[수치해석및실습]03 상 미분 방정식

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상 미분 방정식

개요



미분 방정식 (differential equation)

 여러 가지 미분 항들을 포함하는 방정식  예 

미분 방정식의 해

 미분 방정식을 만족하는 함수 를 구하는 것  해석적 (analytical) 또는 수치해석적 (numerical) 

미분 방정식의 활용

 동적 시스템 (dynamic system) 모델링  전자회로, 반도체 소자 등등 2 2 6 2 3 , 8 sin d x dx dq x t q t dt + dt + = dt + =

( ) ( )

, x t q t 2

(2)

기본 정의



독립변수와 종속변수

 2차 함수 x는 독립변수, y는 종속변수  미분 방정식 x는 독립변수, y는 종속변수  미분 방정식 t는 독립변수, x는 종속변수  미분 방정식에서 종속변수는 미분되는 변수 2 3 y=x + x 2 2 3 dy y x dx− = 7 t dx x e dt + = 3

기본 정의



미분 방정식의 차수 (order)

 방정식에서 가장 높은 고차 도함수의 차수 

선형성

 종속변수와 그와 관계된 도함수의 차수가 1차일 때  종속변수와 그와 관계된 도함수의 곱과 연관된 항이 없을 때  sin, exp 등과 같은 종속변수의 비선형 함수가 포함되지 않을 때  선형성의 조건은 종속변수의 조건임  독립변수에 대한 비선형 항의 존재에 의해 결정되지 않음  해를 구하는 방법은 방정식이 선형 (linear)이냐 비선형 (non-linear) 이냐에 따라 달라짐 dy y dx 2 , sin , y y y e 4

(3)

기본 정의



미분 방정식의 해

 종속변수와 독립변수의 관계 (함수)  지정된 영역 내의 모든 독립변수의 값에 대해 미분 방정식을 만족해야 함 

일반해 (general solution)

 미분 방정식을 만족하는 많은 종류의 함수를 모두 포함 

특수해 (particular solution)

 미분 방정식의 해 중 주어진 조건 (condition)을 만족하는 해 5

1차 방정식: 단순 방정식과 변수 분리법



단순 방정식



변수 분리법

 방정식 우항의 함수 f가 독립변수와 종속변수로 이루어져 있는 경우  변수분리 방정식 (separable equation)  해

( )

( )

dy f x y f x dx dx= → =

( ) ( )

dy f x g y dx=

( )

( )

( )

( )

( )

1 dy 1 dy 1 f x dx dy f x dx g y dx = →

g y dx =

g y =

6

(4)

1차 선형 방정식: 적분인자의 사용



완전 (exact) 방정식

 양변을 적분해서 풀 수 있는 미분 방정식 

변수분리가 포함된 예비결과

 µ가 종속변수일 때 2 3 dy x dx =

( )

2 3 d xy x dx = d P dx µ µ = 1 d P dx µ µ = 1 dµ P dx µ =

lnµ =

P dx µ=e∫P dx 7

1차 선형 방정식: 적분인자의 사용



1차 선형 방정식의 표준 형태



적분인자 방법

 1차 선형 방정식의 양변에µ를 곱하여 완전 방정식 유도  좌변이 가 되는µ를 구함 µ는 적분인자

( )

( )

dy P x y Q x dx+ = dy Py Q dx µ +µ =µ

( )

d y dx µ dy dy d Py y dx dx dx µ µ +µ =µ + dµ µ d P dx µ =µ P dx e µ= ∫ 8

(5)

1차 선형 방정식: 적분인자의 사용



적분인자 방법

 의 좌변이 가 되는 적분인자µ  이 완전 방정식은 적분을 통해 해를 구함 dy Py Q dx µ +µ =µ d

( )

y dx µ

( )

d y Q dx µ =µ y Q dx µ =

µ y 1 µQ dx µ =

9

1차 선형 방정식: 적분인자의 사용



정리

 P와 Q가 x의 함수일 때, 표준 형태의 1차 선형 방정식은  적분인자µ는  방정식의 해는  종속변수와 독립변수를 확인  올바른 1차 선형 방정식의 표준 형태로 고침 dy Py Q dx+ = P dx e µ= ∫ y Q dx µ =

µ 10

(6)

2차 선형 방정식



2차 선형 방정식의 표준 형태

 비제차 (inhomogeneous) 방정식  제차 (homogeneous) 방정식 y와 독립적인 항이 없음 모든 항들이 y나 y의 도함수를 포함함

( )

22

( )

( )

( )

d y dy p x q x r x y f x dx + dx+ =

( )

22

( )

( )

0 d y dy p x q x r x y dx + dx+ = 11

2차 선형 방정식



특성 1

 y1(x)와 y2(x)가 2차 제차 방정식의 선형적으로 독립적인 두 해라면 제차 방정식의 일반해는 A, B: 상수 

특성 2

 yP(x)를 비제차 방정식의 어떤 해이고, 를 제차 방정식의 일반해라고 하면 비제차 방정식의 일반해는 비제차 방정식의 일반해를 구하려면 제차 방정식의 일반해를 먼저 구하고, 비제차 방정식의 해를 추가함 yH(x): 보충해 (complementary function)

( )

1

( )

2

( )

H y x =Ay x +By x

( )

H

( )

P

( )

y x =y x +y x 12

(7)

2차 선형 방정식



상수 계수 방정식

의 일반해를 구하는 과정

 1. 보충해 구하기 ( 의 일반해 구하기)  2. 특수적분 구하기 

보충해 구하기

 보조 방정식 (auxiliary equation) 보조 방정식의 해가 서로 다른 두 실수 k1, k2이면 보조 방정식의 해가 두 허수α+jβ, α-jβ이면 보조 방정식이 공통근을 가지면 '' ' ay +by +cy= f '' ' 0 ay +by +cy= '' ' 0 ay +by +cy= ak2+bk+ =c 0

( )

k x1 k x2 y x =Ae +Be

( )

x

(

cos sin

)

y x =eα A βx+B βx

( )

k x1 k x1 y x =Ae +Bxe 13

2차 선형 방정식



특수적분 구하기

 비제차 방정식의 어떤 해도 특수적분이 될 수 있음  특수적분을 구하기 위한 시행 해 14

(8)

HW



Due: 10.22.



복습문제 : 19.1, 19.2, 19.3, 19.4(a)

수치

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참조

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