 3 1 2 3

IA= = =A 0 1 2 0 3 2 0 3

è

항등행렬은 곱셈과정에서 행렬곱의 값에 영향을 주지 않고 항등행렬을 삭제(삽입)할 수 있다는 것을 의미

è

만약 A=I_n일 때 AI_n=(I_n)²=I_n이 됨. 이를 일반화하면

(I_n)^k=I_n (k=1, 2, ∙∙∙)

è

이러한 행렬을 멱등행렬(idempotent matrix)이라 함.

l 항등행렬과 영행렬 l 항등행렬과 영행렬

u 멱등행렬과 영행렬 (idempotent matrix and null matrix) u 멱등행렬과 영행렬 (idempotent matrix and null matrix)

è

멱등행렬(idempotent matrix) :

행렬을 몇 번 곱해도 그 멱이 변하지 않는, 즉 다음의 성질을 갖는 행렬(예 : 항등행렬, 영행렬)

AA=(A)²=A

è

영행렬(null or zero matrix)

모든 원소가 0인 행렬로 알파벳 대문자로 O로 나타냄.

è

항등행렬(I)이 숫자 1의 역할을 한다면 영행렬(O)은 숫자 0의 역할을 함.

è

멱등행렬(idempotent matrix) :

행렬을 몇 번 곱해도 그 멱이 변하지 않는, 즉 다음의 성질을 갖는 행렬(예 : 항등행렬, 영행렬)

AA=(A)²=A

è

영행렬(null or zero matrix)

모든 원소가 0인 행렬로 알파벳 대문자로 O로 나타냄.

è

항등행렬(I)이 숫자 1의 역할을 한다면 영행렬(O)은 숫자 0의 역할을 함.

l 항등행렬과 영행렬 l 항등행렬과 영행렬

u 영행렬 (null matrix) u 영행렬 (null matrix)

è

영행렬은 정방행렬일 필요는 없음.

è

그러므로 영행렬은 다음과 같이 쓸 수 있음. 0 0 0 0 0

O= O=

0 0 0 0 0

è

정방인 영행렬은 멱등행렬이지만 정방이 아닌 영행렬은 멱등행렬이 아님(곱셈의 적합성조건 때문).

è

A_m´n+O_m´n=O_m´n+A_m´n=A_m´n, (-A)_m´n+A_m´n=A_m´n+(-A)_m´n=O_m´n

è

A_m´nO_n´p=O_m´p 및 O_q´mA_m´n=O_q´n

- 곱셈에서 등호의 좌변에 있는 영행렬과 우변에 있는 영행렬은 서로 차원이 다를 수 있음.

è

영행렬은 정방행렬일 필요는 없음.

è

그러므로 영행렬은 다음과 같이 쓸 수 있음. 0 0 0 0 0

O= O=

0 0 0 0 0

è

정방인 영행렬은 멱등행렬이지만 정방이 아닌 영행렬은 멱등행렬이 아님(곱셈의 적합성조건 때문).

è

A_m´n+O_m´n=O_m´n+A_m´n=A_m´n, (-A)_m´n+A_m´n=A_m´n+(-A)_m´n=O_m´n

è

A_m´nO_n´p=O_m´p 및 O_q´mA_m´n=O_q´n

- 곱셈에서 등호의 좌변에 있는 영행렬과 우변에 있는 영행렬은 서로 차원이 다를 수 있음.

l 항등행렬과 영행렬 l 항등행렬과 영행렬

u 행렬대수의 특이성 (idosyncrasies) u 행렬대수의 특이성 (idosyncrasies)

è

스칼라 대수의 경우 ab=0 ® a 또는 b=0

è

행렬의 경우

AB=O ® A와 B가 O이 아닌 경우가 있음.

2 4 -2 4 2(-2)+4(1) 2(4)+4(-2) 0 0

AB= = =

1 2 1 -2 1(-2)+2(1) 1(4)+2(-2) 0 0

=O

è

스칼라 대수의 경우 ab=0 ® a 또는 b=0

è

행렬의 경우

AB=O ® A와 B가 O이 아닌 경우가 있음.

2 4 -2 4 2(-2)+4(1) 2(4)+4(-2) 0 0

AB= = =

1 2 1 -2 1(-2)+2(1) 1(4)+2(-2) 0 0

=O

l 항등행렬과 영행렬 l 항등행렬과 영행렬

u 행렬대수의 특이성 (idosyncrasies) u 행렬대수의 특이성 (idosyncrasies)

è

스칼라 대수의 경우

ad=ae ® d=e (\a¹0)

è

행렬의 경우

AD=AE ® 반드시 D=E인 것은 아님.

2 3 1 1 -2 1 A= D= E=

6 9 1 2 3 2 5 8

AD=AE= ® D¹E 15 24

è

이와 같은 특이한 결과들은 특이행렬(singular matrix)로 알려진 특수한 형태의 행렬에서만 발생함.

è

스칼라 대수의 경우

ad=ae ® d=e (\a¹0)

è

행렬의 경우

AD=AE ® 반드시 D=E인 것은 아님.

2 3 1 1 -2 1 A= D= E=

6 9 1 2 3 2 5 8

AD=AE= ® D¹E 15 24

è

이와 같은 특이한 결과들은 특이행렬(singular matrix)로 알려진 특수한 형태의 행렬에서만 발생함.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 전치행렬 (transpose matrix) u 전치행렬 (transpose matrix)

è

전치행렬 :

행렬 A에서 행들과 열들이 서로 바뀔 때 A의 전치행렬을 얻으며, 이를 A¢ 또는 A^T로 표시 : A=[a_ij]_m´n ® A¢=[a_ji]_n´m - 행렬 A가 m´n이면 그 전치행렬 A¢은 n´m이 됨.

3 1 A= A¢= 8 0 -9 4

- 행벡터 x¢은 열벡터 x를 전치연산한 것임.

- n´n 정방행렬은 동일한 차원의 전치행렬이 됨.

è

전치행렬 :

행렬 A에서 행들과 열들이 서로 바뀔 때 A의 전치행렬을 얻으며, 이를 A¢ 또는 A^T로 표시 : A=[a_ij]_m´n ® A¢=[a_ji]_n´m - 행렬 A가 m´n이면 그 전치행렬 A¢은 n´m이 됨.

3 1 A= A¢= 8 0 -9 4

- 행벡터 x¢은 열벡터 x를 전치연산한 것임.

- n´n 정방행렬은 동일한 차원의 전치행렬이 됨.

3 8 -9 1 0 4

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 전치행렬 (transpose matrix) u 전치행렬 (transpose matrix)

è

대칭행렬(symmetric matrix) :

- 정방행렬의 특수한 형태인 대칭행렬은 주대각선을 중심으로(하나의 거울로 간주) 양쪽에 위치하는 원소들이 대칭으로 배열된 것(D=D¢)

1 0 4 1 0 4 D= 0 3 7 D¢= 0 3 7 4 7 2 4 7 2

- 또 다른 예는 항등행렬(I)이며, 이는 대칭행렬로서 I=I¢임.

è

대칭행렬(symmetric matrix) :

- 정방행렬의 특수한 형태인 대칭행렬은 주대각선을 중심으로(하나의 거울로 간주) 양쪽에 위치하는 원소들이 대칭으로 배열된 것(D=D¢)

1 0 4 1 0 4 D= 0 3 7 D¢= 0 3 7 4 7 2 4 7 2

- 또 다른 예는 항등행렬(I)이며, 이는 대칭행렬로서 I=I¢임.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 전치행렬 (transpose matrix) u 전치행렬 (transpose matrix)

è

전치행렬의 성질 :

① 전치행렬의 전치행렬은 원래의 행렬이 됨. (A¢)¢=A

② 합의 전치행렬은 전치행렬의 합과 같음. (A+B)¢=A¢+B¢

③ 곱의 전치행렬은 전치행렬의 역순(in reverse order)의 곱과 같음.

(AB)¢=B¢A¢

è

전치행렬의 성질 :

① 전치행렬의 전치행렬은 원래의 행렬이 됨. (A¢)¢=A

② 합의 전치행렬은 전치행렬의 합과 같음. (A+B)¢=A¢+B¢

③ 곱의 전치행렬은 전치행렬의 역순(in reverse order)의 곱과 같음.

(AB)¢=B¢A¢

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬 (inverse matrix) u 역행렬 (inverse matrix)

è

역행렬(inverse matrix)

- 행렬 A가 주어지면 전치행렬 A¢은 항상 존재하지만 행렬 A에서 유도되어지는 역행렬은 존재하지 않을 수도 있음.

- 역행렬의 개념(정의) :

일반적으로 n´n인 정방행렬 A에 대해서 AB=BA=I_n

을 만족하는 n´n 행렬 B가 존재할 때 행렬 B를 행렬 A의 역행렬이라 하며 A^-1(inverse A)로 표기됨.

è

역행렬(inverse matrix)

- 행렬 A가 주어지면 전치행렬 A¢은 항상 존재하지만 행렬 A에서 유도되어지는 역행렬은 존재하지 않을 수도 있음.

- 역행렬의 개념(정의) :

일반적으로 n´n인 정방행렬 A에 대해서 AB=BA=I_n

을 만족하는 n´n 행렬 B가 존재할 때 행렬 B를 행렬 A의 역행렬이라 하며 A^-1(inverse A)로 표기됨.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬 (inverse matrix) u 역행렬 (inverse matrix)

è

역행렬의 성질 :

① 모든 정방행렬이 역행렬을 갖는 것은 아님. 즉, 정방행렬은 역행렬의 필요조건임.

정방행렬 A가 역행렬을 갖는다면 A를 비특이행렬 (non-singular matrix)이라 하고, 갖지 않는다면 A를 특이행렬(singular matrix)이라 함.

② A^-1가 존재하면 A와 A^-1는 서로 상대방의 역행렬임.

③ 행렬 A가 n´n이면 A^-1도 n´n이어야 함.

è

역행렬의 성질 :

① 모든 정방행렬이 역행렬을 갖는 것은 아님. 즉, 정방행렬은 역행렬의 필요조건임.

정방행렬 A가 역행렬을 갖는다면 A를 비특이행렬 (non-singular matrix)이라 하고, 갖지 않는다면 A를 특이행렬(singular matrix)이라 함.

② A^-1가 존재하면 A와 A^-1는 서로 상대방의 역행렬임.

③ 행렬 A가 n´n이면 A^-1도 n´n이어야 함.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬 (inverse matrix) u 역행렬 (inverse matrix)

è

역행렬의 성질 :

④ 역행렬이 존재하면 그것은 유일함. AB=BA=I (여기서 B는 A의 역행렬)

AC=CA=I를 충족하는 또 다른 행렬 C가 존재한다 가정하고, AB=I의 양변에 C를 앞 곱하면

CAB=CI(=C)

가정에 의해 CA=I이므로 위 식은

IB=C, 즉 B=C (B와 C는 동일한 역행렬임.)

이 때문에 A^-1는 A의 유일한 역행렬(the inverse)임.

è

역행렬의 성질 :

④ 역행렬이 존재하면 그것은 유일함. AB=BA=I (여기서 B는 A의 역행렬)

AC=CA=I를 충족하는 또 다른 행렬 C가 존재한다 가정하고, AB=I의 양변에 C를 앞 곱하면

CAB=CI(=C)

가정에 의해 CA=I이므로 위 식은

IB=C, 즉 B=C (B와 C는 동일한 역행렬임.)

이 때문에 A^-1는 A의 유일한 역행렬(the inverse)임.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬 (inverse matrix) u 역행렬 (inverse matrix)

è

역행렬의 성질 :

⑤ 역행렬은 다음과 같은 관계가 성립함 : - 역행렬의 역행렬은 원래의 행렬이 됨.

(A^-1)^-1=A (A와 A^-1는 서로 상대방의 역행렬) - 곱의 역행렬은 순서를 바꾼 역행렬의 곱과 같음.

(AB)^-1=B^-1A^-1

- 전치행렬의 역행렬은 역행렬의 전치행렬이 됨.

(A¢)^-1=(A^-1)¢

è

역행렬의 성질 :

⑤ 역행렬은 다음과 같은 관계가 성립함 : - 역행렬의 역행렬은 원래의 행렬이 됨.

(A^-1)^-1=A (A와 A^-1는 서로 상대방의 역행렬) - 곱의 역행렬은 순서를 바꾼 역행렬의 곱과 같음.

(AB)^-1=B^-1A^-1

- 전치행렬의 역행렬은 역행렬의 전치행렬이 됨.

(A¢)^-1=(A^-1)¢

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬 (inverse matrix) u 역행렬 (inverse matrix)

è

역행렬을 구하는 방법

A= 의 역행렬이 존재한다고 가정하고,a b c d _2´2

A^-1= 라고 하면 AAx y ^-1=I가 되어야 하기 때문에 z w _2´2

a b x y ax+bz ay+bw 1 0 AA^-1= = =

c d z w cx+dz cy+dw 0 1 이때 행렬이 서로 같을 조건에 의하여

ax+bz=1 ∙∙∙ ⑴ ay+bw=0 ∙∙∙ ⑵ cx+dz=0 ∙∙∙ ⑶ cy+dw=1 ∙∙∙ ⑷

è

역행렬을 구하는 방법

A= 의 역행렬이 존재한다고 가정하고,a b c d _2´2

A^-1= 라고 하면 AAx y ^-1=I가 되어야 하기 때문에 z w _2´2

a b x y ax+bz ay+bw 1 0 AA^-1= = =

c d z w cx+dz cy+dw 0 1 이때 행렬이 서로 같을 조건에 의하여

ax+bz=1 ∙∙∙ ⑴ ay+bw=0 ∙∙∙ ⑵ cx+dz=0 ∙∙∙ ⑶ cy+dw=1 ∙∙∙ ⑷

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬 (inverse matrix) u 역행렬 (inverse matrix)

- 여기서 앞의 식을 다시 정리하면 [⑴´d]-[⑶´b] : (ad-bc)x=d ∙∙∙ ⑸ [⑵´d]-[⑷´b] : (ad-bc)y=-b ∙∙∙ ⑹ [⑶´a]-[⑴´c] : (ad-bc)z=-c ∙∙∙ ⑺ [⑷´a]-[⑵´c] : (ad-bc)w=a ∙∙∙ ⑻ - (ad-bc)¹0일 때 ⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서

x= , y= , z= , w=

- 여기서 앞의 식을 다시 정리하면 [⑴´d]-[⑶´b] : (ad-bc)x=d ∙∙∙ ⑸ [⑵´d]-[⑷´b] : (ad-bc)y=-b ∙∙∙ ⑹ [⑶´a]-[⑴´c] : (ad-bc)z=-c ∙∙∙ ⑺ [⑷´a]-[⑵´c] : (ad-bc)w=a ∙∙∙ ⑻ - (ad-bc)¹0일 때 ⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서

x= , y= , z= , w=d ad-bc

-c ad-bc

a ad-bc -b

ad-bc

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬 (inverse matrix) u 역행렬 (inverse matrix)

- 이를 역행렬 A^-1에 대입하면

A^-1= =x y z w

d -b

= -c a

- (ad-bc)=0일 때 ⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서

a=0, b=0, c=0, d=0이므로 ax+bz=1, cy+dw=1에 모순. 따라서 A의 역행렬은 존재하지 않음.

- 이를 역행렬 A^-1에 대입하면

A^-1= =x y z w

d -b

= -c a

- (ad-bc)=0일 때 ⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서

a=0, b=0, c=0, d=0이므로 ax+bz=1, cy+dw=1에 모순. 따라서 A의 역행렬은 존재하지 않음.

d ad-bc

-c ad-bc

a ad-bc

-b ad-bc

1 ad-bc

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬을 구하는 방법 : 정리 u 역행렬을 구하는 방법 : 정리

a b d -b A= Þ A^-1=

c d -c a a b d -b A= Þ A^-1=

c d -c a 1

ad-bc

서로 자리 바꾸기 (주대각선)

부호를 반대로 바꾸기 (비대각선)

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬과 선형방정식체계의 해 u 역행렬과 선형방정식체계의 해

è

역행렬의 개념은 연립방정식의 해를 구하는데 응용됨.

è

방정식체계를 다음과 같이 행렬기호로 나타냄.

A x = d

(3´3) (3´1) (3´1)

- 이제 역행렬 A^-1가 존재한다면 위 식의 양변을 A^-1로 앞 곱(pre-multiply)을 해주면

A^-1Ax=A^-1d 또는 x = A^-1 d

(3´1) (3´3) (3´1)

è

여기서 x는 방정식체계를 충족시키는 변수들의 값, 즉 해값의 집합이 됨.

è

역행렬의 개념은 연립방정식의 해를 구하는데 응용됨.

è

방정식체계를 다음과 같이 행렬기호로 나타냄.

A x = d

(3´3) (3´1) (3´1)

- 이제 역행렬 A^-1가 존재한다면 위 식의 양변을 A^-1로 앞 곱(pre-multiply)을 해주면

A^-1Ax=A^-1d 또는 x = A^-1 d

(3´1) (3´3) (3´1)

è

여기서 x는 방정식체계를 충족시키는 변수들의 값, 즉 해값의 집합이 됨.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬과 선형방정식체계의 해 u 역행렬과 선형방정식체계의 해

è

역행렬 A^-1가 존재하는 경우 그것은 유일하기 때문에 A^-1d는 유일한 해값의 벡터가 됨.

è

따라서 x 벡터가 (유일한) 해의 자격을 가진 것을 나타내기 위하여 이것을 x*라고 쓰기로 함.

è

역행렬 A^-1가 존재하는 경우 그것은 유일하기 때문에 A^-1d는 유일한 해값의 벡터가 됨.

è

따라서 x 벡터가 (유일한) 해의 자격을 가진 것을 나타내기 위하여 이것을 x*라고 쓰기로 함.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 역행렬과 선형방정식체계의 해 : 요약 정리 u 역행렬과 선형방정식체계의 해 : 요약 정리

è

계수행렬 A가 비특이행렬인 경우 선형방정식체계 Ax=d의 해를 구하는 하나의 방법은

① 우선 역행렬 A^-1를 구하고,

② 그 다음에 상수벡터 d에 A^-1를 앞 곱(pre-multiply) 하는 것임.

è

그러면 곱 A^-1d는 변수들의 해값을 줌.

è

계수행렬 A가 비특이행렬인 경우 선형방정식체계 Ax=d의 해를 구하는 하나의 방법은

① 우선 역행렬 A^-1를 구하고,

② 그 다음에 상수벡터 d에 A^-1를 앞 곱(pre-multiply) 하는 것임.

è

그러면 곱 A^-1d는 변수들의 해값을 줌.

l 전치행렬과 역행렬 l 전치행렬과 역행렬

u 예제 : Keynes의 단순한 국민소득모형 u 예제 : Keynes의 단순한 국민소득모형

è

역행렬과 모형의 해

Y=C+I₀+G₀ ® Y-C=I₀+G₀ C=a+bY ® -bY+C=a

- 위 식을 행렬표기 Ax=d로 나타내면 1 -1 Y I₀+G₀ A= x= d=

-b 1 C a

- 행렬 A의 역행렬 A^-1와 모형의 해 x*= A^-1d 1 1

A^-1=

b 1

Y* 1 1 I₀+G₀ I₀+G₀+a

= =

C* b 1 a b(I₀+G₀)+a

è

역행렬과 모형의 해

Y=C+I₀+G₀ ® Y-C=I₀+G₀ C=a+bY ® -bY+C=a

- 위 식을 행렬표기 Ax=d로 나타내면 1 -1 Y I₀+G₀ A= x= d=

-b 1 C a

- 행렬 A의 역행렬 A^-1와 모형의 해 x*= A^-1d 1 1

A^-1=

b 1

Y* 1 1 I₀+G₀ I₀+G₀+a

= =

C* b 1 a b(I₀+G₀)+a 1

1-b 1 1-b

1 1-b