1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
1 포물선
포물선의 방정식 01
포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의 02
1.1.초점이 F 인 포물선 위에 FP 인 점 P 가 있다. 그림과 같 이 선분 FP 의 연장선 위에 FP P Q 가 되도록 점 Q 를 잡을 때, 점 Q 의 좌표는?
[3점][2007(가) /수능(홀) 5]
①
② ③
④
⑤
두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합 03
2.2.그림과 같이 좌표평면에서 축 위의 두 점 A B 에 대하여 꼭짓점이 A 인 포물선 과 꼭짓점이 B 인 포물선 가 다음 조건을 만족시킨다.
이때, 삼각형 ABC 의 넓이는?
[4점][2011(가) /수능 14]
(가) 의 초점은 B 이고, 의 초점은 원점 O 이다.
(나) 과 는 축 위의 두 점 C , D 에서 만난다.
(다) AB
무게중심을 이용한 포물선의 정의 04
초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의 05
3.3.좌표평면에서 포물선 의 초점을 F, 포물선
의 초점을 F라 하자. 점 P 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 중심이 위에 있고 점 F을 지나는 원과 중심이 위 에 있고 점 F를 지나는 원의 교점이다.
(나) 제 사분면에 있는 점이다.
원점 O 에 대하여 O P의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 6월/평가원 28]
4.4.그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 O 이고 초점이 F 인 포물선 과 점 F 를 지나고 기울기가 인 직선이 만나는 두 점을 각각 A B 라 하자. 선분 AF 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 일 때, 선분 AB 의 길이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 정수이다.)[4점][2012(가) 9월/평가원 26]
초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화 06
5.5.자연수 에 대하여 포물선
의 초점 F 를 지나는 직선이 포물
선과 만나는 두 점을 각각 P Q 라 하자. P F 이고 FQ 이라 할 때,
의 값은?
[4점][2013(가) /수능 18]
① ② ③
④ ⑤
최단거리 구하기 07
2 타원
타원의 방정식 01
6.6.[그림 ]과 같이 타원
과 한 변의 길이가 인 정삼 각형 ABC 가 있다. 변 A B 는 축 위에 있고 꼭짓점 A , C 는 타원 위 에 있다. 한 변이 축 위에 놓이도록 정삼각형 ABC 를 축을 따라 양 의 방향으로 미끄러짐 없이 회전시킨다. 처음 위치에서 출발한 후 변 BC 가 두 번째로 축 위에 놓이고 꼭짓점 C 는 타원 위에 놓일 때가 [그림 ]이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 7월/교육청 28]
7.7.좌표평면에서 원 위를 움직이는 점 P 와 점 A 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 Q 전체의 집합을 라 하자. (단, ≠ )
(가) 점 Q 는 선분 O P 위에 있다.
(나) 점 Q 를 지나고 직선 AP 에 평행한 직선이 ∠O Q A 를 이등 분한다.
집합의 포함관계로 옳은 것은?
[4점][2008(가) 9월/평가원 8]
① ⊂
② ⊂
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합
02
8.8.그림과 같이 축 위의 점 A 와 두 점 F F ′을 초점으로 하는 타원
위를 움직이는 점 P 가 있다. AP FP 의 최솟값이
일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2014(B) /수능 27]
9.9.타원
의 두 초점을 F 와 F′이라 하고, 초점 F 에 가 장 가까운 꼭짓점을 A 라 하자. 이 타원 위의 한 점 P 에 대하여
∠P FF′
일 때, P A의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) /수능(홀) 22]
타원 위의 점에서 거리의 합의 활용 03
타원의 방정식과 중점연결 정리 04
10.10.두 점 F , F ′ 을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다 른 두 점 P , Q 에 대하여 원점 O 에서 선분 P F 와 선분 Q F′ 에 내린 수선의 발을 각각 H 와 I 라 하자. 점 H 와 점 I 가 각각 선분 P F 와 선 분 Q F′ 의 중점이고, O H × O I 일 때, 이 타원의 장축의 길이를
이라 하자. 의 값을 구하시오. (단, O H ≠ O I )
[4점][2012(가) 6월/평가원 27]
타원의 성질
05
타원의 정의를 이용한 넓이 구하기 06
타원과 원 07
11.11.중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 축과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. 이 원과 타원
이 만나는 점 중 한 점을 P 라 할 때, AP × BP 의 값은?
[4점][2014(B) 10월/교육청 18]
①
②
③
④ ⑤
12.12.타원
의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가 O P O F 를 만족시킬 때, P F ⋅ P F′ 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2006(가) 9월/평가원 22]
13.13.그림과 같이 점 A 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원과 타원
의 한 교점을 P 라 하자. 점 B 에 대하 여 P A P B 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 10월/교육청 27]
타원과 포물선 08
14.14.좌표평면에서 두 점 A , B 에 대하여 장축이 선분 AB 인 타원의 두 초점을 F , F ′이라 하자. 초점이 F이고 꼭짓점이 원 점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 P , Q 라 하자.
P Q
일 때, 두 선분 P F 와 P F ′의 길이의 곱 P F × P F ′ 의 값은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이 다.)
[3점][2010(가) 9월/평가원 20]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
3 쌍곡선
쌍곡선의 방정식 01
쌍곡선의 점근선 02
초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이 03
쌍곡선의 정의와 원의 활용 04
쌍곡선의 정의를 이용한 넓이 05
쌍곡선과 타원 06
쌍곡선과 포물선 07
15.15.그림과 같이 F 을 초점으로 하는 포물선 와 F 과 F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
이 제사분면에서 만나는 점을 A 라
하자. AF , cos∠AFF′
일 때, 의 값은?
[4점][2012(가) 7월/교육청 20]
O F
F′
A
① ②
③
④
⑤ 이차곡선과 함수의 연속 08
16.16.닫힌구간 에서 정의된 함수 는
≤ ≤ ≤
이다. 좌표평면에서 인 실수 에 대하여 함수 의 그래프 와 타원
이 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함 수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은?
[4점][2016(가) 4월/교육청 21]
① ②
③
④
⑤
1 음함수의 미분법
음함수의 미분법과 접선의 방정식 01
음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 02
2 평면곡선의 접선
접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식 01
17.17.그림과 같이 포물선 의 초점을 F 라 하고, FA 을 만족하는 포물선 위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나는 점을 B 라 하자. 삼각형 ABF 의 넓이가 일 때, 의 값을 구하시오. (단,
이다.)
[4점][2011(가) 7월/교육청 25]
18.18.포물선 의 초점과 포물선 위의 점 에서의 접선 사 이의 거리를 라 하자. ≥ 을 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2012(가) /수능 26]
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식
02
19.19.좌표평면의 포물선 위의 점 A 에 대하여 점 B 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 A 가 원점이면 점 B 도 원점이다.
(나) 점 A 가 원점이 아니면 점 B 는 점 A , 원점 그리고 점 A 에 서의 접선이 축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 의 무게중심이다.
점 A 가 포물선 위를 움직일 때 점 B 가 나타내는 곡선을 라 하자. 점 을 지나는 직선이 곡선 와 두 점 P , Q 에서 만나 고 P Q 일 때, 두 점 P , Q 의 좌표의 값의 합을 구하시오.
[4점][2013(B) 6월/평가원 29]
접점이 주어진 타원의 접선의 방정식 03
기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식 04
20.20.직선 위의 점 P 에서 타원
에 그은 두 접선의 기울기의 곱이
이다. 점 P 의 좌표를 라 할 때, 의 값은?
[4점][2013(B) 6월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
21.21.타원
의 네 꼭짓점을 연결하여 만든 사각형에
내접하는 타원
이 있다. 타원
의 두 초점이
F , F′ 일 때,
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 는 서로소인 자연수이다.)
[3점][2009(가) /수능 19]
접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 05
기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 06
22.22.쌍곡선 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것 은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 9]
ㄱ. 점근선의 방정식은 , 이다.
ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선이 존재한다.
ㄷ. 포물선 ≠ 는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만난 다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식 07
23.23.좌표평면에서 점 A 와 타원
위의 점 P 에 대하 여 두 점 A 와 P 를 지나는 직선이 원 과 만나는 두 점 중에서 A 가 아닌 점을 Q 라 하자. 점 P 가 타원 위의 모든 점을 지 날 때, 점 Q 가 나타내는 도형의 길이는?
[3점][2011(가) /수능 5]
①
②
③
④
⑤
곡선 밖에서 두 접선이 수직인 조건 08
3 매개변수의 미분법
매개변수로 나타낸 함수의 미분법 01
24.24.자연수 에 대하여 함수 를 매개변수 로 나타내면
이고, ≥
일 때 함수 는 에서 최솟값 을 갖 는다.
의 값은?
[4점][2013(B) 9월/평가원 21]
①
② ③
④ ⑤
매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법 02
매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 03
이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선 04
사이클로이드
05
1. 벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터
1 벡터의 연산
벡터의 덧셈과 뺄셈 01
정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우 02
이차곡선의 벡터의 크기 03
벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소 04
25.25.그림과 같이 선분 AB 위에 AE D B 인 두 점 D , E 가 있 다. 두 선분 AE D B 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , D B 가 만나는 점을 C 라 하고, 선분 AB 위에 OA OB 인 두 점 을 O, O라 하자. 호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 D C 위를 움직 이는 점 Q 에 대하여
OP OQ
의 최솟값이 일 때, 선분 AB
의 길이는
이다. 의 값을 구하시오.
(단, OO 이고, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2016(가) 6월/평가원 28]
26.26.그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 , ,
, 가 서로 외접하고 있고, 두 원 , 의 접점을 A 라 하자. 원
위를 움직이는 점 P 와 원 위를 움직이는 점 Q 에 대하여
AP AQ의 최댓값은?
[4점][2013(B) 10월/교육청 21]
①
② ③
2 벡터의 실수배
벡터의 실수배의 연산 01
벡터의 평행 02
벡터와 방향이 같은 단위벡터
03
1 위치벡터
01 위치벡터
위치벡터와 삼각형의 넓이의 비 02
위치벡터를 이용한 점의 자취 03
2 평면벡터의 성분
평면벡터의 성분과 크기 01
3 평면벡터의 내적
각도가 주어진 벡터의 내적 01
27.27.AD AB 인 직사각형 모양의 종이 A B C D 가 있다. 대 각선 A C 를 접는 선으로 하여 평면 A B C 가 평면 A C D 와 수직이 되게 접는다.
접은 도형에서 내적 AB ⋅ D C
( 는 서로소인 자연수)일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 22]
벡터의 내적의 부호 02
28.28.평면 위의 두 점 O, O 사이의 거리가 일 때, O, O를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 두 원의 교점을 A , B 라 하자. 호 AOB 위의 점 P 와 호 AOB 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OP ,
OQ 의 내적 OP ⋅OQ 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,
의 값은?
[3점][2008(가) 9월/평가원 7]
① ②
③
2. 벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 성분으로 주어진 평면벡터의 내적
03
29.29.그림은 한 변의 길이가 인 정사 각형 개를 붙여 만든 도형이다.
개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하 고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡터들의 집합을 라 하자. 집합 의 두 원소 , 에 대하여 <보기>에 서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2008(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. ⋅ 이면 , 의 값은 모두 정수이다.
ㄴ.
,
이면 ⋅ ≠ 이다.ㄷ. ⋅ 는 정수이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
평면벡터의 수직 조건과 평행 조건 04
벡터의 내적의 성질 05
30.30.평면에서 그림의 오각형 ABCD E 가
AB BC , AE ED , ∠B ∠E °를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010(가) /수능 14]
ㄱ. 선분 BE 의 중점 M 에 대하여 AB AE 와 AM 은 서로 평행하다.
ㄴ. AB ∙ AE BC ∙ ED ㄷ. BC ED BE
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
평면벡터의 내적의 성질의 활용 06
성분으로 주어진 내적의 최대 최소 07
내적의 정의를 이용한 최대 최소 08
내적의 기하학적 의미의 활용 09
31.31.그림은 AB , AD
인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형 의 한 변 CD 를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직 이는 점 P 에 대하여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC ∙ AP 의 최댓값 은? (단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)[4점][2010(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
4 평면벡터의 방정식
평면상 직선의 방정식 01
한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식 02
평면상 두 직선이 이루는 각의 크기 03
두 직선의 평행 조건과 수직 조건
04
1 속도와 가속도
평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 01
32.32.양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 ≥ 에서의 위치 가
ln 이다. 점 P 가 점 로부터 움직인 거리가 가 될 때, 시각 는
이고, 일 때, 점 P 의 속도는
이다. 시각 일 때 점 P 의 가속도를
라 할 때, 의 값을 구하시 오.[4점][2016(가) 6월/평가원 29]
평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기 02
등속 원운동에서의 속도와 가속도 03
시간에 대한 길이의 변화율 04
33.33.높이가 m 인 번지점프대에 길이 가 m 인 원기둥 모양의 탄력줄이 연 결되어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길 이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부피는 변하지 않는다고 한다.
어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후 m 였던 탄력줄의 길이가
m 로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는 m초 이고, 탄력줄 의 반지름의 길이는
m 이다. 이 순간에 탄력줄의 반지름의 길이의 변화 율을
m초 라 할 때, 의 값
을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2005(가) 10월/교육청 30]
34.34.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시 각 에서의 위치 P, Q는 다음과 같다.
P , Q ln
두 점 P , Q 가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 의 범위가
일 때, 실수 의 값은?
[3점][2012(가) 3월/교육청 9]
① ②
③
④
⑤
35.35.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길 이가 인 부채꼴 O AB 가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB 를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AO P °가 되는 순간 점 P 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 28]
①
②
③
④ ⑤
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
36.36.곡선 ≥ 과 곡선 의 접선
이 있다. 곡선 위의 점 P 에서 축에 평행한 직선 을 그어 접선과 만나는 점을 Q 라 하자.점 P 가 점 A 을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으 로 점 B 까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 P Q 의 길이 의 순간변화율의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 7월/교육청 26]
O
P Q
37.37.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가
이고 반지름의 길이
가 인 부채꼴 O AB 가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, 축 위의 점 Q 는 P Q
를 만족시키면서 축 위를 움직인다.
O A
B
Q P
∠P O A
가 되는 순간, 점 Q 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율
을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 4월/교육청 30]
시간에 대한 넓이의 변화율 05
38.38.좌표평면에서 축 위를 움직이는 점 P 의 시각 ( )에서 의 좌표는
이다. 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 곡선 sin 와 만나는 점을 Q 라 할 때, 점 P 를 중심으로 하고 선분 P Q 를 반지름으로 하는 원의 넓이를 라 하자.
인 순간, 넓이 의 에 대한 변화율은?
[4점][2007(가) 10월/교육청 28]
① ②
③
④
⑤
39.39.한 변의 길이가
인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으 로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초
씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가
이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 이다. 이때, 상수 의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 7월/교육청 24]
40.40.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P 는 점 A 에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초
의 일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 Q 는 점 A 에서 출발하
여 점 B 을 향하여 매초 의 일정한 속력으로 축 위를 움직이고 있다. 점 P 와 점 Q 가 동시에 점 A 에서 출발하여 초 가 되는 순간, 선분 P Q , 선분 Q A , 호 AP 로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하자. 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은?
[4점][2008(가) 수능(홀) 29]
①
②
③
④
⑤
41.41.좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O 와 네 점 A B C D 을 꼭짓점으로 하는 정 사각형 ABCD 가 있다. 원 O 의 중심이 축을 따라 양의 방향으로 매 초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원의 내부와 정사각형 ABCD 의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 라 하자. 원 O 의 중심이
을 지나는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은? (단, ≤ ≤ )
[4점][2012(가) 7월/교육청 19]
O
A
B C
D
①
②
③
④
⑤
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
42.42.밑면의 지름의 길이가 이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 평행한 두 선분 AB 와 D C 는 서로 다른 두 밑면의 지름이고, 두 선분 D A 와 AB 는 수직이다.
점 P 가 매초 의 일정한 속력으로 원기둥의 옆면을 따라 점 A 에서 출발하여 선분 CB 위의 점을 지나 점 D 까지 최단거리로 움직인다. 점 P 에서 선분 AB 를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 삼 각형 P AH 의 넓이를 라 하자.
점 P 가 점 A 에서 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간 (초)에 대한 변화율은
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 30]
시간에 대한 부피의 변화율 06
시간에 대한 각의 변화율 07
43.43.지점 O 와 지점 E 사이의 거리는 m 이 다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 O 에서 출발 하여 선분 O E 에 수직인 반직선 O S를 따라 초 속 m 의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 지점 E 에서 출발 하여 선분 O E 에 수직인 반직선 EN 을 따라 초속 m 의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑 과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 O E 가 만나서 이루는 각을 (라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 의 변화율 은?
[4점][2006(가) /수능(홀) 29]
①
라디안/초 ②
라디안/초
③
라디안/초 ④
라디안/초
⑤
라디안/초
2 속도와 거리
평면운동에서 점이 움직인 거리 01
44.44.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치벡터를
라 하면
,
이 성립한다. 이때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 29]
ㄱ. 에서 점 P 의 속도 와 위치벡터 는 서로 수직이다.
ㄴ. 임의의 시각 에서 점 P 의 가속도 와 위치벡터 는 서로 같다.
ㄷ. 점 P 가 에서 까지 움직인 거리는 이상이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
치환적분을 이용한 움직인 거리 02
곡선의 길이(1) 03
45.45.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos sin cos ≤ ≤ 이다.
점 P 가 에서 까지 움직인 거리 (경과 거리)를 라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) /수능 30]
곡선의 길이(2) 04
46.46.실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 ,
을 만족시키는 모든 함수 에 대하여
′ 의최솟값은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 27]
①
② ③
④
⑤
47.47. 에서 까지 곡선
의 길이를 구하시오.
[4점][2008(가) /수능(홀) 30]
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
1 위치 관계
공간도형의 위치 관계 01
48.48.그림은 AC AE BE 이고
∠D AC ∠CAB °인 사면체의 전개도이다.
이 전개도로 사면체를 만들 때, 세 점 D E F 가 합쳐지는 점을 P 라 하자. 사면체 P ABC 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고 른 것은?
ㄱ. CP
⋅ BPㄴ. 직선 AB 와 직선 CP 는 꼬인 위치에 있다.
ㄷ. 선분 AB 의 중점을 M 이라 할 때, 직선 P M 과 직선 BC 는 서로 수직이다.
[ 보 기 ]
[4점][2011(가) 9월/평가원 15]
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
49.49.그림과 같이 한 변의 길이가
인 정육면체 ABCD EFG H 에 내 접하는 구가 있다. 변 AE , CG 를
으로 내분하는 점을 각각 P , R 라 하고 변 BF 의 중점을 Q 라 한다.
네 점 D , P , Q , R 를 지나는 평면 으로 내접하는 구를 자를 때 생기는 원의 넓이는?
[4점][2005(가) 10월/교육청 15]
① ②
③ ④
⑤
50.50.정사면체 ABCD 에서 두 모서리 AC , AD 의 중점을 각각 M , N 이라 하자. 직선 BM 과 직선 CN 이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2011(가) 10월/교육청 30]
51.51.정각기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개 수를 이라 하자. 예를 들어 , 이다.
정삼각기둥 정사각기둥 이때,
의 값을 구하시오.[4점][2007(가) 10월/교육청 20]
삼수선의 정리 02
52.52.그림과 같이 직선 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가
인 두 평면 와 가 있고, 평면 위의 점 A 와 평면 위의 점 B 가 있다.
두 점 A B 에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 C D 라 하자.
AB AD
이고 직선 AB 와 평면 가 이루는 각의 크기가
일 때, 사면체 ABCD 의 부피는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2016(가) 9월/평가원 29]
직선과 직선, 직선과 평면이 이루는 각 03
53.53.그림과 같이 AB AD AE 인 직육면체
ABCD EFG H 에서 평면 AFG D 와 평면 BEG 의 교선을 이라 하자. 직선 과 평면 EFG H 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[4점][2013(B) 7월/교육청 19]
두 평면이 이루는 이면각의 크기 04
54.54.정육면체 ABCD EFG H 에서 평면 AFG 와 평면 AG H 가 이루 는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2007(가) /수능(홀) 6]
E
①
②
③
④
⑤
여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기 05
55.55.그림과 같이 AB AD 인 직사각형 ABCD 모양의 종이가 있다. 선분 AB 위의 점 E 와 선분 D C 위의 점 F 를 연결하는 선을 접 는 선으로 하여, 점 B 의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D 가 되도록 종이를 접었다. AE 일 때, 두 평면 AEFD 와 EFCB 가 이루는 각 의 크기가 이다. cos 의 값을 구하시오. (단,
이고, 종 이의 두께는 고려하지 않는다.)
[4점][2013(가) /수능 28]
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
2 정사영
정사영의 길이 01
정사영을 이용한 타원의 넓이 구하기 02
두 평면이 이루는 각이 주어지지 않을 때, 정사영의 넓이 03
56.56.한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD EFG H 와 밑면의 반지름 의 길이가
이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥 의 밑면이 평면 ABCD 에 포함되고 사각형 ABCD 의 두 대각선의 교 점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 ABCD 에 포함 되어 있는 원기둥의 밑면을 , 다른 밑면을 라 하자.평면 AEG C 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 MN , 평면 BFHD 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 P Q 라 할 때, 삼각형 MP Q 의 평면 D EG 위로의 정사영의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오.(단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 7월/교육청 30]
A
B
E
F
D
C
H
G Q P
M N
57.57.그림과 같이 정사면체 ABCD 의 모서리 CD 를 로 내분하는 점을 P 라 하자. 삼각형 ABP 와 삼각형 BCD 가 이루는 각의 크기를
라 할 때, cos 의 값은?
단,
[4점][2012(가) 7월/교육청 21]
A
D
C B
P
①
②
③
④
⑤
58.58.그림과 같이 평면 위에 점 A 가 있고, 로부터의 거리가 각각
인 두 점 B C 가 있다. 선분 AC 를 로 내분하는 점 P 에 대하 여 BP 이다. 삼각형 ABC 의 넓이가 9일 때, 삼각형 ABC 의 평면
위로의 정사영의 넓이를 라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 9월/평가원 29]
두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각 04
두 평면의 교선을 알 수 없을 때, 정사영 넓이를 이용한 이면각 05
복잡한 도형의 정사영의 넓이 06
부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이 07
59.59.반지름의 길이가 인 반구가 평면 위에 놓여 있다. 반구와 평면
가 만나서 생기는 원의 중심을 O 라 하자. 그림과 같이 중심 O 로부터 거리가
이고 평면 와 °의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면 위로의 정사영의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 자연수이다.) [4점][2007(가) 9월/평가원 24]60.60.그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽 면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 인 각을 이루 면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선 이 벽면과 지면의 교선 과 수직으로 만난다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점에서 교선 까지 거리의 최댓값을 라하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 까지 거리의 최댓값을 라 하자. 옳은 것만 을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2009(가) 9월/평가원 15]
ㄱ. 그림자와 교선 의 공통부분의 길이는 이다.
ㄴ. ° 이면 이다.
ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표 태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이
08
61.61.그림과 같이 중심 사이의 거리가
이고 반지름의 길이가 인 두 원판과 평면 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 와 이루는 각의 크기가 이다. 태양광선 이 그림과 같이 평면 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평 면 에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.)[4점][2011(가) /수능 11]
①
②
③
④
⑤
정사면체의 활용 09
62.62.한 변의 길이가 인 정사면체 O ABC 가 있다.
세 삼각형 ∆O AB ∆O BC ∆O CA 에 각각 내접하는 세 원의 평면 ABC 위로의 정사영을 각각 , , 이라 하자.
그림과 같이 세 도형 , , 으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를
라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2008(가) /수능(홀) 24]
63.63.중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 구에 내접하는 정사면체 ABCD 가 있다. 두 삼각형 BCD , ACD 의 무게중심을 각각 F , G 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2008(가) 9월/평가원 12]
ㄱ. 직선 AF 와 직선 BG 는 꼬인 위치에 있다.
ㄴ. 삼각형 ABC 의 넓이는
보다 작다.
ㄷ. ∠AO G 일 때, cos
이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1 공간좌표
공간좌표의 이해 01
2 선분의 내분점과 외분점
선분의 내분점과 외분점 01
64.64.좌표공간에서 두 점 , 를 이은 선분 를
로 외분하는 점의 좌표가 일 때, 의 값은?
[2점][2012예비(B) 5월/평가원 3]
① ② ③
④ ⑤
삼각형의 무게중심 02
65.65.그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 ABCD EFG H 에서 A , E , F , H 이다.
점 M 과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점 P 에 대하여 직선 MP 가 평면과 만나는 점을 Q 라 하자. 이때, 선분 MQ 의 길이의 최댓값은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
3 구의 방정식
구의 방정식 01
66.66.좌표공간에 구 과 점 P 가 있다.
다음 조건을 만족시키는 모든 원 에 대하여 의 평면 위로의 정사 영의 넓이의 최댓값을
라 하자. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2015(B) /수능 29]
(가) 원 는 점 P 를 지나는 평면과 구 가 만나서 생긴다.
(나) 원 의 반지름의 길이는 이다.
67.67.좌표공간에서 평면, 평면, 평면은 공간을 개의 부분으로 나눈다. 이 개의 부분 중에서
구 가 지나는 부분의 개수는?
[4점][2006(가) /수능(홀) 10]
① ② ③
④ ⑤
구의 위치 관계 02
68.68.다음 조건을 만족하는 점 P 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레 의 길이는?
[3점][2008(가) 9월/평가원 9]
좌표공간에서 점 P 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구가 두 개의 구
에 동시에 외접한다.
①
②
③
④
⑤
구 밖의 한 점에서 그은 접선의 자취 03
69.69.좌표공간에서 평면 위의 원 을 라 하고, 원 위 의 점 P 와 점 A 을 잇는 선분이 구 과 만나는 점을 Q 라 하자. 점 P 가 원 위를 한 바퀴 돌 때, 점 Q 가 나 타내는 도형 전체의 길이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 점
Q 는 점 A 가 아니고, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2007(가) 9월/평가원 23]
구의 방정식의 활용 04
70.70.좌표공간에서 구
위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 에서 구 에 접하는 평면이 구
과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 자연수이다.) [4점][2012(가) 9월/평가원 27]1. 공간벡터 Ⅳ 공간벡터
1 공간벡터
공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기 01
구의 벡터의 크기 02
71.71.그림과 같이 평면 위에 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 가 있고, 반지름의 길이가 인 구 는 점 A 에서 평면 에 접한다. 구 위의 점 D 에 대하여 선분 AD 가 구 의 중심 O 를 지날 때,
AB D C 의 값을 구하시오.
[4점][2007(가) /수능(홀) 24]
공간벡터의 성분과 크기 03
72.72.그림은 한 모서리의 길이가 인 두 정사면체 ABCD 와 BCD E 에 대하여 면 BCD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. 두 벡터 BA 와
D E 에 대하여 BA D E의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) 10월/교육청 21]
공간벡터의 위치벡터 04
73.73.밑면의 반지름의 길이가 , 모선의 길이가 이고 꼭짓점이 O 인 직원뿔이 있다. 밑면의 둘레 위의 한 점 A 에서 출발하여 원뿔의 옆면 을 한 바퀴 돌아 점 A 로 되돌아오는 최단경로를 이라 하자.
위를 움직이는 점 P 에 대하여 점 B 가
AB
AO
AP
를 만족시킬 때, 점 B 의 자취의 길이는?
[4점][2007(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
74.74.좌표공간의 점 A 과 중심이 원점 O 인 구
위를 움직이는 점 P 에 대하여
O A
O P
의최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2009(가) /수능 22]
2 공간벡터의 내적
공간벡터의 내적 01
공간벡터의 내적의 범위의 활용 02
성분으로 주어진 공간벡터의 내적 03
두 벡터가 이루는 각의 크기 04
공간벡터의 수직 조건과 평행 조건 05
공간벡터의 내적의 연산의 활용 06
75.75.그림은 모든 모서리의 길이가 인 두 개의 정사각뿔 O ABCD , O ′ D CEF 에 대하여 모서리 CD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다.
O B O F 의 값을 구하시오. (단, 면 ABCD 와 면 D CEF 는 한 평 면 위에 있다.)
[3점][2006(가) 9월/평가원 21]
76.76.두 평면 의 교선을 이라 하자. 평면 위에 있는 원 과 평 면 위에 있는 원 는 반지름의 길이가 모두 이다. 그림과 같이 원
과 원 는 점 C 에서 직선 과 접한다. 의 중심 O을 지나고 평 면 에 수직인 직선과 의 중심 O를 지나고 평면 에 수직인 직 선이 만나는 점을 P 라 하자. ∠OC O
일 때, 위에 있는 임의
의 점 A 와 위에 있는 임의의 점 B 에 대하여 P A P B의 최 댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) 9월/평가원 21]
성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소 07
77.77.중심이 C 이고 반지름의 길이가 인 구와 구 위의 한 점 A 가 있 다. 구 밖의 한 점 B 를 AB 이고 CB 가 되도록 잡는다. 점 P 가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 BA BP 의 내적 BA ∙ BP 의 최 댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
[4점][2012(가) 10월/교육청 28]
78.78.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 두 점 P , Q 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) O A ∙ O P , O P (나) AB ∙ BQ , BQ
O P ∙ AQ 의 최댓값이
일 때, 두 유리수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 29]
2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터
1 직선과 평면의 방정식
공간상 직선의 방정식 01
79.79.좌표공간에 세 점 A , B , C 과 직선
가 있다.
직선 이 삼각형 ABC 의 변 또는 내부를 지나도록 상수 의 값을 정 할 때, 정수 의 개수는?
[4점][2008(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
직선과 교점의 좌표 구하기 02
평면의 방정식 03
직선과 평면의 교점 04
직선과 평면의 활용 05
80.80.좌표공간에 네 점 A , B , C , D 를 꼭짓점으로 하는 사면체 ABCD 가 있다.
모서리 BD 위를 움직이는 점 P 에 대하여 P A P C의 값을 최소로 하는 점 P 의 좌표를 라고 할 때,
이다. 의
값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2008(가) /수능(홀) 23]
81.81.점 O 를 원점으로 하는 좌표공간에 사면체 O ABC 가 있다.
삼각형 O AB , O BC , O CA , ABC 는 각각 네 평면
, , ,
위에 있을 때, 사면체 O ABC 의 부피는 이다. 의 값을 구하시 오.
[4점][2008(가) 10월/교육청 21]
두 평면의 교선의 방정식 06
82.82.좌표공간에서 평면 과 평면 의 교 선을 이라 하자. 원점에서 직선 에 내린 수선의 발의 좌표를
라 할 때, 의 값은?
[3점][2010(가) 10월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
평면에 대하여 대칭인 점 07
직선과 평면의 위치 관계 08
83.83.좌표공간에서 직선
와 평면 가 점
A 에서 수직으로 만난다. 평면 위의 점 B 와 직선 위의 점 C 에 대하여 삼각형 ABC 가 이등변삼각형일 때, 점 C 에서 원점까지의 거리는 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 9월/평가원 28]
두 직선과 평면이 이루는 교각 09
직선과 평면이 이루는 각 10
두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 11
점과 평면 사이의 거리 12
84.84.좌표공간에서 정사면체 ABCD 의 한 면 ABC 는 평면
위에 있고, 꼭짓점 D 는 평면 위에 있다.
삼각형 ABC 의 무게중심의 좌표가 일 때, 정사면체 ABCD 의 한 모서리의 길이는?
[4점][2013(가) /수능 20]
①
② ③
④ ⑤
PA PB 의 최솟값 13
85.85.좌표공간에 두 점 A B 이 있다. 평면
위에 있는 점 P 에 대하여 P A P B의 최솟값은?
[4점][2005(가) /수능(홀) 15]
①
②
③
④
⑤
직선과 평면의 내적 계산 14
86.86.좌표공간의 점 A 에서 평면
에 내린 수선의 발을 B 라 할 때, O A ∙ O B 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)[4점][2007(가) /수능(홀) 21]
2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터
OA∙ OP OP
의 내적 계산 15
87.87.좌표공간에서 직선
와 평면 가 만
나는 점을 A 라 하자. 점 P 가 O A ∙ O P O P을 만족시킬 때, 점 P 와 평면 사이의 거리의 최댓값은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 11]
①
②
③
④
⑤
88.88.좌표공간에서 중심이 원점이고 직선 와 서로 다 른 두 점 A , B 에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 P 가 있다.
두 벡터 AP , AB 에 대하여 AP ∙ AB AB 이 성립할 때, 점 P 가 나타내는 도형의 길이는?
[4점][2011(가) 10월/교육청 18]
① ② ③
④
⑤ 평면과 정사영의 활용 16
89.89.그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 O ABC D EFG 에서 A , C , D 이다. 이 정육면체가 평면
에 의하여 잘린 단면의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2012(가) 10월/교육청 30]
90.90.좌표공간에서 평면
위의 두 점 A , B 에서 평면에 내린 수선의 발은 각각 C , D 이 다. 평면 와 평면의 교선을 이라 하고, 두 점 C , D 에서 교선 에 내린 수선의 발을 각각 E , F 라 하자. 이때, 사각형 AEFB 의 넓 이를 구하시오.
[4점][2010(가) 10월/교육청 24]
91.91.그림과 같이 좌표공간에서 한 모서리의 길이가 인 정사면체 O P Q R 의 한 면 P Q R 가 축과 만난다. 면 P Q R 의 평면 위로의 정사영의 넓이를 라 할 때, 의 최솟값은 이다. 의 값을 구 하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2014(B) 10월/교육청 30]
92.92.좌표공간에서 평면
위에 있는 사각형 ABCD 의 평면으로의 정사영은 사각형 A′ B′ C′ D ′ 이다.
A′
B′
C′
D ′
일 때, 사각형 ABCD 의 둘레의 길이는?
[4점][2004(가) 9월/평가원 12]
①
②
③
④ ⑤
2 평면과 구의 방정식
구와 평면이 접하는 경우 01
93.93.좌표공간에 두개의 구
, 가 있다. 점 P
을 포함하고 과 에 동시에 접하는 평 면을 라 하자. 점 Q
가 평면 위의 점일 때, 의 값을 구하시오.[4점][2015(B) 9월/평가원 29]
