상 미분 방정식
개요
미분 방정식 (differential equation)
여러 가지 미분 항들을 포함하는 방정식
예
미분 방정식의 해
미분 방정식을 만족하는 함수 를 구하는 것
해석적 (analytical) 또는 수치해석적 (numerical)
미분 방정식의 활용
동적 시스템 (dynamic system) 모델링
전자회로, 반도체 소자 등등
2
2 6 2 3 , 8 sin
d x dx dq
x t q t
dt + dt + = dt + =
( ) ( )
,
x t q t
2
기본 정의
독립변수와 종속변수
2차 함수
x는 독립변수, y는 종속변수
미분 방정식
x는 독립변수, y는 종속변수
미분 방정식
t는 독립변수, x는 종속변수
미분 방정식에서 종속변수는 미분되는 변수
2
3
y=x + x
2
2 3
dy
y x
dx− =
7 t
dx
x e
dt + =
3
기본 정의
미분 방정식의 차수 (order)
방정식에서 가장 높은 고차 도함수의 차수
선형성
종속변수와 그와 관계된 도함수의 차수가 1차일 때
종속변수와 그와 관계된 도함수의 곱과 연관된 항이 없을 때
sin, exp 등과 같은 종속변수의 비선형 함수가 포함되지 않을 때
선형성의 조건은 종속변수의 조건임
독립변수에 대한 비선형 항의 존재에 의해 결정되지 않음
해를 구하는 방법은 방정식이 선형 (linear)이냐 비선형 (non-linear)
이냐에 따라 달라짐
dy
y
dx
2
, sin , y
y y e
4
기본 정의
미분 방정식의 해
종속변수와 독립변수의 관계 (함수)
지정된 영역 내의 모든 독립변수의 값에 대해 미분 방정식을 만족해야 함
일반해 (general solution)
미분 방정식을 만족하는 많은 종류의 함수를 모두 포함
특수해 (particular solution)
미분 방정식의 해 중 주어진 조건 (condition)을 만족하는 해
5
1차 방정식: 단순 방정식과 변수 분리법
단순 방정식
변수 분리법
방정식 우항의 함수 f가 독립변수와 종속변수로 이루어져 있는 경우
변수분리 방정식 (separable equation)
해
( )
( )
dy
f x y f x dx
dx= → =
∫
( ) ( )
dy
f x g y
dx=
( )
( )
( )
( )
( )
1 dy 1 dy 1
f x dx dy f x dx
g y dx = →
∫
g y dx =
∫
g y =
∫
6
1차 선형 방정식: 적분인자의 사용
완전 (exact) 방정식
양변을 적분해서 풀 수 있는 미분 방정식
변수분리가 포함된 예비결과
µ가 종속변수일 때
2
3
dy
x
dx =
( )
2
3
d
xy x
dx =
d
P
dx
µ
µ
= 1 d P
dx
µ
µ =
1
dµ P dx
µ =
∫
∫
lnµ =
∫
P dx µ=e∫P dx 7
1차 선형 방정식: 적분인자의 사용
1차 선형 방정식의 표준 형태
적분인자 방법
1차 선형 방정식의 양변에µ를 곱하여 완전 방정식 유도
좌변이 가 되는µ를 구함 µ는 적분인자
( )
( )
dy
P x y Q x
dx+ =
dy
Py Q
dx
µ +µ =µ
( )
d
y
dx µ
dy dy d
Py y
dx dx dx
µ
µ +µ =µ +
dµ
µ
d
P
dx
µ
=µ P dx
e
µ= ∫
8
1차 선형 방정식: 적분인자의 사용
적분인자 방법
의 좌변이 가 되는 적분인자µ
이 완전 방정식은 적분을 통해 해를 구함
dy
Py Q
dx
µ +µ =µ d
( )
y
dx µ
( )
d
y Q
dx µ =µ
y Q dx
µ =
∫
µ y 1 µQ dx
µ
=
∫
9
1차 선형 방정식: 적분인자의 사용
정리
P와 Q가 x의 함수일 때, 표준 형태의 1차 선형 방정식은
적분인자µ는
방정식의 해는
종속변수와 독립변수를 확인
올바른 1차 선형 방정식의 표준 형태로 고침
dy
Py Q
dx+ =
P dx
e
µ= ∫
y Q dx
µ =
∫
µ
10
2차 선형 방정식
2차 선형 방정식의 표준 형태
비제차 (inhomogeneous) 방정식
제차 (homogeneous) 방정식
y와 독립적인 항이 없음
모든 항들이 y나 y의 도함수를 포함함
( )
22
( )
( )
( )
d y dy
p x q x r x y f x
dx + dx+ =
( )
22
( )
( )
0
d y dy
p x q x r x y
dx + dx+ =
11
2차 선형 방정식
특성 1
y1(x)와 y2(x)가 2차 제차 방정식의 선형적으로 독립적인 두 해라면
제차 방정식의 일반해는
A, B: 상수
특성 2
yP(x)를 비제차 방정식의 어떤 해이고, 를 제차 방정식의 일반해라고 하면
비제차 방정식의 일반해는
비제차 방정식의 일반해를 구하려면
제차 방정식의 일반해를 먼저 구하고, 비제차 방정식의 해를 추가함
yH(x): 보충해 (complementary function)
( )
1
( )
2
( )
H
y x =Ay x +By x
( )
H
( )
P
( )
y x =y x +y x
12
2차 선형 방정식
상수 계수 방정식
의 일반해를 구하는 과정
1. 보충해 구하기 ( 의 일반해 구하기)
2. 특수적분 구하기
보충해 구하기
보조 방정식 (auxiliary equation)
보조 방정식의 해가 서로 다른 두 실수 k1, k2이면
보조 방정식의 해가 두 허수α+jβ, α-jβ이면
보조 방정식이 공통근을 가지면
'' '
ay +by +cy= f
'' '
0
ay +by +cy=
'' '
0
ay +by +cy= ak2+bk+ =c 0
( )
k x1 k x2
y x =Ae +Be
( )
x
(
cos sin
)
y x =eα A βx+B βx
( )
k x1 k x1
y x =Ae +Bxe
13
2차 선형 방정식
특수적분 구하기
비제차 방정식의 어떤 해도 특수적분이 될 수 있음
특수적분을 구하기 위한 시행 해
14
