삼각형 QHA에서 H’A”=Q’H”=y 삼각형 QOH에서 O’H”=
O’A”=1이므로
O’A”=O’H”+H’A”= +y=1
∴ y=
x=1-y=1- =
∴ Q{ , }
x= , y= 에서
=- , =
이므로 점 Q의 속도는
{ , }={- , }
한편 점 P의 x좌표가 일 때에는 cost= 일 때이 므로
sect= = , tant=
∴ {- , }
∴=·- , ‚
∴={- , }
따라서 a=- , b= 이므로
b-a=11225049 ⑤
122549 122549
122549 122549
{1}5 ¤ 1111543
{1+1}¤ 4 {1}5 ¤
1111543 {1+1}¤
4
sec¤ t 111112(1+tant)¤
sec¤ t 111112(1+tant)¤
134 154
112cos t1
145 145
sec¤ t 111112(1+tant)¤
sec¤ t 111112(1+tant)¤
125dydt 125dxdt
sec¤ t 111112(1+tant)¤
125dydt sec¤ t
111112(1+tant)¤
125dxdt
11111+tanttant 11111+tant1
11111+tanttant 11111+tant1
11111+tant1 11111+tanttant
11111+tanttant 112tanty
112tanty P Q(x, y) y
O H A
B
t x
t
01
⁄x…1일 때, f '(x)=ex-1이므로⁄ 므f(x)=: e≈ —⁄ dx=e≈ —⁄ +C¡ (단, C¡은 적분상수)
¤x>1일 때, f'(x)= 이므로
⁄ 므f(x)=: dx=lnx+C™ (단, C™는 적분상수) 함수 f(x)가 모든 실수에서 연속이므로 x=1에서도 연 속이어야 한다. 즉, f(x)= f(1)이어야 하므로
f(x)= (lnx+C™)=C™
f(1)=e1-1+C¡=1+C¡
에서 C™=1+C¡ yy`㉠
주어진 조건에서 f(-1)=e+ 이므로
e-2+C¡=e+ ∴ C¡=e C¡=e를 ㉠에 대입하면 C™=e+1
따라서 f(x)=[ 이므로
f(e)=lne+e+1=e+2 ⑤
02
{ f(x)}‹ 을 x에 대하여 미분하면 3{ f(x)}¤ f '(x){ f(2x+1)}‹ 을 x에 대하여 미분하면 3{ f(2x+1)}¤ f '(2x+1)¥2
이므로 조건 ㈎의 식의 양변을 x에 대하여 적분하면 { f(x)}‹ +C¡= { f(2x+1)}‹ +C™
(단, C¡, C™는 적분상수) 116
123
e≈ —⁄ +e (x…1) ln x+e+1 (x>1)
15e¤1
15e¤1
xlim⁄1+
xlim⁄1+
xlim⁄1+
1x1 1x1
1.⑤ 2.④ 3.② 4.④ 5.6 6.⑤ 7.⑤ 8.5 9.① 10.② 11.③ 12.24 13.① 14.② 15.15
본문 468쪽
S U M M A C U M L A U D E
III.
적분법2:;2!;
2f(x)dx=2ln2+
∴:
내신 ・ 모의고사 대비
TEST={- + ln2- }
-{- + ln - }
= ln2- ln +
= ln2+ ln2+
= + ②
04
주어진 f(x)의 식을 정리하면 f(x)=:)/ dtf(x)=:)/ dt
f(x)=:)/ dt
f(x)=[ln (e† +1)]/) f(x)=ln (e≈ +1)-ln 2
f(x)=ln yy`㉠
(fΩf)(a)=ln 5HjK f(f(a))=ln 5에서 f(a)=k로 놓으면
f(k)=ln 5 이므로 ㉠에 의해
f(k)=ln =ln 5
=5, e˚ =9 ∴k=ln 9 따라서 f(a)=k=ln 9이므로
f(a)=ln =ln 9
=9, eå =17 ∴ a=ln 17 ④
05
조건 ㈏에서 u=x-1, v'=f '(x+1)이라 하면 u'=1, v=f(x+1)이므로 부분적분법에 의하여eå +1 2
eå +1 2 e˚ +1
2
e˚ +1 2 e≈ +1
2 e†
e† +1 1 1+13e†1
1 1+e—†
11 12 2 ln 2 1 111223
112 113
113
112 112 113 113
143 112 113 116
113 113
123 :)1 (x-1)f'(x+1)dx
=[(x-1)f(x+1)]1) -:)1 f(x+1)dx
=f(1)-:)1 f(x+1)dx
=2-:)1 f(x+1)dx (∵ 조건 ㈎)
=-4
∴:)1 f(x+1)dx=2+4=6
이때 x+1=t로 치환하면 =1이고 x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로
:)1 f(x+1)dx=:!2 f(t)dt=6
∴:!2 f(x)dx=6
치환적분법부터 사용하면 구하는 식을 쉽게 찾을 수 있다.
:)1 (x-1)f'(x+1)dx에서
x+1=t로 치환하면 =1이고 x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로
:)1 (x-1)f'(x+1)dx=:!2 (t-2)f'(t)dt 이때 이 식에서 u=t-2, v'=f'(t)라 하면 u'=1, v=f(t)이므로 부분적분법에 의하여
:!2 (t-2)f'(t)dt=[(t-2)f(t)]2!-:!2 f(t)dt :!2 (t-2)f'(t)dt=f(1)-:!2 f(t)dt
:!2 (t-2)f'(t)dt=2-:!2 f(t)dt (∵ f(1)=2) :!2 (t-2)f'(t)dt=-4
∴:!2 f(t)dt=:!2 f(x)dx=2+4=6 6
06
ㄱ. e-'ßp`>0이고12dxdt 12dxdt
0<t<'ßp` HjK 0<t¤ <p에서 sin(t¤ )>0이므로 :)'ßpsin(t¤ )dt>0
∴ f('ßp`)=e-'ßp`:)'ßp`sin(t¤ )dt>0 (참) ㄴ. f(x)=e—≈:)/ sin(t¤ )dt에 x=0을 대입하면
f(0)=1_0=0
이고 ㄱ에서 f('ßp`)>0이므로
= >0
따라서 함수 f(x)가 닫힌구간 [ 0, 'ßp`]에서 연속이 고 열린구간 (0, 'ßp`)에서 미분가능하므로 평균값 정 리에 의하여
0< =f '(a)
를 만족시키는 a가 열린구간 (0, 'ßp`)에 적어도 하
나 존재한다. (참)
ㄷ. f(x)=e—≈:)/ sin(t¤ )dt의 양변을 x에 대하여 미분 하면
f'(x)=-e—≈:)/ sin(t¤ )dt+e—≈ sin(x¤ ) 이 식에 x='ßp`를 대입하면
f'('ßp`)=-e-'ßp`:)'ßp`sin(t¤ )dt+e-'ßp``_sinp
f'('ßp`)=-e-'ßp`:)'ßp`sin(t¤ )dt f'('ßp`)=-f('ßp`)<0 yy`㉠
ㄴ에서 f'(a)>0 (0<a<'ßp`)을 만족시키는 a가 존재하고, 함수 f '(x)가 닫힌구간 [a, 'ßp`]에서 연속 이며 f '('ßp`)<0 (∵ ㉠)이므로 사잇값의 정리에 의 하여
f'(b)=0
을 만족시키는 b가 열린구간 (a, 'ßp`)에 적어도 하 나 존재한다.
따라서 f'(b)=0을 만족시키는 b가 열린구간 (0, 'ßp`)에 적어도 하나 존재한다. (참)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤
f('ßp`)-f(0) 11131142
'ßp`-0
f('ßp`) 1113'ßp`
f('ßp`)-f(0) 11131142
'ßp`-0
07
주어진 식을 정리하면 [ :!x+1f(t)dt]= (x¤ +1)¥ :!x+1f(t)dt
=1¥f(1)=3
f(x)=acos(px¤ )에서 f(1)=acosp=-a=3
∴ a=-3
따라서 f(x)=-3cos(px¤ )이므로
f(-3)=-3cos9p=-3¥(-1)=3 ⑤
08
1+ 를 x로, 을 dx로 나타내면 적분 구간 은 [1, 2]이므로f{1+ }= f{1+ }
=:!2 (x-1)f(x)dx
∴:!2 (x-1)lnxdx
∴=[{ x¤ -x}lnx]2!-:!2 { x¤ -x}dx
∴=(0-0)-:!2 { x-1}dx
∴=-[ x¤ -x]2!
∴=-[(1-2)-{ -1}]
∴=
따라서 p=4, q=1이므로 p+q=5 5
09
∠P«–˚OP«≠˚=2k¥∠PºOP¡∠P«–˚OP«≠˚=2k¥{ ¥ }=
이므로 삼각형 OP«–˚P«≠˚의 넓이 S˚는 S˚= ¥1¤ ¥sin = sinkp
1252n 112 125kp2n 112
125kp2n 1p2 122n1 114
114 114
112
112 1x1 112
1n1 1kn 1kn
¡n
lim k=1 nڦ
1nk 14n¤k
¡n
lim k=1 nڦ
1n1 1kn
11x limx⁄0
limx⁄0
x¤ +1 1123x limx⁄0
내신 ・ 모의고사 대비
TEST∴ S˚= sin
∴ S˚= sin{ ¥ }¥
∴ S˚= :)1 sin xdx
∴ S˚= [- cos x]1)
∴ S˚= [0-{- }]= ①
10
n=3일 때, A(8, 0), B(8, 8), C(0, 8) 이때 선분 BC와 곡선 y=2≈ 의 교점을 E라 하면E(3, 8)
곡선 y=2≈ 과 직선 x=3 및 x축, y축으로 둘러싸인 부 분의 넓이가
:)3 2≈ dx=[ ]3)= - =
이므로 직사각형 COE'E에서 곡선 y=2≈ 과 직선 y=8 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
3¥8-
=24-∴ (색칠된 부분의 넓이)=8_8-2{24- }
∴ (색칠된 부분의 넓이)=16+
y=2≈ 과 y=log™x는 역함수 관계이므로 두 곡선은 직선 y=x에 대하여 서로 대칭이다. 따라서 색 칠된 부분의 넓이는 곡선 y=2≈ 과 직선 y=x, y=8 및
114 11ln 2133
11ln27 11ln27
11ln27
11ln27 11ln21 11ln28 11ln22≈
x y
O
y=2x
A{8,`0}
E'{3,`0}
1 1
C{0,`8} E{3,`8} B{8,`8}
D y=log™x 11 1p 1p2 112
1p2 1p2 112
1p2 112
1n1 1nk 1p2
¡n
limk=1 nڦ
112
125kp2n 112
¡n k=1
1n1
nlimڦ
¡n k=1
1n1
limn⁄¶ y축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 2배이다. 즉, 구하는 넓
이는 다음 그림과 같이 ㉠, ㉡의 넓이의 합의 2배이다.
∴ (색칠된 부분의 넓이)
∴=2{(㉠의 넓이)+(㉡의 넓이)}
∴=2[ :)3 (2≈ -x)dx+ ¥(8-3)¤ ]
∴=2[[ - x¤]3)+ ]
∴=2[[{ - }- ]+ ]
∴=2{ +8}
=16+
(색칠된 부분의 넓이)
= OABC-2:!8 log™xdx
=8¤ -2[xlog™x- ]8!
=64-2{8¥3- + }
=64-48+
=16+ ②
11
함수 y=|sin2x|+1의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.11ln214 11ln214
11ln21 11ln28
11ln2x 11ln214
11ln27
12252 11ln21 192 11ln28
12252 112
11ln22≈
112
x y
O
y=2x y=x
A{8,`0}
3 1 1
C{0,`8} E{3,`8} B{8,`8}
D y=log™x
㉡
㉠
따라서 곡선 y=|sin2x|+1과 x축 및 두 직선 x= , x= 로 둘러싸인 부분의 넓이는
:
;4“;
;∞4…;;
(|sin2x|+1)dx
=4:
;4“;
;2“;(sin2x+1)dx
=4[- cos2x+x]
;4“;
;2“;
=4[{ + }- ]
=4{ + }
=p+2 ③
12
연속함수 f(x)가 f(1)<f(3)이고 일대일대응이므로 함수 f(x)는 구간 [1, 3]에서 증가한다. 즉,
:!3 f(x)dx=3_3-1_1-:!3 g(x)dx
조건 ㈐`에 의하여:!3 g(x)dx=3이므로 :!3 f(x)dx=8-3=5
O 3 1 7
7 3 1 y
x y=f(x) y=x 1p4
112
1p4 1p2 112
112 1255p4
1p4 y
y=|sin 2x|+1
x= x=
O x 1
π4
π π
2 3π
4 5π
4
∴:#7 f(x)dx=:!7 f(x)dx-:!3 f(x)dx
=27-5=22
조건 ㈏`에 의하여 함수 f(x)의 그래프는 구간 (3, 7)에 서 위로 볼록하다. 조건 ㈎`에 의하여 f(3)=3, f(7)=7 이므로 구간 [3, 7]에서 f(x)-xæ0이다.
∴ 12:#7 | f(x)-x|dx
∴=12:#7 { f(x)-x}dx
∴=12‡:#7 f(x)dx-:#7 xdx°
∴=12_(22-20)
∴=24 24
13
x=t { …t… }일 때의 입체도형의 단 면인 정사각형의 한 변의 길이는2"√tsint¤
이므로 단면의 넓이는
2"√tsint¤ ¥2"√tsint¤ =4tsint¤
따라서 구하는 입체도형의 부피는 : 4tsint¤ dt
이때 t¤ =u로 치환하면 2t= 이고
t= 일 때 u= , t= 일 때u= 이므로
: 4tsint¤ dt=2: sinu du
=2[-cosu]
=2[ -{- }]
=2'2 ①
14
시각 t에서의 점 P의 속도가 (2t, 2p sin2pt) 이므로12'22 12'22
123p4 1p4 123p4 1p4 11'∂3p2
12'p2
123p4 115'∂3p2
1p4 12'p2
125dudt
11'∂3p2 12'p2
115'∂3p2 12'ßp2
¤ 직선 x= `(n은 정수) 에 대하여 대칭
np 4
:#7 g(x)dx
:#7 f(x)dx :!3 g(x)dx
:!3 f(x)dx