15111n(n+2)1
¡¶
∴ = + + + + +y
O’A¡”=4, O’B¡”=4'3이므로 ∠OA¡B¡=60˘
114
∴ ∠COA¡=60˘, ∠B¡OC=30˘
⁄즉, R¡에서 색칠된 부분의 넓이a¡은
내신 ・ 모의고사 대비
TEST=ln3¥1¥1=ln3 (참) ㄷ. (반례) 함수 f(x)=|x|이면 11155-x
xlim 11125x limx⁄0
S(t)= ¥OH”¥QH”
S(t)= ¥a¥eå = aeå yy`㉠
=2(cos¤ h-sin¤ h)
2sinh=2(1-sin¤ h-sin¤ h)
2sin¤ h+sinh-1=0, (2sinh-1)(sinh+1)=0
∴ sinh= (∵ h는 예각) ②
04
OA”=1, OB”="√cos¤ h+sin¤ h=1이고, 사각형 OACB가 평행사변형이므로f(h)=OA”¥OB”¥sinh=sinh B(cosh, sinh)이고 BC”=1이므로
C(cosh+1, sinh) 11 12
111112cosh+sinh'2a 111112cosh-sinh'2a
AE”-AD”
11111AC”
111112cosh+sinh'2a
11111211111555cos45˘cosh+sin45˘sinha 111112cos(45˘-h)a
111112cosh-sinh'2a
11111211111555cos45˘cosh-sin45˘sinha 111112cos(45˘+h)a
2¥;2!;e† -1
∴ g(h)=OC”¤
∴ g(h)=(cosh+1)¤ +sin¤ h
∴ g(h)=cos¤ h+2cosh+1+sin¤ h
∴ g(h)=2+2cosh
∴ f(h)+g(h)=sinh+(2+2cosh)
=sinh+2cosh+2
∴ f(h)+g(h)='5 { sinh+ cosh}+2
∴ f(h)+g(h)='5sin(h+a)+2
{단, cos a= , sina= , 0<a<;2“;}
111155132(1+cosh)¤1
hlim⁄0+
(sin¤ h)¤
1111551152h› (1+cosh)¤
hlim⁄0+
(1-cos¤ h)¤
1111551152h› (1+cosh)¤
hlim⁄0+
(1-cosh)¤ (1+cosh)¤
11115511311122h› (1+cosh)¤
hlim⁄0+
(1-cosh)¤
11115512h›
hlim⁄0+
11553S(h)h›
lim
h⁄0+
(1-cosh)¤
11115512
B
cos`h 1-cos`h p AC”=t-1, BC”=2't
따라서 삼각형 BAC의 넓이는
AQ”=t, OQ”=1-t
∴ S=(부채꼴 OAP의 넓이)-△OQP 1111232h›
hlim⁄0+
(1-cosh)¤
11115512h›
hlim⁄0+
11553S(h)h›
hlim⁄0+
내신 ・ 모의고사 대비
TEST㉠에 대입하면 b=2
∴ f(x)=(x¤ -2x+2)e≈ , f '(x)=x¤ e≈
f—⁄ (x)=k(x)라 하면 f(1)=e, f '(1)=e이므로
k(e)=1, k'(e)= yy ㉡
h(x)=f—⁄ (x)g(x)=k(x)g(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면
h'(x)=k'(x)g(x)+k(x)g'(x)
∴ h'(e)=k'(e)g(e)+k(e)g'(e)
∴ h'(e)= g(e)+g'(e) (∵ ㉡`) yy ㉢ 조건 ㈏의 식g(f(x))=f '(x)에 x=1을 대입하면 g(f(1))=f '(1) ∴g(e)=e yy ㉣ 또 ㈏의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
g'(f(x))f '(x)=f "(x) 이 식에 x=1을 대입하면
g'(f(1)) f '(1)=f "(1) g'(e)¥e=f "(1)
이때 f "(x)=2xe≈ +x¤ e≈ =(x¤ +2x)e≈ 이므로 f "(1)=3e
∴g'(e)= = =3 yy ㉤
㉣, ㉤을 ㉢에 대입하면 h'(e)= ¥e+3
h'(e)=1+3=4 ④
09
f '(x)=1+{ f(x)}¤ 이므로 g(x)=ln f'(x)=ln[1+{ f(x)}¤¤ ]∴g'(x)=
∴g'(x)= =2f(x)
∴g'{ }=2f { }=2¥1=2 {∵ f{ }=1}
g(x)=ln f'(x)에서 g'(x)= f "(x) 111f '(x) 1p4
1p4 1p4
2f(x)[1+{ f(x)}¤ ] 1111111121+{ f(x)}¤
2f(x)f'(x) 1111121+{ f(x)}¤
11e
123ee f "(1) 1124e 11e
11e 따라서 t=1일 때,
= + ④
08
f(x)=(x¤ +ax+b)e≈ 에서 f '(x)=(2x+a)e≈ +(x¤ +ax+b)e≈={x¤ +(a+2)x+a+b}e≈
조건 ㈎에서 f(1)=e, f '(1)=e이므로 f(1)=(1+a+b)e=e
1+a+b=1 ∴ a+b=0 yy ㉠ f '(1)={1+(a+2)+a+b}e
=(a+3)e=e (∵ ㉠`) a+3=1 ∴ a=-2
㉠에 대입하면 b=2
∴ f(x)=(x¤ -2x+2)e≈ , f '(x)=x¤ e≈
h(x)=f—⁄ (x)g(x)에 x 대신 f(x)를 대입하면 h(f(x))=f—⁄ ( f(x))g(f(x))
=xf '(x) (∵ 조건 ㈏`)
이때 h(f(x))=xf '(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 h'(f(x))f '(x)=f '(x)+xf "(x)
위의 식에 x=1을 대입하면
h'(e)¥e=e+f "(1) yy ㉡ 한편 f '(x)=x¤ e≈ 에서
f "(x)=2xe≈ +x¤ e≈ =(x¤ +2x)e≈
이므로 f "(1)=3e
㉡에서 h'(e)¥e=e+3e=4e이므로 h'(e)=4
f(x)=(x¤ +ax+b)e≈ 에서 f '(x)=(2x+a)e≈ +(x¤ +ax+b)e≈
={x¤ +(a+2)x+a+b}e≈
조건 ㈎에서 f(1)=e, f '(1)=e이므로 f(1)=(1+a+b)e=e
1+a+b=1 ∴ a+b=0 yy ㉠ f '(1)={1+(a+2)+a+b}e
=(a+3)e=e (∵ ㉠`) a+3=1 ∴ a=-2
11 12 1p 14 123dSdt
이때 f "(x)=[1+{ f(x)}¤ ]'=2f(x)f '(x)이므로
g'(x)= =2f(x)
∴ g'{ }=2f { }=2¥1=2 ③
10
조건 ㈎에 의해 직선 l이 제2사분면을 지나지 않 고, 조건 ㈏에 의해 직선 l과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형인 직각이등변삼각형의 넓이가 2이므로 다음 그림과 같이 직선 l의 x절편과 y절편은 각각 2, -2이다.따라서 직선 l의 방정식은 y=x-2이고 점 (4, 2)를 지 나므로
f(4)=2, f '(4)=1 한편g(x)=xf(2x)에서
g'(x)=f(2x)+2xf '(2x)
∴g'(2)=f(4)+4f '(4)
=2+4=6 ④
11
직선 y=g(x)는 점 A(1, 2)를 지나고 y=f(x) 가 위로 볼록한 함수이므로 닫힌구간 [0, 4]에서 f(x)…g(x)를 만족시키기 위해서는 다음 그림과 같이 직선 y=g(x)가 함수 y=f(x)의 그래프와 점 (1, 2) 에서 접해야 한다.y=g(x)
2
1 4
y=f(x)
x y
O A
O 2 4
-2
x
y l
f(4)
y=f(x) 1p4
1p4
2f(x)f '(x) 111112f '(x)
f(x)=2'2sin x에 대하여
f'(x)=2'2 cos x¥ = pcos x 이므로 함수 y=f(x) 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 기 울기는
f '(1)= pcos =
따라서 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 g(x)= (x-1)+2= x- +2
∴g(3)=p+2 ③
12
f(x)=ax¤ +bx+c라 하면 f '(x)=2ax+b, f "(x)=2a g(x)=f(x)e—≈ 에서g'(x)=f'(x)e—≈ -f(x)e—≈
g'(x)={ f '(x)-f(x)}e—≈
g'(x)={-ax¤ +(2a-b)x+b-c}e—≈
g"(x)={ f "(x)-f '(x)}e—≈ -{ f '(x)-f(x)}e—≈
g'(x)={ f "(x)-2f '(x)+f(x)}e—≈
g'(x)=(2a-4ax-2b+ax¤ +bx+c)e—≈
g'(x)={ax¤ +(b-4a)x+2a-2b+c}e—≈
조건 ㈎에 의해g"(1)=g"(4)=0이므로
이차방정식 ax¤ +(b-4a)x+2a-2b+c=0의 두 근 은 1, 4이다. 이때 근과 계수의 관계에 의하여
=5, =4
∴b=-a, c=0
g(x)=(ax¤ -ax)e—≈ =a(x¤ -x)e—≈ 에서 a>0일 때 g(x)=0, g(x)=¶
a<0일 때 g(x)=0, g(x)=-¶
g(0)=0, g(1)=0
이고, 두 점 (1, g(1)), (4, g(4))가 변곡점이므로 y=g(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.
lim
x⁄-¶
lim
xڦ
xlim⁄-¶
xlimڦ
2a-2b+c 15512412335a 15512434a-ba
1p2 1p2 1p2
1p2 1p4 125 '2 2
1p4 125 '2 2 1p4 1p4 1p4
내신 ・ 모의고사 대비
TEST 그런데 조건 ㈏에서 -1<k<0인 점 (0, k)에서 그을수 있는 접선의 개수가 3이라 하였으므로 가능한 그래프 의 개형은 a>0인 그래프이다.
이때 -1<k<0인 경우만 접선의 개수가 3이므로 k=-1, k=0인 경우, 접선의 개수는 2이고, k=-1인 경우, 변곡점 (1,g(1)), 즉 (1, 0)을 지남을 알 수 있다.
즉 곡선 위의 점 (1, 0)에서 그은 접선 y=g'(1)(x-1)= x-가 점 (0, -1)을 지나므로
- =-1 ∴ a=e
∴g(x)=e(x¤ -x)e—≈
∴g(-2)_g(4)=e(4+2)e¤ _e(16-4)e—›
=6_12=72
[참고]
k=0, -1<k<0, k=-1의 경우, 그을 수 있는 접선을 살펴보면 다음과 같다.x y
k O
-1 -1<k<0
x y
O k=0
-1 1ae
1ae 1ae
x y
O 1
a<0
y=g{x}
x y
k O
1
-1 a>0
y=g{x}
72
13
y=3≈ 에 대하여 y'=3≈ ln3이므로 점 (k, 3˚ )에 서 곡선 y=3≈ 에 접하는 직선의 방정식은y-3˚ =3˚ ln3(x-k)
이 직선이 x축과 만나는 점 A의 x좌표를 구하면 -3˚ =3˚ ln3(x-k),
x-k=-∴ x=k- ∴ A{k- , 0}
y=a≈ —⁄ 에 대하여 y'=a≈ —⁄ lna이므로 점 (k, a˚ —⁄ )에서 곡선 y=a≈ —⁄ 에 접하는 직선의 방정식은
y-a˚ —⁄ =a˚ —⁄ lna(x-k)
이 직선이 x축과 만나는 점 B의 x좌표를 구하면 -a˚ —⁄ =a˚ —⁄ lna(x-k),
x-k=-∴ x=k- ∴ B{k- , 0}
H(k, 0)에 대하여 AH”=k-{k- }=
BH”=k-{k- }=
이때 AH”=2BH”이므로
=
lna=2ln3=ln9 ∴ a=9
AH”=2BH”이므로 점 (k, a˚ —⁄ )에서 곡선 y=a≈ —⁄ 에 접하는 직선의 기울기는 곡선 y=3≈ 에 접하는 직선의 기울기의 2배이다.
∴ a˚ —⁄ ¥lna=2¥3˚ ¥ln3 이때 a˚ —⁄ =3˚ 이므로
11lna2 11ln31
11lna1 11lna1
11ln31 11ln31
11lna1 11lna1
11lna1 11ln31 11ln31
11ln31 k=-1
x y
O
접선 3개 -1
두 개의 접점이 하나로 모인다.
변곡점
3˚ ¥lna=2¥3˚ ¥ln3
lna=2ln3=ln9 ∴ a=9 ④
14
g(x)=100| f(x)|- | f(x˚ )|g(x)=100| f(x)|-(| f(x)|+| f(x¤ )|
+y+| f(x« )|) g(x)=100| f(x)|-| f(x)|-| f(x¤ )|
-y-| f(x« )|
이고, f(x« )=e≈«±⁄ -1에 대하여 n이 홀수일 때와 짝수 일 때의 `y=f(x« )의 그래프의 개형은 다음과 같다.
n이 홀수일 때 n이 짝수일 때
그래프에서 확인되듯이 n이 홀수일 때에는 x=-1을 기준으로 f(x« )의 값의 부호가 달라지고, n이 짝수일 때 에는 f(x« )의 값이 항상 양수임을 알 수 있다.
즉 n이 짝수이면 모든 실수 x에 대하여
| f(x« )|=f(x« )
n이 홀수이면 x=-1을 기준으로
| f(x« )|=[
이므로
g(x)=
∴g'(x)=
100f'(x)-f'(x)-2xf'(x¤ )
-3x¤ f'(x‹ )-y (x>-1) -100f'(x)+f'(x)-2xf'(x¤ )
+3x¤ f'(x‹ )-y (x<-1) (\
{\ 9
100 f(x)-f(x)-f(x¤ )-f(x‹ )-y (xæ-1) -100 f(x)+f(x)-f(x¤ )+f(x‹ )-y
(x<-1) (\
{\ 9
-f(x« ) (xæ-1) -f(x« ) (x<-1)
O x
e-1 y y=f(xn)
-1 O x
e-1 y y=f(xn)
¡n k=1
이때g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 x=-1에서 미분가능해야 한다. 즉
g'(x)= g'(x) 이어야 한다.
f'(x)=e≈ ±⁄ 에서 f'(-1)=1, f'(1)=e¤ 이므로 g'(x)
=100 f'(-1)-f'(-1)+2f'(1)-3f'(-1)+y
=100-1+2e¤ -3+4e¤ -y
=(100-1-3-5-y)+(2e¤ +4e¤ +y) yy ㉠ g'(x)
=-100 f'(-1)+f'(-1)+2f'(1)+3f'(-1)+y
=-100+1+2e¤ +3+4e¤ +y
=(-100+1+3+5+y)+(2e¤ +4e¤ +y) yy ㉡ 이때 1+3+5+y+19=100이므로 n=19일 때 ㉠과
㉡의 값은
0+(2e¤ +4e¤ +y+18e¤ ) 으로 같게 된다.
또한 n=20일 때에도 ㉠과 ㉡의 값이 0+(2e¤ +4e¤ +y+20e¤ ) 으로 같게 된다.
따라서 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 n의 값의 합은
19+20=39 39
15
점 P가 매초 1의 속력으로 움직이므로 t초 후 호 AP의 길이는 t이다. 이때 반지름 OA의 길이가 1이므 로 t초 후 선분 OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크 기도 t이다.점 Q에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 H라 하면
△BOA∽△QHA이므로 삼각형 QHA는 직각이등변 삼각형이다.
xlim ⁄-1-xlim⁄-1+
xlim ⁄-1-xlim⁄-1+