04 오른쪽 그림과 같이 - 숨마쿰라우데_미적분_내신·모의고사_대비

함수 y=e≈ 의 그래프와 x 축, y축 및 직선 x=1로 둘 러싸인 도형의 넓이를 S라 하면

S=:)1 e≈ dx

S=[e≈ ]1)=e-1

이때 넓이 S가 직선 y=ax에 의하여 이등분되므로

¥1¥a= (e-1)

∴ a=e-1 e-1

05

x축 위의 점 (x, 0)(0…x…1)을 지나고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면인 정사각형의 한 변의 길이는 'ßx+1이므로 정사각형의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)=('ßx+1)¤ =x+2'ßx+1 따라서 구하는 부피를 V라 하면

V=:)1 S(x)dx=:)1 (x+2'ßx+1)dx

V=[ x¤ + x'ßx+x]1)= + +1=

12176 117 1226 143

112 143

112 112 112

x y

(1, a) y=e≈

y=ax

O 1

1 112

112 112

내신 ・ 모의고사 대비

TEST

06

=cost-2sint, =-sint-2cost 이므로 t=0에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리는

:)^p"√(cos t-2 sin t)¤ +√(-sin t-2 cos t)¤ dt

=:)^p"√5(sin ¤ t+cos¤ t)dt

=:)^p'5 dt=['5t])^p

='5p '5p

07

a«=:₀^;2“;sin^2n-1xcosxdx에서 sinx=t로 놓으면 =cosx이고

x=0일 때 t=0, x= 일 때 t=1이므로 a«=:₀^;2“;sin^2n-1xcosxdx

a«=:)1 t^2n-1dt a«=[ t²ⁿ]1)=

∴ =

= 2{ +1}

1+ 를 x로, 을 dx로 나타내면 적분 구간은 [1, 2]

이므로

(주어진 식)=:!2 2xdx

(주어진 식)=[x¤ ]2!=3 3

08

^A=:)k xsinxdx 11n 1nk

1kn

¡n k=1

1n1 lim

n⁄¶

2(k+n) 111244n

¡n k=1

1n1 lim

n⁄¶

1552kn

¡2n k=n+1

11n lim

n⁄¶

1234n¤ a˚1

¡2n k=n+1

lim

n⁄¶

122n1 122n1

1p2 124dxdt

125dydt

125dxdt B=:K`^;2“;{ -xsinx} dx

B=:K`^;2“; dx-:K`^;2“;xsinxdx 이때 A=B이므로

:)k xsinxdx=:K`^;2“; dx-:K`^;2“;xsinxdx :)k xsinxdx+:K`^;2“;xsinxdx=:K`^;2“; dx

∴:)`^;2“;xsinxdx=:K`^;2“; dx

위의 식의 좌변에서 u=x,v'=sinx로 놓으면 u'=1, v=-cosx이므로

(좌변)=[-xcosx]

;2“;+:)`^;2“;cosxdx (좌변)=0+[sinx]

;2“;=1

또 (우변)=[ x]^;2“;K = - k이므로

1= - k

k= -1 ∴k= - ③

09

y=ln x일 때 y'= 이므로 곡선 y=ln x 위의 점 (a, ln a)에서의 접선의 방정식은

y-ln a= (x-a) 이 직선이 점 (0, 1)을 지나므로

1-ln a= (0-a)

∴ ln a=2

∴ a=e¤

따라서 접선의 방정식은 y-ln e¤ = (x-e¤ )

∴ y= 1 x+1 15e¤

15e¤1 11a 11a

1x1 12 1p 1p 12 13p¤4

1p2

1p2 13p¤4

1p2 13p¤4 1p2

1p2

1p2 1p2

이 직선이 x축과 만나는 점을 A라 하면 그 좌표는 (-e¤ , 0)이다. 또한 이 접 선이 주어진 곡선과 접하 는 점을 B, 점 B에서 x축 에 내린 수선의 발을 C라

하면 B(e¤ , 2), C(e¤ , 0)이므로 구하는 넓이는

△ABC-:!^e¤ln x dx

= ¥2e¤ ¥2-[xln x-x]!^e¤

=2e¤ -(e¤ +1)

=e¤ -1

y로의 정적분을 이용하자.

y=lnx에서 x=e¥ , y= x+1에서 x=e¤ y-e¤ 이므 로 구하는 넓이는

:)2 {e¥ -(e¤ y-e¤ )} dy

=[e¥ - y¤ +e¤ y]2)

=e¤ -2e¤ +2e¤ -1

=e¤ -1 e¤ -1

10

^f(x)=:)/` (a-t)e† dt의 양변을 x에 대하여 미 분하면

f '(x)=(a-x)e≈

이때 f '(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 f(x)는 x=a에서 극대이 고, 최댓값을 갖는다.

부분적분법을 이용하여 주어진 식의 우변을 정리하면 :)/` (a-t)e† dt

=[(a-t)e† ]/)`-:)/` (-e† )dt

=[(a-t)e† ]/)`+[e† ]/)`

=(a-x)e≈ -a+e≈ -1

: uv'=uv-: u'v

13e¤2

15e¤1 112

1 x

y=ln x A O

C B

e¤

=(a+1-x)e≈ -a-1

즉, f(x)=(a+1-x)e≈ -a-1이고, f(x)의 최댓값 이 x=a일 때 32이므로

f(a)=eå -a-1=32

∴ eå -a=33 yy ㉠

한편 곡선 y=3e≈ 과 직선 y=3이 만나는 점의 x좌표는 3e≈ =3 ∴ x=0

따라서 곡선 y=3e≈ 과 두 직선 x=a, y=3으로 둘러싸 인 도형의 넓이는

:)a (3e≈ -3)dx

=[3e≈ -3x]a)

=(3eå -3a)-3

=3(eå -a)-3

=3¥33-3 (∵ ㉠)

=96

11

함수 y=x¤ -a의 그래프는 다음과 같다.

따라서 높이가 a인 평면으로 자른 단면의 넓이 S(a)는 S(a)=:_-'a^'a(-x¤ +a)dx

S(a)=2[- x‹ +ax])^'a= a^;2#;

그러므로 구하는 입체도형의 부피 V는 V=:)1 S(a)da=:)1 a^;2#;da

V= [ a^;2%;]1)= 8

1315 18

13315 125

143

143 143 113

y=x¤ -a

-'a 'a

O x

-a y

y=3e≈

x=a

y=3

x O a

내신 ・ 모의고사 대비

TEST

12

=2 =2f '(x)

이므로 2f '(x)=-2"√x¤ +2x에서 f '(x)=-"√x¤ +2x

따라서 0…x…4에서의 곡선 y=f(x)의 길이는 :)4 øπ1+(-"√x¤ +2x)¤ dx

=:)4 "√(1+x)¤ dx=:)4 `(1+x)dx

=[x+ x¤ ]4)=121 12

f(x+2h)-f(x) 111111112h lim

h⁄0

f(x+2h)-f(x) 11111111h lim

h⁄0 기출문제로 1등급 도전하기

01

(n+1)a«=2에서 (n+1)a«=c«이라 하

면 a«= 이고 c«=2

또 (n¤ +1)b«=7에서 (n¤ +1)b«=d«이라 하면

b«= 이고 d«=7

∴

= ¥

=10¥ =35 35

02

^{조건 ㈎에서} (a˚+b˚)=S«이라 하면

S«= (단, næ1)

수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의하여 a«+b«=S«-S«–¡=

-a«+b«=- =- 1 (단, næ2)

11552n¤ +n 115512n(n+1)1

11n 1232n+11 1232n+11

¡n k=1

172

31d«c«

nlim⁄¶

11 1 10+13+13n n¤

114111521+15n¤1

nlim⁄¶

31d«c«

10n¤ +11n+1 1235511555531n¤ +1

nlim⁄¶

(10n+1)(n+1)d«

11115511555531(n¤ +1)c«

nlim⁄¶

(10n+1)¥112n¤ +1d«

114111525555555531513n+1c«

nlim⁄¶

(10n+1)b«

111115a«

nlim⁄¶

112n¤ +1d«

nlim⁄¶

112n+1c«

nlim⁄¶

1.35 2.① 3.② 4.② 5.⑤ 6.④ 7.33 8.③ 9.⑤ 10.② 11.19 12.16 13.① 14.② 15.④

본문 460쪽

S U M M A C U M L A U D E

I.

수열의 극한

조건 ㈏에서 n¤ b«=2이고 n¤ a«=n¤ (a«+b«)-n¤ b«이므로

n¤ a«= {n¤ (a«+b«)-n¤ b«}

n¤ a«= {- }- n¤ b«

n¤ a«= ª- º-2

n¤ a«=-1-2=-3 ①

03

f(x)=n에서 f(x)=(x-3)¤ 이므로 (x-3)¤ =n

x-3='n 또는 x-3=-'n

∴ x=3+'n 또는 x=3-'n a, b는 방정식 f(x)=n의 두 근이므로

h(n)=|a-b|

h(n)=|3+'n-(3-'n)|

h(n)=|2'n|=2'n

∴ 'n {h(n+1)-h(n)}

∴= 'n(2'ƒn+1-2'n)

∴= 2'n('ƒn+1-'n)

∴=

∴= =1 ②

04

logx의 정수 부분과 소수 부분이 각각 f(x), g(x)이므로

f(x)=(정수), 0…g(x)<1 이고, f(x)-(n+1)g(x)=n에서

f(x)=n+(n+1)g(x) 1111212 Æ…1+;n!;+1

nlim⁄¶

1155215152'n 'ƒn+1+'n

nlim⁄¶

2'n('ƒn+1-'n)('ƒn+1+'n) 115521515111111112

'ƒn+1+'n

nlim⁄¶

115521 1+;n!;

nlim⁄¶

11552n¤ +nn¤

nlim⁄¶

nlim⁄¶ 이때 n+(n+1)g(x)가 정수이므로 (n+1)g(x)의

값도 정수, 즉 0, 1, 2, y, n 중 하나이고, 각 경우g(x) 의 값은

0, , , y,

이 된다.

따라서` log x=f(x)+g(x)의 값을 작은 값부터 차례 로 나열하면

n, (n+1)+ , (n+2)+ ,

y, (n+n)+

이다.

그런데 모든 x의 값의 곱이 a«일 때, log a«은 모든 log x의 값의 합과 같으므로

log a«=n+{n+1+ }

+y+{n+n+ }

log a«=n+ {n+k+ }

log a«=n+ {n+ k}

log a«=n+n¤ + ¥

log a«=n+n¤ + log a«= n¤ +2n

∴ =

∴ = { + }= ②

05

곡선 y=x¤ -(n+1)x+a«은 x축과 만나므로 이차방정식 x¤ -(n+1)x+a«=0의 판별식을 D라 하면

D={-(n+1)}¤ -4a«æ0

(n+1)¤ æ4a« ∴ a«… (n+1)¤ yy ㉠ 112214

13 12 1n2 132

nlim⁄¶

;2#; n¤ +2n 1122415n¤

nlim⁄¶

log a«

13523535n¤

nlim⁄¶

132

n(n+2) 1112232

n(n+1) 1112232 135235n+2n+1

135235n+2n+1

¡n k=1

135235n+1k

¡n k=1

135235n+1n 135235n+11

135235n+1n 135235n+12

135235n+11

135235n+1n 135235n+12

135235n+11

내신 ・ 모의고사 대비

TEST 또 곡선 y=x¤ -nx+a«은` x축과 만나지 않으므로

이차방정식 x¤ -nx+a«=0의 판별식을 D'이라 하면 D'=(-n)¤ -4a«<0

n¤ <4a« ∴ <a« yy ㉡

22111115a«

"√16« +a« +4« 111114n¤

nlim⁄¶

114 114

nlim⁄¶

n¤ +2n+1 1122114n¤

15a«n¤

114

(n+1)¤

112214 13n¤4

즉,g(2)=2이고, 그래프에서 `f(2)=4이므로 115112 a(n+1)

115112

12a

15551135n(n+1)1 1a2 155511152

nlim⁄¶

an(n+1) 155511152

¡n

1155215233« +3«

nlim⁄¶

1155215234« +2«

nlim⁄¶

115112 a(n+1) 115112

내신 ・ 모의고사 대비

TEST

11235;8!;

1-;3!;

a‹ r‹

11231-r‹

¡¶

15111n(n+2)1

¡¶

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