5주차. 정수와 방정식

(1)

수의 세계

5주차. 정수와 방정식

(2)

1. 소수 2. 방정식

• 소수 정리

• 정수 방정식의 이해 학습내용

학습목표

(3)

수의 세계

5주차. 정수와 방정식

(4)

1 Whole Numbers

2

(5)

1 Whole Numbers 1

1) Euclid

(6)

1 Whole numbers 1

2) Gauss (1777-1855)

Mathematics is the queen of sciences and number theory is the queen of mathematics

(7)

1 Whole Numbers 1

3) Prime numbers

(8)

1 Whole Numbers 1

3) Prime numbers

(9)

1 Whole Numbers 1

Prime number theorem

The elementary proof of the prime number theorem — A. Selberg, P. Erdos

Bacon numbers Erdos numbers

3) Prime numbers

(10)

1 Whole Numbers 1

3) Prime numbers

(11)

1 Whole Numbers 1

3) Prime numbers

(12)

1 Whole Numbers 1

3-1) Euclid

is divisible by a prime p>p₁,...,p_s.

p≥p_s+1.

Thus p_s+1 ≤ …pp₁p₂p₃ _s+1 N = …pp₁p₂p₃ _s+1

(13)

1 Whole Numbers 1

소수는 무한히 많다 - 골드바흐의 증명

• 서로 다른 페르마 수 F_n은 서로소 (수학적 귀납법) 3) Prime numbers

(14)

1 Whole Numbers 1

3) Prime numbers

(15)

1 Whole Numbers 1

3) Prime numbers

(16)

1 Whole Numbers 1

The largest known prime number

(2^57,885,161 − 1) is a Mersenne prime.

3) Prime numbers

(17)

1 Whole Numbers 1

Open Conjecture

B. Green-T. Tao:

There exist arithmetic progressions consisting of prime numbers of any given length

3) Prime numbers

(18)

1 Whole Numbers 1

4) Cryptography

RSA Encryption system

Use very large two prime numbers p and q, digits of 100 or 200. Let N=pq.

It is extremely hard, or almost impossible using current technology, to find p and q from N only.

(19)

수의 세계

5주차. 정수와 방정식

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1 방정식 2

1) Fermat’s Last Theorem (1637년경)

No three positive integers x, y,, and z can satisfy the equation xⁿ + yⁿ = zⁿ for any integer value of n greater than 2.

(21)

1 방정식 2

3) Fermat’s Last Theorem

Proved by Andrew Wiles in 1995.

Conjectured in 1637 by Pierre de Fermat

(22)

2 1 방정식

Three positive integers x, y, z such th at

x²+ y²= z²

x = m² – n², y = 2mn, z = m² + n² Solution (Diophantus)

Let y = kx – z, where k is rational.

Z² – x² = y² = (kx - z)²

= k2x² – 2kxz + z² 4) Diophantine equation – 계수가 정수인 (몇 개의) 방정식을 만족시키는 정수해를 찾는 문제

(23)

2 1 방정식

-x² = k²x² -2kxz, or -x = k²x -2kz Then x =

Since k = m/n, with m and n integers (m>n)

4) Diophantine equation

(24)

2 1 방정식

Setting z = m² + n²

x = m² – n², y = 2mn, z = m² + n² 4) Diophantine equation

(25)

2 1 방정식

5) 2차방정식

방정식(方程式; equation)은 식에 나오는 문자의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도하는 등 식.

방정식을 참이 되게 하는 문자의 값을 해 또는 근 이라 .함

2차 방정식 : ax² + bx + c = 0, (a는 0아님).

근의 공식

(26)

2 1 방정식

 바빌로니아인들의 풀이

(X-x)(X-y)=0

or X² – (x+y)X + xy=0 or X² – pX +q=0

5) 2차방정식

(27)

2 1 방정식

 바빌로니아인들의 풀이 5) 2차방정식

(28)

2 1 방정식

5) 2차방정식

(29)

2 1 방정식

7) 3차방정식 x³+ax²+bx+c=0

 역사

(30)

2 1 방정식

7) 3차방정식

(31)

2 1 방정식

7) 3차방정식

(32)

2 1 방정식

8) 4차방정식 x⁴+ax³+bx²+cx+d=0

(33)

2 1 방정식

8) 4차방정식

우변도 완전제곱꼴로 되기 위해서는 판별식이 0이 어야 한다.

b² ^{- 4}ac _{= 0} _⇒z 에 관한 3차 방정식

즉, ` 이 3차 방정식을 풀어서 완전 제곱꼴에 √· 를 취 하면 y에 관한 2차 방정식!

(34)

2 1 방정식

9) 5차방정식

3차 방정식 → 2차 방정식 4차 방정식 → 3차 방정식 5차 방정식 → 6차 방정식

오차 방정식은 +, -, x, ÷, √· 로 풀 수 없음이 증명되었다.

ⁿ

(Abel, 1826년)

5차 이상의 방정식도 +, -, x, ÷, √· 로 풀 수 없음을 Galois가 1831년에 증명되었다.

ⁿ

(35)

수의 세계

5주차. 정수와 방정식

(36)

문제1. Divide a given square number, say 16, into the sum of two squares of rational numbers.

평가하기

(37)

문제2. Find a number such that if two given numbers, say 6 and 7, are subtracted from it, both remainders are squares.

평가하기

(38)

문제3. 페르마 수 F_n에 대하여 식

평가하기

를 수학적 귀납법을 이용하여 증명하라.

(39)

문제4. 삼차방정식 x^3+3x^2-5=0의 근을 구하라.

평가하기

(40)

수의 세계

5주차. 정수와 방정식

(41)

정리하기

- 소수

- 소수정리

1강 . 소수와 소수정리

(42)

정리하기

2강. 방정식

- 디오판틴 방정식 - 방정식

(43)