숨마쿰라우데_미적분_내신·모의고사_대비_TEST 해설

Ⅰ. 수열의 극한

Ⅱ. 미분법

Ⅲ. 적분법

®

[미적분]

내신・모의고사

대비

_T

_E

_S

_T

[정답 및 해설]

내신・모의고사 대비

TEST

01

= = = =4 ⑤

02

næ2일 때, a«=S«-S«–¡=n¥3n-1 -(n-1)3n-2 a«=3n¥3n-2 -(n-1)3n-2 =(2n+1)3n-2 ∴ = ∴ = ∴ = ∴ = =

03

a…0이면 {"√4n¤ +4n-(an+b)}=¶이 므로 a>0 ∴ {"√4n¤ +4n-(an+b)} = 111111111111111123{"√4n¤ √+4n-(an+b)}{"√4n¤ √+4n+(an+b)} "√4n¤ √+4n+(an+b) lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 1₃ 2 1 1₃ 1 2+1 n 111₃ lim n⁄¶ 2n+1 1115_3n lim n⁄¶ (2n+1)3« —¤ 1111123_{3n¥3« —¤} lim n⁄¶ (2n+1)3« —¤ 1111123_{n¥3« —⁄} lim n⁄¶ a« 12_S« lim n⁄¶ -2-2¥3 133111_-2¥3+4 lima«-2limb« n⁄¶ n⁄¶ 1331111115_{lima«¥limb«+4} n⁄¶ n⁄¶ lim(a«-2b«) n⁄¶ 133111125_{lim(a«b«+4)} n⁄¶ a«-2b« 111452_a«b«+4 lim n⁄¶ = = yy ㉠ ㉠에서 4-a¤ +0이면 발산하므로

4-a¤ =0 ∴ a=2 (∵ a>0) a=2를 ㉠에 대입하면 = =1-b 즉, 1-b=5이므로 b=-4 ∴ a-b=2-(-4)=6 ④

04

4n<a«<4n+1에서 4k< a˚< (4k+1) 4¥ < a˚<4¥ +n 2n¤ +2n< a˚<2n¤ +3n ∴ < < 이때 = = , = = 이므로 수열의 극 한의 대소 관계에 의하여 = ③

05

ㄱ. 수열 {arn-1_{}은 첫째항 a+0이고 공비 r>1} 이므로 발산한다. (발산) 1 1 1₄ a¡+a™+a£+y+a« 11115111125_{8n¤ -5} lim n⁄¶ 1 1₄ 3 2+1_n 11135₅ 8-13_n¤ lim n⁄¶ 2n¤ +3n 1111_{8n¤ -5} lim n⁄¶ 1 1₄ 2 2+1_n 11135₅ 8-13_n¤ lim n⁄¶ 2n¤ +2n 1111_{8n¤ -5} lim n⁄¶ 2n¤ +3n 1111_{8n¤ -5} a¡+a™+a£+y+a« 11115111125_{8n¤ -5} 2n¤ +2n 1111_{8n¤ -5} n ¡ k=1 n(n+1) 11115₂ n ¡ k=1 n(n+1) 11115₂ n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 4-4b 13312₂₊₂ b¤ 4-4b-13 n 11111111_{4 b} æ4–+1+2+1_{n n} lim n⁄¶ b¤ (4-a¤ )n+4-2ab-₁₃ n 11111111111_{4 b} æ4–+1+a+1_{n n} lim n⁄¶ (4-a¤ )n¤ +(4-2ab)n-b¤ 1111111111115 "√4n¤ √+4n+an+b lim n⁄¶ 1.⑤ 2. 3.④ 4.③ 5.④ 6.6 7.① 8.④ 9.2 10.⑤ 11.11₃ 2 1₃ 본문 440쪽 S U M M A C U M L A U D E

01

수열의 극한

내신 ・ 모의고사 대비 TEST ㄴ. 수열 {brn-1_{}은 첫째항 b=0이므로 공비 r의 값에} 관계없이 항상 brn-1_{=0이다. (수렴)} ㄷ. 수열 {ar-n sn-1 }의 일반항을 c«이라 하면 c«=ar—« s« —⁄ = { }« —⁄ 이므로 수열 {c«}은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이다. 이때 0<s<1, r>1이므로 0< <1 ∴ c«=0 (수렴) 따라서 수렴하는 등비수열은 ㄴ, ㄷ이다. ④

06

a«=a(a는 상수)라 하면 = =-따라서 - =- 이므로 a=6 6

07

"ç4n¤ <"4√n¤ +ç2n <"√4n¤ +4n+1이므로 2n<"4√n¤ +ç2n<2n+1 따라서 "4√n¤ +ç2n의 정수 부분은 2n이므로 a«=2n, b«="4√n¤ +ç2n-2n ∴ b« ∴= ("4√n¤ +ç2n-2n) ∴= ∴= ∴= =111 ① 2 2 1111133 Æ4¬+ ¬;n@; +2 lim n⁄¶ 2n 11111123 "4√n¤ +ç2n +2n lim n⁄¶ ("4√n¤ +ç2n-2n)("4√n¤ +ç2n+2n) 11111111111111234 "4√n¤ +ç2n +2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1₂ 3 1_a 3 1_a 2 2¥{1}₃ n¥a«-3 11113112₂ a«+{1}₃ n lim n⁄¶ 2« ±⁄ ¥a«-3« ±⁄ 11114152_{3« ¥a«+2«} lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ s 1_r s 1_r a 1_r s 1_r a 1_r lim n⁄¶

08

"√f(n)-n= = yy ㉠ 이므로 ("√f(n)-n)=1이 되려면 f(n)=n¤ +an+b(a, b는 상수)의 꼴이어야 한다. f(n)=n¤ +an+b를 ㉠에 대입하면 = = 이때 ("√f(n)-n)=1이므로 = = =1 ∴ a=2 또 f{ }= + +b= + +b이므로 f{ }=10에서 { + +b}=b=10 따라서 f(x)=x¤ +2x+10이므로 f(1)=1+2+10=13 ④

09

곡선 y=(x-n)¤ 과 직선 y= x가 만나는 두 점의 좌표를 각각 (x¡, y¡), (x™, y™)라 하자. (x-n)¤ = x에서 x¤ -2nx+n¤ = x ∴ x¤ -{2n+ } x+n¤ =0 이때 이 이차방정식의 두 근이 x¡, x™이므로 근과 계수의 관계에 의하여 x¡+x™=2n+ , x¡x™=n¤ 을 만족시키므로 1 1_n 1 1_n 1 1_n 1 1_n 1 1_n 2 1_n 1 13_n¤ lim n⁄¶ 1 1_n lim n⁄¶ 2 1_n 1 13_n¤ a 1_n 1 13_n¤ 1 1_n a 1₂ b a+1 n 11111112_{a b} æ1–+1+13+1_{n n¤} lim n⁄¶ an+b 11111115 "√n¤ √+a√n+b+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ an+b 11111115 "√n¤ √+a√n+b+n n¤ +an+b-n¤ 11111115 "√n¤ √+a√n+b+n f(n)-n¤ 111123 "√f(n)+n lim n⁄¶ f(n)-n¤ 11111 "√f(n)+n ("√f(n)-n)("√f(n)+n) 111111111115 "√f(n)+n

(x™-x¡)¤ =(x¡+x™)¤ -4x¡x™ ={2n+ }¤ -4n¤ =4+ ∴ |x™-x¡|=Æ…4+ 한편 두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)를 지나는 직선의 기울기 는 이므로 = , |y™-y¡|= |x™-x¡| ∴ |y™-y¡|= Æ…4+ 따라서 두 점 사이의 거리 d«은 d«="√(x™√-x¡√)¤ +√(y™√-y¡)¤ =Æ…4+… …+ …{4+… } =Æ…4+… …+ ∴ d«= Æ…4+… …+ =2 2

10

ㄱ. = = = =3¥ 이므로 k=3 (참) ㄴ. ㄱ에 의하여 수열 [ ]은 첫째항이 = =-3, 공비가 3인등비수열이므로 =-3¥3« —⁄ =-3« (참) ㄷ. ㄴ에 의하여 =-3« 이므로

a«+1=-3« (a«-3), (3« +1)a«=3« ±⁄ -1

∴a«=111333« ±⁄ -1_{3« +1} a«+1 111_a«-3 a«+1 111_a«-3 2+1 1133_2-3 a¡+1 111_a¡-3 a«+1 111_a«-3 a«+1 111_a«-3 3a«+3 1112_a«-3 6a«+6 1112_2a«-6 5a«+3 1112+1_a«+3 1111123_5a«+3 1112-3_a«+3 a«≠¡+1 11124_a«≠¡-3 1 12_n› 5 12_n¤ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 12_n› 5 12_n¤ 1 12_n¤ 1 12_n¤ 1 12_n¤ 1 12_n¤ 1 1_n 1 1_n 1 1_n |y™-y¡| 111233_|x™-x¡| 1 1_n 1 12_n¤ 1 12_n¤ 1 1_n ∴ a«= = =3 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

11

B’P«Ú=x«으로 놓으 면 B’P¡Ú=x¡= B’P«Ú≠¡’을 밑변으로 하는 직 각삼각형에서 x«≠¡=(1-x«)cos60˘ =- x«+ x«≠¡-a=- (x«-a)로 놓으면 x«≠¡=- x«+ a 이때 a= 이므로 a= ∴ x«≠¡- =- _{{x«- }} 따라서 수열 [x«- ]은 첫째항이 x¡- = - = , 공비가 - 인 등비수열이 므로 x«- = _{¥{- }n - 1} ∴ x«= ¥{- }n - 1 + ∴ B’P«Ú= x« = _{[ ¥{- }n - 1 + ]=} 1 1₃ 1 1 1₃ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₆ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₂ 3 1₂ 3 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ A Pn+1 Pn xn+1 xn 1-xn xn xn P¡ C B 1 3-{1}₃ n 11113₁ 1+{1}₃ n lim n⁄¶ 3« ±⁄ -1 11133_{3« +1} lim n⁄¶ lim n⁄¶

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

01

주어진 급수의 제n항을 a«이라 하면 a«= = = 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= S«= _2{ - } S«=2[{ - _}+{ - _} +y+{ - _}] S«=2{1- } ∴ S«= 2{1- }=2 ②

02

주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= log{1+ } S«=log{1+ }+log {1+ } +y+log{1+ } S«=log[{1+ }_{1+ }_y_{1+ }] S«=log[ _{1- }_{1+ }_{1+ } _y_{1+131 }] 32« 1 15_3› 1 15_3¤ 1 15_3¤ 9 1₈ 1 13₃2« 1 15_3› 1 15_3¤ 1 13 32« 1 15_3› 1 15_3¤ 1 13₃2˚ n ¡ k=1 1 112_n+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 112_n+1 1 112_n+1 1 1_n 1 1₃ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₁ 1 112_k+1 1 1_k n ¡ k=1 2 11115_k(k+1) n ¡ k=1 2 11115_n(n+1) 1 11112_n(n+1) 11115₂ 1 111111133_1+2+3+y+n S«=log {1- } ∴ S«= log _{{1- }} ∴ S«=log ①

03

주어진 급수의 제n항은 a«- 이고, 급 수가 수렴하므로 {a«- }=0 이때a«- =b«으로 놓으면 b«=0이고, a«=b«+ 이므로 a«= {b«+ } a«= b«+ a«=0+2=2 2

04

등비수열 {a«}에서 a¡=1이므로 공비를 r라 하 면 a«이 수렴하므로 -1<r<1 한편 a«= = 이므로 -1<r<1에서 -1<-r<1 0<1-r<2, > ∴ a«> a«>

05

수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r(-1<r<1) 라 하면 a«=3에서 =3 yy ㉠ 수열 {a«¤ }은 첫째항이 a¤ , 공비가 r¤ 인 등비수열이므로 a 112_1-r ¶ ¡ n=1 1 1₂ ¶ ¡ n=1 1 1 1₂ ¶ ¡ ¡ n=1 1 1₂ 1 112_1-r 1 112_1-r a¡ 112_1-r ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 2n-1 1115_n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2n-1 1115_n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2n-1 1115_n lim n⁄¶ 2n-1 1115_n 2n-1 1115_n lim n⁄¶ 2n-1 1115_n 9 1 1₈ 1 123₃2« ±⁄ 9 1₈ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 123₃2« ±⁄ 9 1₈ 1.② 2.① 3.2 4. a«> 5.① 6.② 7. 8.① 9.② 10. 11.② 12.24(2+'3 ) 3 1₂ 15 12₄ 1 1₂ ¶ ¡ n=1 본문 442쪽 S U M M A C U M L A U D E

02

급수

a«¤ =6에서 =6 ∴ =6 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 3¥ =6 ∴ =2 yy ㉢ ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 a= , r= 따라서a«= ¥{ } n-1 이므로 a£= ¥ = ①

06

n번째 원의 반지름의 길이를 r«이라 하자. O’«O”«≠¡ ”: O’«H”«”=2 : 1이므로 (r«≠¡+r«) : (r«-r«≠¡)=2 : 1 2r«-2r«≠¡=r«≠¡+r«, 3r«≠¡=r« ∴r«≠¡= r« 이때 r¡=6'3 ¥ =6이므로 r«=6¥{ }n-1 따라서 모든 원의 반지름의 길이의 합은 r«= 6¥{ }n-1= =9 ②

07

a«- =b«으로 놓으면 a«=b«+ 이때 ¡¶b«=3이고 n=1 1 11115_n(n+2) 1 11115_n(n+2) 6 1115₁ 1-1 3 1 1₃ ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 1 1₃ 1 12 '3 1 1₃ On Hn On+1 30æ 30æ rn+1 rn 12 1 11₁₂₅1 1 12₂₅ 12 12₅ 1 1₅ 12 12₅ 1 1₅ 12 12₅ a 112_1+r a 112_1+r a¤ 1111112_(1-r)(1+r) a¤ 1125_1-r¤ ¶ ¡ n=1 = _{ - _} = _{ - _} = _[{ - _}+{ - _}+{ - _} +y+{ - }+{ - } = _{1+ - - _} = ¥ = 이므로 a«= [b«+ ] a«= b«+ a«=3+ =

08

¥{ } n ={ - }¥{ } n ={ - }¥{ } n = ¥{ } n - ¥{ } n = _{¥{ }}n-1- ¥{ } n 이므로 ¥{ } n = ¥{ } k = _{[ ¥{ }}k-1- _{¥{ }}k_] = [[1- ¥{ }1_{]+[ ¥{ }}1- ¥{ } 2 ] 1 1₂ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ lim n⁄¶ 1 1₂ 1 1135_k+1 1 1₂ 1 1_k n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 1₂ k+2 11115_k(k+1) n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 1₂ n+2 11113_n(n+1) ¶ ¡ n=1 1 1₂ 1 1133_n+1 1 1₂ 1 1_n 1 1₂ 1 1133_n+1 1 1₂ 2 1_n 1 1₂ 1 1133_n+1 2 1_n 1 1₂ n+2 1133_n+1 n+2 1133_n 1 1₂ n+2 11113_n(n+1) 15 12₄ 15 1 122₄ 3 1₄ 1 11115_n(n+2) ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 1 11115_n(n+2) ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 3 1₄ 3 1₂ 1 1₂ 1 112_n+2 1 112_n+1 1 1₂ 1 1₂ lim n⁄¶ 1 112_n+2 1 1_n 1 112_n+1 1 112_n-1 1 1₅ 1 1₃ 1 1₄ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₁ 1 1₂ lim n⁄¶ 1 112_k+2 1 1_k 1 1₂ n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 112_n+2 1 1_n 1 1₂ ¶ ¡ n=1 1 11115_n(n+2) ¶ ¡ n=1

내신 ・ 모의고사 대비 TEST +[ ¥{ }2- ¥{ } 3 ] +y+[ ¥{ }n-1- ¥{ } n ]] = _{[1- ¥{ }}n_]=1 ①

09

등비급수 1+a+a¤ +a‹ +y이 수렴하므로

-1<a<0 또는 0<a<1`(∵ a+0)

1+a+a¤ +a‹ +y= =ka이므로

k= = = 이때 -1<a<0 또는 0<a<1이므로 -2<-{a- }¤ + <0 또는 0<-{a- }¤ + … ∴ k<- 또는 kæ4 따라서 보기 중 k의 값이 될 수 없는 것은 ㄷ. '2뿐이다. ②

10

S«은 `(단, 0<k<3« 인 정수)들의 합에서 `(단, 0<k<3« 인 3의 배수)들의 합을 뺀 것으로 나타 낼 수 있으므로 S«= -= k- k = ¥ - ¥ = -=1112453« -3« —⁄ =3« —⁄ 2 3« —⁄ -1 11133₂ 3« -1 1123₂ 3« —⁄ (3« —⁄ -1) 1111115₂ 1 1234_{3« —⁄} 3« (3« -1) 111133₂ 1 13_3« 3« —⁄ -1 ¡ k=1 1 1234_{3« —⁄} 3« -1 ¡ k=1 1 13_3« 3k 12_3« 3« —⁄ -1 ¡ k=1 k 13_3« 3« -1 ¡ k=1 k 13_3« k 13_3« 1 1₂ 1 1₄ 1 1₄ 1 1₂ 1 1₄ 1 1₂ 1 111231113_{1 1} -{a-1}¤ +1_{2 4} 1 11123_{-a¤ +a} 1 1111_a(1-a) 1 112_1-a 1 1₂ 1 1133_n+1 lim n⁄¶ 1 1₂ 1 1133_n+1 1 1₂ 1 1_n 1 1₂ 1 1₄ 1 1₂ 1 1₃ 따라서 S«=3n-1 이므로 = _{={ }}n-1 ∴ = { } n-1 = =

11

1523+7=1530이므로 5로 나눈 나머지는 0 1523¤ +7=×××6이므로 5로 나눈 나머지는 1 1523‹ +7=×××4이므로 5로 나눈 나머지는 4 1523› +7=×××8이므로 5로 나눈 나머지는 3 1523fi +7=×××0이므로 5로 나눈 나머지는 0 1523fl +7=×××6이므로 5로 나눈 나머지는 1 ⋮ 이므로a«은 0, 1, 4, 3이 반복되어 나타난다. ∴ = + + + +y =0.014301430143y = + + +y = = ②

12

n번째 정육각형의 한 변의 길이를 a«이라 하자. 정육각형의 한 내각의 크기는 120˘이고, ∠CAH=60˘, ∠ACH=30˘이므로

AC”=AB”= a«, AH”= a«, CH”= a«

이때 BH”¤ +CH”¤ =BC”¤ 이므로 '3 133₄ 1 1₄ 1 1₂ 120æ an A B C H an+1 143 1 11₉₉₉₉13333 143 111₁₀₀₀₀ 11111₁ 1-111 10000 143 1113_10000‹ 143 1113_10000¤ 143 111₁₀₀₀₀ 3 111₁₀₀₀₀ 4 112₁₀₀₀ 1 11₁₀₀ 0 12₁₀ a˚ 123_10˚ ¶ ¡ k=1 3 1₂ 3 1 1₂ 1 1114₁ 1-1₃ 1 1₃ ¶ ¡ n=1 1 12_S« ¶ ¡ n=1 1 1₃ 1 1234_{3« —⁄} 1 12_S«

{ a«+ a«}2 +{ a«}2 =a«≠¡¤

a«¤ + a«¤ =a«≠¡¤ , a«≠¡¤ = a«¤

∴ a«≠¡= a« (∵ a«>0) 따라서 a«=2¥{ } n-1 이므로 모든 정육각형의 둘레의 길이의 합은 6 a«=6 2¥{ } n-1 =6¥ = _=24(2+'3) 24(2+'3 ) 24 1114_2-'3 2 11123 '3 1-133₂ '3 133₂ ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 '3 133₂ '3 133₂ 3 1₄ 3 14₁₆ 9 14₁₆ '3 133₄ 1 1₄ 1 1₂

01

f(x)= f(x)= = ④

02

x+0일 때, f(x)= 는 구간 (-¶, 0), (0, ¶)에서 연속이다. 이때 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이므로 f(x)=f(0)을 만족시킨다. ∴ f(0)= f(x)= ∴ f(0)= ¥{- }=-①

03

g(x)=e;3{;_이므로 = = ¥ ¥9 =1¥1¥9=9 ③

04

= _111111114(a+2)≈ -1-a≈ +1 x lim x⁄0 (a+2)≈ -a≈ 1111124_x lim x⁄0 `ln(1+x) 11112_x x 1₃ 111 e;3{;_-1 lim x⁄0 3ln(1+x) 11111 e;3{;_-1 lim x⁄0 f(x+1) 111112_g(x)-g(0) lim x⁄0 1 1 1₃ 1 1₃ -3x 1113_{e—‹ ≈ -1} lim x⁄0 x 1113_{e—‹ ≈ -1} lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 x 1113_{e—‹ ≈ -1} 1 1 1₃ 2 2¥{1}₃ ≈ +1 11111₂ {1}₃ ≈ +3 lim x⁄¶ 2≈ ±⁄ +3≈ 1111_{2≈ +3≈ ±⁄} lim x⁄¶ lim x⁄¶ 1.④ 2.① 3.③ 4.④ 5.③ 6.⑤ 7.③ 8.⑤ 9.⑤ 10.② 11.750 12.⑤ 본문 444쪽 S U M M A C U M L A U D E

03

지수함수와 로그함수의 미분

내신 ・ 모의고사 대비 TEST = -=ln(a+2)-lna =ln 즉 ln =ln2에서 =2이므로 a+2=2a ∴ a=2 ④

05

x⁄0일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므 로 (분자)⁄0이다. 즉 ln(2x+a)=0이므로 lna=0 ∴ a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 = ¥ ¥2 =1¥1¥2=2 ∴ b=2 ∴ a+b=1+2=3 ③

06

함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로 f(x)= (x‹ -ax+2) f(x)=1-a+2=3-a f(x)= be—≈ =be—⁄ f(1)=be—⁄ 에서 be—⁄ =3-a yy ㉠ 또 f '(x)=g 에서 함수 f(x)는 x=1 에서 미분가능하므로 -be—⁄ =3-a yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=0 따라서 f '(x)=g 이므로 f '(-3)+f '(3)=0+24=24 ⑤ 3x¤ -3 (x>1) 0 (x<1) 3x¤ -a (x>1) -be—≈ (x<1) lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ x 112_{e≈ -1} ln(2x+1) 11111_2x lim x⁄0 ln(2x+1) 11111_{e≈ -1} lim x⁄0 lim x⁄0 a+2 112_a a+2 112_a a+2 112_a a≈ -1 112_x lim x⁄0 (a+2)≈ -1 111114_x lim x⁄0

07

곡선 y=f(x)를 x축, y축의 방향으로 각각 a, b 만큼 평행이동하면 y-b=f(x-a)의 그래프임을 이용 한다. f(x)=2≈ —⁄ , g(x)=2≈ +1이므로 두 점 Q, R의 좌표는 Q(k, 2˚ —⁄ ), R(k, 2˚ +1) ∴ = ∴ = _{{2+ }=2} ③

08

{1- + }≈ = _{{1- }}≈_{{1- }}≈ = _{[{1- }}— _]—·_{[{1- }}—≈_]—⁄ = ¥ = ⑤

09

y=(1+7x¤ +9x› ) 으로 놓으면 lny=ln(1+7x¤ +9x› ) lny= (7+9x¤ )ln(1+7x¤ +9x› ) =7 ∴ y=e‡ ⑤

10

g(n) = f(x) = = = 11111111111111141 e≈ -1+e¤ ≈ -1+e‹ ≈ -1+y+e« ≈ -1

1111111111111114_x lim

x⁄0

x

1111111111111114_{e≈ -1+e¤ ≈ -1+e‹ ≈ -1+y+e« ≈ -1} lim

x⁄0

x

111111111123_{e≈ +e¤ ≈ +e‹ ≈ +y+e« ≈ -n} lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 1 11114_{7x¤ +9x›} lim x⁄0 lim x⁄0 1 14_x¤ 1 14_x¤ 1 1 14455_{e⁄ ‚} 1 1_e 1 15_e· 1 1_x x 1₉ 9 1_x lim x⁄¶ 1 1_x 9 1_x lim x⁄¶ 9 13_x¤ 10 12_x lim x⁄¶ 1 11_{2˚ —⁄} lim k⁄¶ 2˚ +1 111_{2˚ —⁄} lim k⁄¶ PR” 11_PQ” lim k⁄¶

= = = = ∴ g(n) ∴= =2 _{ - _} ∴=2 { - } ∴=2 _{[{1- }+{} - _} +y+{ - }] ∴=2 _{{1- }=2} ②

11

f(0)=e‚ +0=1이므로 = ¥3 = ¥3 =3f'(0) f(x)=e¤ ≈ + 에서 f'(x)=2e¤ ≈ + 이므로 f'(0)=2+ = ∴ 100 =300 f'(0)=750 750

12

ㄱ. f(x)= 이 실수 전체에서 연속이므 로 1+ae∫ ≈ =0인 x가 존재하지 않는다. 1 1112_{1+ae∫ ≈} f(3x)-1 11111_x lim x⁄0 5 1₂ 1 1₂ 1 1₂ x 1₂ ` ` f(3x)- f(0) 1111112_3x-0 lim x⁄0 ` ` `f(3x)-1 111123<sub>3x</sub> lim x⁄0 `f(3x)-1 111123_x lim x⁄0 1 112_n+1 lim n⁄¶ 1 112_n+1 1 1_n 1 1₃ 1 1₂ 1 1₂ lim n⁄¶ 1 112_k+1 1 1_k n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 112_n+1 1 1_n ¶ ¡ n=1 2 11115_n(n+1) ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 2 11115_n(n+1) 1 111125_n(n+1) 11122₂ 1 111111125_1+2+3+y+n 1

111111111111111425_{e≈ -1 e¤ ≈ -1 e‹ ≈ -1 e« ≈ -1} 1125+111¥2+111¥3+y+111¥n_{x 2x 3x nx} lim x⁄0 이때 a<0이면 ae∫ ≈ =-1HjK x= ln{- }일 때 1+ae∫ ≈ =0이므로 모순이다. 또 a=0이면 f(x)는 `f(x)=1인 상수함수이므로 f(x)=0을 만족시키지 않는다. ∴ a>0 (참) ㄴ. f(x)= =0이므로 ㄴ. (1+ae∫ ≈ )=¶ ㄴ.ㄱ에서 a>0이므로 b<0이다. (참) ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 a>0, b<0이므로 ae∫ ≈ =0 ㄴ. ∴ f(x)= =1 (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤ 1 1112_{1+ae∫ ≈} lim x⁄¶ lim x⁄¶ lim x⁄¶ lim x⁄-¶ 1 1112_{1+ae∫ ≈} lim x⁄-¶ lim x⁄-¶ lim x⁄-¶ 1 1_a 1 1_b

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

01

sech='2에서 cosh= 이고, 0<h< 이 므로 h= ∴ sinh= , coth= =1 ∴ æ≠ +cot¤ h ∴= ≠ +1¤ ∴=æ≠ +1 ∴=æ≠ +1 ∴="√('2-1)¤ +1 ∴='2-1+1(∵ '2-1>0) ∴='2 ③

02

sina+cosb= 의 양변을 제곱하면 sin¤ a+cos¤ b+2sina cosb= yy ㉠

또 cosa+sinb= 의 양변을 제곱하면

cos¤ a+sin¤ b+2cosa sinb= yy ㉡ ㉠+㉡을 하면

2+2(sina cosb+cosa sinb)=4 sina cosb+cosa sinb=1

∴ sin(a+b)=1 ⑤ 32 12₉ 4'2 1244₃ 4 1₉ 2 1₃ ('2-1)¤ 11111112_('2+1)('2-1) '2-1 11233 '2+1 1 1-12 '2 11124₁ 1+12 '2 1-cosh 111234_1+sinh 1 1133_tanh 1 135 '2 p 1₄ p 1₂ 1 135 '2 1.③ 2.⑤ 3. 4.④ 5.- p 6.2 7. p 8.3 9. -10.① 11.① 12. ₁₂20 13.-1 7 2+'∂53 11125₂ 5 1₂ 2'3 11₃ 7 12₂₄ 본문 446쪽 S U M M A C U M L A U D E

04

삼각함수의 미분

03

∠EAD=a라 하면 tana= 이때 tan(h+a)= = 이므로

tanh+tana= (1-tanh tana)

tanh+ = _{{1- tanh}} tanh+ = -tanh 2tanh= ∴ tanh=

04

f(x)=cos2x-2sinx-3 =(1-2sin¤ x)-2sinx-3 =-2(sin¤ x+sinx)-2 =2{sinx+ }¤ -이때 -1…sinx…1이므로 f(x)는 sinx=- 일 때, 최댓값 - 을 갖는다. ④

05

3sin x+'3 cosx-1 =2'3 { sinx+ _cosx}-1

=2'3 {sin sinx+cos _cosx}-1

=2'3 cos{x- }-1

이므로 함수 y=3sinx+'3 cosx-1의 그래프는 함수

y=2'3 cosx의 그래프를 x축의 방향으로 만큼, y축

의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 따라서 a=2'3, m= , n=-1이므로 amn=2'3¥ ¥(-1)=- p -12442'3 p 3 2'3 1 1224444₃ p 1₃ p 1₃ p 1₃ p 1₃ p 1₃ p 1₃ 1 1₂ '3 12₂ 3 1 1₂ 1 1₂ 3 1₂ 1 1₂ 7 145₂₄ 7 1 14455₂₄ 7 145₁₂ 4 1₃ 3 1₄ 3 1₄ 4 1₃ 3 1₄ 4 1₃ 4 1₃ tanh+tana 11111134_{1-tanh tana} 3 1₄

06

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 =f(1)=k

x-1=t로 놓으면 x⁄ 1일 때 t ⁄ 0이므로

k= = _{ ¥_2}

k=1¥2=2 2

07

f '(x)=e≈ sinx+e≈ cosx =e≈ (sinx+cosx) f '(x)=0에서 sinx+cosx=0`(∵ e≈ >0) ∴sinx=-cosx 이때 0<x<2p이므로 x= p또는 x= p 따라서 모든 x의 값의 합은 p+ p= p p

08

직각삼각형 BOQ에서

cosh= =OQ”, sinh= =BQ” 직각삼각형AOP에서

tanh= =PA”

이때 OQ”=2PA”¥BQ”이므로

cosh=2tanh¥sinh, cosh= ¥sinh

cos¤ h=2sin¤ h, =2 ∴ cot¤ h=2 ∴ csch sech coth= ¥ ¥ = =csc¤ h =1+cot¤ h =1+2=3 3 1 1124_{sin¤ h} cosh 1134_sinh 1 1134_cosh 1 1145_sinh cos¤ h 1123_{sin¤ h} 2sinh 11234_cosh PA” 11_O’AÚ BQ” 11 OB” OQ” 11 OB” 5 1₂ 5 1 1₂ 7 1₄ 3 1₄ 7 1₄ 3 1₄ sin2t 1123_2t lim t⁄0 sin2t 1123_t lim t⁄0 sin2(x-1) 1111125_x-1 lim x⁄1

09

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tana+tanb=7, tana tanb=3

∴ tan(a+b)= ∴ tan(a+b)= =- yy`㉠ tan =k라 하면 tan(a+b)=tan {2¥ } tan(a+b)= tan(a+b)= yy`㉡ ㉠, ㉡에서 =--4k=7-7k¤ , 7k¤ -4k-7=0 ∴ k= 그런데 0<a+b<p에서 0< < 이므로 tan >0 ∴ tan =k= ∴ tan tan(a+b)= ¥{- } =

-10

오른쪽 그림에서 =4sin 양변을 제곱하면 =16sin¤ ∴ =8sin¤ 1p 8 t¤ 324₈ p 1₈ t¤ 324₄ p 1₈ t 1₂ 4 4 t π 8 2+'5å3 11124₂ 2+'5å3 1 1111₂12244 7 1₂ 2+'5å3 11124₇ a+b 1134₂ 2+'5å3 11124₇ a+b 1134₂ a+b 1134₂ p 1₂ a+b 1134₂ 2—'5å3 11124₇ 7 1₂ 2k 1134_1-k¤ 2k 1134_1-k¤ a+b 2tan1134 2 1111112_a+b 1-tan¤1134 2 a+b 1134₂ a+b 1134₂ 7 1₂ 7 113_1-3 tana+tanb 11111124_{1-tana tanb}

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 이때 sin¤ = = = 이므로 =8sin¤ =8¥ _=4-2'2 4-2'2=x라 하면 x-4=-2'2 양변을 제곱하면 x¤ -8x+16=8 ∴ x¤ -8x+8=0 ①

11

x⁄ 0일 때, (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므 로 (분자)⁄ 0이다. 즉, {cos2x-(ax+b)}=0이므로 1-b=0 ∴ b=1 b=1을 주어진 식의 좌변에 대입하면 = =-2 _{{ }2} - =-2-즉, -2- =c에서 =-2-c yy ㉠ ㉠에서 x⁄ 0일 때, (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므 로 (분자)⁄ 0이다. ∴ a=0, c=-2 ∴ a-b+c=0-1+(-2)=-3 ①

12

= = 111111111111125310x¤ +20x¤ +y+100x¤ x

2{sin¤ 1+sin¤ x+y+sin¤ 5x}₂ lim x⁄0 10x¤ +20x¤ +y+100x¤ 111111111111111111234_{(1-cosx)+(1-cos2x)+y+(1-cos10x)} lim x⁄0 10x¤ +20x¤ +y+100x¤ 11111111111111134_{10-(cosx+cos2x+y+cos10x)} lim x⁄0 a 1_x lim x⁄0 a 1_x lim x⁄0 a 1_x lim x⁄0 a 1_x lim x⁄0 sinx 1133_x lim x⁄0 1-2sin¤ x-ax-1 1111111133_x¤ lim x⁄0 cos2x-(ax+1) 1111111334_x¤ lim x⁄0 lim x⁄0 2-'2 11233₄ p 1₈ t¤ 324₈ 2-'2 11234₄ '2 1-12 2 1113₂ p 1-cos1 4 111155₂ p 1₈ = = = = = = =

13

f(x)=sinx+cosx에서 f(0)=sin0+cos0=1이므로 = = _[ ¥ _] =-이때 -sinx=t로 놓으면 x ⁄ 0일 때 t ⁄ 0이므로 - =-- =-f'(0) f(x)=sinx+cosx에서 f '(x)=cosx-sinx이므로 f '(0)=cos0-sin0=1 ∴ =-f '(0) =-1 -1 f(-sinx)-1 11111134_x lim x⁄0 f(t)-f(0) 11112334_t lim t⁄0 f(-sinx)-f(0) 1111111244_-sinx lim x⁄0 f(-sinx)-f(0) 1111111244_-sinx lim x⁄0 -sinx 11134_x f(-sinx)-f(0) 1111111244_-sinx lim x⁄0 f(-sinx)-f(0) 1111111244_x lim x⁄0 f(-sinx)-1 11111134_x lim x⁄0 20 12₇ 20 1 122₇ 1100 11111_10¥11¥21 11112₆ 1100 11210 ¡k¤ k=1 275 111110 _k ¡{1}¤ k=1 2 10¥11 5¥111 2 111111113₁ {1}₂ ¤ +1¤ +y+5¤ 10 ¡5k k=1 111111111111111111333_x sin1 2 1 sinx sin5x ª11234º ¤ ¥{1}¤ +{1134}¤ ¥1¤ +y+{11234}¤ ¥5¤ x 2 x 5x 1₂ lim x⁄0 5+10+y+50 111111111111111133_x sin1 2 sinx sin5x ª₁₁₂₃₄º¤_{+{1134}¤ +y+} {11234}¤ x x x lim x⁄0

01

f(x)= 에서 f'(x) = ¥ = ¥ =-∴ f '{ }=- =-∴ f '{ }=- ③

02

조건 ㈏에서 f(g(x))=5x¤ +6x-4의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(g(x))g'(x)=10x+6 위 식의 양변에 x=1을 대입하면 f '(g(1))g'(1)=16 조건 ㈎에서g(1)=3이므로 f '(3)g'(1)=16 또한 f '(3)=8이므로 8g'(1)=16 ∴g'(1)=2 2

03

xy¤ +2'ßx -8=0의양변을 x에대하여미분하면 y¤ +2xy +1251 =0 'ßx dy 125_dx 1 1 1₆ 1 11124₃₍₁₊₁₎ 1 11111124 3{1+sin 2¥;4“;} p 1₄ 1 111111_{3(1+sin 2x)} 1 111111112_{3(1+2 sin x cos x)}

-sin¤ x-sin x cos x-cos¤ x+sin x cos x 11111111111111111123_{(sin x+cos x)¤}

1

1₃

-sin x(sin x+cos x)-cos x(cos x-sin x) 111111111111111111233_{(sinx+cosx)¤} 1 1₃ cos x 11111113_{3(sin x+cos x)} x=4, y=1을 위의 식에 대입하면 1+8 + =0 ∴ =-따라서 구하는 접선의 기울기는 - 이다. ①

04

= 에서 x⁄1일 때 (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄0이다. 즉 { f(x)-2}=0이므로 f(1)=2 ∴g(2)=1 따라서 = =f '(1)이 므로 f '(1)= ∴g'(2)= =3 3

05

ㄱ. f(1)=(ln1)¤ =0, f(e)=(lne)¤ =1 ∴ f(1)=f(e)-1 (참) ㄴ. f '(x)=2lnx¥ 에서 f '(1)=0 (참) ㄷ. f '(1)=0이므로 = =f "(1) (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

06

y'=2acos(2x+b)이므로 y"=-4asin(2x+b) y"+cy=-4asin(2x+b)+casin(2x+b) y"+cy=a(c-4)sin(2x+b)=0 ∴ c=4 4 f '(x)-f '(1) 1111115_x-1 lim x⁄1 f '(x) 111_x-1 lim x⁄1 1 1_x 1 11244_{f '(1)} 1 1₃ f(x)-f(1) 111112_x-1 lim x⁄1 f(x)-2 1112544_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 1 1₃ f(x)-2 1112444_x-1 lim x⁄1 3 1 122₁₆ 3 12₁₆ dy 125_dx 1 1₂ dy 125_dx 1.③ 2.2 3.① 4.3 5.⑤ 6.4 7.5 8.③ 9.③ 10.48e‹ 11. 12.② p 1₂ 본문 448쪽 S U M M A C U M L A U D E

05

여러 가지 미분법

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

07

=f'(1)= = ¥ = f'(0)=1 ∴ f '(1)= , f'(0)=2 f(x)= 에서 f '(x)= f '(x)= f '(x)= f'(1)= 에서 = ∴ b=-1 f'(0)=2에서 a=2 ∴ a¤ +b¤ =2¤ +(-1)¤ =5 5

08

f(x)=2sinx_+e3x 으로 놓으면 f(0)=2‚ +e‚ =2 주어진 식을 정리하면 = =f '(0)

f '(x)=cosx¥2sinx_¥ln2+3e3x

∴ f '(0)=cos0¥2sin0¥ln2+3e0

∴ f '(0)=ln 2+3 ③

09

f(x)=ln 으로 놓으면 f(0)=ln =ln1=0 주어진 식을 정리하면 ln = 111112f(x)-f(0)=f '(0) x lim x⁄0

e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈

111111134₁₀

1

1_x lim

x⁄0

e‚ +e‚ +y+e‚

11111133₁₀

e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈

111111134₁₀ f(x)-f(0) 1111144_x lim x⁄0 2sinx +e3x -2 1111124_x lim x⁄0 1 1₂ -2b 112₄ 1 1₂ -ax¤ -2bx+a 11111112_{(x¤ +1)¤}

ax¤ -2ax¤ -2bx+a

1111111122_{(x¤ +1)¤} a(x¤ +1)-(ax+b)¥2x 111111111133_{(x¤ +1)¤} ax+b 1112_{x¤ +1} 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ f(x)-f(0) 111112_x-0 lim x⁄0 f(x)-f(0) 111112_2x lim x⁄0 1 1₂ f(x)-f(1) 111112_x-1 lim x⁄1 f '(x)= f '(x)= 이므로 f '(0)= f '(0)= = = ∴ ln = ③

10

= =3 +3 =3 f'(e)+3 f'(e)=6 f'(e)

한편 f(x)=x4 ln x의 양변에 자연로그를 취하면 ln f(x)=ln x4 ln x ∴ ln f(x)=4(ln x)¤ 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 =8ln x¥ ∴ f '(x)= ∴ 6 f'(e)=6¥

∴ 6 f'(e)= = =48e‹ 48e‹

11

x, y를 각각 h에 대하여 미분하면 =-sinh,125dy=1-cosh dh dx 125_dh 48e4 ln e 1112_e 48 f(e) 1112_e 8 f(e)ln e 11111_e 8 f(x)ln x 11111_x 1 1_x f'(x) 111_f(x) f(e-3h)-f(e) 11111112_-3h lim h⁄0 f(e+3h)-f(e) 11111112_3h lim h⁄0 f(e+3h)-f(e)+f(e)-f(e-3h) 111111111111111_h lim h⁄0 f(e+3h)-f(e-3h) 1111111113_h lim h⁄0 11 1 122₂

e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈

111111134₁₀ 1 1_x lim x⁄0 11 12₂ 55 12₁₀ 1+2+y+10 1111112₁₀

e‚ +2e‚ +y+10e‚

1111111233_{e‚ +e‚ +y+e‚}

e≈ +2e¤ ≈ +y+10e⁄ ‚ ≈

11111112134_{e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈}

e≈ +2e¤ ≈ +y+10e⁄ ‚ ≈

1111111212₁₀ 11111111144_{e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈}

∴ = =

이때 접선의 기울기가 -1이므로

=-1, 1-cosh=sinh

∴ sinh+cosh=1 yy ㉠ ㉠의 양변을 제곱하면

sin¤ h+2sinh cosh+cos¤ h=1

1+2sinh cosh=1, sinh cosh=0

∴ sinh=0 또는 cosh=0 ∴ h= 또는 h=p 또는 h= p(∵ 0<h<2p) 이때 ㉠을 만족시키는 h의 값은 h= 따라서 점 P의 x좌표와 y좌표는 a=1+cos =1 b= -sin = -1 ∴ a+b=

12

ㄱ. f '(x)= {1+ } = ¥ = ∴ f '('3 )= = (거짓) ㄴ. f '(x)= =(x¤ +1)-;2!; 이므로 f "(x)=- (x¤ +1)-;2#;_¥2x f "(x)=-x(x¤ +1)-;2#; 1 1₂ 1 1113 "√x¤ +1 1 1₂ 1 111113 "√('3 )¤ +1 1 1113 "√x¤ +1 "√x¤ +1+x 111122 "√x¤ +1 1 111122 x+"√x¤ +1 2x 11123 2"√x¤ +1 1 111122 x+"√x¤ +1 p 1₂ p 1 1₂ p 1₂ p 1₂ p 1₂ p 1₂ p 1₂ 3 1₂ p 1₂ 1-cosh 111253_-sinh 1-cosh 111253_-sinh dy 125_dh 122_dx 125_dh dy 125_dx ∴ xf '(x)+(x¤ +1)f "(x) ∴=x(x¤ +1)-;2!;_{+(x¤ +1){-x(x¤ +1)}}-;2#; ∴=x(x¤ +1)-;2!;_{-x(x¤ +1)}-;2!; ∴=0 (참) ㄷ. ㄴ에서 =- 이므로 = _{{- }=0 (거짓)} 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. ② x 1124_{x¤ +1} lim x⁄¶ f "(x) 111_{f '(x)} lim x⁄¶ x 1124_{x¤ +1} f "(x) 111_{f '(x)}

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

01

y'=sec¤ x이므로 점 (k, tank)에서의 접선의 기울기는 sec¤ k이다. 따라서 접선의 방정식은 y=sec¤ k(x-k)+tank =sec¤ k¥x+tank-ksec¤ k ∴ f(k)=tank-ksec¤ k ∴ = ∴ = -∴ =1- sec¤ k ∴ =1-1=0 ①

02

f(x)=a-2cos¤ x, g(x)=2sin x라 하고 두 곡선의 접점의 x좌표를 t라 하면 f(t)=g(t), 즉 a-2cos¤ t=2sin t ∴ a=2cos¤ t+2sin t yy ㉠

또한 f'(x)=4sin x cos x,g'(x)=2cos x이고

접점에서의 접선의 기울기가 서로 같으므로

f'(t)=g'(t), 즉 4sin t cos t=2cos t

2cos t(2sin t-1)=0 ∴ sin t= (∵ cos t>0) ∴ t=1p₆ {∵ 0<t<1p₂} 1 1₂ lim k⁄0 ksec¤ k 1112_k lim k⁄0 tank 112_k lim k⁄0 tank-ksec¤ k 11111124_k lim k⁄0 f(k) 112_k lim k⁄0 1.① 2.③ 3.② 4.② 5.⑤ 6.④ 7.③ 8.189 9.② 10.⑤ 11.⑤ 12.1 13.② 14.a<-4 또는 a>0 15.-'3 16.- 17.1 18.③ 19.ㄴ, ㄷ 20.④ 21.② 22.② 2'5 115₅ 본문 450쪽 S U M M A C U M L A U D E

06

도함수의 활용 ∴ a=2cos¤ +2sin ∴ a=2¥{ }¤ +2¥ ∴ a= +1= ③

03

f(x)=ln(1+x¤ )- x¤ 에서 f'(x)= -x= f'(x)=0에서 -x‹ +x=0 x(x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=1 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 함수 f(x)는 x=0일 때 극소이고 극솟값은 f(0)=ln(1+0¤ )- ¥0¤ =0 x=-1, x=1일 때 극대이고 극댓값은 f(-1)=ln2- , f(1)=ln2-따라서 모든 극값의 합은 0+ln2- +ln2- =2 ln 2-1 ②

04

f(x)=xe-x 에서 f'(x)=e-x -xe-x f'(x)=e-x_(1-x) f "(x)=-e-x_(1-x)-e-x f "(x)=e-x (-2+x) f "(x)=0에서 x=2 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ -x‹ +x 1111_{x¤ +1} 2x 111_1+x¤ 1 1₂ 5 1 1₂ 3 1₂ 1 1₂ '3 123₂ p 1₆ p 1₆ y + ↗ -1 0 극대 y -↘ 0 0 극소 y + ↗ 1 0 극대 y -↘ x f'(x) f(x)

x=2의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (2, f(2)) 따라서 변곡점에서의 접선의 기울기는 f'(2)=e-2_¥ (-1)=-②

05

f(x)=x‹ +ax¤ +bx+11에서 f '(x)=3x¤ +2ax+b f(x)가 x=-3에서 극댓값을 가지므로 f '(-3)=0 ∴ 27-6a+b=0 yy ㉠ 또 x=-2에서의 접선의 기울기가 -21이므로 f '(-2)=-21 ∴ 12-4a+b=-21 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-45 ∴ f(x)=x‹ -3x¤ -45x+11 ∴ f '(x)=3x¤ -6x-45=3(x+3)(x-5) ∴ f "(x)=6x-6=6(x-1) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=5 f "(x)=0에서 x=1 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ∴ c=f(5)=125-75-225+11=-164 ∴d=1 ∴ c+d=-164+1=-163 ⑤

06

함수 f(x)의 극댓점과 극솟점이 원점에 대하여 대칭이므로 원점은 f(x)의 변곡점이다. f(x)=x‹ +x¤ cosa-4x에서 f '(x)=3x¤ +2xcosa-4 f "(x)=6x+2cosa 1 1 133_e¤ f "(0)=0이므로 cosa=0 ∴ a= (∵ 0…a…p) ④

07

f(x)= 에서 f'(x)= = f'(x) =-f"(x) = = f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 (∵ (x¤ +1)¤ >0) f "(x)=0에서 x=-'3 또는 x=0 또는 x='3 (∵ (x¤ +1)‹ >0) 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ① f(-x)= =- =-f(x)이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. ② 함수 f(x)는 x=1일 때 극댓값 f(1)= , x=-1일 때 극솟값 f(-1)=- 을 갖는다. ③ 0<x<'3에서 f "(x)<0이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 이 구간에서 위로 볼록하다. ④ 변곡점은 x=-'3, x=0, x='3일 때의 3개이다. ⑤ x>0에서 f(x)>0이고 = =0이므로 1 1_x 12125₁ 1+13 x¤ lim x⁄¶ x 1123_{x¤ +1} lim x⁄¶ 1 1₂ 1 1₂ x 1123_{x¤ +1} -x 111123_{(-x)¤ +1} 2x(x+'3)(x-'3) 111111111_{(x¤ +1)‹} -2x(x¤ +1)¤ -{-(x¤ -1)}¥2(x¤ +1)¥2x 111111111111111111_{(x¤ +1)›} (x+1)(x-1) 11111123_{(x¤ +1)¤} -(x¤ -1) 111123_{(x¤ +1)¤} (x¤ +1)-x¥2x 11111113_{(x¤ +1)¤} x 111_{x¤ +1} p 1 1₂ x f'(x) f"(x) f(x) y --'3 -0 변곡점 y -+ -1 0 + 극소 y + + 0 + 0 변곡점 y + -1 0 -극대 y -'3 -0 변곡점 y -+ y + --3 0 -극대 y -1 -0 변곡점 y -+ 5 0 + 극소 y + + x f '(x) f "(x) f(x)

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 함수 y=f(x)의 그래프의 점근선은 x축이다. 따라서 옳은 것은 ③이다. ③

08

sin3h+ cos2h =3sinh-4sin‹ h+ (1-2sin¤ h) 이므로 sinh=x로 놓으면 y=3x-4x‹ + - x¤ 이때 -1…sinh…1이므로 -1…x…1 f(x)=-4x‹ - x¤ +3x+ 로 놓으면 f '(x)=-12x¤ -9x+3 =-3(4x¤ +3x-1) =-3(x+1)(4x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x= 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 최댓값은 , 최솟값은 - 이므로 최댓값과 최솟값의 차는 a= _{-{- }=} ∴ 32a=32¥ =189 189

09

O C B A{t, e-t@_} D{t, 0} 1 x y y=e-x@ 189 11₃₂ 189 11₃₂ 13 145₄ 85 145₃₂ 13 145₄ 85 145₃₂ 1 1₄ 9 1₄ 9 1₂ 9 1₂ 9 1₄ 9 1₄ 9 1₄ 그림과 같이 A(t, e-t¤_{)이라 하면 y=e}-x¤ 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 직사각형 ABCD의 넓이 S(t)는 S(t)=2t¥e-t¤ (t>0) ∴ S'(t)=2e-t¤_{(1-2t¤ )} S'(t)=0에서 t= (∵ t>0) 함수 S(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 t= 일 때 S(t)는 극대이면서 최대이므로 직 사각형의 넓이의 최댓값은 S { }=æ– ②

10

0…x…p에서 곡선 y='2 sinx와 직선 y=x+k가 적어도 한 점에서 만나려면 x에 대한 방정식 '2 sin x=x+k, 즉 '2 sin x-x=k 의 해가 적어도 하나 존재해야 한다. f(x)='2 sinx-x라 하면 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 0…x…p에서 적어도 한 점에서 만나야 한다. f '(x)='2 cosx-1이므로 f '(x)=0에서 cosx= ∴ x= (∵ 0…x…p) 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 즉 함수 f(x)는 x= 일 때 극대이면서 최대이므로 최댓값 f{1p₄}=1-1p₄를 갖는다. p 1₄ p 1₄ '2 123₂ 2 1 1_e 1 124 '2 1 124 '2 1 124 '2 x 0 y _;4“; y p f'(x) + 0 -f(x) 0 ↗ 극대 ↘ -p t (0) y 111 '2 y + 0 -↗ 극대 ↘ S'(t) S(t) x -1 y _;4!; y 1 f '(x) 0 + 0 - -f(x) _-;4%; ↗ ;3*2%; (극대) ↘ -:¡4£:

따라서 곡선 y=f(x)는 다음 그림과 같으므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 적어도 한 점에서 만나도록 하 는 k의 값의 범위는 -p…k…1-⑤

11

2x¤ >a ln x에서 2x¤ -a ln x>0 f(x)=2x¤ -a ln x로 놓으면 f '(x)=4x- = (4x¤ -a) f '(x)=0에서 4x¤ -a=0 (∵ x>0) ∴ x= 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 즉 함수 f(x)는 x= 일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 f { }= -a ln = {1-2 ln } 이때 모든 양수 x에 대하여 f(x)>0이려면 ( f(x)의 최솟값)>0이어야 하므로 {1-2 ln }>0 1-2 ln >0 2 ln123'a₂ <ln e,1a₄<e ∴ a<4e 'a 123₂ 'a 123₂ a 1₂ 'a 123₂ a 1₂ 'a 123₂ a 1₂ 'a 123₂ 'a 123₂ 'a 123₂ 1 1_x a 1_x O -p x y y=k y=f(x) 4 p 1-4 p p p 1 1₄ ∴ 0<a<4e (∵ a는 양수) ⑤

12

=sint, =k-cost이므로 점 P의 시 각 t에서의 속도는 (sint, k-cost) 따라서 t= 일 때의 속도는 { , k- }이고, 이때 의 속력이 1이므로 æ≠{ }¤ +{k- }¤ =1, k¤ -k+1=1 k(k-1)=0 ∴k=1 (∵ k>0) 1

13

y=e≈ 에서 y'=e≈ 곡선 y=e≈ 위의 점 (1, e)에서의 접선의 방정식은 y-e=e(x-1) ∴ y=ex 이 직선이 곡선 y=2'∂x-k에 접하므로 2'∂x-k=ex에서 양변을 제곱하면 4(x-k)=e¤ x¤ e¤ x¤ -4x+4k=0 이 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면 =(-2)¤ -e¤ ¥4k=0 4-4e¤ k=0 ∴ k= ②

14

y'=e≈ +xe≈ =(1+x)e≈

접점을 (t, te† )이라 하면 접선의 방정식은

y-te† =e† (1+t)(x-t)

이 접선이 점 (a, 0)을 지나므로

0-te† =e† (1+t)(a-t) e† (t¤ -at-a)=0 e† >0이므로 t¤ -at-a=0 접선이 두 개이려면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근 을 가져야 한다. 즉 판별식을 D라 하면 1 1 133_e¤ D 13₄ 1 1₂ '3 123₂ 1 1₂ '3 123₂ p 1₃ dy 125_dt dx 125_dt x (0) y 11'a 2 y - 0 + ↘ 극소 ↗ f'(x) f(x)

내신

・

모의고사

대비

TEST

D=a¤ +4a>0, a(a+4)>0

∴ a<-4 또는 a>0 a<-4 또는 a>0

15

f(x)=-3cosx+'3 sinx+ax+1에서 f'(x)=3sinx+'3 cosx+a 구간 {0, ;2“;}에서 증가하려면 이 구간에서 f'(x)æ0이 어야 한다. g(x)=f'(x)=3sinx+'3cosx+a로 놓으면 g'(x)=3cosx-'3sinx g'(x)=0에서 3cosx='3sinx, tanx='3 ∴ x=;3“; {∵ 0<x<;2“;} 함수g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 함수 g(x), 즉 f'(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다. 이때 f'(x)æ0이려면 f'(0)='3+aæ0 ∴ aæ-'3 따라서 a의 최솟값은 -'3이다. -'3

16

f(x)= =e—¤ ≈ sinx에 대하여

f'(x)=-2e—¤ ≈ sinx+e—¤ ≈ cosx =e—¤ ≈ (cosx-2sinx) sinx 112_{e¤ ≈} y=f '(x) 2'3+a 3+a '3+a y f"(x)=-2e—¤ ≈ (cosx-2sinx) +e—¤ ≈ (-sinx-2cosx) =e—¤ ≈ (3sinx-4cosx) f(x)가 x=a에서 극솟값을 가지므로 f'(a)=e—¤ å (cosa-2sina)=0 f"(a)=e—¤ å (3sina-4cosa)>0 이때 e—¤ å >0이므로 cosa=2sina yy㉠ 3sina-4cosa>0 ∴ cos a<0 (∵ ㉠)

cos¤ a+sin¤ a=1에 ㉠을 대입하면

;4%; cos¤ a=1, cos¤ a=;5$;

∴ cosa=- =- (∵ cos a<0)

f'(x)=e—¤ ≈ (cos x-2 sin x)

f'(x)=-e—¤ ≈ (2 sin x-cos x)

f'(x)_{=-'5e—¤ ≈ {} sin x- _{cos x}}

f'(x)_{=-'5e—¤ ≈ sin (x-a)}

f'(x)= _{{단, cos a=} , sin a= } f'(x)=0에서 sin (x-a)=0 ∴ x-a=0 또는 x-a=p 즉 x=a 또는 x=p+a 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 즉 f(x)는 x=p+a에서 극솟값을 가지므로 cos a=cos (p+a)

cos a=-cos

a=-cos a=- -1142'5 5 2'5 114₅ 2 133 '5 1 133 '5 2 133 '5 1 133 '5 2 133 '5 2'5 1 11₅144 2 133 '5 x (0) y ;3“; y {;2“;} g'(x) g(x) + 0 -↗ 2'3+a ↘ (0) y + ↗ a 0 (극대) y -↘ p+a 0 (극소) y + ↗ (2p) x f'(x) f(x)

17

f(x)=4lnx-2x+ 에서 x>0이고 f '(x)= -2- = f '(x) =-이므로 f(x)가 x>0에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지 려면 방정식 2x¤ -4x+k=0이 서로 다른 두 양의 실근 을 가져야 한다. ⁄ 이차방정식 2x¤ -4x+k=0의 판별식을 D라 하면 =4-2k>0 ∴ k<2 ¤ (두 근의 합)=2>0 ‹ (두 근의 곱)= >0 ∴ k>0 ⁄, ¤, ‹에서 0<k<2 따라서 정수 k의 값은 1이다. 1

18

f(x)가 다항함수이므로 주어진 표를 완성하면 다음과 같다. 즉 x…3에서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같이 x=1에서 극솟값을 갖고, 아래로 볼록하다. ㄱ. g(x)=sin(f(x))에서 ㄱ. g'(x)=cos(f(x))¥ f '(x) ㄱ. ∴g'(3)=cos(f(3))¥ f '(3) ㄱ. ∴g'(3)=cosp¥1 ㄱ. ∴g'(3)=(-1)¥1=-1 (참) ㄴ. 1<a<b<3일 때, g(x)=sin(f(x))는 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능 O 2 1 3 x p p y y=f(x) k 1₂ D 13₄ 2x¤ -4x+k 111112_x¤ -2x¤ +4x-k 1111112_x¤ k 13_x¤ 4 1_x k 1_x 하므로 평균값의 정리에 의하여 ㄴ. =g'(c)(1<a<c<b<3) ㄴ. 인 c가 적어도 하나 존재한다. ㄴ. 이때g'(c)=cos(f(c))¥ f '(c)이므로 cos(f(c)), f'(c)의 범위를 각각 구하여 g'(c)의 범위를 구해 보자. ㄴ. 위의 그래프에서 확인할 수 있듯이 ㄴ. <f(c)<p ㄴ. ∴ -1<cos(f(c))<0 yy ㉠ ㄴ. 또 f '(3)=1이므로 열린 구간 (1, 3)에서 ㄴ. 0<f '(c)<1 yy ㉡ ㄴ. ㉠, ㉡에 의하여 -1<cos(f(c))¥f '(c)<0이므로 ㄴ. -1<g'(c)<0 ㄴ. ∴ -1< <0 (참) ㄷ. g'(x)=cos(f(x))¥f'(x) (∵ ㄱ)에서 ㄷ. g''(x)=-sin(f(x))¥{ f'(x)}¤ ㄷ. g''(x)=+cos(f(x))¥f''(x) ㄷ. ∴g''(1)=-sin(f(1))¥{ f'(1)}¤ ㄷ. ∴g''(1)=+cos(f(1))¥f''(1) ㄷ. ∴g''(1)=-sin ¥0+cos ¥f''(1) ㄷ. ∴g''(1)=0 ㄷ. 이제 앞의 표를 이용하여 x=1의 좌우에서g''(x)의 부호를 살펴보자. ㄷ. ⁄ x⁄ 1-일 때 (단, ⊕은 양, ⊖은 음) ㄷ. ⁄ f(x)⁄ +, f '(x)⁄ ⊖, f''(x) ⁄ ⊕ ㄷ. ⁄ ∴ -sin(f(x)) ⁄ ⊖, cos( f(x)) ⁄ ⊖ ㄷ. ⁄ ∴g''(x)=⊖⊖⊖+⊖⊕ ㄷ. ⁄ ∴g''(x)=⊖+⊖=⊖<0 ㄷ. ¤ x⁄ 1+일 때 ¤ f(x)⁄ +, f '(x)⁄ ⊕, f''(x) ⁄ ⊕ ¤ ∴ -sin(f(x))⁄ ⊖, cos( f(x)) ⁄ ⊖ ¤ ∴g''(x)=⊖⊕⊕+⊖⊕ ¤ ∴g''(x)=⊖+⊖=⊖<0 p 1₂ p 1₂ p 1₂ p 1₂ g(b)-g(a) 11112333_b-a p 1₂ g(b)-g(a) 111112_b-a x x<1 x=1 1<x<3 x=3 f'(x) - 0 + 1 f''(x) + + + 0 f(x) ;2“; p

내신 ・ 모의고사 대비 TEST ¤ 즉g''(1)=0이지만 x=1의 좌우에서 g''(x)의 부 호가 바뀌지 않으므로 점 P(1, 1)은 곡선 y=g(x) 의 변곡점이 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③

19

ㄱ. h(3)=f(g(3))=f(1)=5 (거짓) ㄴ. h(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g'(x) ㄴ. ∴ h'(2)=f '(g(2))g'(2) ㄴ.이때 f '(g(2))<0(∵ g(2)=2.×××)이고 ㄴ.g'(2)<0이므로 ㄴ. h'(2)>0 (참) ㄷ. h'(x)=f '(g(x))g'(x) ㄴ.구간 (3, 4)에서 0<g(x)<1이고, 함수 f(x)는 구 간 (0, 1)에서 증가하므로 f '(g(x))>0 ㄴ.구간 (3, 4)에서 함수g(x)는 감소하므로 ㄴ. g'(x)<0 ㄴ.따라서 구간 (3, 4)에서 ㄴ.h'(x)=f '(g(x))g'(x)<0이므로 함수 h(x)는 이 구간에서 감소한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ

20

점 A의 좌표는 (0, 2e—† ) 또 y=2e-x에서 y'=-2e-x이므로 곡선 위의 점 P(t, 2e-t_{)에서의 접선의 방정식은} y-2e-t_=-2e-t_(x-t) ∴ y=-2e-tx+2(t+1)e-t 이때 점 B의 좌표는 (0, 2(t+1)e-t)이므로

AB”=2(t+1)e-t_-2e-t_=2te-t

△APB의 넓이를 S(t)라 하면 S(t)= ¥AB”¥AP” S(t)= ¥2te-t_¥t S(t)=t¤ e-t 1 1₂ 1 1₂ S'(t)=2te-t_{-t¤ e}-t =t(2-t)e-t S'(t)=0에서 t=2 (∵ t>0, e-t >0) S(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 함수 S(t)는 t=2에서 극대이면서 최대이므로 구하는 t의 값은 2이다. ④

21

+ =-2의 양변에 f '(x)g'(x)를 곱하여 정리하면 { f '(x)}¤ +2f '(x)g'(x)+{g'(x)}¤ =0 { f '(x)+g'(x)}¤ =0 ∴ f '(x)+g'(x)=0 f(x)+g(x)=-cosx- x¤ 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)+g'(x)=sinx- x 따라서 주어진 방정식은 sinx- x¤ =0이고, 이 방정 식의 양수인 근의 개수는 x>0에서 곡선 y=sinx와 직 선 y= x의 교점의 개수이다. 따라서 x>0에서 두 그래프는 세 점에서 만나므로 주어 진 방정식의 양수인 근의 개수는 3이다. ② 1 -1 O x y y=₁₀1 2p p 3p 10 1 12₁₀ 1 12₁₀ 1 12₁₀ 1 12₂₀ g'(x) 12513_{f '(x)} f '(x) 12513_g'(x) t (0) y 2 y S'(t) + 0 -S(t) ↗ 134 ↘ e¤

22

='3, =3-4t이므로 시각 t에서의 점 P의 속도는 ('3, 3-4t) 한편 점 P가 직선 l과 만나려면 직선 OP의 기울기가 직 선 l의 기울기와 같아야 하므로 =tan , 3t-2t¤ =t 2t(t-1)=0 ∴ t=1 (∵ t>0) 따라서 점 P가 t=1에서 처음으로 직선 l과 만나므로 그 때의 속도는 ('3, -1) ② p 1₆ 3t-2t¤ 11124 '3 t dy 125_dt dx 125_dt

01

⑴: dx =: {x- +x-;2#; } dx = x¤ -ln|x|-2x-;2!;_+C = x¤ -ln|x|- +C ⑵: (2+tan¤ x)dx=: (1+sec¤ x)dx =x+tan x+C ⑶: dx=: dx =: (e≈ +1)dx=e≈ +x+C ⑴ x¤ -ln|x|- +C ⑵ x+tanx+C ⑶ e≈ +x+C

02

F(x)=: cosx¥ln(sinx)dx에서 sinx=t로 놓으면 =cosx이므로 F(x)=: cosx¥ln(sinx)dx F(x)=: lntdt F(x)=tlnt-t+C F(x)=sinx¥ln(sinx)-sinx+C dt 124_dx 2 133 'ßx 1 1₂

(e≈ +1)(e¤ ≈ -e≈ +1)

11111111244_{e¤ ≈ -e≈ +1} e‹ ≈ +1 111144_{e¤ ≈ -e≈ +1} 2 1 13333 'ßx 1 1 1₂ 1 1₂ 1 1_x x‹ -x+'ßx 11112344_x¤ 1.⑴ x¤ -ln|x|- +C ⑵ x+tanx+C 1.⑶ e≈ +x+C 2.② 3. + 4.1+12ln2 5.-2 6.f(x)=(x+1)e≈ 7. 8.8 9.- 10. 1 ln3 11.④ 12.1-2ep 1₂ 1 1₂ p 1₂ 5'2 11₃ 16 12₃ 2 133 'ßx 1 1₂ 본문 454쪽 S U M M A C U M L A U D E

07

부정적분