◇ Newton의 운동 법칙 : in "Principia"

5.1 힘의 개념

5.2 뉴턴의 제1법칙과 관성틀 5.3 질 량

5.4 뉴턴의 제2법칙 5.5 중력과 무게

5.6 뉴턴의 제3법칙 5.7 뉴턴 법칙의 응용 5.8 마찰력

◇ Newton의 운동 법칙 : in "Principia"

o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

"자연철학의 수학적 원리" (1686)

5장. 운동의 법칙

(The Laws of Motion)

• 2장과 4장에서는 운동이 왜 일어나는가를 고려하지 않고 위치, 속도, 가속도로 물체의 운동을 정의 (운동학)

이제 무엇이 물체의 운동을 변화시키는가를 공부

- 고려해야 할 두 개의 중요한 요인은 물체에 가해지는 힘과 물체의 질량 이 장에서는 거의 3세기 전에 뉴턴(Isaac Newton, 1642-1727)에 의해

공식화된 힘과 질량에 관한 3개의 운동 법칙을 다룸 (달의 운동, 사과의 떨어짐 (만유인력)……

1665~1666년, 유럽의 흑사병 창궐, 1687년 저서 ‘프린키피아’ 발표) -이 법칙을 이해하고 나면

“무엇이 운동 상태를 변화시키는가?”

“왜 어떤 물체가 다른 것보다 빨리 가속되는가?”의 질문에 답을 할 수

있게 됨

2

5.1 힘의 개념

(The Concept of Force)

5.1 힘의 개념

(The Concept of Force)

힘 (Force) : 물체의 운동 상태를 변화시킬 수 있는 작용

접촉력 (Contact Force) : 두 물체 사이에 물리적인 접촉을 수반하는 힘

마당힘 (Field Force) : 빈 공간을 통해 작용

- 알짜힘 (Net Force) : 물체의 외부에서 그 물체에 작용하는 모든 순힘

→ 알짜힘은 물체에 작용하여 가속도에 변화를 일으킨다.

→ 알짜힘의 증가 → 물체에 작용하는 외부 힘의 증가

⇒ 물체의 운동에 가속도가 증가

⇒ Newton의 제 2 법칙

o 힘의 정의 (Newton) :

- 질량 1㎏을 1㎨으로 가속시키는데 필요한 힘 - 단위 : 1㎏㎨ = 1

N

(

N

: Newton)

cf

) 질량 약 100

g

의 무게 (∵ 중력가속도

g

≒10㎨)

cf

) cgs 계 : 1

g㎝

/sec² = 1dyne

cf

) lb (Pound : 영국에서의 단위, 실제로는 미국에서 사용)

중력가속도

g

= 32.1734 ft/sec² 인 지구상의 어떤 장소에서 질량이 0.4539237㎏ 인 물체의 무게

1 lb = 1 ft/sec² = 1 slug ft/sec² ≒ 4.45

N

(참고) 자연에 존재하는 기본적인 힘들은 모두 마당힘

(1) 두 물체 사이의 중력

(2) 전하와 전하 사이에 작용하는 전자기력 (3) 원자핵 내부에서 작용하는 강한 핵력

(4) 어떤 방사성 붕괴 과정에서 나타나는 약력

고전 물리학에서는 단지 중력과 전자기력에 대해서만 고려 -우주는 Quark와 Lepton 등의 입자와 이들의 반입자로 구성

-우주에 존재하는 물질과 현상들은 이 4개의 상호작용과 이 입자들로 설명 (표준이론)

-통일장이론

-초끈이론

₅

 힘의 벡터 성질

24 .

2

2

2 2

1

 

 F F 3 F

2 1  

 F

한 물체에 두 힘이 작용할 때, 각 힘의 방향에 따라서 대상 물

체가 받는 알짜힘의 크기와 방향이 달라진다. 따라서, 힘의 벡

터의 성질을 갖고 있음을 알 수 있다.

o 알짜힘 (Net Force, 벡터힘, Vector Force) - 물체에 작용하는 알짜 외부 힘

- Σ : Summation (Sigma) "합"을 의미 - 뉴턴의 제2 법칙의 응용 : 가속도의 법칙

- 물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 모든 알짜힘

(물체에 작용하는 외부의 힘) 들의 Vector 합이 된다.

o 자유물체도 (Degree of Freedom) - 성분 분해 :

a m F  

 

x

x

ma

F 

  ^F

^y

^{ ma}

^y

 ^F

^z

^{ ma}

^z

cf

) 정지상태의 물리학

- 물체에 작용하는 알짜힘 = 0

- 평형 상태 Equilibrium ("병진 평형")

 ^{F }  0

5.2 뉴턴의 제1법칙과 관성틀

(Newton’s First Law and Inertial Frames)

5.2 뉴턴의 제1법칙과 관성틀

(Newton’s First Law and Inertial Frames)

o 제 1 법칙 : "Law of Inertia" (관성의 법칙)

모든 물체는 외부에서의 힘의 작용에 의하여 운동 상태를 변경하도록 강요(알짜힘) 당하지 않는 한

정지 상태나 등속 직선 운동의 상태를 계속 유지한다.

- 관성(Inertia) : 물체가 정지 상태나 등속직선운동 상태를 유지하고자 하는 경향 - 관성계(Inertia System) : 관성을 지키는 System

⇒ Galilean Transformation 성립

cf

) Inertial Reference Frame

cf

) 비관성계 : Newton 역학이 성립하지 않는다.

한 물체가 다른 어떤 물체와도 상호 작용하지 않으면, 이 물체의 가속도가 영인 기준틀이 존재한다.

이러한 기준틀을 관성 기준틀(inertial frame of reference)이라고 한다. 관 성틀에 대해 등속으로 움직이는 기준틀은 모두 관성틀이다.

관성 기준틀에서 볼 때, 외력이 없다면 정지해 있는 물체는 정지 상태를 유지하고, 등속 직선 운동하는 물체는 계속해서 그 운동 상 태를 유지한다.

지구는 태양 주위로 공전 운동을 하고 지구 축에 대해 자전 운동을 해서 두 회전 운동의 구심 가속도를 가지므로 관성틀이 아니다. 그러나 이 가 속도는 중력 가속도

g

에 비해 작아서 무시할 수 있다. 따라서 지구와 지 구 상에 고정된 좌표계를 관성틀로 취급한다.

o 관성 기준틀 "Inertial Reference Frame"

Newton의 제 1 법칙이 성립하는 기준틀

ex

) 지구

cf

) 비관성 기준틀 : Newton의 제 1 법칙이 성립하지 않는 기준틀

ex

) 달리는 기차내의 사람은 기차 안 에서는 정지상태

질량(mass): 속도의 변화를 거스르는 정도를 나타내는 물체의 속성

5.3 질량

(Mass)

5.3 질량

(Mass)

- 질량 (Mass) : 물체가 가지는 고유의 물질의 양 → 관성계에 무관한 양

1 2 2

1

a a m m 

두 질량의 비는 작용한 힘에 의해 발생하는 가속도 크기의 역비로 정의

질량은 물체가 가지고 있는 고유 속성으로 주위 환경과 그것을 측정하는 절 차에 무관하다. 또한 질량은 스칼라량이며 보통의 산술 법칙을 따른다.

질량과

무게

는 서로 다른 양이다. 물체의 무게는 그것에 작용하는 중력의 크 기와 같고 물체의 위치에 따라 달라진다.

mg W 

o

관성 질량

:

- 동일한 두힘

F

가 두 개의 질량

m

₁과

m

₂를 각각 가속시킬 경우,

m

₁을 알고 있다면,

a

₁과

a

₂를 측정함으로써 미지의 질량

m

₂를 알 수 있다.

pf

)

1 1

1

m a

F  

 F 

₂

m

₂

a 

₂



2 2 2

1 1

1

m a F F m a

F     









1 2 2

1

a a m

m 

 

∴ ¹

2 1

2

m

a m a 

 

m

  F a

a F  m



5.4 뉴턴의 제2법칙

(Newton’s Second Law)

5.4 뉴턴의 제2법칙

(Newton’s Second Law)

관성 기준틀에서 관찰할 때 물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 알짜힘에 비례하고 물체의 질량에 반비례한다.

비례상수를 1로 하면

z z

y y

x

x ma F ma F ma

F     



벡터 표현을 성분으로 표현하면

단위: 1 N  1 kg  m / s

²

- 제 2 법칙 : 가속도의 법칙 ⇒ 힘(Net Force)의 법칙

Aside) o (선)운동량 (Linear Moment, "Momentum" or Momenta") - 뷔리당 (Jean Buridan 1330년대)

- 나무공과 쇠공이 같은 초속도로 출발시 쇠공이 더 멀리 나간다.

- 무거운 쇠공이 가벼운 나무공보도 운동량이 더 크고 속도와 같은 방향 -

Define

) "Momentum" :

- 갈릴레오 Galileo Galilei (1564 ~ 1642) : "Momento"

- 데카르트 : 운동의 양 "Quantity of Motion"

o 뉴턴 (Newton) : 운동량 "Momentum"

- Quantity of Motion의 라틴어

- 운동의 변화는 가해진 힘에 비례하고, 힘이 가해진 직선 방향으로 일어난다 - 제2법칙 : 물체에 작용한 힘은 물체의 운동량의 변화율과 같다

v m p   

p F 

_av







cf

) 이때 운동량은 힘의 작용시간에도 비례한다

t

F p 

_av



  

비례계수를 1로 하면, (운동량과 힘은 같은 방향)

t

F p 

_av



  

t F

_av

p



  



- 힘 = 운동량의 순간 변화율 (힘의 재정의)

dt p d t

t p F

t



 

 

 



lim

 0

) (

o Modified "Newton's 2nd Law“

- 헤르만 (Jacob Hermann) and 오일러 (Leonhard Euler)

a

dt m v m d dt

v m d dt

p t d

F     







 ( )

)

(

_∵

dt v a d

   dm  0

∴

F  m a 



Modified "Newton's 2nd Law"

Bump (혹)

Aside Ex)

A person walking at 1㎧. Hits his head on a steel beam. Assume his head stops in 0.5㎝ in about 0.01sec. Assume the mass of his head is 4㎏.

sec 4kg

) sec 0

- sec (1

kg 4 )

( mv m v m m m

p       



Sol

cf

)

v

Δ

m

=0 ∵ Δ

m

= 0 (변화하지 않는 양)

m N

kg t

F mv 400

sec 01 . 0

sec 4

)

(  



 

a

) What is the force developed?

b

) If beam has 2㎝ of padding, that increase Δ

t

to 0.04sec

m N

kg t

F mv 100

sec 04 . 0

sec 4

)

(  



 

가속되는 하키 퍽

예제 5.1

가속도의 크기

N

F F

F F

F

_{x x x}

7

. 8

) 60 cos(

) 20

cos(

₂

1 2

1













  

/

2

3 29 . 0

7 .

8 m s m

a

_x

  F

^x

 

질량이 0.30 kg인 하키 퍽이 스케이트장에 마찰없이 수평 방향으로 미끄러지고 있 다. 그림 5.4처럼 두 개의 하키 스틱이 동시에 퍽을 가격하여 힘이 작용했다. F1은 크기가 5.0N이고 F2는 크기가 8.0N이다. 퍽이 가속되는 가속도의 크기와 방향은 어떻게 되겠는가?

N

F F

F F

F

^y _{y y}

2

. 5

) 60 sin(

) 20

sin(

₂

1 2

1













  

/

2

3 17 . 0

2 .

5 m s

m

a

_y

 F

^y

 



2 2

2

17 34 /

29 m s

a   

가속도의 방향

  



 



 

 

 





^



^

30

29 tan 17

tan

^{1 1}

x y

a

 a

Sol

5.5 중력과 무게

(The Gravitational Force and Weight)

5.5 중력과 무게

(The Gravitational Force and Weight)

지구가 물체에 작용하는 인력을 중력(gravitational force) F_g라고 한다. 이 힘 은 지구의 중심을 향하고, 이 힘의 크기를 무게(weight)라고 한다.

g F m W  _g 

- 질량 (Mass) : 물체가 가지는 고유의 물질의 양 → 관성계에 무관한 양 - 무게 (Weight) : The Force Due to Gravity : 물체에 작용하는 중력의 세기

→ 관성계의 성질에 따라 영항을 받는다.

ex

) 달에서의 중력 : 지구의 1/6

⇒ 달에서의 물체의 무게는 지구에서의 무게의 1/6 - 중력 : 공기의 저항을 무시할 경우, 지구 표면에서의 낙체의 운동은

모두 동일한 가속도

g

로 떨어진다. → "Galileo Galilei“

cf

) 단위 (Unit) : ㎏중 (과거), 생황에서는 그냥 ㎏으로 사용

과학에서는 무게의 단위는 힘의 단위인

N

으로 사용해야만 한다.

- 1㎏중 = 1㎏ × 1g = 1㎏ × 9.8㎨ = 9.8

N

≒10

N

cf

) 달에서 1㎏의 무게는 9.8/6 = 1.7

N

21

12 F

F  

두 물체가 상호 작용할 때, 물체 1이 물체 2에 작용하는 힘 F

₁₂

는 물체 2가 물체 1에 작용하는 힘 F

₂₁

과 그 크기는 같고 방향이 반대이다.

5.6 뉴턴의 제3법칙

(Newton’s Third Law)

5.6 뉴턴의 제3법칙

(Newton’s Third Law)

o 작용 반작용의 법칙 (Law of Action and Reaction)

한 물체가 다른 물체에 힘을 작용할 때에는 언제나 다른 물체는 자신에게 힘을 가한 물체에 크기가 같고 반대 방향인 힘을 작용시킨다.

⇒ 모든 작용에는 크기가 같고 방향이 반대되는 반작용이 있다.

→ "작용 반작용"

ex

) 그냥 벽을 미는 경우와 롤라 스케이트를 신고 벽을 미는 경우의 차이

cf

) 반작용 (Feedback)

Aside) o 인체 "Homeostatics" :

- Negative Feedback : Produceable Control

ex

) · 적당한 Calcium → 뼈, 치아, 피 등에 영양을 공급

· 아이가 자랄 때 → 세포의 성장과 균형 → 어른 - Positive Feedback : Change Direction íµ Unstable control

ex

) · 과량의 Calcium : 신장(Kidneys)에서 제거 → 혈압이 떨어지게 된다.

· 성인 : 세포의 크기가 변하거나 수가 변하게 되면,

→ Loose Control → Tumor 발생

 수직항력(normal force) N

한 물체가 바닥을 누르는 힘에 대한 반작용으로 주어지는 힘 o 항력, 수직력 (Normal Force)

임의의 면위에 물체가 놓이게 되면, 면은 Newton의 제3법칙에 따라 물체의 무게에 대항하는 힘, "항력"이 생긴다.

- "수직력" (접촉면의 Normal 방향, "Normal Force") - "접촉력" (Contacting Force)

g Em

tm F n F

F

F   

 

작용력: 모니터에 작용하는 지구의 인력(F_Em=F_g) 반작용력: 지구에 작용하는 모니터의 인력 (F_mE) 작용력: 모니터가 책상을 누르는 힘 (F_mt)

반작용력: 책상이 모니터를 밀어올리는 힘 (F_tm=n)

Em

mE F

F  

tm

mt F

F  

모니터가 받는 힘만을 고려하면

g n

g n

m m







 0

5.7 뉴턴 법칙의 응용

(Some Applications of Newton’s Laws)

5.7 뉴턴 법칙의 응용

(Some Applications of Newton’s Laws)

뉴턴의 법칙을 적용할 때 오직 물체에 작용하는 외력에만 관심을 갖는다. 물체 를 입자로 가정하여 회전 운동은 고려하지 않는다.

 0

 ^F

별도의 언급이 없는 한 줄이나 끈의 질량도 무시. 이와 같은 가정에 의해 줄의 한 점에 작용하는 힘은 줄을 따라 어디에서나 일정하게 작용한다

 









0 0

g y

x

F T F

F

 평형 상태의 물체(The Particle in Equilibrium)

평형 상태란 가속도가 0인 상태를 말한다.

F g

T 



 알짜힘을 받는 입자(The Particle Under a Net Force)

F F

n

F _y   _g 



수직항력이 항상 중력과 같은 것은 아니다.

F F

n  _g 

a F  m



g g

y

x x

x

F n

F n

F

m a T

ma T

F



















0

매달려있는 신호등 (다음 참조)

예제 5.2

무게가 122N인 신호등이 세 줄에 매달려 있다. 위의 두 줄은 수직 줄에 비하 여 그렇게 강하지 못하여 장력이 100N을 초과하면 끊어진다. 이 상태에서 신 호등은 잘 매달려 있을 수 있을까? 아니면 둘 중 하나의 줄이 끊어질까?

신호등에서 보면(그림 (b))

N F

T

F T

F

g

g y

122

0

3

3









 

매듭에서 보면(그림 (c))

0 )

122 (

0 . 53 sin 0

. 37 sin

0 0

. 53 cos 0

. 37 cos

2 1

2 1



























 

T T

F

T T

F

y x

N T

N

T

₁

 73 . 4

₂

 97 . 4



Force Diagram

☆

Sol

승강기 안에서 물고기 무게 측정 (다음 참조)

예제 5.4

☆

Ex

) ◎ 엘리베이터와 무중력 - 겉보기 무게와 지구의 회전

o Elevator에서의 중력가속도 변화 (무게 변화) - Elevator 정지시 물체의 무게 측정:

Weight

W

=

mg

⇒

F

_net =

W

-

mg

= 0 - Elevator 상승시 (운동 가속도

a

)

물체는 Elevator의 운동에 관성을 받는다

F

_net =

W

-

mg

=

ma

W

=

m

(

g

+

a

) >

mg

(무겁게 측정) - Elevator 하강시 (운동 가속도 -

a

)

F

_net =

W

-

mg

= -

ma

W

=

m

(

g

–

a

) <

mg

(가볍게 측정)

cf

) Elevator의 줄이 끊어지면 ⇒ 자유낙하 ⇒ -

g

의 운동가속도로 하강

W

=

m

(

g

–

g

) = 0 ⇒ 무중력 상태

(apparent weightlessness :겉보기 무중력)

애트우드 기계 (Atwood Machine 도르레) (다음 참조)

예제 5.5

서로 다른 질량을 가진 두 물체가 그림과 같이 질량을 무시할 수 있고 마찰이 없는 도르래에 수직으로 매달려 있다. 두 물체의 가속도와 줄에 걸리는 장력 을 구하라.

y y

y y

a m T

g m F

a m g

m T

F

2 2

1 1

: 2

: 1

 











 물체

물체

도르래의 질량과 마찰을 모두 무시하면 두 물체에 작용하는 장력은 같다.

m g m

m a m

g m

T

_y

 

 





 





2 1

2 1 1

) 2 (

m g m

m a

_y

m 



 







 

1 2

1 2

☆

Sol

5.8 마찰력

(Forces of Friction)

5.8 마찰력

(Forces of Friction)

o 마찰 "Friction“

- 물체가 움직이면, 접촉면과의 접촉 부분에서 물체의 움직임에 방해하는 힘

- 마찰에 의한 힘 : 마찰력 "Frictional Froce“

cf

) 마찰력이 모든 운동의 근원

- 물체와 면사이의 원자, 또는 분자들간의 정전기력 (정확한 원인은 아직 미지)

- 대략 100 원자 지름 정도

cf

) 저온용접 (Cold Welding)

- 두면을 함께 눌러주어서 접촉점들의

융해력만으로 접합 (

ex

) 금조각, 플라스틱등 - 두 표면을 움직이게 하려면 이 용접을

끊어주어야 한다

- 기름이나 윤활유, 베이비 파우더의 피부 보호 등

정지마찰력 : 물체가 움직이지 않는 상태에서 작용하는 마찰력.

운동마찰력 : 물체가 움직이는 상태에서 작용하는 마찰력.

운동 속도가 크지 않은 경우 대개 접촉하고 있는 두 물체 사이의 마찰력은 수직항력에 비례.

◎ 운동 마찰력 (Kinetic Friction)

- 운동중인 물체가 가지는 마찰력 - 마찰력의 크기

F

_fr은 수직력

F

_N

(항력, Normal Force)에 비례 - by Exp.

- 비례계수 →

μ

_k :

N

fr

F

F  



N k

fr

F

F  

운동 마찰 계수

"Kinetic Friction Coefficient"

-

μ

_k 는 물체의 종류, 형태 그리고 접촉면의 성질에 따라 실험적으로 결정 (표 참고)

마찰력(force of friction) : 물체가 주위와의 상호 작용 때문에 운동하는 데 받는 저항.

운동 마찰력

접촉하고 있는 두 물체 사이의 정지 마찰력

접촉하고 있는 두 물체 사이의 운동 마찰력

N s

s

F

F   

_s : 정지마찰계수

N k

k

F

F   

_k : 운동마찰계수

◎ 정지 마찰(력)

(Static Friction)

- 물체가 움직이기 시작하는 순간의 마찰력 - 역시, 수직력

F

_N에 비례

- 비례계수 →

μ

_s : 정지 마찰 계수

"Static Friction Coefficient"

N s

fr

F

F  

_{정지 마찰력}

-

μ

_s 역시 실험적으로 결정

※

μ

_k <

μ

_s :

s

k

F

F 

마찰력의 방향은 접촉하고 있는 물체의 표면에 평행하고 움직이는 방향과 반대이 며, 정지 마찰력도 움직이려는 방향의 반대 방향으로 작용한다.

- 마찰력은 운동의 방향에 대하여 반대로 작용하며, 접촉면에 대하여 평행이다.

(수직력에 대하여 수직이다)

• 마찰계수는 접촉면의 면적과 거의 무관하다

◎ 굴림 마찰력 (Rotational Friction)

구형, 또는 원통형의 물체가 접촉면에서 굴러 갈 때 굴림 마찰력은 운동마찰력의 한 종류이나, 같은 물체의 경우 굴림 마찰력이 운동 마찰력 보다 (훨씬)작다.

Aside

Ex

)

x

-축 방향으로 100

N

의

F

_x,

y

-축 방향으로 100

N

의

F

_y의 외력이 작용한다면, 실제 물체에 작용하는 힘 (Net Force)

F

_net는?

y F x F F

F

F 

_Net

  

2 1

2

1

  ˆ 



N F

F

F 

_Net

 

₁ ²

 

₂ ²

 100

²

 100

²

 141

cf

) 두 힘의 크기가 같고 사이각이 45°일 때 만 성립

Ex

) 물건을 들어서 옮기는 것 보다 밀거나 당겨서 옮기는 것이 힘이 적게드는 이유.

- 질량 10㎏의 물체를 드는데 필요한 최소한의 힘 :

= 질량 10㎏의 무게에 상대하는 힘

F

_My = 10㎏×

g

= 10×9.8=98

N

무게 9.8㎏중 에 해당한다.

- 이 물체를 40

N

의 힘으로 30°의 각도로 끌거나 밀어보자 (40

N

의 힘 ≒ 4 ㎏중 의 무게를 드는데 필요한 힘)

N N

N F F

_{A A}

x

2 35 732 . 40 1 2

40 3 30

cos 40

cos

















 

N N

N F F

_{A A}

y

2 20 40 1

30 sin 40

sin













 

a

)

y

-축 방향으로 받는 가속도

a

_y ?

a

_y =0

F

_y-tot = 0

(∵ 물체는

y

-축 방향으로는 움직이지 않는다.)

b

)

x

-축 방향으로 받는 가속도

a

_x ?

/

2

5 . 10 3

35

cos m s

Kg N m

F m

a

_x

 F

^Ax



^A

  

cf

) 이 경우,

F

_Ay(20

N

)은

F

_My(98

N

)보다 훨씬 작음에도 불구하고 물체가 움직인다.

cf

)

F

_y-tot = 0의 의미 ?

∵ Newton의 제3법칙에 의해, 바닥이 물체에 연직방향으로 항력(수직력)을 작용시키기 때문이다.

이 수직력의 크기는?

N N

A

N A

M Net

y tot

y

F N

N F

F mg

F F

F F

F

y y



























_



20 98

sin 0



N F

mg

F

_N

 

_A

sin   78

c

) 만일, 이 물체와 접촉면과의 운동 마찰 계수가 0.3이라면 물건을 움직이는 가속도는?

N N

N

F F

F F

ma F

F

_{x tot x Net x A fr A k N}

x

12 78

3 . 0 35

cos





















_



 

/

2

2 . 10 1

12 m s Kg

N m

a

_x

 F

^xNet

 

cf

)

Ex

5-3, 5, 6 등은 6장에서 종합 보충

미끄러지는 자동차 (경사면 해석)

예제 5.3

그림처럼 경사각이 θ이고 빙판인 비탈길에 질량

m

인 자동차가 있다.

(A) 비탈길이 마찰이 없다고 가정하고 자동차의 가속도를 구하라.

 











0 cos

sin



 mg n

F

ma mg

F

y

x x

(B) 정지 상태에서 꼭대기로부터 맨 아래에 도달하는 데 걸리는 시간과 그곳에서 자동차의 속력

0

0  



_{f xi}

i

x d v

x

 sin

2

2

2 1

g t d

t a

d 

_x

  운동이므로

등가속도

 sin g a

_x



 sin 2

2 a d gd v

_xf



_x



Sol

◎ 경사면 문제

(Ski 탈 때 속도)

질량

m

인 물체가 기울기 인 경사면에서 미끄러져 내려온다. 이 물체의 운동마찰계수가

μ

_k라고 하면, 이때의 가속도

a

는, 또

t

초 후의 속도

v

는?

cf

1) 이 문제의 경우, 그림과 같이 방향을 잡으면 가속도의 방향은 -

x

, -

y

방향이 되어 음의 값을 가지게 되어, 감 가속도와 혼동하기가 쉽다.

이를 방지하기 위해서는 아래의 그림과 같이 좌우를 대칭 이동하여 생각하는 것이 유리하다.

cf

2) 보통의 2차원

xy

좌표계를 잡아주면, 상당히 풀이가 복잡하게 된다. 그래서 맨 아래 그림과 같이 좌표축을 회전하여 빗면을 기준으로 하여 미끄러지는 방향으로

x

-축으로 하여주면 편하다.

o 빗면에 대하여

x

-축으로 하면, -

F

_N은

y

-축 방향,

-

a

는 +

x

(or -

x

)-축 방향이 된다. 이 경우 너무 방향에 집착하기보다는 결과에서 가속도

a

가 미끄러지는 방향이라고 표시 하는 정도로 간단하게 해결하면 된다.

-

F

_fr 역시

x

-축 방향.

Sol

-

F

_g를 성분 분해 하면 :

F

_gx

 mg sin  F

_gy

  mg cos 

- Net Force의 성분 분해

※

y-

축 방향의 Net Force (총힘)

F

_Net-y = 0 (∵빗면에서

y

-방향의 운동은 없다)

x

-축 방향의 Net Force 성분만 고려하면 된다.

 cos mg

F

F

_N

 

_gy



 0





y



y N gy

Net

ma F F

F

_∴









 cos

sin

sin mg

mg

F mg

F F

ma F

k

N k fr

gx x

x Net





















 cos

sin g

g a

a  _x   _k

^(가속도

^a

^{로 미끄러진다)}

∴

cf

) 미끄럼 가속도

a

는 질량

m

에 무관하다. → Ski탈 때 속도는 몸무게에 무관!

cf

) 빗면과의 (운동)마찰계수 :

→ 등속도 운동 (

a

= 0)일 경우

 

  tan

cos

sin 

k



∴

마찰이 있는 경우 연결된 두 물체의 가속도 (다음 참조)

예제 5.8

거친 수평면 위에 질량

m

₁인 블록이 가볍고 마찰없는 도르래에 걸쳐진 가벼운 줄에 의해 질량

m

₂ 인 구와 연결되어 있다. 수평과 이루는 각이 θ인 방향으로 블록에 힘

F

가 작용해서 오른쪽으로 미끄러지고 있다. 블록과 표면 사이의 운 동마찰계수는n_k이다. 두 물체의 가속도의 크기를 구하라.

0 sin

) 2 (

cos )

1 (

1

1 1

 



















g m F

n F

a m a

m T

f F

F

y

x k

x





블럭에 대해 뉴턴 운동법칙을 적용하면

구에 대해 뉴턴 운동법칙을 적용하면

a m a

m g

m T

F

_{y 2 2 y 2}

)

3

(     



1

g F sin m

n  

) sin

(

₁



 m g F f

_k



_k



2 1

1

2

)

( ) sin (cos

m m

g m m

a F

^{k k}







     

☆

줄에 의해 연결된 두 물체 (다음 참조)

예제 5.6

가벼운 줄에 의해 질량을 무시할 수 있고, 마찰없는 도르래에 질량이

m

₁과 m₂ 인 두 물체가 연결되어 있다. 질량이 m₂ 인 블록은 경사각 θ 의 비탈면에 놓여 있다. 두 물체의 가속도와 줄의 장력을 구하라.

ma a

m g

m T

F F

y y

x











 

1

)

1

2 (

0 )

1 (

공에 대해 뉴턴 운동법칙을 적용하면

블럭에 대해 뉴턴 운동법칙을 적용하면

0 cos

) 4 (

sin )

3 (

2 '

2 '

2 2

'

 

















 g m n

F

a m a

m T

g m F

y

x x

(2)식과 (3)식에서 T를 소거하면

2 1

2

1

(sin 1 )

m m

g m T m



  

1 2

1 2

sin

m m

g m g

a

_y

m



  

☆