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미분 방정식 제 10 장

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Academic year: 2022

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(1)

제 10 장

미분 방정식

(2)

미분방정식 시스템

• 조화 진동자를 나타내는 2차미분 방정식

• 와 이의 1차미분 를 원소로 갖는 벡터

• 주어진 2차 미분방정식을 벡터로 표현

• 위의 미분방정식 시스템을 나타낸 함수 M-파일 harm.m

% harm.m : 조화 진동자를 나타내는 미분방정식 시스템 function dy = harm(t,y)

dy = [y(2); -y(1)] % 열 벡터

(3)

• 인력에 의한 물체의 궤도를 나타내는 2-개체 문제의 미분방정식

• 4 개의 원소를 갖는 벡터 y(t)

• 주어진 미분방정식을 벡터로 표현

(4)

• 위의 미분방정식 시스템을 나타낸 함수 M-파일 body2.m

% body2.m : 2-물체 시스템을 나타내는 미분방정식 시스템 function dy = body2(t,y)

r = sqrt(y(1)^2 + y(2)^2);

dy = [y(3); y(4); -y(1)/r^3; -y(2)/r^3]; % 열 벡터

(5)

MATLAB 함수를 이용한 미분방정식의 풀이

함수 ode45를 이용한 미분방정식 예제 풀이

• 함수 M-파일을 작성

% myode1.m : 간단한 미분방정식의 보기 function dy = myode1(t,y)

dy = - y - 5*exp(-t)*sin(5*t);

• Command Window(명령어 창)에서 아래 코드를 입력

>> tinv = [0 3]; y0 = 1;

>> [t,y] = ode45(@myode1,tinv,y0);

>> plot(t,y,'*--')

>> xlabel t, ylabel y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y(t)

•간단한 ODE의 풀이.

(6)

• 벡터 필드를 정의하는 미분방정식

• quiver 함수를 이용한 앞의 미분방정식에 대한 벡터 필드

% usequiver.m : 미분방정식으로 나타나는 기울 기의 표시(quiver 함수를 이용)

n = 16;

u = linspace(0,3,n);

v = linspace(-1,1,n);

[t,y] = meshgrid(u,v);

pt = ones(size(y));

py = -y-5*exp(-t).*sin(5*t);

quiver(t,y,pt,py,1.5);

title('dy/dt = -y-5e^{-t}sin(5t)','FontSize',14) xlabel('t'), ylabel ('y','Rotation',0)

xlim([0 3.2]), ylim([-1.3 1.15]) % 축 한계를 조정 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1 -0.5 0 0.5 1

dy/dt = -y-5e-tsin(5t)

t y

•미분방정식에 의한 벡터 필드.

(7)

• ode45를 이용한 body2.m의 풀이

(초기값: 시간구간:

>> tinv = [0 5]; y0 = [0 1 1 -1]';

>> [t,y] = ode45(@body2,tinv,y0);

>> plot(t,y)

>> plot(t,y(:,1),t,y(:,2),':',t,y(:,3),'-.',t,y(:,4),'--')

>> xlabel t, ylabel y(t)

>> title('2-body system')

>> legend('y(1)','y(2)','y(3)','y(4)')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

t

y(t)

2-body system

y(1) y(2) y(3) y(4)

• ode45에 대한 일반적인 호출 형태

[t,y] = ode45(@fun, tinv, y0, options, p1, p2, ...);

• odeset 함수를 이용한 선택적 인수 options

options = odeset('AbsTol',1e-7,'RelTol',1e-4);

•2-개체 문제의 풀이

.

(8)

• ode45와 odeset 함수의 활용 보기

• 파라미터 값들이 (a,b,c)=(0.2,0.2,2.5) 및 (a,b,c)=(0.2,0.2,5)인 경우에 대하여

시구간 에서 초기조건이

(9)

% rossol.m : 미분방정식 시스템의 풀이 function rossol

clear all

tinv = [0 100]; y0 = [1;1;1];

options = odeset('AbsTol',1e-7,'RelTol',1e-4);

a = 0.2; b = 0.2; c = 2.5;

[t,y] = ode45(@ros, tinv, y0, options);

subplot(221), plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) odetitle, zlabel y_3(t), grid

subplot(223), plot(y(:,1),y(:,2)), odetitle a = 0.2; b = 0.2; c = 5;

[t,y] = ode45(@ros, tinv, y0, options);

subplot(222), plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) odetitle, zlabel y_3(t), grid

subplot(224), plot(y(:,1),y(:,2)), odetitle

% 중첩함수(Nested functions)--- function dy = ros(t,y) % 미분방정식의 정의

dy = [-y(2)-y(3); y(1)+a*y(2); b+y(3)*(y(1)-c)];

end function odetitle % 타이틀 모양의 설정 title(sprintf('c = %2.1f',c),'FontSize',14) end %--- end

(10)

-5 0

5 -5

0 50 2 4

y1(t)

c = 2.5

y2(t) y3(t)

-5 0 5

-5 0 5

c = 2.5

y1(t) y2(t)

-20 0

20 -10

0 100 10 20

y1(t)

c = 5.0

y2(t) y 3(t)

-10 0 10 20

-10 -5 0 5 10

c = 5.0

y1(t) y2(t)

● ode23을 이용한 미분방정식 풀이 예

적분구간: 초기조건:

% ode23Exam.m : ode23의 사용 예 F = @(t,y) [y(2); -y(1)];

[t,y] = ode23(F,[0 2*pi],[1; 0]);

plot(y(:,1),y(:,2),'-o') axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2]) axis square

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

•ode23을 이용한 미분방정식 시스템의 풀이.

•미분방정식 시스템의 상 공간 해.

(11)

MATLAB 상미분 방정식 풀이함수

풀이함수 문제의 형태 알고리듬 형태 정확도

ode45 비경성 명시적 Runge-Kutta 쌍, 4 및 5차 중간 ode23 비경성 명시적 Runge-Kutta 쌍, 2 및 3차 낮은 ode113 비경성 명시적 선형 다중스텝, 1~13차 중간 ode15s 경성 암묵적 선형 다중스텝, 1~5차 중간 ode15i 완전히 암묵적 암묵적 선형 다중스텝, 1~5차 중간

ode23s 경성 수정된 Rosenbrock 쌍(1단계), 2 및 3

차 낮음

ode23t 보통의 경성 사다리꼴 공식(암묵적), 2 및 3차 낮음

ode23tb 경성 암묵적 Runge-Kutta 형태, 2 및 3차 낮음

(12)

상미분방정식 활용문제

•추적문제

• 정해진 경로 를 따르는 토끼를 여우 가 추적하는 문제

각 순간에서 여우의 경로에 대한 접선은 토끼를 향한다.

여우의 속력은 토끼 속력의 k배(k는 일정)이다.

• 여우가 토끼에 근접할 경우 불량조건이 되고 토끼는 다음을 따른다고 가정

(13)

• 여우는 에서 출발, k가 0.75일 때의 미분방정식을 풀이

• 토끼와 여우의 추적 경로를 그리는 스크립트 M-파일 rabfox.m

% rabfox.m : 토끼-여우 추적문제의 풀이 clear all

tinv = [0 10];

y0 = [3;0];

[tfox,yfox] = ode45(@foxtrack,tinv,y0);

plot(yfox(:,1),yfox(:,2)), hold on

plot(sqrt(1+tfox).*cos(tfox),sqrt(1+tfox).*sin(tfox ),':')

plot([3 1],[0 0],'o');

axis equal, axis([-3.5 3.5 -2.5 3.1]) legend('Fox','Rabbit'), hold off

% foxtrack.m : 여우-토끼 추적모사.

function dy = foxtrack(t,y) k = 0.75;

r = sqrt(1+t)*[cos(t); sin(t)];

r_p =(0.5/sqrt(1+t))*[cos(t)-

2*(1+t)*sin(t);sin(t)+2*(1+t)*cos(t)];

dist = norm(r-y);

if dist > 1e-4

factor = k*norm(r_p)/dist;

dy = factor*(r-y);

else

error('ODE model ill-defined.') end

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2 3

Fox Rabbit

•여우-토끼 추적문제

.

(14)

Robertson의 화학반응 모델

• Robertson 상미분 방정식 시스템

• Rovertson 화학반응모델의 함수 M-파일 reac.m

% reac.m : Robertson의 화학반응모델 function dy = reac(t,y)

dy = [-0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3);

0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3) - 3e7*y(2)^2;

3e7*y(2)^2];

(15)

• ode45와 ode15s를 이용한 미분방정식 풀이

% solreac.m : Robertson 화학반응모델의 풀이 tinv = [0 3];

y0 = [1;0;0];

[ta,ya] = ode45(@reac,tinv,y0);

subplot(121), plot(ta,ya(:,2),'-*')

ax = axis; ax(1) = -0.2; axis(ax) % Make initial transient clearer.

xlabel('t'), ylabel('y_2(t)'), title('ode45','FontSize',14)

[tb,yb] = ode15s(@reac,tinv,y0);

subplot(122), plot(tb,yb(:,2),'-*'), axis(ax) xlabel('t'), ylabel('y_2(t)'),

title('ode15s','FontSize',14)

•화학반응식의 풀이(왼쪽: ode45, 오른쪽: ode15s).

(16)

미분-대수 방정식

• ode15s와 ode23t 함수들이 미분-대수 방정식의 풀이에 이용될 수 있다.

• ode15s를 이용한 미분-대수 방정식의 풀이

초기조건

(17)

% daesolv.m : 미분-대수 방정식(DAE)의 풀이 function daesolv

clear all

M = eye(6); M(6,6) = 0;

options = odeset('Mass',M,'MassSingular','yes');

tinv = [0 180];

Ks = 115.83;

y0 = [0.444; 0.00123; 0; 0.007; 0; Ks*0.444*0.007];

[t,y] = ode15s(@chemrxn, tinv, y0, options);

for i = 1:6 subplot(2,3,i)

plot(t,y(:,i),'LineWidth',2), grid on

title(['y_',int2str(i)]), xlabel('t'), xlim([0 180])

end % 중첩함수 --- function rhs = chemrxn(t,y)

if y(2) < 0, error('Negative y(2) in DAE function.'), end k1 = 18.7; k2 = 0.58; k3 = 0.09; k4 = 0.42;

K = 34.4; klA = 3.3; pCO2 = 0.9; H = 737;

r1 = k1*(y(1)^4)*sqrt(y(2));

r2 = k2*y(3)*y(4);

(18)

0 100 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5

y1

t

0 100

0 0.5 1

1.5x 10-3 y2

t

0 100

0 0.05 0.1 0.15 0.2

y3

t

0 100

0 2 4 6

8x 10-3 y4

t

0 100

0 0.005 0.01 0.015 0.02

y5

t

0 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4

y6

t

r3 = k2*y(1)*y(5)/K;

r4 = k3*y(1)*(y(4)^2);

r5 = k4*(y(6)^2)*sqrt(y(2));

Fin = klA*(pCO2/H - y(2));

rhs = [-2*r1 + r2 - r3 - r4;

-0.5*r1 - r4 - 0.5*r5 + Fin;

r1 - r2 + r3;

-r2 + r3 - 2*r4;

r2 - r3 + r5;

Ks*y(1)*y(4)-y(6)];

end %--- end

•미분-대수 방정식의 풀이

(19)

경계치 문제의 풀이: bvp4c

• bvp4c는 병치(並置, collocation) 방법을 사용하여 2-점 경계치 형태의 상미분 방정식 시스템을 해결

• 물방울 단면 모양의 경계치 모델

• 위의 모델을 1차 미분방정식으로 나타내면 다음과 같다.

(20)

• 위 시스템의 함수 M-파일

% waterdrop.m : 물방울의 BVP 모델 function dy = waterdrop(x,y)

dy = [y(2); (y(1)-1)*((1+y(2)^2)^(3/2))];

• 경계조건 함수 M-파일

% bcs.m : BVP의 경계조건 function res = bcs(ya,yb) res = [ya(1); yb(1)];

• 해의 초기 가정으로 를 사용

• 해의 초기 가정 함수 M-파일

% initsol.m : 해의 초기가정 function yinit = initsol(x)

yinit = [sqrt(1-x^2); -x/(0.1+sqrt(1+x^2))];

(21)

• 문제를 풀기위한 스트립트 M-파일 bvpsolv.m

% bvpsolv.m : BVP 문제의 풀이

solinit = bvpinit(linspace(-1,1,20),@initsol);

sol = bvp4c(@waterdrop,@bcs,solinit);

fill(sol.x,sol.y(1,:),[0.7 0.7 0.7]) axis([-1 1 0 1])

xlabel('x','FontSize',16)

ylabel('h','Rotation',0,'FontSize',16)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x h

•bvp4c에 의한 물방울 경계치 문제의 풀이.

(22)

• 경계치 문제에 대한 다른 보기

• 위의 모델을 1차 미분방정식으로 나타내면 다음과 같다.

• 일반적인 bvp4c의 호출 형태

sol = bvp4c(@odefun,@bcfun, solinit, options);

• odefun은 미분식을 계산하며 bcfun은 경계조건에 대한 잔류치를 제공

• odefun과 bcfun의 일반적 형태 dy = odefun(x,y)

res = bcfun(ya,yb)

(23)

• 경계치 문제의 풀이 함수 M-파일

% eigsolv.m : BVP 문제의 풀이 function sol = eigsolv

clear all

solinit = bvpinit(linspace(0,1,10), @ropinit, 5);

sol = bvp4c(@rop, @ropbc, solinit);

plot(sol.x,sol.y(1,:),'-', sol.x,sol.yp(1,:),'--', 'LineWidth',4)

xlabel('x','FontSize',12) legend('y_1','y_2')

% 부함수 --- function dy = rop(x,y,mu)

dy = [y(2); -mu*y(1)];

function res = ropbc(ya,yb,mu)

% 경계조건.

% res = ropbc(ya,yb,mu)는 나머지를 계산.

res = [ya(1); ya(2)-1; yb(1)+yb(2)];

function yinit = ropinit(x)

% x에서의 초기 가정값을 계산.

yinit = [sin(x); cos(x)];

•bvp4c에 의한 고유치 BVP의 풀이.

(24)

• 함수 M-파일 eigsolv.m의 수행결과

>> eigsolv ans =

x: [0 0.1111 0.2222 0.3333 0.4444 0.5 556 0.6667 0.7778 0.8889 1]

y: [2x10 double]

yp: [2x10 double]

solver: 'bvp4c' parameters: 4.1159

(25)

지연 미분방정식: dde23

• 함수 dde23은 에서 다음과 같은 형태의 지연 미분방정식 시스템을 계산

• dde23을 이용한 포획-먹이 개체수에 대한 DDE시스템의 풀이 예

% vesthar.m : 지연이 존재하는 포획자-먹이 모델 function vesthar

clear all;

tau = 9; % 지연의 크기 ic = [35;10];

tiniv = [0 250];

h = 10;

sol = dde23(@f,tau,ic,tiniv);

subplot(2,1,1)

plot(sol.x,sol.y(1,:),'r-', sol.x,sol.y(2,:),'g--', 'LineWidth',2) legend('y_1','y_2','Location','East')

title('h = 10','FontSize',12), xlabel t, ylabel('y','Rotation',0) h = 15;

sol = dde23(@f,tau,ic,tiniv);

subplot(2,1,2)

(26)

plot(sol.x,sol.y(1,:),'r-', sol.x,sol.y(2,:),'g--', 'LineWidth',2) legend('y_1','y_2','Location','East')

title('h = 15','FontSize',12), xlabel t, ylabel('y','Rotation',0) % 중첩함수---

function v = f(t,y,Z)

v = [y(1)*(2*(1-y(1)/50) - y(2)/(y(1)+40)) - h y(2)*(-3 + 6*Z(1)/(Z(1)+40))];

end %--- end

•지연과 포획률에 따른 포획-먹이 모델.

(27)

기호 상미분방정식 풀이함수: dsolve

• dsolve를 이용하여 미분방정식들을 기호로 풀 수 있다.

• 방정식들을 지정하는 표현들에서 D는 미분을, D2는 2차 미분을, 그리고 D3는 3차 미분 을 나타내는 식으로 이용된다.

• 미분방정식 풀이 예

>> dsolve('x*Dy + 1 = y', 'x') ans =

1+x*C1

• 다른 미분방정식 풀이 예

• dsolve를 이용한 풀이

>> syms b c y t

>> y = dsolve('Dy=c*y-b*y^2')

y = c/(b+exp(-c*t)*C1*c)

(28)

• c=10, b=1, 그리고 초기조건이 y(0)=0.01인 경우의 해

>> y = dsolve('Dy=10*y-y^2','y(0)=0.01') y = 10/(1+999*exp(-10*t))

• dsolve로부터 명시적인 해가 구해지지 않을 경우

>> y = dsolve('Dy = y^(2/3)')

Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned.

> In dsolve at 312

y = y^(1/3)-1/3*t-C1 = 0

• 2차 미분방정식 의 해

>> dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2') ans =

1/2*exp(t)-3/2*exp(-t)

• dsolve를 이용하여 경계치 문제 풀이

>> r=dsolve('D2f-sin(x)*(1-2/x^2)/x-2*cos(x)/x^2=0','f(0)=2','Df(0)=0','x') r = -sin(x)/x+3

(29)

편미분 방정식: pdepe

• pdepe 함수는 포물선/타원 편미분 방정식 시스템을 계산

• 함수 pdepe가 적용되는 편미분 방정식의 형태

정수 m은 슬랩, 실린더형, 그리고 구형에 따라 각각 0, 1, 혹은 2가 될 수 있다.

• 초기 및 경계조건의 경우 와 에서 해는 지정된 함수 에 대하여 의 관계를 만족하여야 한다.

• x=a와 에서 해는 지정된 함수 와 에 대하여 다음 관계를 만족하여야 한다.

• x=b와 에서 해는 지정된 함수 와 에 대하여 다음 관계를 만족하여야 한다.

(30)

• 함수 pdepe의 일반적인 호출 형태

sol = pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,xmesh,tspan,options);

• 함수 pdefun의 형태

function [c,f,s] = pdefun(x,t,u,DuDx)

• 함수 pdeic의 형태

function u0 = pdeic(x)

• 함수 pdebc의 형태

function [pa,qa,pb,qb] = pdebc(xa,ua,xb,ub,t)

• pdepe를 이용한 Black-Scholes 편미분 방정식 풀이 예

초기조건:

경계조건:

(31)

• pdepe에서 허용되는 일반적인 형태

(m=0)

• 경계조건

x=a에서 x=b에서

• pdepe를 이용한 Black-Scholes 편미분 방정식 풀이 함수 M-파일 solvbspde.m

% solvbspde.m: Black-Scholes PDE의 풀이 function solvbspde

m = 0;

r = 0.065;

sigma = 0.8;

k = r/(0.5*sigma^2);

a = log(2/5);

b = log(7/5);

t0 = 0;

tf = 5;

xmesh = linspace(a,b,40);

tspan = linspace(t0,tf,20);

sol = pdepe(m,@bspde,@bsic,@bsbc,xmesh,tspan);

u = sol(:,:,1);

(32)

mesh(xmesh,tspan,u) xlabel('x','FontSize',12) ylabel('t','FontSize',12)

zlabel('u','FontSize',12,'Rotation',0)

function [c,f,s] = bspde(x,t,u,DuDx) % 중첩함수

% BSPDE Black-Scholes PDE.

c = 1;

f = DuDx;

s = (k-1)*DuDx-k*u;

end

function u0 = bsic(x) % 중첩함수

% BSIC t = t0 에서의 초기조건.

u0 = max(exp(x)-1,0);

end

function [pa,qa,pb,qb] = bsbc(xa,ua,xb,ub,t) % 중첩함수

% BSBC x = a 와 x = b 에서의 경계조건.

pa = ua;

qa = 0;

pb = ub - (7 - 5*exp(-k*t))/5;

qb = 0;

end end

-1

-0.5

0

0.5

0 2

4 6

0 0.5 1 1.5

t x u

•pdepe를 이용한 Black-Scholes PDE의 풀이

.

(33)

• 두 개의 반응-확산 방정식 시스템

초기조건:

경계조건:

• pdepe에서 가능한 구조로 바꾸기 위하여 다음과 같이 변환

• 에너지식

(34)

• pdepe를 이용한 반응-확산 시스템 편미분 방정식 풀이 함수 M-파일 reacdiff.m

% reacdiff.m: 반응-확산 시스템 PDE를 풀고 에너지 감쇄조건을 테스트.

function reacdiff m = 0;

xmesh = linspace(0,1,15);

tspan = linspace(0,0.2,10);

sol = pdepe(m,@mbpde,@mbic,@mbbc,xmesh,tspan);

u1 = sol(:,:,1);

u2 = sol(:,:,2);

subplot(221)

surf(xmesh,tspan,u1) xlabel('x','FontSize',12) ylabel('t','FontSize',12) title('u_1','FontSize',16) subplot(222)

surf(xmesh,tspan,u2) xlabel('x','FontSize',12) ylabel('t','FontSize',12) title('u_2','FontSize',16)

0

0.5 1 0

0.1 0.2 0.5 1 1.5

x

u1

t 0

0.5 1 0

0.1 0.2 0.5 1 1.5

x

u2

t

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

2 4 6

t

Energy

• pdepe를 이용한 반응-확산 시스템의 풀이.

(35)

% 에너지 적분을 추정.

dx = xmesh(2) - xmesh(1); % 일정한 간격.

energy = 0.5*sum( (diff(u1,1,2)).^2 + (diff(u2,1,2)).^2, 2)/dx;

subplot(212)

plot(tspan',energy) xlabel('t','FontSize',12) title('Energy','FontSize',16)

function [c,f,s] = mbpde(x,t,u,DuDx) % 부함수 c = [1; 1];

f = DuDx/2;

s = [1/(1+u(2)^2); 1/(1+u(1)^2)];

function u0 = mbic(x) % 부함수

u0 = [1+0.5*cos(2*pi*x); 1-0.5*cos(2*pi*x)];

function [pa,qa,pb,qb] = mbbc(xa,ua,xb,ub,t) % 부함수 pa = [0; 0];

qa = [1; 1];

pb = [0; 0];

qb = [1; 1];

(36)

MATLAB의 미분방정식 풀이함수

방정식의 형태 풀이함수 기능

상미분 방정식

ode45 비경성 미분 방정식의 중차 풀이

ode23 비경성 미분 방정식의 저차 풀이

ode113 비경성 미분 방정식의 가변 차수 풀이

ode23t 약간 경성인 상미분 방정식이나 미분

대수방정식의 풀이

ode15s 경성인 상미분 방정식이나 미분 대수방

정식의 가변 차수 풀이

ode23s 경성인 미분 방정식의 저차 풀이

ode23tb 경성인 미분 방정식의 저차 풀이

지연 미분방정식 dde23 정수 지연을 가지는 지연 미분방정식의

풀이

경계치 문제 bvp4c 상미분 방정식의 2점 경계치 문제의 풀

이 1차원 편미분 방

정식 pdepe 쌍곡선-타원 편미분 방정식의 초기 경

계치 문제를 풀이

참조

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