연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환

(1)

Python 과 함께 배우는 신호

해석 박섭형

연속시간 푸리에 급수에서 연속시간 푸리에 변환으로 연속시간 푸리에 변환의 존재와 수렴 연속시간 푸리에 변환의 성질 주요 신호의 연속시간 푸리에 변환

Python과 함께 배우는 신호 해석

제 17 강. 주요 연속시간 신호의 푸리에 변환

(제 7 장. 연속시간 비주기 신호의 주파수 해석 : 연속시간 푸리에 변환)

박섭형

한림대학교 전자공학과

(2)

해석 박섭형

배울 내용

연속시간 푸리에 급수와 연속시간 푸리에 변환 연속시간 푸리에 변환의 존재 조건

연속시간 푸리에 변환의 성질 주요 연속시간 신호의 푸리에 변환

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 17 강. 주요 이산시간 신호의 푸리에 변환 2

(3)

해석 박섭형

연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환

푸리에 급수 분석과 합성 식에서 초기의 T0값을 T 라 두고, T0→ ∞로 하면 ˜x(t) 는 주기함수에서 비주기 함수로 변한다.

이렇게 얻는 비주기 함수를 x(t) 라고 하면, 둘 사이의 관계를 다음과 같이 표현할 수 있다.

x(t) = lim

T₀→∞˜x(t) = {

˜x(t), −^T₂ ≤ t ≤^T₂

0, otherwise . (7.1) 여기에서 f0=_T¹

0이라고 하면, lim

T0→∞f0= df가 되고, lim

T0→∞f0k 는 연속변수 f 가 된다.

T₀lim→∞T0c_k= lim

T₀→∞

∫ ^T0

2

−^T0₂

˜x(t)e^−j^2π^T0^ktdt

= lim

T₀→∞

∫ T0 2

−^T0₂

˜x(t)e^−j2πf⁰^ktdt (7.2)

=

∫ _∞

x(t)e^−j2πftdt.

(4)

해석 박섭형

연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환

이제 X(f) 를 다음과 같이 정의하자.

X(f) = lim

T0→∞T0ck=

∫ _∞

−∞

x(t)e^−j2πftdt. (7.3)

그러면, 합성식의 ˜x(t) 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

˜x(t) =

∑∞ k=−∞

cke^j^2π^T0^kt

=

∑∞ k=−∞

T0cke^j^2π^T0^kt 1 T0

(7.4)

=

∑∞ k=−∞

(T0c_k)e^j2πf⁰^ktf0.

(5)

해석 박섭형

연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환

이 식으로부터 x(t) 를 다음과 같이 구할 수 있다.

x(t) = lim

T₀→∞˜x(t)

= lim

T₀→∞

∑∞ k=−∞

(T0ck)e^j2πf⁰^ktf0

=

∫ _∞

−∞

X(f)e^j2πftdf.

여기에서 ω = 2πf 라 하면, dω = 2πdf 가 되어 df = ^dω_2π로 쓸 수 있다.

그리고 식 (7.3) 에서 정의한 X(f) 대신에 X(ω) 라는 표기를 사용하면 x(t) 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

x(t) = 1 2π

∫ _∞

−∞

X(ω)e^jωtdω, (7.5)

(6)

해석 박섭형

연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환

여기에서 X(jω) 는 다음과 같다.

X(ω) =

∫ _∞

−∞

x(t)e^−jωtdt. (7.6)

이 두 식을 각각 연속시간 푸리에 역변환과 푸리에 변환이라고 한다. 또한 X(ω) 대신에 X(jω) 를 사용하는 것이 일반적이다.

정의 7.1 (연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환) 연속시간 비주기 신호 x(t) 의 푸리에 변환

X(jω) =

∫ _∞

−∞

x(t)e^−jωtdt. (7.7)

역 푸리에 변환

x(t) = 1 2π

∫ _∞

−∞

X(jω)e^jωtdω. (7.8)

(7)

해석 박섭형

푸리에 변환의 존재 조건

x(t) = e^−5tu(t) 의 푸리에 변환을 구해보자.

X(jω) =

∫ _∞

−∞

e^−5tu(t)e^−jωtdt =

∫ _∞

0

e^−(5+jω)tdt

= e^−(5+jω)t

−(5 + jω) ^∞

0

= 1 5 + jω 즉, 다음 변환쌍을 얻는다.

e^−5tu(t)←→^F 1 5 + jω

그러나 역푸리에 변환에 필요한 다음 적분값을 구하는 것은 대단히 어렵기 때문에 변환쌍 표로부터 구한다.

1 2π

∫_∞

−∞

1

5 + jωe^jωtdω = e^−5tu(t)

(8)

해석 박섭형

푸리에 변환의 존재 조건

다음 식을 생각해 보자.

|X(jω)| = ∫ _∞

−∞

x(t)e^−jωtdt ≤∫_∞

−∞

x(t)e^−jωt dt (7.9)

=

∫ _∞

−∞|x(t)|e^−jωt dt.

그런데 모든 t 에 대해서e^−jωt= 1이므로, 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

|X(jω)| ≤

∫ _∞

−∞|x(t)| dt. (7.10)

따라서 푸리에 변환이 존재하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

∫ _∞

−∞|x(t)| dt < ∞. (7.11) 이 조건을 절대 적분 가능(absolutely integrable) 조건이라고 한다. 단, 이 조건은 충분 조건이지 필요 조건이 아니다.

(9)

해석 박섭형

연속시간 푸리에 변환의 중첩 특성

X(jω) =

∫_∞

−∞

(ax1(t) + bx2(t))e^−jωtdt (7.12)

= a

∫ _∞

−∞

x1(t)e^−jωtdt + b

∫ _∞

−∞

x2(t)e^−jωtdt (7.13)

= aX1(jω) + bX2(jω). (7.14) 즉,

ax1(t) + bx2(t)⇔ aX1(e^jω) + bX2(e^jω). (7.15)

(10)

해석 박섭형

연속시간 푸리에 변환의 시간 지연 특성

F{x(t − t0)} =

∫ _∞

−∞

x(t− t0)e^−jωtdt, (7.16) 여기에서 τ = t− t0라 두면, t = τ + t0, dt = dτ이므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

F{x(t − t0)} =

∫ _∞

−∞

x(τ )e^−jω(τ+t⁰⁾dτ

=

∫ _∞

−∞

x(τ )e^−jωτe^−jωt⁰dτ (7.17)

= e^−jωt⁰X(e^jω).

(11)

해석 박섭형

콘볼루션 적분의 연속시간 푸리에 변환

v(t) = x(t)∗ y(t)라 하면, 다음 식이 성립한다.

v(t) = x(t)∗ y(t) =

∫ _∞

−∞

x(τ )y(t− τ)dτ. (7.18)

이 식의 양변에 연속시간 푸리에 변환을 취하면 다음 식을 얻는다.

V(jω) =

∫ _∞

−∞

x(τ )[

e^−jωτY(jω)dτ]

= (∫ _∞

−∞

x(τ )e^−jωτdτ )

Y(jω) (7.19)

=

X(jω)Y(jω).

(12)

해석 박섭형

주파수 영역에서의 미분

F{tx(t)} =

∫ _∞

−∞

tx(t)e^−jωtdt

=

∫ _∞

−∞

x(t)j(−jt)e^−jωtdt

= j

∫ _∞

−∞

x(t)(

−jte^−jωt)

dt (7.20)

= j

∫ _∞

−∞

x(t) d dωe^−jωtdt

= jdX(e^jω) dω .

(13)

해석 박섭형

켤레 복소수 신호의 푸리에 변환

F{x^∗(t)} =

∫ _∞

−∞

x(t)^∗e^−jωt

= (∫ _∞

−∞

x(t)e^−j(−ω)t )_∗

(7.21)

= X^∗(−jω).

(14)

해석 박섭형

실수 신호의 푸리에 변환의 대칭성

연속시간 신호 x(t) 가 실수 신호이면, X^∗(e^−jω) = X(jω)을 만족한다.

X^∗(−jω) = (∫ _∞

−∞

x(t)e^−j(−ω)tdt )_∗

=

∫_∞

−∞

x^∗(t)e^−jωtdt

=

∫_∞

−∞

x(t)e^−jωtdt (7.22)

= X(jω).

이 성질을 X^∗(jω) = X(−jω)로 쓸 수도 있다.

(15)

해석 박섭형

Parseval의 정리

시간 영역의 에너지와 주파수 영역에서의 에너지는 동일하다.

∫ _∞

−∞|x(t)|²dt =

∫ _∞

−∞

x^∗(t)x(t) dt

=

∫ _∞

−∞

( 1 2π

∫ _∞

−∞

X(jω)e^jωtdω )_∗

x(t) dt

= 1 2π

∫ _∞

−∞

X^∗(jω) (∫ _∞

−∞

x(t)e^−jωtdt )

dtω (7.23)

= 1 2π

∫ _∞

−∞

X^∗(jω)X(jω) dtω

= 1 2π

∫ _∞

−∞|X(jω)|²

(16)

해석 박섭형

연속시간 푸리에 변환의 주요 성질 요약

이름 표현

선형성 F{ax1(t) + bx2(t)} = aX1(jω) + bX2(jω) 시간 지연 F{x(t − t0)} = e^−jωt⁰X(e^jω) 주파수 지연 F{x(t)e^jω⁰^t} = X(e^j(ω−ω⁰⁾)

콘볼루션 F {x1(t)∗2(t)} = X1(jω)X2(jω) 곱셈 F{˜x1(t)˜x2(t)} = 1

2πX1(jω)∗ X2(jω)

신호의 미분 F

{ dx(t)

dt }

= jωX(jω)

(17)

해석 박섭형

연속시간 푸리에 변환의 주요 성질 요약

이름 표현

주파수 영역에서의 미분 F{tx(t)} = jdX(e^jω) dω 켤레 복소수 신호 F{x^∗(t)} = X^∗(−jω)

시간 반전 F{x(−t)} = X(−jω) 신호의 공액 F{˜x^∗(t)} = X^∗(−jω) 실수 신호 X^∗(jω) = X(−jω) 파스발의 정리

∫_∞

−∞|x(t)|²dt = 1 2π

∫ _∞

−∞|X(jω)|²

(18)

해석 박섭형

DC 신호의 푸리에 변환

x(t) 의 푸리에 변환을 X(jω) = 2πδ(ω) 라고 하자. 그러면 x(t) 는 다음과 같이 구할 수 있다.

x(t) = 1 2π

∫ _∞

−∞

2πδ(ω)e^jωtdω

= e^j0t (7.24)

= 1.

따라서 x(t) = 1 의 푸리에 변환은 X(jω) = 2πδ(ω) 이다. 즉,

F{1} = 2πδ(ω). (7.25)

(19)

해석 박섭형

단위 임펄스 신호의 푸리에 변환

x(t) = δ(t) (7.26)

X(jω) =

∫ _∞

−∞

δ(t)e^−jωtdt

= e^−jω0

∫ _∞

−∞

δ(t)dt

= e^−jω0

= 1.

(7.27)

δ(t)←→ 1^F (7.28)

(20)

해석 박섭형

단위 계단 신호의 푸리에 변환

다음과 같이 정의되는 sgn(t) 신호를 생각해 보자.

sgn(t) =





1, t≥ 0

−1, t < 0 (7.29)

그리고 다음과 같이 정의되는 양방향 지수 신호 fα(t)를 생각해 보자.

fα(t) =





e^−αt, t≥ 0

−e^αt, t < 0, (7.30) 여기에서 α > 0 이다.

이 함수는 아래 그림과 같이 α→ 0이 되면서 sgn(t)에 가까워진다. 즉, lim

α→0fα(t) = sgn(t). (7.31)

(21)

해석 박섭형

단위 계단 신호의 푸리에 변환

10 5 0 5 10

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

10 5 0 5 10

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

10 5 0 5 10

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

10 5 0 5 10

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

(a) α = 1.0 (b) α = 0.5 (c) α = 0.1 (d) α = 0.01

그림 7.1:양방향 지수 신호에서 α 의 변화에 따른 그래프의 변화 모습.

단위계단 함수를 sgn(t) 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

u(t) = 1

2[sgn(t) + 1] = 1 2 lim

α→0fα(t) +1

2. (7.32)

(22)

해석 박섭형

단위 계단 신호의 푸리에 변환

그런데

F{e^−αtu(t)} = 1

α + jω (7.33)

이고,F{f(−t)} = F(−jω)이므로

F{e^αtu(−t)} = 1

α− jω (7.34)

이다. 따라서

F{e^−αtu(t)} − F{e^αtu(−t)} = 1

α + jω− 1

α− jω =− 2jω

α²+ ω² (7.35) 이고,

F{sgn(t)} = F{

αlim→0fα(t) }

= lim

α→0

(

− 2jω α²+ ω²

)

=−j2 ω= 2

jω. (7.36)

따라서

F{u(t)} = 1 2· 1

jω+1

2· 2πδ(ω) = 1

jω + πδ(ω). (7.37)

(23)

해석 박섭형

사각 신호의 푸리에 변환

예제 7.1

다음과 같이 주어지는 x(t) 의 푸리에 변환을 구하라.

x(t) =





1, 0≤ t < T0

0, elsewhere . (7.38) 이 함수를 그림으로 나타내면 다음 그림과 같다.

t

−2T₀−T₀ 0 T₀ 2T⁰ 3T⁰ 4T⁰ 5T⁰ 1

x(t)

(24)

해석 박섭형

사각 신호의 푸리에 변환

이 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 구할 수 있다.

X(jω) =

∫ _∞

−∞

x(t)e^−jωtdt =

∫ T₀ 0

1· e^−jωtdt

=−1

jω e^−jωt^T⁰

0

= j ω

(

e^−jωT⁰− 1)

= j

ωe^−j¹²^ωT⁰(

e^−j¹²^ωT⁰− e^j¹²^ωT⁰)

(7.39)

= j

ωe^−j¹²^ωT⁰ [

−j2 sin (1

2ωT0

)]

= sin(₁

2ωT0

)

1

2ω e^−j¹²^ωT⁰

= T0

sin(₁

2ωT0

)

1 2ωT0

e^−j¹²^ωT⁰.

(25)

해석 박섭형

사각 신호의 푸리에 변환

앞 예제에서 구한 푸리에 변환의 크기 성분은 다음과 같다.

|X(jω)| =

sin(₁

2ωT0

)

1 2ω

. (7.40)

크기 성분을 그래프로 그리면 다음과 같다.

−

^10πT0

−

^6πT0

−

^2πT0 0 ^2π

T0 6π T0

10π T0

0

ω T

0

|X(jω)|

그림 7.2:연속시간 비주기 구형파 신호의 크기 스펙트럼.

(26)

해석 박섭형

주기 신호의 푸리에 변환

어떤 신호에 주기 신호 성분과 비주기 신호 성분이 모두 존재한다면 이런 신호의 주파수 성분을 어떻게 분석해야 할까?

주기 신호의 푸리에 변환을 구할 수 있으면 이 질문에 대한 답을 할 수 있을 것이다.

주기 신호 ˜x(t) 의 푸리에 급수 표현식은 다음과 같다.

˜x(t) =

∑∞ k=−∞

cke^j^2π^T0^kt=

∑∞ k=−∞

cke^jω⁰^kt. (7.41)

이 주기 신호에 푸리에 변환을 적용하면 다음 식을 얻는다.

F {˜x(t)} =

∫ _∞

−∞

∑∞ k=−∞

cke^jω⁰^te^−jωtdt =

∑∞ k=−∞

ck

∫_∞

−∞

e^jω⁰^te^−jωtdt,

(7.42) 이 식에서

∫_∞

−∞

e^jω⁰^te^−jωtdt 는 e^jω⁰^t의 푸리에 변환이다.

(27)

해석 박섭형

주기 신호의 푸리에 변환

주기 신호는 절대 적분 가능 조건을 만족시키지 못한다.

∫ _∞

−∞|x(t)| dt < ∞. (7.43) 다음 푸리에 변환 쌍을 이용해 보자.

e^jω⁰^kt←→ 2πδ(ω − kω^F 0) (7.44) 푸리에 변환은 선형 변환이므로 다음 식이 성립한다.

∑∞ k=−∞

cke^jω⁰^kt←→^F

∑∞ k=−∞

2πckδ(ω− kω0) (7.45)

즉, 주기 신호의 푸리에 변환은 이산 주파수 kω0에서 가중치 2πck를 갖는 무한 임펄스 열이 된다.

˜x(t) =

∑∞ k=−∞

cke^jω⁰^kt←→^F

∑∞ k=−∞

2πckδ(ω− kω0) (7.46)

(28)

해석 박섭형

복소 지수 신호의 푸리에 변환

어떤 신호 x(t) 의 푸리에 변환을 X(jω) = 2πδ(ω− ω0)라고 하자. 그러면 x(t) 는 다음과 같이 구할 수 있다.

x(t) = 1 2π

∫ _∞

−∞

2πδ(ω− ω0)e^jωtdω

= e^jω⁰^t

(7.47)

따라서 x(t) = e^jω⁰^t의 푸리에 변환은 X(jω) = 2πδ(ω− ω0)이다. 즉, F{e^jω⁰^t} = 2πδ(ω − ω0). (7.48)

(29)

해석 박섭형

정현파 신호의 푸리에 변환

x(t) = A cos(ω0t + ϕ). (7.49) x(t) = 1

2Ae^jϕe^jω⁰^t+1

2Ae^−jϕe^−jω⁰^t. (7.50) X(jω) =1

2Ae^jϕ2πδ(ω− ω0) +1

2Ae^−jϕ2πδ(ω + ω0)

= πAe^jϕδ(ω− ω0) + πAe^−jϕδ(ω + ω0).

(7.51)

x(t) = A cos(ω0t + ϕ)←→ πAe^F ^jϕδ(ω− ω0) + πAe^−jϕδ(ω + ω0) (7.52)

(30)

해석 박섭형

주요 신호들의 푸리에 변환 요약

x(t) X(jω)

e^−atu(t) 1

a + jω

u( t +¹

2T)

− u(

t−¹₂T) sin(ωT/2) ω/2 sin(ω_bt)

πt u(ω + ω_b)− u(ω − ωb)

Aδ(t) A

1 2πδ(ω)

e^jω⁰^t 2πδ(ω− ω0)

A cos(ω0t + ϕ) πAe^jϕδ(ω− ω0) + πAe^−jϕδ(ω + ω0) A sin(ω0t + ϕ) π

jAe^jϕδ(ω− ω0)−π

jAe^−jϕδ(ω + ω0)