우석대학교 에너지전기공학과

공업수학 II

강의 (26)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

결강 보강 결강사유 일시 수업 일시 수업 9월24일 (월) 2교시 12월17일 (월) 2교시 추석연휴 9월26일 (수) 1~2교시 12월19일 (수) 1~2교시 추석연휴 10월3일 (수) 1~2교시 12월20일 (목) 1~2교시 (기말시험) 개천절 휴무 <결강 일시 및 보강계획> <퀴즈 make up 계획>  대상: 결석으로 퀴즈(1~6) 를 못 본 학생  일시: 12월19일 (수) 까지  문자 또는 전화로 일정 조절

<라플라스 변환의 정리 요약> (1) 선형정리: ℒ 𝑎 ∙ 𝑓₁ 𝑡 ± 𝑏 ∙ 𝑓₂(𝑡) = ℒ 𝑎 ∙ 𝑓₁ 𝑡 ± ℒ 𝑏 ∙ 𝑓₂(𝑡) = 𝑎𝐹₁(𝑠) ± 𝑏𝐹₂(𝑠) (2) 미분정리 (모든 초기값이 0): ℒ 𝑓𝑛(𝑡) = 𝑠𝑛 ∙ 𝐹 𝑠 𝑓 0 = 𝑓′ 0 = ⋯ = 𝑓(𝑛−1) 0 = 0  ℒ 𝑓𝑛(𝑡) = 𝑠𝑛 ∙ 𝐹 𝑠 − 𝑠 𝑛−1 ∙ 𝑓 0 − 𝑠 𝑛−2 ∙ 𝑓′ 0 − ⋯ − 𝑓(𝑛−1) 0 (3) 초기값 정리: lim 𝑡→0𝑓(𝑡) = 𝑓 0 = lim𝑠→∞ 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 (4) 최종값 정리: lim 𝑡→∞𝑓 𝑡 = lim𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 (5) 적분정리 (모든 초기값이 0 이면): ℒ … 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑠𝑛 ∙ 𝐹 𝑠  1차 적분: ℒ 𝐹(𝑡) = 1 𝑠 𝐹(𝑠) + 1 𝑠𝑓 (−1) ₀  2차 이상 적분: ℒ … 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑠𝑛𝐹 𝑠 + 1 𝑠𝑛𝑓 −1 _{0 +} 1 𝑠(𝑛−1)𝑓 −2 _{0 + ⋯ +} 1 𝑠 𝑓 (−𝑛)₍₀₎ (6) 복소미분 정리 (𝑠 에 대한 n번 미분): ℒ 𝑡𝑛 ∙ 𝑓(𝑡) = (−1)𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑠𝑛𝐹 𝑠 (7) 복소적분 정리: ℒ 𝑓(𝑡) 𝑡 = 𝐹(𝑠) ∞ 𝑠 𝑑𝑠 (8) 시간이동 정리: ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) 𝑓(𝑡) 를 𝑡 = 𝑎 만큼 이동한 그래프의 라플라스 변환 3. 라플라스 변환의 정리

(숙제4 검토) 𝑒 𝑡 = 𝐿 𝑑 𝑑𝑡𝑖 𝑡 + 1 𝐶 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 𝑡 + 2 의 라플라스 변환을 구하라. (단, 초기값은 0) (1) 라플라스변환: ℒ 𝑒 𝑡 = ℒ 𝐿 𝑑 𝑑𝑡𝑖 𝑡 + 1 𝐶 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 𝑡 + 2

ℒ 𝑒 𝑡 = 𝐿 ∙ ℒ 𝑑 𝑑𝑡𝑖 𝑡 + 1 𝐶 ∙ ℒ 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑅 ∙ ℒ 𝑖 𝑡 + 2 ∙ ℒ 1 (2) 𝑒 𝑡 의 라플라스 변환: ℒ 𝑒(𝑡) = 𝐸(𝑠) (3) 미분정리: ℒ 𝑑 𝑑𝑡𝑖 𝑡 = 𝑠 ∙ 𝐼 𝑠 − 𝑓 0 = 𝑠 ∙ 𝐼 𝑠 (4) 적분정리: ℒ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑠𝐼 𝑠 + 1 𝑠𝑖 ∗1 ₀

_{ℒ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 =} 1 𝑠 𝐼 𝑠

(5) 𝑖 𝑡 의 라플라스 변환: ℒ 𝑖(𝑡) = 𝐼(𝑠) (6) 단위계단함수: ℒ 1 = 1 𝑠  From (1) ~ (6)  ℒ 𝑒 𝑡 = 𝐿 ∙ ℒ 𝑑 𝑑𝑡𝑖 𝑡 + 1 𝐶∙ ℒ 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑅 ∙ ℒ 𝑖 𝑡 + 2 ∙ ℒ 1 ∴ 𝐸 𝑠 = 𝐿 ∙ 𝑠 ∙ 𝐼 𝑠 + _𝐶∙𝑠1 ∙ 𝐼 𝑠 + 𝑅 ∙ 𝐼 𝑠 +2_𝑠 𝐸 𝑠 = 𝐿 ∙ 𝑠 + _𝐶∙𝑠1 + 𝑅 ∙ 𝐼 𝑠 +2_𝑠 3. 라플라스 변환의 정리 0 0

4. 라플라스 역변환 (Inverse Laplace Transform)  라플라스 변환: 시간함수 𝑓(𝑡)를 복소함수 𝐹(𝑠) 로 변환  라플라스 역변환: 복소함수 𝐹(𝑠)를 시간함수 𝑓(𝑡)로 환원 예시) 다음 함수의 라플라스 변환 및 역변환을 구하라. (1) 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑡  라플라스 변환: 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ 𝑒−𝑡 = 1 (𝑠+1)  라플라스 역변환: 𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠) = ℒ−1 1 (𝑠+1) = 𝑒 −𝑡 (2) 𝑓 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠(3𝑡)  라플라스 변환: 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ 𝑐𝑜𝑠(3𝑡) = 𝑠 𝑠2₊₃2 𝑠 4. 라플라스 역변환 시간함수 복소함수 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠) 라플라스 변환 F s = ℒ 𝑓 𝑡 라플라스 역변환 𝑓 𝑡 = ℒ−1 _{𝐹 𝑠)}

4-1. 간단한 함수의 라플라스 역변환  라플라스 역변환: 라플라스 변환함수 𝐹(𝑠) 로 부터 시간함수 𝑓(𝑡) 를 구하는 연산.  𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠 = 1 2𝜋𝑖 𝐹(𝑠)𝑒 𝑠𝑡_𝑑𝑠 𝜎+𝜔𝑖 𝜎−𝜔𝑖  라플라스 역변환 공식은 복소적분을 수행해야 하므로 계산이 어려움  간단한 함수에 대한 라플라스 역변환  라플라스 변환표 및 라플라스변환 정리를 활용하여 라플라스 역변환. 예시) 다음 함수의 라플라스 역변환을 구하라. (1) 𝐹 𝑠 = 1 𝑠3 𝑓(𝑡) = ℒ−1 1_𝑠3  𝑛𝑜𝑡𝑒: ℒ 𝑡𝑛 = 𝑛! 𝑠𝑛+1 𝑡𝑛 = ℒ−1 𝑛! 𝑠𝑛+1 = 𝑛! ∙ ℒ−1 1 𝑠𝑛+1 ∴ ℒ−1 1 𝑠𝑛+1 = 𝑡𝑛 𝑛!

ℒ−1 1𝑠𝑛 = 𝑡𝑛−1 (𝑛−1)!

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑓 𝑡 = ℒ−1 1 𝑠3 = 𝑡3−1 (3−1)! = 𝑡2 2  검산: 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑡2 2 = 1 2ℒ 𝑡 2 ₌ 1 2∙ 2 𝑠3 = 1 𝑠3 4. 라플라스 역변환

(2) 𝐹 𝑠 = 1 𝑠+2 𝑓(𝑡) = ℒ −1 1 𝑠+2  𝑛𝑜𝑡𝑒: ℒ 𝑒−𝑎𝑡 = 1 𝑠+𝑎 𝑒−𝑎𝑡 = ℒ−1 1 𝑠+𝑎 ∴ ℒ−1 1 𝑠+2 = 𝑒−2𝑡 = 𝑓 𝑡 (3) 𝐹 𝑠 = 4 𝑠2+4 𝑓(𝑡) = ℒ −1 4 𝑠2+22  𝑛𝑜𝑡𝑒: ℒ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) = 𝜔 𝑠2_+𝜔2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) = ℒ−1 𝜔 𝑠2_+𝜔2 ∴ ℒ−1 4 𝑠2+4 = ℒ −1 2∙2 𝑠2+22 = 2 ∙ ℒ −1 2 𝑠2+22 = 𝑓(𝑡)

𝑓 𝑡 = 2 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) (4) 𝐹 𝑠 = 𝑠+5 𝑠2_+2𝑠+5 𝑓(𝑡) = ℒ−1 𝑠+5 𝑠2_+2𝑠+5  𝑛𝑜𝑡𝑒1: 𝑠+5 𝑠2_+2𝑠+5 = (𝑠+1)+4 𝑠+1 2₊₄ = (𝑠+1) 𝑠+1 2₊₄+ 4 𝑠+1 2₊₄  𝑛𝑜𝑡𝑒2: ℒ 𝑒−𝑎𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑠+𝑎 (𝑠+𝑎)2_+𝜔2 & ℒ 𝑒−𝑎𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) = 𝜔 (𝑠+𝑎)2_+𝜔2 ∴ ℒ−1 𝑠+5 𝑠2+2𝑠+5 = ℒ −1 (𝑠+1) 𝑠+1 2+4 + 4 𝑠+1 2+4 = ℒ −1 (𝑠+1) 𝑠+1 2+22 + ℒ −1 2∙2 𝑠+1 2+22 = 𝑓(𝑡) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑓 𝑡 = ℒ−1 _{𝑠2+2𝑠+5}𝑠+5 = 𝑒−𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 𝑒−𝑡 ∙ 2 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 4. 라플라스 역변환

4-2. 부분분수분해에 의한 라플라스 역변환  간단한 함수에 대한 라플라스 역변환은 라플라스 변환표를 활용하면 쉽게 구해짐.  간단한 함수가 아닌 경우 라플라스 역변환의 경우는?  부분분수분해를 이용하면, 𝐹(𝑠)의 형태가 복잡한 라플라스 역변환을 해결할 수 있음. 예시) 𝐹 𝑠 = 2𝑠 (𝑠−1)(𝑠+1) 의 라플라스 역변환을 구하라.  부분분수분해: 𝐹 𝑠 = 2𝑠 (𝑠−1)(𝑠+1) = 𝐴 (𝑠−1)+ 𝐵 (𝑠+1) = 𝐴 𝑠+1 +𝐵(𝑠−1) (𝑠−1)(𝑠+1) = 𝐴+𝐵 𝑠+(𝐴−𝐵) (𝑠−1)(𝑠+1)  항등식의 미정계수 법에 의해 𝐴와 𝐵를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 2 𝐴 − 𝐵 = 0

∴ 𝐹 𝑠 = 2𝑠 (𝑠−1)(𝑠+1) = 𝐴 (𝑠−1) + 𝐵 (𝑠+1) = 1 (𝑠−1)+ 1 (𝑠+1)  라플라스 역변환: 𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠) = ℒ−1 1 (𝑠−1) + 1 (𝑠+1) = 𝑒 𝑡 _{+ 𝑒}−𝑡 4. 라플라스 역변환 𝐴 = 1 & 𝐵 = 1

예제) 다음 함수의 라플라스 역변환을 구하라. (1) 𝐹 𝑠 = 2𝑠+5 𝑠2₊₉  𝐹 𝑠 = 2𝑠+5 𝑠2₊₉ = 2𝑠 𝑠2₊₉ + 5 𝑠2₊₉ = 2 ∙ 𝑠 𝑠2₊₃2 + 5×3₃ 𝑠2₊₃2 = 2 ∙ 𝑠 𝑠2₊₃2 + 5 3∙ 3 𝑠2₊₃2 ∴ 𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠 = 2 𝑐𝑜𝑠(3𝑡) +5₃𝑠𝑖𝑛(3𝑡) (2) 𝐹 𝑠 = 2𝑠+1 𝑠 𝑠2₊₁ 의 라플라스 역변환을 구하라.  부분분수분해: 𝐹 𝑠 = 2𝑠+1 𝑠 𝑠2+1 = 𝐴 𝑠 + 𝐵𝑠+𝐶 𝑠2+1 = 𝐴 𝑠2+1 +𝐵𝑠2+𝐶𝑠 𝑠 𝑠2+1 = 𝐴+𝐵 𝑠2+𝐶𝑠+𝐴 𝑠 𝑠2+1  항등식의 미정계수 법에 의해 𝐴, 𝐵, 𝐶 를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 = 1 & 𝐶 = 2

∴ 𝐹 𝑠 = _{𝑠 𝑠}2𝑠+1₂₊₁ = 𝐴_𝑠 + 𝐵𝑠+𝐶_𝑠2+1 = 1_𝑠 + −𝑠+2_𝑠2+1 = 1_𝑠 − _𝑠2𝑠₊₁ + _𝑠22₊₁  라플라스 역변환: 𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠) = ℒ−1 1− 𝑠 + 2 = 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 2 𝑠𝑖𝑛(𝑡) 4. 라플라스 역변환 𝐴 = 1, 𝐵 = −1, & 𝐶 = 2 ℒ−1 𝑠 𝑠2₊₃2 = 𝑐𝑜𝑠(3𝑡) 𝑠𝑖𝑛(3𝑡)