[공업수학1]07 미분기법

(1)

미분기법

목포해양대학교 김 용 화

개요

복잡한 함수의 미분

곱함수의 미분 분수함수의 미분 합성함수의 미분을 위한 연쇄법칙 음함수와 매개변수로 표현되는 함수의 미분 로그 미분을 이용한 함수 치환 및 미분 고차 미분 2

(2)

미분 법칙

곱함수의 미분법

예

3

( ) ( ) ( )

'

v

uv

u

dx

dv

u

v

dx

du

dx

dy

x

v

x

u

x

y

+

=

+

=

x

y

=

sin

t

e

t

y

₌

2

t

e

y

=

−2t

cos

3 미분 법칙

분수함수의 미분법

예

( )

2 2

'

v

uv

v

u

v

dx

dv

u

v

dx

du

dx

dy

x

v

x

u

x

y

−

=

−

=

(3)

미분 법칙

연쇄법칙

치환을 사용하여 복잡한 함수를 간단히 표현 y=y(z), z=z(x)이면 y는 x의 함수 예 5

(

x

)

x y x z z z

y₌ 3₋ , ₌sin3 _→ ₌ sin3 3₋sin3

dx dz dz dy dx dy₌ _× 1 , 2 6₋ ₌ ₊ =z z z x y

(

3 5 7

)

ln 2+ + = x x y

미분 법칙

임의의 함수의 자연로그 미분

예

6

( )

_{( )}

( )

x f x f dx dy x f y=ln → = '

(

)

(

)

(

)

(

x

)

y

(

x

)

y t y y y x y cos 1 ln , 1 ln , 3 2 ln 8 , 1 ln , 8 ln 5 + = + = − = − = + =

(4)

매개변수 미분법

매개변수

y와 x가 모두 제 3의 변수인 t에 의해 표현될 경우 이때의 t를 매개변수로 부름 예 매개변수 미분법 7

(

)

t e t x t t y t x t y + = + = = + = 2 2 , sin 2 , 1

dt

dx

dt

dy

dx

dt

dy

dx

dy

=

×

=

음함수 미분법

음함수 형식

y=f(x)의 형식으로 표현하는 것이 불가능한 함수의 표현 양함수 형식은 y=f(x)의 형식으로 표현한 것

음함수의 미분

음함수의 미분도 음함수 형식으로 표현됨 y x x y3₊ 3₌5sin ₊10cos

(5)

로그 미분법

함수의 자연로그를 미분하는 방법을 활용

예 9

(

)

(

)

t t y e x x y t t y x 2 2 6 9 3 8 2 sin 1 1 1 + = + = − =

고차 미분

1차 미분 (first derivative)

함수 f(x)의 미분 y’

2차 미분 (second derivative)

y’의 미분

고차 미분

10

'

,

2 2

y

dx

y

d

dx

dy

dx

d













V iV

y

dx

y

d

y

dx

y

d

y

dx

y

d

,

'

,

5 5 4 4 3 3

(6)

고차 미분

1차 미분과 2차 미분의 활용

증가함수 또는 감소함수 기술에 사용 그림 11.1

오목 (concave down), 볼록 (concave up) y’>0일 때 y는 증가하고, y’<0일 때 y는 감소한다 y’가 증가하면, 함수는 볼록이고, y’’>0