내신 ・ 모의고사 대비 TEST

¤ 즉g''(1)=0이지만 x=1의 좌우에서 g''(x)의 부 호가 바뀌지 않으므로 점 P(1, 1)은 곡선 y=g(x) 의 변곡점이 아니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③

19

ㄱ. h(3)=f(g(3))=f(1)=5 (거짓) ㄴ. h(x)=f(g(x))에서

h'(x)=f '(g(x))g'(x) ㄴ. ∴ h'(2)=f '(g(2))g'(2)

ㄴ.이때 f '(g(2))<0(∵ g(2)=2.×××)이고 ㄴ.g'(2)<0이므로

ㄴ. h'(2)>0 (참) ㄷ. h'(x)=f '(g(x))g'(x)

ㄴ.구간 (3, 4)에서 0<g(x)<1이고, 함수 f(x)는 구 간 (0, 1)에서 증가하므로

f '(g(x))>0

ㄴ.구간 (3, 4)에서 함수g(x)는 감소하므로 ㄴ. g'(x)<0

ㄴ.따라서 구간 (3, 4)에서

ㄴ.h'(x)=f '(g(x))g'(x)<0이므로 함수 h(x)는 이 구간에서 감소한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ

20

점 A의 좌표는 (0, 2e—† )

또 y=2e^-x에서 y'=-2e^-x이므로 곡선 위의 점 P(t, 2e^-t)에서의 접선의 방정식은

y-2e^-t=-2e^-t(x-t)

∴ y=-2e^-tx+2(t+1)e^-t

이때 점 B의 좌표는 (0, 2(t+1)e^-t)이므로 AB”=2(t+1)e^-t-2e^-t=2te^-t

△APB의 넓이를 S(t)라 하면 S(t)= ¥AB”¥AP”

S(t)= ¥2te^-t¥t S(t)=t¤ e^-t

112 112

S'(t)=2te^-t-t¤ e^-t

=t(2-t)e^-t

S'(t)=0에서 t=2 (∵ t>0, e^-t>0) S(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 S(t)는 t=2에서 극대이면서 최대이므로

구하는 t의 값은 2이다. ④

21

^{+ =-2의 양변에}

f '(x)g'(x)를 곱하여 정리하면

{ f '(x)}¤ +2f '(x)g'(x)+{g'(x)}¤ =0 { f '(x)+g'(x)}¤ =0

∴ f '(x)+g'(x)=0

f(x)+g(x)=-cosx- x¤ 의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x)+g'(x)=sinx- x

따라서 주어진 방정식은 sinx- x¤ =0이고, 이 방정 식의 양수인 근의 개수는 x>0에서 곡선 y=sinx와 직 선 y= x의 교점의 개수이다.

따라서 x>0에서 두 그래프는 세 점에서 만나므로 주어 진 방정식의 양수인 근의 개수는 3이다. ②

1

-1

O x

y y= 1

10

2p

p 3p 10

12101

12101 12101 12201 g'(x) 12513f '(x) f '(x)

12513g'(x)

t (0) y 2 y

S'(t) + 0

-S(t) ↗ 4 ↘

13e¤

22

='3, =3-4t이므로 시각 t에서의 점 P의 속도는

('3, 3-4t)

한편 점 P가 직선 l과 만나려면 직선 OP의 기울기가 직 선 l의 기울기와 같아야 하므로

=tan , 3t-2t¤ =t 2t(t-1)=0 ∴ t=1 (∵ t>0)

따라서 점 P가 t=1에서 처음으로 직선 l과 만나므로 그

때의 속도는 ('3, -1) ②

1p6 3t-2t¤

11124 '3 t

125dydt 125dxdt

01

^⑴: dx

=: {x- +x^-;2#;} dx

= x¤ -ln|x|-2x^-;2!;+C

= x¤ -ln|x|- +C

⑵: (2+tan¤ x)dx=: (1+sec¤ x)dx

=x+tan x+C

⑶: dx=: dx

=: (e≈ +1)dx=e≈ +x+C

⑴ x¤ -ln|x|- +C

⑵ x+tanx+C ⑶ e≈ +x+C

02

^F(x)=: cosx¥ln(sinx)dx에서 sinx=t로 놓으면 =cosx이므로

F(x)=: cosx¥ln(sinx)dx

F(x)=: lntdt F(x)=tlnt-t+C

F(x)=sinx¥ln(sinx)-sinx+C 124dxdt

1332 'ßx 112

(e≈ +1)(e¤ ≈ -e≈ +1) 11111111244e¤ ≈ -e≈ +1 e‹ ≈ +1

111144e¤ ≈ -e≈ +1

12 13333

'ßx 11

12 112

1x1 x‹ -x+'ßx 11112344x¤

1.⑴ x¤ -ln|x|- +C ⑵ x+tanx+C 1.⑶ e≈ +x+C

2.② 3. + 4.1+12ln2

5.-2 6.f(x)=(x+1)e≈ 7. 8.8

9.- 10. 1 ln3 11.④ 12.1-2e^p 12

112

1p2 115'23

12163 1332

'ßx 112

본문 454쪽

S U M M A C U M L A U D E

07

부정적분

내신 ・ 모의고사 대비

TEST F{ }= ln 이므로

ln - +C= ln

∴ C=

따라서 F(x)=sinx¥ln(sinx)-sinx+ 이므로

F{ }=sin ¥ln{sin }-sin +

F{ }

=-u=ln(sinx), v'=cosx로 놓으면 u'= , v=sinx이므로

F(x)=ln(sinx)¥sinx-: ¥sinxdx

F(x)=ln(sinx)¥sinx-: cosxdx

F(x)=sinx¥ln(sinx)-sinx+C ②

03

^f(x)=: e≈ "√e≈ +1 dx에서 e≈ +1=t로 놓으면 =e≈ 이므로

f(x)=: 't dt= t^;2#;+C

= t't+C

= (e≈ +1)"√e≈ +1+C f(0)=3'2이므로

(1+1)'ƒ1+1+C= +C=3'2

∴ C=

∴ f(x)= (e≈ +1)"√e≈ +1+

한편 f '(x)=e≈ "√e≈ +1>0이므로 f(x)는 증가하는 함 수이다.

1155'23 123

1155'23

1154'23 123

123 123

123 124dxdt

112cosxsinx 112cosxsinx

11 12

112 1p2 1p2

1p2 1p2

112 112

112 112 112

112 112

112 112

1p6 따라서 x=ln3일 때 최대이므로 f(x)의 최댓값은

f(ln3)= (3+1)'ƒ3+1+

= + +

04

^{f '(x)= =}

f '(x)=2{ - }

이므로

f(x)=: 2{ - } dx

f(x)=2ln| |+C f(4)=1이므로

2ln +C=-6ln2+C=1

∴ C=6ln2+1

따라서 f(x)=2ln| |+6 ln 2+1이므로 f(-5)=2ln8+6ln2+1

=1+12 ln 2 1+12ln2

05

f '(x)=xcosx이므로 f(x)=: xcosxdx u=x, v'=cos x로 놓으면 u'=1, v=sin x이므로

f(x)=xsinx-: sinxdx f(x)=xsinx+cosx+C f(0)=0이므로

1+C=0 ∴ C=-1

따라서 f(x)=xsinx+cosx-1이므로

f(p)=0-1-1=-2 -2

1144x-3x+4 118

1144x-3x+4 1144x+41 1144x-31

1144x+41 1144x-31

1111112(x-3)(x+4)14 1111255x¤ +x-1214

1155'23 144163 15'2

113155 116

144443

1155'23 123

06

F(x)=xf(x)-x¤ e≈ 의 양변을 x에 대하여 미 분하면

f(x)=f(x)+xf '(x)-(2xe≈ +x¤ e≈ ) xf '(x)=2xe≈ +x¤ e≈

∴ f '(x)=2e≈ +xe≈

∴ f(x)=: (2e≈ +xe≈ )dx=2e≈ +: xe≈ dx : xe≈ dx에서 u=x, v'=e≈ 으로 놓으면 u'=1, v=e≈ 이므로

f(x)=2e≈ +xe≈ -: e≈ dx f(x)=2e≈ +xe≈ -e≈ +C f(x)=(x+1)e≈ +C

f(1)=2e이므로 2e+C=2e ∴ C=0

∴ f(x)=(x+1)e≈ f(x)=(x+1)e≈

07

^f(x)=: (2 cos x+1)dx=2 sin x+x+C 한편 f(x)의 극값을 구하기 위하여 f '(x)=0에서

cos

x=-∴ x= p 또는 x= p 함수 f(x)의 증감을 표로 나타내면

이때 극댓값과 극솟값의 합이 p이므로 f { p}+f { p}

={'3+ p+C}+{-'3+ p+C}

=2p+2C=p ∴ C=-따라서 f(x)=2 sin x+x-p이므로

12 1p2

143 123

143 123

143 123

112

(0) y ;3@;p y ;3$;p y (2p)

+ 0 - 0 +

↗ 극대 ↘ 극소 ↗ x

f '(x) f(x)

f(p)=0+p- =

08

주어진 식의 좌변을 정리하면

[ ]=

우변을 정리하면

¥ {3x-lng(x)}

= [3- ]

=

g(x)+0이므로 주어진 식을 정리하면

f '(x)g(x)-f(x)g'(x)=3f(x)g(x)-f(x)g'(x) f '(x)g(x)=3f(x)g(x), f '(x)=3f(x)

∴ =3

양변에 부정적분을 취하면

: dx=: 3dx ∴ ln f(x)=3x+C f(0)=1이므로

ln1=0+C ∴ C=0

따라서 ln f(x)=3x에서 f(x)=e^3x이므로

f(ln2)=e^3ln2=2‹ =8 8

09

f«(x)=: x(x+1)« dx에서

x+1=t로 놓으면 =1이므로 f«(x)=: x(x+1)ⁿdx f«(x)=: (t-1)tⁿdt f«(x)=: (tⁿ⁺¹-tⁿ)dt

f«(x)= tⁿ⁺²- tⁿ⁺¹+C

f«(x)= - (x+1)« ±⁄ +C

11111n+1 (x+1)« ±¤

11111n+2 1144n+11 1144n+21

124dxdt f '(x)

11254f(x) f '(x) 11254f(x)

3f(x)g(x)-f(x)g'(x) 1125111111123{ g(x)}¤

g'(x) 11254g(x) 1125g(x)f(x)

12dxd 1125g(x)f(x)

f '(x)g(x)-f(x)g'(x) 1125111111123{ g(x)}¤

1125g(x)f(x) 12dxd

1p2 1p

12 1p2

내신 ・ 모의고사 대비

TEST

sinx=t로 놓으면 =cosx이므로

f(x)=: dt=: { + } dt

f(x)= {-ln(1-t)+ln(1+t)}+C

(∵ 0…t<1) 111121-sinx 112

1+sinx 111121-sinx 112

111121-sin¤ xcosx 113353cos¤ xcosx

11335cosx1

112

11111n+1 (x+1)« ±¤

11111n+2

f(x)=: f'(x)dx=: dx

=: secxdx

=: dx

=: dx

secx+tanx=t로 놓으면

=secxtanx+sec¤ x이므로

f(x)=: dt=lnt+C`(∵ tæ1) f(x)=ln(secx+tanx)+C f(0)=0이므로 C=0

따라서 f(x)=ln(secx+tanx)이므로

f{ }=ln{ + }=ln = ln3

1¥f(1)=1¥ln1- +C

- =-1+C ∴ C=0

sec¤ x+secxtanx 111111112secx+tanx

secx(secx+tanx) 1111111115secx+tanx

11335cosx1

따라서 x¤ f(x)=x‹ lnx- x‹ 이므로

f(x)=xlnx- x

∴

f(e)=elne-∴ f(e)=e- = e ④

12

f '(x)=2'2 e≈ sin{x+ p}

=2'2 e≈ {sinxcos p+cosxsin p}

=2'2 e≈ {- sinx+ cosx}

=2e≈ (cosx-sinx) 이므로

f(x)=: f'(x)dx=: 2e≈ (cosx-sinx)dx

=2: e≈ cosxdx-2: e≈ sinxdx

이때: e≈ cosxdx에서

u=cos x, v'=e≈ 으로 놓으면 u'=-sin x, v=e≈ 이 므로

: e≈ cosxdx=e≈ cosx+: e≈ sinxdx

∴ f(x)=2: e≈ cosxdx-2: e≈ sinxdx

=2e≈ cosx+2: e≈ sinxdx-2: e≈ sinxdx

=2e≈ cosx+C f(0)=3이므로

2+C=3 ∴ C=1 따라서 f(x)=2e≈ cosx+1이므로

f(p)=2e^pcosp+1=1-2e^p 1-2e^p 1251

'2 1251

'2

134 134

134 12 13 1e3

1e3 113

113

1.e¤ 2.2- 3. 4. (e¤ -3) 5.④ 6.③ 7.④ 8.④ 9.e+4 10.²⁷ 11.① 12.⁵

114 1p9

112'33

본문 456쪽

S U M M A C U M L A U D E

08

정적분

01

:_@^;2“;f(x)dx=:_0@ f(x)dx+:)^;2“;f(x)dx

=:_0@e—≈ dx+:)^;2“;cosxdx

=[-e—≈ ]0_@+[sinx])^;2“;

=-e‚ -(-e¤ )+{sin -sin0}

=-1+e¤ +1

=e¤ e¤

02

:

;6“;

;3“;(1+cot¤ x)cosxdx

=:

;6“;

;3“;csc¤ xcosxdx=:

;6“;

;3“; dx

sinx=t로 놓으면 =cosx이고

x= 일 때 t= , x= 일 때 t= 이므로 :;6“;

;3“; dx=:

;2!;

dt=[- ]

;2!;

=2-

2-03

x=3tanh`{- <h< }로 놓으면

=3sec¤ h이고

x=-'ß3일 때 h=- , x='ß3일 때 h= 이므로p 16 1p6

124dhdx

1p2 1p2

1152'33 12'3

113155

12'32

11t 15t¤1

12'32

111sin¤ xcosx

125'32 1p3

112 1p6

12dxdt

111sin¤ xcosx 1p2

내신 ・ 모의고사 대비

TEST :_-'ß3^'ß3 dx=:

-;6“;

;6“; dh

=:

-;6“;

;6“; dh= :

-;6“;

;6“;dh

= [h]

-;6“;

;6“; =

04

u=1-lnx, v'=x로 놓으면 u'=- , v= x¤ 이므로

:!e x(1-lnx)dx=[ x¤ (1-lnx)]e!

-:!e {- }¥ x¤ dx :!e x(1-lnx)dx=- +[ x¤ ]e!= (e¤ -3)

(e¤ -3)

05

F'(x)= f(x)라 하면 :!^1+2hf(x)dx

= {F(1+2h)-F(1)}

=2

=2F'(1)=2f(1)

=2(e+ln1)=2e ④

06

^f(x)=:)/ dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x)=

f '(x)=0에서 2x-1=0 ∴ x=1 12 11112x¤ -x+12x-1

1111t¤ -t+12t-1 F(1+2h)-F(1) 1111111152h lim

h⁄0

1h1 lim

h⁄0

1h1 lim

h⁄0

114 11 14 114

112

112 1x1 112

112 11x

1p9 1p

19 113

113 3sec¤ h 111559sec¤ h

3sec¤ h 11112449tan¤ h+9

11355x¤ +91 x= 의 좌우에서 f '(x)의 값의 부호가 음에서 양으로

바뀌므로 함수 f(x)는 x= 에서 극소이면서 최소이다.

따라서 함수 f(x)의 최솟값은 f { }=:)^;2!; dt 이때 (t¤ -t+1)'=2t-1이므로

:)^;2!; dt=[ln(t¤ -t+1)])^;2!;

=ln ③

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