이산시간 선형 시불변 시스템의 고유신호 z n

(1)

Python 과 함께 배우는 시스템 해석

박섭형

이산시간 선형 시불변 시스템의 고유신호 zn Z-변환의 정의와 수렴 영역 유한 길이 신호의 Z- 변환 Z-변환의 특성

Python과 함께 배우는 시스템 해석

제 6 장. Z–변환을 이용한 이산시간 선형 시불변 시스템의 해석 6-1 . Z–변환

박섭형

한림대학교 전자공학과

2014년 11월

(2)

박섭형

배울 내용

이산시간 선형 시불변 시스템의 고유신호 zⁿ과 고윳값 양방향 Z–변환 (Z–transform)

Z–변환의 수렴 영역과 그 의미

Z–변환의 수렴 영역과 이산 푸리에 변환의 존재 유무의 관계 중요한 몇 가지 신호의 이산시간 푸리에 변환과 양방향 Z–변환 양방향 Z–변환의 성질

(3)

박섭형

이산시간 선형 시불변 시스템의 고유신호 z ⁿ

임펄스 응답이 h[n] 인 이산시간 선형 시불변 시스템에 다음과 같은 복소 신호 x[n] 이 입력되는 경우를 생각해 보자.

x[n] = zⁿ, −∞ < n < ∞, (6.1) 여기에서 z 는 임의의 복소수이다. 그러면 출력 y[n] 은 다음과 같다.

y[n] =

∑∞ k=−∞

h[k]zⁿ^−k= ( _∞

∑

k=−∞

h[k]z^−k )

zⁿ= ( _∞

∑

k=−∞

h[k]z^−k )

x[n]. (6.2)

여기에서

H(z) =

∑∞ k=−∞

h[k]z^−k (6.3)

라고 두면, 식 (6.2)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

y[n] = H(z)x[n] = H(z)zⁿ. (6.4)

(4)

박섭형

양방향 Z–변환의 정의

.정의 6.1 (양방향 Z–변환의 정의) ..

...

모든 정수 n 에서 정의된 신호 x[n] 의 양방향 Z–변환은 다음과 같이 정의된다.

X(z) =Z{x[n]} = ∑^∞

n=−∞

x[n]z⁻ⁿ, (6.5)

여기에서 z 는 z = re^{j ˆ}^ω(r≥ 0인 실수)인 복소수이다.

X(z) 가 항상 유한한 값으로 수렴하지는 않는다

⇒ 신호 x[n]이 주어진 경우에 x[n]의 Z–변환 X(z)가 존재하기 위한 z의 정의역이 복소수의 전영역이 아닐 수도 있다

X(z) 가 존재하기 위한 z 의 조건을 X(z) 의 수렴 영역이라고 부른다 함수를 표현할 때 반드시 함수의 정의역을 표시하는 것과 마찬가지로, 변수 z 의 함수인 X(z) 를 표현할 때에도 정의역에 해당하는 수렴 영역을 함께

(5)

박섭형

양방향 역 Z–변환의 정의

반대로, X(z) 로부터 x[n] 을 복원하는 과정을 역 Z–변환(inverse Z–transform) 이라고 한다. X(z) 의 역 Z–변환은 다음과 같이 정의한다.

.정의 6.2 (양방향 역 Z–변환의 정의) ..

... x[n] =Z⁻¹{X(z)} = 1 2πj

I

C

Z(z)zⁿ⁻¹dz, (6.6)

여기에서 C 는 수렴 영역에서 원점을 내부에 포함하는 반시계 방향의 폐곡선이다.

일반적으로 이 적분 과정을 통해서 x[n] 을 구하는 것은 쉽지 않지만, x[n] 이 유한 길이의 수열인 경우에는 X(z) 는 z⁻¹의 다항식이 되며, X(z) 의 z^−k항의 계수를 이산시간 신호 x[n] 의 k 번째 수인 x[k] 로 하면, x[n] 을 복원할 수 있다.

(6)

박섭형

단방향 Z–변환의 정의

디지털 필터 등과 같은 실제적인 응용 분야에서는 n≥ 0에서 정의되는 신호 x[n]

의 단방향 Z–변환 (unilateral Z–transform)이 더 자주 사용된다. 단방향 Z–

변환은 다음과 같이 정의된다.

.정의 6.3 (단방향 Z–변환) ..

...

n≥ 0인 정수에서 정의된 신호 x[n]의 단방향 Z–변환은 다음과 같다.

X⁺(z) =Z⁺{x[n]} =

∑∞ n=0

x[n]z⁻ⁿ, (6.7)

여기에서 z 는 z = re^{j ˆ}^ω(r≥ 0)인 실수)인 복소수이다.

(7)

박섭형

Z–변환의 수렴 영역의 의미

x[n] 의 이산시간 푸리에 변환

F{x[n]} = X(e^{j ˆ}^ω) =

∑∞ n=−∞

x[n]e^−jˆ^ωn. (6.8)

이산시간 푸리에 변환의 존재 여부는 전적으로 x[n] 에 의해서만 결정된다.

복소 변수 z 를 z = re^{j ˆ}^ω로 표시하면 앞에서 정의한 Z–변환은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

X(z) =

∑∞ n=−∞

x[n]( re^{j ˆ}^ω)_−n

=

∑∞ n=−∞

(

x[n]r

⁻ⁿ) e^−jˆ^ωn

=

∑∞ n=−∞

(

x[n] |z|

⁻ⁿ)

e^−jˆ^ωn=F{x[n]|z|⁻ⁿ}. (6.9)

(8)

박섭형

Z–변환의 수렴 영역의 의미

식 (6.9) 에 r = 1, 즉|z| = 1을 대입하면 다음 관계식을 얻는다.

X(z)|_|z|=1=

∑∞ n=−∞

x[n]e^−jˆ^ωn= X(e^{j ˆ}^ω). (6.10)

x[n] 의 이산시간 푸리에 변환의 존재 여부는 전적으로 x[n] 에 의해서만 결정된다

x[n] 의 Z–변환의 존재 여부는 x[n]|z|⁻ⁿ에 의해 결정된다.

이산시간 푸리에 변환이 존재하지 않는 x[n] 이라 할지라도|z|의 조건에 따라서 Z–변환이 존재할 수 있다.

어떤 신호 x[n] 이 주어졌을 때, Z–변환이 존재할 수 있는|z|의 조건을 수렴 영역 (ROC: region of convergence)이라고 한다.

(9)

박섭형

유한 길이 신호의 Z–변환

0≤ n ≤ N에서 정의되는 유한 길이 신호 x[n]은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x[n] =

∑N k=0

x[k]δ[n− k]. (6.11)

이 때, x[n] 의 Z–변환은 다음과 같이 정의된다.

X(z) =

∑N n=0

x[n]z⁻ⁿ. (6.12)

유한 길이 신호 x[n] 으로부터 X(z) 를 구하기 위해서는 x[n] 을 계수로 하는 다항식을 구성하는 것이다. 이 때, x[n] 에서 k 번째 값인 x[k] 는 X(z) 에서 z^−k 항의 계수가 된다.

(10)

박섭형

유한 길이 이산시간 신호의 Z–변환 예

.예제 6.1 (유한 길이 이산시간 신호의 Z–변환) ..

...

다음과 같이 주어지는 유한 길이 이산신호 x[n] 의 Z–변환을 구하라.

x[n] ={3

↑,−2, 3, 7, −1, 4}

X(z) = 3− 2z⁻¹+ 3z⁻²+ 7z⁻³− z⁻⁴+ 4z⁻⁵.

(11)

박섭형

Z–변환의 역변환 예

.예제 6.2 ( z⁻¹의 다항식으로 표현되는 Z–변환의 역변환) ..

...

다음과 같이 주어지는 X(z) 의 역 Z–변환을 취하여 x[n] 을 구하라.

X(z) =−2 + 4z⁻¹+ z⁻²− 3z⁻³+ 2z⁻⁴, z̸= 0.

X(z) 에서 z^−k에 곱해진 계수는 이산시간 신호 x[n] 에서 δ[n− k]에 곱해진 계수와 같다. 따라서 x[n] 은 다음과 같다.

x[n] =−2δ[n] + 4δ[n − 1] + δ[n − 2] − 3δ[n − 3] + 2δ[n − 4]

.

(12)

박섭형

a ⁿ u[n] 의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

aⁿu[n] 의 이산시간 푸리에 변환

F {aⁿu[n]} =

∑∞ n=−∞

aⁿu[n]e^−jˆ^ωn=

∑∞ n=0

( ae^−jˆ^ω)n

. (6.13)

|ae

^−jˆ^ω

| = |a| < 1 일 때

F {a

ⁿ

u[n] } = 1

1 − ae

^−jˆ^ω

. (6.14)

|a| ≥ 1인 경우에는 x[n] = a

ⁿ

u[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지 않는다때

예 :

(0.5)

ⁿ

u[n] 이나 ( −0.5)

ⁿ

u[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재한다

2

ⁿ

u[n] 이나 ( −2)

ⁿ

u[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지 않는다.

(13)

박섭형

a ⁿ u[n] 의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

aⁿu[n] 의 Z–변환

Z{aⁿu[n]} = ∑^∞

n=−∞

aⁿu[n]z⁻ⁿ=

∑∞ n=0

(az⁻¹)n

. (6.15)

|az

⁻¹

| = |a|

|z| < 1, 즉 |z| > |a|일 때

Z{a

ⁿ

u[n] } = 1

1 − az

⁻¹

. (6.16)

|z| ≤ |a|일 때

Z{a

ⁿ

u[n] }은 존재하지 않는다.

따라서

Z{aⁿu[n]} = 1

1− az⁻¹, |z| > |a|. (6.17)

(14)

박섭형

2 ⁿ u[n] 의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

2ⁿu[n] 의 이산시간 푸리에 변환 F{2ⁿu[n]} =

∑∞ n=0

2ⁿe^−jˆ^ωn=

∑∞ n=0

( 2e^−jˆ^ω

)n

. (6.18)

무한 등비 수열의 합에서 공비의 절댓값이 2이기 때문에 무한 등비 수열의 합을 구할 수 없다. 즉,F{2ⁿu[n]}은 존재하지 않는다.

2ⁿu[n] 의 Z–변환

Z{2ⁿu[n]} =

∑∞ n=0

2ⁿ (

re^{j ˆ}^ω)_−n

=

∑∞ n=0

(

2r⁻¹e^−jˆ^ω)n

. (6.19) Z{2ⁿu[n]}은 공비의 절댓값이 _|z|² 이기 때문에 _|z|² < 1, 즉 r =|z| > 2인 경우에는 무한 등비 수열의 합을 구할 수 있다

(15)

박섭형

(0.5) ⁿ u[n] 의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

(0.5)ⁿu[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 항상 존재한다.

F{(0.5)ⁿu[n]} =

∑∞ n=0

(0.5)ⁿe^−jˆ^ωn=

∑∞ n=0

( 0.5e^−jˆ^ω

)n

. (6.20)

(0.5)ⁿu[n] 의 Z–변환 Z{(0.5)ⁿu[n]} =

∑∞ n=0

(0.5)ⁿ (

re^{j ˆ}^ω)_−n

=

∑∞ n=0

(

0.5r⁻¹e^−jˆ^ω)n

. (6.21)

ROC: r =|z| > 0.5

(16)

박섭형

Z–변환의 수렴 영역과 이산시간 푸리에 변환 존재

Re(z) Im(z) z–plane

2

Re(z) Im(z) z–plane

0.5

(a) 2ⁿu[n] 의 수렴 영역 (b) (0.5)ⁿu[n] 의 수렴 영역

그림 6.1:

두 신호의 수렴 영역 : (a) 2

ⁿ

u[n] 의 수렴 영역, (b) (0.5)

ⁿ

u[n] 의 수렴 영역.

X(z)|z=e^{j ˆ}^ω= X(e^{j ˆ}^ω). (6.22) 그림 6.1 (a) 에 표시된 수렴 영역은 단위원을 포함하지 않는다

⇒ 2ⁿu[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지 않는다.

(17)

박섭형

−a ⁿ u[ −n − 1]의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

−aⁿu[−n − 1]의 이산시간 푸리에 변환 F{−aⁿu[−n − 1]} =

∑∞ n=−∞

{−aⁿu[−n − 1]e^−jˆ^ωn}

=−

−∞∑

n=−1

( ae^−jˆ^ω)n

. (6.23) 여기에서 m =−n이라 하자.

F{−aⁿu[−n − 1]} = −

∑∞ m=1

(

ae^−jˆ^ω)_−m

. (6.24)

| (

ae

^−jˆ^ω

)

₋₁

| = 1

|ae

^−jˆ^ω

| = 1

|a| < 1, 즉 |a| > 1일 때 F{−a

ⁿ

u[ −n − 1]} = −

( ae

^−jˆ^ω

)

₋₁

1 − (

ae

^−jˆ^ω

)

₋₁

= − 1

ae

^−jˆ^ω

− 1 = 1 1 − ae

^−jˆ^ω

.

(6.25)

(18)

박섭형

−a ⁿ u[ −n − 1]의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

x[n] =−aⁿu[−n − 1]의 Z–변환

Z{−aⁿu[−n−1]} = ∑^∞

n=−∞

−aⁿu[−n − 1]z⁻ⁿ=− ^−∞∑

n=−1

(az⁻¹)n

. (6.26)

m =−n이라고 두면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Z{−aⁿu[−n − 1]} = −∑^∞

m=1

(az⁻¹)_−m

=−∑^∞

m=1

(a⁻¹z)m

. (6.27)

|a

⁻¹

z | = |z|

|a| < 1, 즉, |z| < |a|일 때 Z{−a

ⁿ

u[ −n − 1]} = − a

⁻¹

z

1 − a

⁻¹

z = a

⁻¹

z

a

⁻¹

z − 1 = 1

1 − az

⁻¹

. (6.28)

|z| ≥ |a|일 때

Z{−a

ⁿ

u[ −n − 1]}은 존재하지 않는다

(19)

박섭형

a ⁿ u[n] 과 −a ⁿ u[ −n − 1]의 Z–변환

..

aⁿu(n) 과−aⁿu(−n − 1)의 Z–변환과 수렴 영역

.

Z{aⁿu[n]} = 1

1− az⁻¹, |z| > |a|.

Z{−aⁿu[−n − 1]} = 1

1− az⁻¹, |z| < |a|.

(20)

박섭형

−(0.5) ⁿ u[ −n − 1]의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

−(0.5)ⁿu[−n − 1]의 이산시간 푸리에 변환

F{−(0.5)ⁿu[−n − 1]} = − ∑^−∞

n=−1

(0.5)ⁿe^−jˆ^ωn=

∑∞ m=1

(

(0.5)⁻¹e^{j ˆ}^ω)m

=

∑∞ m=1

( 2e^{j ˆ}^ω

)m

. (6.30)

공비의 절댓값이 2이기 때문에 무한 등비 수열의 합을 구할 수 없다.

−(0.5)ⁿu[−n − 1]의 Z–변환 Z{−(0.5)ⁿu[−n − 1]} = −

−∞∑

n=−1

(0.5)ⁿ (

re^{j ˆ}^ω)_−n

=

∑∞ m=1

(

(0.5)⁻¹re^{j ˆ}^ω)m

=

∑∞ m=1

( 2re^{j ˆ}^ω

)m

. (6.31)

(21)

박섭형

−2 ⁿ u[ −n − 1]의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

−2ⁿu[−n − 1]의 이산시간 푸리에 변환 F{−2ⁿu[−n − 1]} = −

−∞∑

n=−1

2ⁿe^−jˆ^ωn=

∑∞ m=1

(

2⁻¹e^{j ˆ}^ω)m

=

∑∞ m=1

( 0.5e^{j ˆ}^ω

)m

. (6.32)

항상 존재한다.

−2ⁿu[−n − 1]의 Z–변환 Z{−2ⁿu[−n − 1]} = −

−∞∑

n=−1

2ⁿ (

re^{j ˆ}^ω)_−n

=− ^−∞∑

n=−1

(

2⁻¹re^{j ˆ}^ω)_−n

=

∑∞ m=1

( 0.5re^{j ˆ}^ω

)m

. (6.33)

(22)

박섭형

−2 ⁿ u[ −n − 1]과 −(0.5) ⁿ u[ −n − 1]의 수렴 영역

Re (z) Im (z) z –plane

2 Re (z) Im (z) z –plane

0.5

(a) (b)

그림 6.2:

두 신호의 수렴 영역 : (a) −2

ⁿ

u[ −n − 1]의 수렴 영역, (b)

−(0.5)

ⁿ

u[ −n − 1]의 수렴 영역.

(a) 에 표시된 수렴 영역은 단위원을 포함한다.

⇒ −2ⁿu[−n − 1]의 이산시간 푸리에 변환이 항상 존재한다

(23)

박섭형

e ^−an u[n] 의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

e^−anu[n] 의 이산시간 푸리에 변환

F{e^−anu[n]} =

∑∞ n=−∞

e^−anu[n]e^−jˆ^ωn=

∑∞ n=0

(

e^−ae^−jˆ^ω)n

. (6.34)

|e

^−a

e

^−jˆ^ω

| = |e

^−a

| < 1, 즉 a > 0일 때 X(e

^{j ˆ}^ω

) = 1

1 − e

^−a

e

^−jˆ^ω

. (6.35) a ≤ 0인 경우에는 e

^−an

u[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지 않는다.

예를 들면, e^−0.5nu[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지만, e^0.5nu[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지 않는다.

(24)

박섭형

a ⁿ u[n] 과 −a ⁿ u[ −n − 1]의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

e^−anu[n] 의 Z–변환

Z{e^−anu[n]} =

∑∞ n=−∞

e^−anu[n]z⁻ⁿ=

∑∞ n=0

(e^−az⁻¹)n

. (6.36)

수렴 조건 : |e^−az⁻¹| = |e^−a|

|z| < 1, 즉,|z| > |e^−a|

F{x[n]}의 존재 여부는 전적으로 a에 의해서 결정된다. 즉, a > 0일 때는

|e^−a| < 1이므로 F{e^−anu[n]}가 존재한다

F{e^−anu[n]} =

∑∞ n=0

e^−ane^−jˆ^ωn=

∑∞ n=0

(e^−ae^−jˆ^ω)n

=

∑∞ n=0

(e^−a−jˆ^ω)n

. (6.37)

(25)

박섭형

e ^−an u[n] 의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

e^−anu[n] 의 Z–변환

Z{x[n]} =

∑∞ n=0

e^−an( re^{j ˆ}^ω)_−n

=

∑∞ n=0

(

e^−ar⁻¹e^−jˆ^ω)n

. (6.38)

r = |z| > e

^−a

인 경우 : Z–변환이 존재한다.

|z| ≤ e

^−a

인 경우 : Z–변환이 존재하지 않는다

a > 0 일 때는 F{e

^−an

u[n] }의 Z–변환의 수렴 영역이 단위원을 포함하기 때문에 이산시간 푸리에 변환이 존재한다

a ≤ 0일 때는 수렴 영역이 단위원을 포함하지 않기 때문에 이산시간 푸리에

변환이 존재하지 않는다

(26)

박섭형

u[n] 의 이산시간 푸리에 변환과 Z–변환

|a| < 1일 때, F {aⁿu[n]}이 다음과 같다.

F {aⁿu[n]} = 1

1− ae^−jˆ^ω. (6.39) a = 1 인 경우에는 aⁿu[n] = u[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지 않는다.

Z{u[n]} =

∑∞ n=−∞

u[n]z⁻ⁿ=

∑∞ n=0

(z⁻¹)n

. (6.40)

h_n=( z⁻¹)n

이라고 하면, 수열{hn}은 초항이 h0= 1이고 공비가 z⁻¹인 무한 등비 수열이 된다. 따라서 이 무한 등비 수열의 합이 유한한 값으로 수렴하기 위한 조건은|z⁻¹| = 1

|z| < 1, 즉,|z| > 1이다. 이 수렴 영역이 단위원을 포함하고 있지 않기 때문에 이로부터 u[n] 의 이산시간 푸리에 변환은 존재하지 않는다는 것을 확인할 수 있다¹

그러나 특수한 방법을 사용하여 다음 식을 증명할 수 있다.

1 ∑^∞

(27)

박섭형

임펄스 신호의 Z–변환

δ[n]과 δ[n− n0]의 Z–변환은 다음과 같다.

Z{δ[n]} =

∑∞ n=−∞

δ[n]z

⁻ⁿ= z⁰= 1. (6.41)

단, 수렴 영역은 z 의 전 영역이다.

Z{δ[n − n0]} =

∑∞ n=−∞

δ[n − n

0]z⁻ⁿ= z⁻ⁿ⁰

.

(6.42)

단, 수렴 영역은 z̸= 0이다.

(28)

박섭형

u[n] 과 −u[−n − 1]의 Z–변환

Z{u[n]} =

∑∞ n=0

1

· z

⁻ⁿ= 1

1

− z

⁻¹

.

(6.43) 단, 수렴 영역은|z⁻¹| < 1, 즉, |z| > 1이다.

Z{−u[−n − 1]} = ∑⁻¹

n=−∞

(−1) · z⁻ⁿ

.

(6.44)

여기에서 m =−n이라 두면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Z{−u[−n − 1]} =

∑∞ m=1

(

−1) · z

^m=

− z

1

− z

=

z

z − 1

= 1

1

− z

⁻¹

.

(6.45) 단, 수렴 영역은|z| < 1이다.

u[n] 과−u[−n − 1]의 Z–변환은 같지만 수렴 영역이 서로 다른 것에 유의하라.

(29)

박섭형

nu[n] 과 −nu[−n − 1]

nu[n] 의 Z–변환은 식 (6.60)을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

Z{nu[n]} = −zd

dzZ{u[n]}

=−zd dz

1 1− z⁻¹

= z z⁻²

(1− z⁻¹)² (6.46)

= z⁻¹ (1− z⁻¹)².

이 Z–변환의 수렴영역은Z{u[n]}의 수렴영역과 같다. 즉, |z| > 1이다.

이와 동일한 방법을 이용하면−nu[−n − 1]의 Z–변환도 다음과 같이 구할 수 있다.

Z{nu[n]} = z⁻¹

(1− z⁻¹)². (6.47)

(30)

박섭형

a ⁿ u[n] 과 −a ⁿ u[ −n − 1]

Z{aⁿu[n]} =

∑∞ n=0

a

ⁿ

z

⁻ⁿ= 1

1

− az

⁻¹

.

(6.48) 단, 수렴 영역은|az⁻¹| < 1, 즉, |z| > |a|이다.

Z{−aⁿu[−n − 1]} = ∑⁻¹

n=−∞

(−aⁿ)z⁻ⁿ=

−

∑⁻¹

n=−∞

(az⁻¹)ⁿ

.

(6.49) 여기에서 m =−n이라 두면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Z{−aⁿu[−n − 1]} = −∑^∞

m=1

(az⁻¹)^−m=−∑^∞

m=1

(a⁻¹z)^m=− a⁻¹z 1− a⁻¹z

= a⁻¹z

a⁻¹z− 1= z

z− a = 1

1− az⁻¹. (6.50) 단, 수렴 영역은|a⁻¹z| < 1, 즉, |z| < |a|이다.

(31)

박섭형

e ^−an u[n] 의 Z–변환

Z{e^−anu[n]} =∑^∞

n=0

e

^−an

z

⁻ⁿ=

∑∞ n=0

(e^−a

z

⁻¹)ⁿ= 1

1

− e

^−a

z

⁻¹

.

(6.51) 단, 수렴 영역은|e^−az⁻¹| < 1, 즉, |z| > |e^−a|이다.

(32)

박섭형

주요 신호들의 Z–변환 (1)

x[n] Z{x[n]} 수렴 영역

δ[n] 1 Z–전 영역

δ[n− n0] z⁻ⁿ⁰ z̸= 0

u[n] 1

1− z⁻¹ |z| > 1

−u[−n − 1] 1

1− z⁻¹ |z| < 1

u[n− n0] z⁻ⁿ⁰

1− z⁻¹ |z| > 1

nu[n] z⁻¹

(1− z⁻¹)² |z| > 1

−nu[−n − 1] z⁻¹

(1− z⁻¹)² |z| < 1

(33)

박섭형

주요 신호들의 Z–변환 (2)

x[n] Z{x[n]} 수렴 영역

aⁿu[n] 1

1− az⁻¹ |z| > |a|

−aⁿu[−n − 1] 1

1− az⁻¹ |z| < |a|

naⁿu[n] az⁻¹

(1− az⁻¹)² |z| > |a|

−naⁿu[−n − 1] az⁻¹

(1− az⁻¹)² |z| < |a|

(aⁿsin ˆω0n)u[n] (a sin ˆω0)z⁻¹

1− (2a cos ˆω0)z⁻¹+ a²z⁻² |z| > |a|

(aⁿcos ˆω0n)u[n] 1− (a cos ˆω0)z⁻¹

1− (2a cos ˆω0)z⁻¹+ a²z⁻² |z| < |a|

(34)

박섭형

Z–변환의 중첩 특성

Z–변환은 선형 변환이며, 중첩 특성을 가진다.

X(z) =

∑∞ n=−∞

(ax1[n] + bx2[n])z⁻ⁿ

= a

∑∞ n=−∞

x1[n]z⁻ⁿ+ b

∑∞ n=−∞

x2[n]z⁻ⁿ

= aX1(z) + bX2(z).

(6.52)

즉,

ax1[n] + bx2[n]⇔ aX1(z) + bX2(z). (6.53) 단, 수렴 영역은 ROCX₁∩ ROCX₂이다.

(35)

박섭형

Z–변환의 시간 지연 특성

Z{x[n − n0]} = ∑^∞

n=−∞

x[n− n0]z⁻ⁿ, (6.54)

여기에서 m = n− n0라 두면, n = m + n0이므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Z{x[n − n0]} =

∑∞ m=−∞

x[m]z^−(m+n⁰⁾

=

∑∞ m=−∞

x[m]z^−mz⁻ⁿ⁰ (6.55)

= z⁻ⁿ⁰X(z).

단, 수렴 영역은 X(z) 의 수렴 영역과 같다.

n0= 1인 경우에, 즉 시간 영역에서 1 샘플의 이동은 Z—영역에서 z⁻¹에

(36)

박섭형

콘볼루션 합의 Z–변환

y[n] = h[n]∗ x[n]라 하면, 다음 식이 성립한다.

y[n] = h[n]∗ x[n] = ∑^∞

k=−∞

h[n]x[n− k]. (6.57)

이 식의 양변에 Z–변환을 취하면 다음 식을 얻는다.

Y(z) =

∑∞ k=−∞

h[k][

z^−kX(z)]

= ( _∞

∑

k=−∞

h[k]z^k )

X(z) =

H(z)X(z).

(6.58)

단, 수렴 영역은 ROC_H∩ ROCX이다.

(37)

박섭형

Z–영역에서의 스케일링

Z{aⁿx[n]} = ∑^∞

n=−∞

aⁿx[n]z⁻ⁿ=

∑∞ n=−∞

x[n](a⁻¹z)⁻ⁿ= X( z a )

. (6.59)

단, 수렴 영역은 X(z) 의 수렴 영역과 같다.

(38)

박섭형

Z–영역에서의 미분

Z{nx[n]} =

∑∞ n=−∞

nx[n]z⁻ⁿ=

∑∞ n=−∞

x[n]nz⁻ⁿ⁻¹z

=

∑∞ n=−∞

x[n](

−nz⁻ⁿ⁻¹)

(−z) = −z

∑∞ n=−∞

x[n]d

dzz⁻ⁿ=−zdX(z) dz .

(6.60) 단, 수렴 영역은 X(z) 의 수렴 영역과 같다.

(39)

박섭형

Z–변환의 주요 성질

이름 표현

선형성 Z{ax1[n] + bx2[n]} = aX1(z) + bX2(z) 시간 지연 Z{x[n − n0]} = z⁻ⁿ⁰X(z)

콘볼루션 Z{x[n] ∗ y[n]} = X(z)Y(z) 곱셈 Z{x[n]y[n]} = X(z) ∗ Y(z) 신호의 차분 Z {x[n] − x[n − 1]} = (1 − z⁻¹)X(z)

신호의 누적 합 Z

{ _n

∑

k=0

x[k]

}

= 1 1− z⁻¹X(z) 시간 곱셈 Z{nx[n]} = −zX(z)

dz

스케일링 Z {x[n/N]} = X(

z^N)

단, N 은 정수.² Z{x[−n]} = X

(1)

이산시간 선형 시불변 시스템의 고유신호 z n

Python과 함께 배우는 시스템 해석

배울 내용